Leseprobe Hans-Jochen Bartsch Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler ISBN (Buch): 978-3-446-43800-2 ISBN (E-Book): 978-3-446-43735-7 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser-fachbuch.de/978-3-446-43800-2 sowie im Buchhandel. Carl Hanser Verlag, München
120 3 Gleichungen und Ungleichungen Iterationsvorschrift (ν 1) x (ν +1) = x (ν ) x(ν ) x f ν f ν f ν 1 ν = 1, 2,... ; f ν f ν 1 0 Konvergenzordnung: p 1,618 Beispiel Sekantenmethode Man berechne eine Nullstelle der Gleichung x 3 + 2x 6 = 0. Funktionsgleichung: f (x) = x 3 + 2x 6 Aus einer Wertetabelle zwei Startwerte: x (0) = 1, f 0 = 3 und x (1) = 2, f 1 = 6 x (ν ) f ν x (ν 1) x (ν ) (ν x 1) (ν +1) f ν 1 f ν x f ν f ν 1 2 6 1 3 0,666 667 1,333 333 1,333 333 0,962 963 2 6 0,092 199 1,425 532 1,425 532 0,252 053 1,333 333 0,962 963 0,032 690 1,458 222 1,458 222 0,017 224 1,425 532 0,252 053 0,002 091 1,456 131 1,456 131 0,000 278 1,458 222 0,017 224 0,000 033 1,456 164 Ergebnis: x 0 1,456164 mit einer absoluten Genauigkeit von ε 3,3 10 5 3.5 Nichtlineare Gleichungssysteme Allgemeines Gegeben ist ein nichtlineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen x 1, x 2,..., x n f 1 (x 1,..., x n ) = 0. f i stetig, reellwertig, n 2, D( f ) R n f n (x 1,..., x n ) = 0 Vektordarstellung: f(x) = o D( f) R n Vektorfunktion: f(x) = ( f 1 (x),..., f n (x) ) T skalare Funktionen: f i (x) = f i (x 1,..., x n ), Variablenvektor: x = (x 1,..., x n ) T Gesucht: Lösungsvektor x D mit f(x ) = o i = 1, 2,..., n
3.5 Nichtlineare Gleichungssysteme 121 JACOBI-Matrix einer Vektorfunktion f(x) = ( f 1 (x),..., f n (x)) T (auch Funktionalmatrix genannt) Bedingung: Die partiellen Ableitungen existieren. f 1 (x) ( ) f 1(x) fi (x) x 1 x n J(x) = = x.. k i, k=1,..., n wobei det J(x) 0. f n (x) x 1 f n(x) x n Rn n 3 Mehrdimensionales NEWTON-Verfahren (auch n-dimensionales NEWTON-Verfahren genannt) Gegeben: Nichtlineares Gleichungssystem f(x) = o Startwert, Startvektor Man startet mit einem Näherungswert x (0) D( f) R n, den man z. B. im Falle n = 2 aus einer Skizze entnimmt (siehe Beispiel). Iterationsvorschrift (ν = 0, 1, 2,... ) Im (ν + 1)-ten Schritt linearisiert man f in x (ν ) : f(x) f ( x + J ( x (x x und löst anstelle des gegebenen nichtlinearen Systems f(x) = o das einfachere lineare Ersatzsystem f ( x + J ( x (x x = o nach x auf mit der Lösung x (ν +1) = x (ν ) J 1( x f ( x Praktische Berechnung Zur Vermeidung der Berechnung von J 1 wird der Korrekturvektor x (ν +1) := x (ν +1) x (ν ) aus dem linearen Gleichungssystem gewonnen: J ( x x (ν +1) = f ( x und daraus anschließend der neue verbesserte Näherungswert x (ν +1) = x (ν ) (ν +1) + x Die JACOBI-Matrix J ( x wird entweder in jedem Iterationsschritt neu oder nur einmalig für ν = 0 (vereinfachtes NEWTON-Verfahren) berechnet.
122 3 Gleichungen und Ungleichungen Abbruchbedingungen Abbruchbedingungen (Fehlerabschätzung) des Verfahrens können sein: Schrittzahl ν ν max ν max N x (ν +1) x (ν ) x (ν +1) ε ε R >0 x (ν +1) x (ν ) ε Vektornorm. siehe 5.1 f ( x (ν +1)) ε Beispiel Man führe einen Schritt des mehrdimensionalen Newton-Verfahrens aus für das nichtlineare Gleichungssystem { x 2 + 4y 2 4 = 0 (Ellipse) 2x 2 2x y = 0 ausgehend vom Startvektor (Parabel) x (0) = (1,3; 0,8) T : Vektordarstellung: f(x) = f 1(x, y) = x2 + 4y 2 4 f 2 (x, y) 2x 2 2x y Daraus f ( x (0)) = 0,25 0,02 f 1 f 1 Jacobi-Matrix J(x) = x y f 2 f = 2x 8y 2 4x 2 1 x y Daraus J ( x (0)) 2,6 = 6,4 3,2 1 2,6 6,4 Das lineare Gleichungssystem x (1) = 0,25 3,2 1 0,02 hat die Lösung x (1) 0,005 286 = 0,036 915 Der neue Näherungswert für die gesuchte Lösung des nichtlinearen Systems lautet also x (1) = x (0) + x (1) 1,294 714 = 0,763 085
3.6 Grafische Lösung von Gleichungen 123 3.6 Grafische Lösung von Gleichungen Eine Bestimmungsgleichung mit einer Variablen wird in eine Funktionsgleichung überführt. Ihr Graph ergibt die reellen Lösungen der Gleichung als Schnittpunkte mit der x-achse, y = f (x) = 0, Beispiel (1). Mitunter ist es vorteilhaft, die zu lösende Gleichung in der Form ϕ (x) = ψ (x) zu schreiben und sie als zwei Graphen darzustellen. Lösungen sind dann die Abszissen ihrer Schnittpunkte, Beispiel (2). Bei Gleichungssystemen mit zwei Variablen wird jede Gleichung als implizite Kurve grafisch dargestellt. Die Koordinaten der Schnittpunkte sind die reellen Lösungen des Systems, Beispiel (3). Bei linearen Gleichungen gilt: Parallele Geraden: Die Gleichungen widersprechen einander, L = /0 Deckungsgleiche Geraden: Die Gleichungen sind äquivalent, die Lösungsmenge L hat unendlich viele Elemente. 3 Beispiele (1) L = {x x 2 x 6 = 0} = { 2; 3} (Bild links) (2) L = {x x 3 1,5x 0,5 = 0} { 1; 0,4; 1,4} (Bild rechts) (3) { x 2 + y 2 = 25 x 2 + y = 3 L {(2,7; 4,2), ( 2,7; 4,2)}