38 Redundante Datenspeicherung und Fehlerorretur Seien natürliche Zahlen, t und s so gewählt, dass + 2t 2 s 1 Sei weiter K = GF (2 s ), und seien c 0,, c 1 K Wir fassen die c i sowohl als Elemente von K als auch (in frei festzulegender, eindeutiger Weise) als Binärwörter der Länge s auf Sei weiter α ein primitives Element in K = GF (2 s ) (existiert nach Satz 127) und seien Disrete Struturen 38 Redundante Datenspeicherung und Fehlerorretur 253/558
d(x) = +2t 1 i=0 g(x) := c(x) := 2t i=1 (x α i ), 1 c i x i, und i=0 d i x i := g(x) c(x) Wir sagen, dass der Vetor der Koeffizienten von d(x) den Vetor (c 0,, c 1 ) odiert (Reed-Solomon-Code RS(s,, t)) Disrete Struturen 38 Redundante Datenspeicherung und Fehlerorretur 254/558
Satz 164 Für jedes s N und, t N mit + 2t 2 s 1 ist der Reed-Solomon-Code RS(s,, t) t-fehlerorrigierend und 2t-fehlererennend Das bedeutet, dass, falls bei der Übertragung des Vetors der d i nicht mehr als 2t der d i s verändert werden, dies erannt werden ann Werden höchstens t der d i s verändert, so önnen die ursprünglichen d i s sogar reonstruiert werden Disrete Struturen 38 Redundante Datenspeicherung und Fehlerorretur 255/558
Beweis: Sei (f 0,, f +2t 1 ) der sich nach der Übertragung ergebende Code-Vetor, sei e i := f i d i für i = 0,, + 2t 1, und seien e(x) := +2t 1 i=0 e i x i und f(x) := Dann gilt f(x) = d(x) + e(x), und es folgt +2t 1 i=0 f(α i ) = e(α i ) für alle 1 i 2t f i x i Disrete Struturen 38 Redundante Datenspeicherung und Fehlerorretur 256/558
Beweis (Forts): In Matrixschreibweise sieht dies wie folgt aus: 1 α α 2 α 3 α +2t 1 1 α 2 α 4 α 6 α 2(+2t 1) 1 α 3 α 6 α 9 α 3(+2t 1) 1 α 2t α 4t α 6t α 2t(+2t 1) e 0 e 1 e 2 e +2t 2 e +2t 1 f(α) f(α 2 ) = f(α 3 ) f(α 2t ) Falls nur e i1,, e ir ungleich 0 sind, fallen Spalten weg und es ergibt sich α i 1 α i 2 α ir f(α) α 2i 1 α 2i 2 α 2ir e i1 α 3i 1 α 3i 2 α 3ir e i2 f(α 2 ) = f(α 3 ) α 2ti 1 α 2ti e 2 α 2tir ir f(α 2t ) Disrete Struturen 38 Redundante Datenspeicherung und Fehlerorretur 257/558
Beweis (Forts): Immer wenn die Anzahl r der Spalten der Anzahl 2t der Zeilen ist, hat diese Matrix vollen Spaltenrang (Vandermonde-Matrix) Wenn (e(α i ) =) f(α i ) = 0 für i = 1,, 2t, dann ist e i = 0 für alle i eine Lösung, und zwar dann die einzige (Spaltenrang) Falls t Fehler aufgetreten sind, önnen wir entsprechende e ij eindeutig bestimmen (zb durch Probieren) und damit die d i reonstruieren Disrete Struturen 38 Redundante Datenspeicherung und Fehlerorretur 258/558
4 Die elementaren Zählfuntionen 41 Untermengen Definition 165 (Binomialoeffizienten) ( ) n := 1 n N 0 0 ( ) n := 0 n <, n N 0, N ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 := + sonst 1 ( n, N ) Disrete Struturen 41 Untermengen 259/558
Satz 166 Sei N eine Menge mit N = n Elementen Die Menge aller -elementigen Untermengen von N wird bezeichnet mit ( ) N Es gilt: ( ) ( ) N N = = ( ) n Disrete Struturen 41 Untermengen 260/558
Beweis: Seien n, 0, a N 1 ( ) n und > n sind lar 0 2 Definiere { ( ) } N S a := A ; a A, { ( ) } N S a := A ; a / A Disrete Struturen 41 Untermengen 261/558
Beweis (Forts): 3 Damit gilt S a S a = ( ) N, S a S a = ( ) ( ) S a = N \ {a} n 1 = 1 1 ( ) ( ) S a = N \ {a} n 1 = Daraus folgt ( ) n = ( ) n 1 + 1 (per Indution) (per Indution) ( ) n 1 Disrete Struturen 41 Untermengen 262/558
Zwischenbemerung zur Nomenlatur: (a + b) n = n =0 ( ) n a b n = (a + b) (a + b) (a + b) Disrete Struturen 41 Untermengen 263/558
42 Partitionen von Mengen und Zahlen 421 Ungeordnete Partitionen 1 Mengenpartitionen Sei N eine Menge der Kardinalität n und sei N 0 Eine Zerlegung von N in nichtleere, paarweise disjunte Teilmengen heißt eine -Partition von N Die einzelnen Teilmengen heißen auch Klassen Ihre Anzahl wird mit S n, bezeichnet (die sog Stirling-Zahlen der 2 Art) Disrete Struturen 42 Partitionen von Mengen und Zahlen 264/558
Beispiel 167 N = {1, 2, 3, 4, 5}, = 2 {1} {2, 3, 4, 5} {1, 2} {3, 4, 5} S 5,2 = 15 {2} {1, 3, 4, 5} {1, 3} {2, 4, 5} {3} {1, 2, 4, 5} {1, 4} {2, 3, 5} {4} {1, 2, 3, 5} {1, 5} {2, 3, 4} {5} {1, 2, 3, 4} {2, 3} {1, 4, 5} {2, 4} {1, 3, 5} {2, 5} {1, 3, 4} {3, 4} {1, 2, 5} {3, 5} {1, 2, 4} {4, 5} {1, 2, 3} Weiter gilt: S n,1 = 1, S n,2 = Übung, S n,n = 1 Disrete Struturen 42 Partitionen von Mengen und Zahlen 265/558
2 Zahlpartitionen Sei N 0 n = n 1 + n 2 + + n mit n 1,, n N und n 1 n 2 n Eine solche Zerlegung heißt -Partition der Zahl n Die Anzahl aller -Partitionen von n N wird mit bezeichnet P n, Disrete Struturen 42 Partitionen von Mengen und Zahlen 266/558
Beispiel 168 n = 8, = 4 8 = 5 + 1 + 1 + 1 = 4 + 2 + 1 + 1 = 3 + 3 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2 + 1 = 2 + 2 + 2 + 2 P 8,4 = 5 Disrete Struturen 42 Partitionen von Mengen und Zahlen 267/558
422 Geordnete Partitionen 1 Mengenpartitionen Seien N, n, wie vorher Eine (beliebig) geordnete -Menge N heißt -Permutation aus N Ihre Anzahl ist n (n 1) (n + 1) = n ( n hoch fallend, fallende Faultät ) Analog: n := n (n + 1) (n + 1) Disrete Struturen 42 Partitionen von Mengen und Zahlen 268/558
Überlegung: Jede -Menge aus N ergibt! -Permutationen Also ( ) n! = n oder: ( ) ( ) n = n! = n! n! (n )! = n Eine -Mengenpartition ergibt! S n, geordnete -Mengenpartitionen (Die Klassen sind (beliebig) untereinander geordnet, aber nicht in sich!) Disrete Struturen 42 Partitionen von Mengen und Zahlen 269/558