Variationsrechnung mit Nebenbedingungen

Um diese Art von Problemen lösen zu können, brauchen wir eine Erweiterung der Variationsrechnung! Im folgenden betrachten wir zwei Klassen von Variationsproblemen, in denen man die Extremalkurve eines Funktionals sucht, aber die Extremalkurven zusätzliche Nebenbedingungen erfüllen müssen. Wir unterscheiden zwei Klassen von Nebenbedingungen: Isoperimetrische Nebenbedingungen Gesucht wird eine Funktion y(x), für die das Funktional: extremal wird, unter der Nebenbedingung, dass ein anderes Funktional: konstant ist. 1

Holonome Nebenbedingungen: Gesucht wird eine Funktion yi(x),i=1,n für die das Funktional: extremal wird, unter der Nebenbedingung, dass R Gleichungen erfüllt sind: Bemerkung: Holonome Nebenbedingungen sind viel strikter als die isoperimetrischen. Das sieht man zum Beispiel daran, dass die holonome Bedingung im Fall einer Funktion diese Funktion fixiert! Wir lösen im folgenden zuerst das Problem mit isoperimetrischen Nebenbedingungen und verallgemeinern dann die Lösung auf Probleme mit holonomen Nebenbedingungen. 2

Die erste Überlieferung von Problemen dieser Art stammt aus der Antike. Das Problem der Königin Dido von Karthago: Bei der Gründung der Stadt Karthago wurde der Königin Dido so viel Land versprochen, wie man mit einer Kuhhaut umspannen kann. Dido schnitt daraufhin die Kuhhaut in dünne Streifen und legte sie aneinander. Das Problem bestand nun darin, eine geschlossene Kurve zu finden, deren Länge konstant ist und die die maximale Fläche umspannt. Dieses Problem lässt sich wie folgt mathematisch Formulieren: Die Endpunkte einer Kurve mit der konstanten Länge L sind bei (-d,0) und (d,0) befestigt. Welche Form muss die Kurve annehmen, damit die Fläche zwischen der Kurve und der x-achse maximal wird? y Dies führt auf die Minimierung des Funktionals: y(x) -x0 x0 x unter der Nebenbedingung: 3

Um die notwendige Bedingung zu finden, die die Extremalkurve erfüllen muss, betrachten wir zunächst wie bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Gleichungen eine einparametrige Schar von variierten Funktionen: mit festen Randpunkten: Jede solche variierte Kurve muss die Nebenbedingung erfüllen: Daraus folgt: 4

Wir nehmen an, dass y0(x) keine Extremalkurve des Funktionals K[y(x)] ist. Daraus folgt ε=0. Die einparametrige Schar lässt keine Variation zu! Wir sind also gezwungen, eine breitere Klasse von variierten Kurven zu betrachten, die von zwei Parametern abhängt: Dadurch reduziert sich das Funktional auf eine Funktion von zwei Variablen: und die Nebenbedingung: bestimmt nun eine Kurve in der ε1, ε2 Ebene. 5

Daraus schließen wir, dass y0(x) eine Extremalkurve ist, wenn die Funktion: ein Extremum bei ε1=ε2=0 hat aber mit der Nebenbedingung: Also reduziert sich das Problem der Suche der Extremalkurve eines Funktionals mit einer isoperimetrischen Nebenbedingung auf die Suche des Extremums einer Funktion mit einer Nebenbedingung! Die Methode der Lagrangemultiplikatoren! Wenn die Funktion J( ε1,ε2) in einem Punkt ein Extremum mit einer Nebenbedingung hat, müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt werden: Die Nebenbedingung muss für alle Variationen dε1,dε2 erfüllt sein dε1 und dε2 sind nicht unabhängig! Extremalbedingung für J( ε1,ε2) 6

Daraus folgt: Geometrische Interpretation: ε2 Konturlinien von Wenn in einem Punkte ein Extremum vorliegt (ohne Nebenbedingung): ε1 Minimum von ohne Nebenbedingung 7

Daraus folgt: Geometrische Interpretation: ε2 Konturlinien von Die Nebenbedingung bedeutet, dass wir ein Extremum der Funktion J entlang der Kurve: suchen! ε1 Nebenbedingung 8

Daraus folgt: Geometrische Interpretation: ε2 Minimum von mit der Nebenbedingung: Im Extremalpunkt gilt: ε1 Es gilt also: Lagrange-Multiplikator 9

Die notwendigen Bedingungen für ein Extremum mit Nebenbedingungen sind somit: Wir bemerken nun, dass sich das Problem der Extrema mit Nebenbedingen auf Problem der Extrema einer erweiterten Funktion ohne Nebenbedingungen reduzieren lässt. Wenn wir die erweiterte Funktion L als definieren, dann hat diese Funktion ein Extremum, wenn: 10

Das wenden wir nun auf unser Variationsproblem an. Dazu definieren wir zunächst die verallgemeinerte Funktion: Wenn y0(x) eine Extremalkurve von J mit der Nebenbedingung K ist muss die Funktion L ein Minimum bei ε1=ε2=0 haben: Euler-Lagrange-Gleichung für Probleme mit isoperimetrischen Nebenbedingungen 11

Die Extremalkurve y0(x) lässt sich aus folgenden Gleichungen finden: Wir sehen nun, dass sich das Variationsproblem mit Nebenbedingungen auf ein Variationsproblem ohne Nebenbedingungen für ein erweitertes Funktional zurückführen lässt: Daraus folgen durch Variation die Bedingungen: 12

Beispiel: Das Problem der Königin Dido von Karthago: Bei der Gründung der Stadt Karthago wurde der Königin Dido so viel Land versprochen, wie man mit einer Kuhhaut umspannen kann. Dido schnitt daraufhin die Kuhhaut in dünne Streifen und legte sie aneinander. Das Problem bestand nun darin eine geschlossene Kurve zu finden, deren Länge konstant ist und die die maximale Fläche umspannt. Dieses Problem lässt sich wie folgt mathematisch formulieren: Die Endpunkte einer Kurve mit der konstanten Länge L sind bei (-d,0) und (d,0) befestigt. Welche Form muss die Kurve annehmen, damit die Fläche zwischen der Kurve und der x-achse maximal wird? y Dies führt auf die Minimierung des Funktionals: y(x) -x0 x0 x unter der Nebenbedingung: 13

Wir definieren zunächst das erweiterte Funktional: Mit: und lautet die Euler-Lagrangegleichung: Die Lösung: 14

Die drei Konstanten können aus den Randbedingungen und der Nebenbedingung bestimmt werden... 15

Beispiel: Kettenlinie Ein Seil mit fester Länge L wird an zwei Punkten (-x0,0) und (x0,0) im Schwerefeld befestigt. Durch welche Kurve wird die Gleichgewichtslage des Seils beschrieben? y Wir minimieren potentielle Energie: y(x) -x0 x0 x unter der Nebenbedingung, dass die Länge der Kurve konstant ist: Wir definieren das erweiterte Funktional: 16

Mit haben wir: Wir verwenden Beltramis Identität: 17

Daraus folgt: Substitution: Wir verwenden nun die Randbedingungen und die Nebenbedingung um die Konstanten zu bestimmen. 18

Aus: folgt Aus der Nebenbedingung folgt: 19

Extremalkurven Maximalkurve Minimalkurve 21

Die Maximalkurve entspricht der optimalen Form eines Torbogens z. B. aus Beton: Gateway Arch, St. Louis (USA) 22

Wir widmen uns nun Problemen mit holonomen Nebenbedingungen. Problem: Gesucht wird eine Funktion yi(x),i=1,n für die das Funktional: extremal wird, unter der Nebenbedingung, dass R Gleichungen erfüllt sind: 23

Beispiel: Geodätische Linien A r(t) 3D-Fläche Betrachten wir Kurven im 3D-Raum: O B parametrische Darstellung der 3D Kurven Die Kurve soll durch zwei vorgegebene Punkte gehen, die durch die Werte der Parameter t1 und t2 definiert sind: und soll auf der Fläche: liegen. Wir suchen nun diejenige Kurve, die die kürzeste Verbindung zwischen A und B darstellt. 24

Dies führt auf das Minimieren des Funktionals: mit der Nebenbedingung: Um diese Art von Problemen zu lösen, betrachten wir im folgenden ein allgemeines Funktional der Form: mit der holonomen Nebenbedingung: Die holonome Nebenbedingung kann in eine equivalente isoperimetrische Nebenbedingung umgewandelt werden: zeitabhängiger Lagrange-Multiplikator 25

Wie man mit isoperimetrischen Nebenbedingungen umgeht, wissen wir schon... Wir definieren ein erweitertes Funktional: Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind: 26

Beispiel: Geodätische Linien auf einer Fläche Wir lösen nun allgemein das Problem der geodätischen Linien: A r(t) 3D-Fläche O B Wir minimieren: mit der Nebenbedingung: Das erweiterte Funktional lautet: 27

Beispiel: Geodätische Linien Die Gleichungen vereinfachen sich stark, wenn man als Parameter der Kurve die Weglänge wählt: Dann gilt: A B 28

Beispiel: Geodätische Linien Damit lauten die Euler-Lagrange Gleichungen: Zusammen mit der Nebenbedingung: bestimmen diese Gleichungen die Geodäten auf einer beliebigen Fläche! Betrachten wir nun die Geodäten auf einer Sphäre mit dem Radius R: Die Nebenbedingung lautet: Euler-Lagrange-Gleichungen: 29

Beispiel: Geodätische Linien Wir leiten nun die Nebenbedingung zweimal ab: erste Ableitung zweite Ableitung wegen: Die zweite Ableitung der Nebenbedingung lautet also: 30

Beispiel: Geodätische Linien Wir substituieren nun die Euler-Lagrange-Gleichungen und erhalten: Daraus folgt: Damit lauten die Euler-Lagrange-Gleichungen: 31

Beispiel: Geodätische Linien Die allgemeine Lösung ist: Dies lässt sich vereinfachen, in dem man die Sinus- und Kosinus- Terme eliminiert: in Polarkoordinaten: 32

Wir haben nun alles, was wir brauchen um die Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit Zwangsbedingungen aus dem Variationsprinzip herzuleiten! Die Bahnkurven sind Extremalkurven des Wirkungsfunktionals S[q(t)], für die die Variation verschwindet, und die die holonomen Zwangsbedingungen: erfüllen 33

Abschließende Bemerkungen zum Hamiltonschen Prinzip und Verbindung zur Quantenmechanik Wir haben gesehen, dass sich die klassische Mechanik in Form eines Variationsprinzips formulieren lässt: r(t1) q(t0) stationär für die tatsächliche Bahn! Dabei erfolgt die Bewegung entlang der stationären Bahn, und alle andere Bahnen (selbst die benachbarten) spielen keine Rolle! Dies ist im gewissen Sinne ungerecht 34

Abschließende Bemerkungen zum Hamiltonschen Prinzip und Verbindung zur Quantenmechanik Die Gerechtigkeit wird in der Quantenmechanik wiederhergestellt! Es hat sich gezeigt, dass der Begriff der Bahnkurve in der Mikrowelt seine Bedeutung verliert. Statt der Frage: Entlang welcher Bahnkurve sich ein Teilchen bewegt? stellen wir uns die Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen welches sich zum Zeitpunkt t0 am Ort q(t0) befindet, zu einem späteren Zeitpunkt t1 am Ort q(t1) anzutreffen ist? q(t1) q(t0) 35

Abschließende Bemerkungen zum Hamiltonschen Prinzip und Verbindung zur Quantenmechanik Feynman hat gezeigt, dass sich diese Frage folgendermaßen beantworten lässt: Wir stellen uns vor, dass sich das Teilchen entlang aller möglichen Pfade zwischen q(t0) und q(t1) bewegt. q(t1) Jedem Pfad wird eine komplexe Amplitude zugeordnet die von der Wirkung abhängig ist: -Plancksche Konstante/2π Die Gesamtamplitude erhält man durch Summieren über alle Pfade (Pfadintegral!): q(t0) Die Wahrscheinlichkeit, dass man das Teilchens zum Zeitpunkt t1 am Ort q(t1) ist definiert als: 36

Abschließende Bemerkungen zum Hamiltonschen Prinzip und Verbindung zur Quantenmechanik "Thirty-one years ago, Dick Feynman told me about his "sum-over-histories" version of quantum mechanics. "The electron does anything it likes", he said, "it goes in any direction at any speed, forward or backward-in-time, however it likes, and then you add-up the amplitudes and it gives you the wave function." I said to him, "Your crazy". But he wasn't." Richard Phillips Feynman (1918-1988) Freeman Dyson 37

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen z Z y Wir betrachten die Bewegung in einem rotierenden Koordinatensystem: X,Y,Z - Inertialsystem x,y,z - rotierendes Koordinatensystem O Y Ein beliebiger Vektor kann in beiden Koordinatensystemen dargestellt werden: X,Y,Z - Inertialsystem: X x x,y,z - rotierendes Koordinatensystem: 38

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Die zeitliche Ableitung des Vektors lautet: Änderung des Vektors im rotierenden KS Im folgenden berechnen wir die Ableitungen der Basisvektoren: 39

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Die Basisvektoren sind orthogonal: 40

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Wir definieren den Vektor der Winkelgeschwindigkeit: Zwischen den Zeit-Ableitungen in beiden Koordinatensystemen besteht also die Relation 41

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche Z rr R ri O Y X 42

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche Die Lagrangefunktion lautet im Inertialsystem: 43

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche Die Bewegungsgleichungen: 44

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche Somit lautet die Bewegungsgleichung: Z Für die Bewegung des Ursprungs des rotierenden Systems gilt: rr O R ri Y Die Winkelgeschwindigkeit ist konstant: X 45

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche Damit vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu: Gravitationspotential und die Bewegung des Ursprungs können durch die effektive Erdbeschleunigung genähert werden: klein und wird vernachlässigt! Somit lauten die Bewegungsgleichungen in der Nähe der Erdoberfläche: 46

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Z Beispiel: Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche Wir drücken nun die Winkelgeschwindigkeit im rotierenden Koordiantensystem aus: θ Z Die Bewegungsgleichungen lauten damit: rr R ri O Y X 47

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche Betrachten wir nun den freien Fall eines Körpers im rotierenden Koordinatensystem : Anfangsbedingungen: Die Lösung ohne Corioliskraft wäre: Wir berechnen nun die erste Korrektur für die Bewegung unter Einfluss der Corioliskraft: Exakte Lösung in den Übungsblättern... 48

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Bewegung in der Nähe der Erdoberfläche Für eine Höhe von 250 m: für den Breitengrad von Berlin 49

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Das Foucaultsche Pendel l Foucaultsches Pendel, Pantheon Paris Die Lagrangefunktion lautet (mit gleichen Näherungen wie beim freien Fall): Die Zwangsbedingung ist: 50

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Das Foucaultsche Pendel Wir stellen die Lagrangegleichungen erster Art auf: Wir betrachten ein sehr langes Pendel und kleine Auslenkungen: Dann gilt näherungsweise: Aus der dritten Bewegungsgleichung folgt: 51

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen Beispiel: Das Foucaultsche Pendel Daraus folgt: Dadurch erhalten wir folgende Bewegungsgleichungen: 52

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen 53

Einige Anwendungen: Bewegung in nichtinertialen Systemen "Da endlich sah ich das Pendel. Die Kugel, frei schwebend am Ende eines langen metallischen Fadens, der hoch in der Wölbung des Chores befestigt war, beschrieb ihre weiten konstanten Schwingungen mit majestätischer Isochronie. Ich wußte- doch jeder hätte es spüren müssen im Zauber dieses ruhigen Atems, dass die Periode geregelt wurde duch das Verhältnis der Quadratwurzel aus der Länge des Fadens zu jener Zahl π, die, irrational für die irdischen Geister, in göttlicher Ratio unweigerlich den Umfang mit dem Durchmesser eines jeden möglichen Kreises verbindet, dergestalt, dass die Zeit dieses Schweifens einer Kugel von einem Pol zum andern das Ergebnis einer geheimen Verschwörung der zeitlosesten aller Maße war- der Einheit des Aufhängepunktes, der Zweiheit einer abstrakten Dimension, der Dreizahl von π, des geheimen Vierecks der Wurzel und der Perfektion des Kreises... " Umberto Eco, Das Foucaultsche Pendel 54