Der Wedelin Algorithmus

Der Wedelin Algorithmus Lösung von großen 0-1 Problemen mit Lagrange Relaxation Christian Spieler 20. Januar 2007 Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 1 / 25

Ausgangsfrage Die Ausgangsfrage lautet: Was haben diese 3 Objekte miteinander zu tun?... Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 2 / 25

Gliederung Einführung Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 3 / 25

Gliederung Einführung Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 3 / 25

Gliederung Einführung Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Der Algorithmus Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 3 / 25

Gliederung Einführung Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Der Algorithmus ohne Approximation Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 3 / 25

Gliederung Einführung Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Der Algorithmus ohne Approximation mit Approximation Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 3 / 25

Gliederung Einführung Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Der Algorithmus ohne Approximation mit Approximation LP Interpretation Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 3 / 25

Gliederung Einführung Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Der Algorithmus ohne Approximation mit Approximation LP Interpretation Greedy Algorithmus Interpretation Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 3 / 25

Gliederung Einführung Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Der Algorithmus ohne Approximation mit Approximation LP Interpretation Greedy Algorithmus Interpretation Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 3 / 25

Einführung Binäre ganzzahlige Probleme wesentlich schwerer zu lösen als LPs Beispiele: Traveling Salesman Problem, Assignment Problem (z.b.: Tanzpaare bilden) Merkmal: Entscheidungsvariablen x i B = {0,1} sind binär Dag Wedelin entwickelte im Rahmen eines Forschungsprojektes Algorithmus zur Lösung von großen 0-1 Problemen im Bereich des Airline Crew Scheduling Partner: Firma CARMEN SYSTEMS mit Sitz in Göteborg (Geschäftsfeld: Verkauf von Optimierungssoftware für die Transportindustrie) Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 4 / 25

Pressemitteilung aus 2006: Einführung Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 5 / 25

Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Das (BIP) lautet in Standardform wie folgt: (BIP) min c T x s.t. Ax = b x j B Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 6 / 25

Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Das (BIP) lautet in Standardform wie folgt: (BIP) min c T x s.t. Ax = b x j B BIP ist NP - schwer bzw. NP - hart Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 6 / 25

Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Das (BIP) lautet in Standardform wie folgt: (BIP) min c T x s.t. Ax = b x j B BIP ist NP - schwer bzw. NP - hart NP - schwere Probleme sind z.b.: Set Partitioning, Set Covering, Set Packing Probleme. Ebenso Vertexcover und Knapsack Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 6 / 25

Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Behandlung von Ungleichungsrestriktionen: Ungleichungsnebenbedingungen können durch Hinzufügen von binären Schlupfvariablen zu Null Kosten durch Gleichungen ersetzt werden. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 7 / 25

Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Behandlung von Ungleichungsrestriktionen: Ungleichungsnebenbedingungen können durch Hinzufügen von binären Schlupfvariablen zu Null Kosten durch Gleichungen ersetzt werden. x 1 + x 2 + x 3 2 wird ersetzt durch: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2. (Einführung von x 4,x 5 {0,1}) Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 7 / 25

Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Behandlung von Ungleichungsrestriktionen: Ungleichungsnebenbedingungen können durch Hinzufügen von binären Schlupfvariablen zu Null Kosten durch Gleichungen ersetzt werden. x 1 + x 2 + x 3 2 wird ersetzt durch: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2. (Einführung von x 4,x 5 {0,1}) x 1 + x 2 + x 3 2 wird analog ersetzt durch: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 5 Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 7 / 25

Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Gewöhnliche Lösungsmethoden für (BIP): basieren auf der LP Relaxation (d.h. man fordert nur noch x j [0; 1] (LP)) Branch & Bound Strategien Beseitigung fraktionaler Werte und Produktion einer echt ganzzahligen Lösung Ansatz versagt jedoch oft für sehr große Probleme Greedy Heuristiken: liefern zulässige ganzzahlige Lösungen, allerdings von schlechter Qualität Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 8 / 25

Das binäre ganzzahlige Problem (BIP) Gewöhnliche Lösungsmethoden für (BIP): basieren auf der LP Relaxation (d.h. man fordert nur noch x j [0; 1] (LP)) Branch & Bound Strategien Beseitigung fraktionaler Werte und Produktion einer echt ganzzahligen Lösung Ansatz versagt jedoch oft für sehr große Probleme Greedy Heuristiken: liefern zulässige ganzzahlige Lösungen, allerdings von schlechter Qualität Daher lauten die Hauptziele des Wedelin-Algorithmus: 1 Lösung von sehr großen 0,1 Problemen in einer direkteren Art 2 Stabile Methode zum Auffinden zulässiger ganzzahliger Lösungen höchstmöglicher Qualität Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 8 / 25

Der Algorithmus - Der Algorithmus besteht aus 2 interagierenden Komponenten: 1 Einfacher duale Koordinaten-Suchalgorithmus zum Auffinden einer 0-1 Lösung für (BIP) durch Heranziehen der Lagrangeschen Relaxation Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 9 / 25

Der Algorithmus - Der Algorithmus besteht aus 2 interagierenden Komponenten: 1 Einfacher duale Koordinaten-Suchalgorithmus zum Auffinden einer 0-1 Lösung für (BIP) durch Heranziehen der Lagrangeschen Relaxation 2 Approximationsschema, welches den Kostenvektor c der Zielfunktion so wenig wie möglich manipuliert, um Konvergenz zu ermöglichen und um eine eindeutige binäre Lösung für das relaxierte Problem zu bekommen. Wichtig hierbei: Approximationsparameter κ Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 9 / 25

Der Algorithmus Lagrange Relaxation von (BIP) min {0 x 1} c T x + y T (b Ax) (R) Dies ist die Lagrange Relaxation für alle y, denn jedes für (BIP) zulässige x ist auch zulässig für (R), mit selbem Zielfunktionswert. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 10 / 25

Der Algorithmus Lagrange Relaxation von (BIP) min {0 x 1} c T x + y T (b Ax) (R) Idee: Dies ist die Lagrange Relaxation für alle y, denn jedes für (BIP) zulässige x ist auch zulässig für (R), mit selbem Zielfunktionswert. Auffinden eines Vektors y, so dass Lösung von (R) zulässig für (BIP) Zielfunktionswerte gleich = Lösung auch optimal für (BIP) Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 10 / 25

Der Algorithmus Äquivalente Form von (R): min {0 x 1} (c T y T A)x + y T b (R) 1 reduzierte Kosten Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 11 / 25

Der Algorithmus Äquivalente Form von (R): min {0 x 1} (c T y T A)x + y T b (R) Lösung von (R): Durch Definition von c := c A T y 1 ist : 0 falls c j > 0 x j = z [0,1] falls c j = 0 1 falls c j < 0 1 reduzierte Kosten Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 11 / 25

Der Algorithmus Äquivalente Form von (R): min {0 x 1} (c T y T A)x + y T b (R) Lösung von (R): Durch Definition von c := c A T y 1 ist : 0 falls c j > 0 x j = z [0,1] falls c j = 0 1 falls c j < 0 Falls c in jeder Koordinate nicht Null ist, ist die Lösung binär und eindeutig! Ansonsten wird eine Approximation eingeführt um ein y zu finden, so dass c 0 1 reduzierte Kosten Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 11 / 25

Der Algorithmus ohne Approximation Wahl des zu NB zugehörigen y i derart, dass die Lösung x für (R) Nebenbedingung i : A i x = b i erfüllt Voraussetzung: Alle Matrixeinträge a ij {0,1} und b ganzzahlig Berechnung der y i wie folgt: Für jedes i definiere das Array c i := {c j a ij = 1} und setze r i := c i + y i (Aufheben des Effekts eines vorhergehenden Wertes für y i ) Wähle r als b i. niedrigstes Element von r i, r + als b i + 1. niedrigstes Setze als neuen Wert für y i : y i := r +r + 2 Üblicherweise Konvergenz des Algorithmus gegen Punkt, an dem viele Elemente c i j = 0 Ausweg: mit Approximation. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 12 / 25

Der Algorithmus mit Approximation Ziel: Störe c so wenig wie möglich, um eine ganzzahlige Lösung für x mithilfe der Koordinatensuche zu finden Höhe der Störung festgelegt durch Approximationsparameter κ Konstante δ sorgt dafür, dass Elemente von c nie Null werden. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 13 / 25

Der Algorithmus mit Approximation Ziel: Störe c so wenig wie möglich, um eine ganzzahlige Lösung für x mithilfe der Koordinatensuche zu finden Höhe der Störung festgelegt durch Approximationsparameter κ Konstante δ sorgt dafür, dass Elemente von c nie Null werden. Algorithmus 1 r i := c i s i (Rückgängigmachung vorheriger Iteration) 2 r := b i. niedrigstes Element von r i r + := b i + 1. niedrigstes Element von r i y i := y i + κ 1 κ (r + r ) + δ y + i := y i κ 1 κ (r + r ) δ s i j := { y i y + i falls rj i r falls rj i r + 3 c i := r i + s i Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 13 / 25

Der Algorithmus mit Approximation Anmerkungen zum Algorithmus mit Approximation: Iteration durchläuft wiederholt zyklisch die NB Auch eine Paralleliteration von NB, die keine gem. Variablen besitzen, ist möglich Wahl von κ, δ ist schwierig Keine Konvergenz des Algorithmus garantiert! Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 14 / 25

LP Interpretation (R) ist ebenso eine Relaxation von (LP), die sogenannte Lagrange Relaxation. Algorithmus ohne Approximation (d.h. κ = 0) eingebettet ins vertraute Rahmenwerk von Linearer Programmierung Betrachtung der Koordinatensuche von einem dualen Standpunkt aus Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 15 / 25

LP Interpretation (R) ist ebenso eine Relaxation von (LP), die sogenannte Lagrange Relaxation. Algorithmus ohne Approximation (d.h. κ = 0) eingebettet ins vertraute Rahmenwerk von Linearer Programmierung Betrachtung der Koordinatensuche von einem dualen Standpunkt aus Das Problem (LP) und seine Relaxation (R) sind verwandt zu dem nichtlinearen unrestringierten Problem der Form Nichtlin. Problem max f (y) y mit f (y) = y T b + min {0 x 1} (c T y T A)x Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 15 / 25

LP Interpretation (R) ist ebenso eine Relaxation von (LP), die sogenannte Lagrange Relaxation. Algorithmus ohne Approximation (d.h. κ = 0) eingebettet ins vertraute Rahmenwerk von Linearer Programmierung Betrachtung der Koordinatensuche von einem dualen Standpunkt aus Das Problem (LP) und seine Relaxation (R) sind verwandt zu dem nichtlinearen unrestringierten Problem der Form Nichtlin. Problem max f (y) y mit f (y) = y T b + min {0 x 1} (c T y T A)x Dies ist das Lagrangesches Dualproblem mit alleiniger Betrachtung der NB Ax=b Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 15 / 25

LP Interpretation Bemerkung: f (y) ist das Minimum einer Menge von linearen Funktionen in y, eine für jede Variablenbelegung von x. Folgerung: f (y) ist stückweise linear und konkav Partielle Ableitungen für y f y i = b i a i x R (1) Dabei bezeichne x R die Lösung von (R) für dieses y. Erinnerung: In der Koordinatensuche wird y i immer so gewählt, dass die Lösung von (R) a i x = b i erfüllt. = f y i = 0 f (y) konkav = notwendige Bedingung auch hinreichend; Man kann schließen, dass dieser Punkt auch das Maximum entlang der y i darstellt. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 16 / 25

Greedy Algorithmus Interpretation Wiederholung Formel für y i, y + i : y i := y i + κ 1 κ (r + r ) + δ y + i := y i κ 1 κ (r + r ) δ Geht Approximationsparameter κ 1, dann ist der zweite Summand der y i, y + i Formel {+, } und jeder Wert von c ist auf + oder gesetzt. Erfüllung der Restriktionen setzt sodann die Kostenstruktur des Problems ganz außer Kraft. Der Algorithmus verhält sich wie ein Greedy Algorithmus. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 17 / 25

Greedy Algorithmus Interpretation Greedy Algo für (BIP) Jede Variable x i hat 3 Möglichkeiten: 0,1 oder unknown. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 18 / 25

Greedy Algorithmus Interpretation Greedy Algo für (BIP) Jede Variable x i hat 3 Möglichkeiten: 0,1 oder unknown. Start: Alle x i werden auf Status unknown gesetzt. k := 1 Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 18 / 25

Greedy Algorithmus Interpretation Greedy Algo für (BIP) Jede Variable x i hat 3 Möglichkeiten: 0,1 oder unknown. Start: Alle x i werden auf Status unknown gesetzt. k := 1 Betrachte die k.-te NB A k x = b i : Setze jedes x i {x i x i = unknown} auf 0 oder 1, so dass NB erfüllt. (Zuweisung abh. von Werten des Kostenvektors c) Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 18 / 25

Greedy Algorithmus Interpretation Greedy Algo für (BIP) Jede Variable x i hat 3 Möglichkeiten: 0,1 oder unknown. Start: Alle x i werden auf Status unknown gesetzt. k := 1 Betrachte die k.-te NB A k x = b i : Setze jedes x i {x i x i = unknown} auf 0 oder 1, so dass NB erfüllt. (Zuweisung abh. von Werten des Kostenvektors c) Ausnahme: Verändern einer gesetzten Variablen x i nur erlaubt, wenn die unknown Variablen nicht ausreichen, um NB zu erfüllen. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 18 / 25

Greedy Algorithmus Interpretation Greedy Algo für (BIP) Jede Variable x i hat 3 Möglichkeiten: 0,1 oder unknown. Start: Alle x i werden auf Status unknown gesetzt. k := 1 Betrachte die k.-te NB A k x = b i : Setze jedes x i {x i x i = unknown} auf 0 oder 1, so dass NB erfüllt. (Zuweisung abh. von Werten des Kostenvektors c) Ausnahme: Verändern einer gesetzten Variablen x i nur erlaubt, wenn die unknown Variablen nicht ausreichen, um NB zu erfüllen. Setze k := k + 1. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 18 / 25

Greedy Algorithmus Interpretation Greedy Algo für (BIP) Jede Variable x i hat 3 Möglichkeiten: 0,1 oder unknown. Start: Alle x i werden auf Status unknown gesetzt. k := 1 Betrachte die k.-te NB A k x = b i : Setze jedes x i {x i x i = unknown} auf 0 oder 1, so dass NB erfüllt. (Zuweisung abh. von Werten des Kostenvektors c) Ausnahme: Verändern einer gesetzten Variablen x i nur erlaubt, wenn die unknown Variablen nicht ausreichen, um NB zu erfüllen. Setze k := k + 1. Anmerkungen: Generell kann Algorithmus im Finden einer binären Lösung fehlschlagen Konvergenz aber garantiert bei strikter Ersetzung der Gleichungsrestriktionen durch oder Schnelles Auffinden einer suboptimalen Lösung Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 18 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Test des Algorithmus Der vorgestellte Algorithmus wurde besonders an großen Set Covering Problemen (SCP), die aus der Anwendung des Airline Crew Scheduling stammen, getestet. Daher nun zuerst Definition des Airline Crew Scheduling Problems. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 19 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Test des Algorithmus Der vorgestellte Algorithmus wurde besonders an großen Set Covering Problemen (SCP), die aus der Anwendung des Airline Crew Scheduling stammen, getestet. Daher nun zuerst Definition des Airline Crew Scheduling Problems. Das Airline Crew Scheduling Problem Annahme: Ein Zeitplan mit allen Flugabschnitten ist gegeben Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 19 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Test des Algorithmus Der vorgestellte Algorithmus wurde besonders an großen Set Covering Problemen (SCP), die aus der Anwendung des Airline Crew Scheduling stammen, getestet. Daher nun zuerst Definition des Airline Crew Scheduling Problems. Das Airline Crew Scheduling Problem Annahme: Ein Zeitplan mit allen Flugabschnitten ist gegeben Ein Flugabschnitt ist ein gegebener Flug zu einer gegebenen Zeit Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 19 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Test des Algorithmus Der vorgestellte Algorithmus wurde besonders an großen Set Covering Problemen (SCP), die aus der Anwendung des Airline Crew Scheduling stammen, getestet. Daher nun zuerst Definition des Airline Crew Scheduling Problems. Das Airline Crew Scheduling Problem Annahme: Ein Zeitplan mit allen Flugabschnitten ist gegeben Ein Flugabschnitt ist ein gegebener Flug zu einer gegebenen Zeit Zuweisung von Crews zu diesen Flugabschnitten, so dass jede Crew einen durchführbaren Flugplan erhält und diese Lösung möglichst kostengünstig ist Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 19 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Test des Algorithmus Der vorgestellte Algorithmus wurde besonders an großen Set Covering Problemen (SCP), die aus der Anwendung des Airline Crew Scheduling stammen, getestet. Daher nun zuerst Definition des Airline Crew Scheduling Problems. Das Airline Crew Scheduling Problem Annahme: Ein Zeitplan mit allen Flugabschnitten ist gegeben Ein Flugabschnitt ist ein gegebener Flug zu einer gegebenen Zeit Zuweisung von Crews zu diesen Flugabschnitten, so dass jede Crew einen durchführbaren Flugplan erhält und diese Lösung möglichst kostengünstig ist Die Zuweisung von Personen zu den Flugbesatzungen wird nicht berücksichtigt Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 19 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Test des Algorithmus Der vorgestellte Algorithmus wurde besonders an großen Set Covering Problemen (SCP), die aus der Anwendung des Airline Crew Scheduling stammen, getestet. Daher nun zuerst Definition des Airline Crew Scheduling Problems. Das Airline Crew Scheduling Problem Annahme: Ein Zeitplan mit allen Flugabschnitten ist gegeben Ein Flugabschnitt ist ein gegebener Flug zu einer gegebenen Zeit Zuweisung von Crews zu diesen Flugabschnitten, so dass jede Crew einen durchführbaren Flugplan erhält und diese Lösung möglichst kostengünstig ist Die Zuweisung von Personen zu den Flugbesatzungen wird nicht berücksichtigt Jede Crew hat einen Heimatflughafen, ein Flugplan besteht aus einer Sequenz von Flugabschnitten mit Ausgangs- und Endpunkt Heimatflughafen (dies nennt man Pairing, dt: Paarung) Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 19 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Test des Algorithmus Der vorgestellte Algorithmus wurde besonders an großen Set Covering Problemen (SCP), die aus der Anwendung des Airline Crew Scheduling stammen, getestet. Daher nun zuerst Definition des Airline Crew Scheduling Problems. Das Airline Crew Scheduling Problem Annahme: Ein Zeitplan mit allen Flugabschnitten ist gegeben Ein Flugabschnitt ist ein gegebener Flug zu einer gegebenen Zeit Zuweisung von Crews zu diesen Flugabschnitten, so dass jede Crew einen durchführbaren Flugplan erhält und diese Lösung möglichst kostengünstig ist Die Zuweisung von Personen zu den Flugbesatzungen wird nicht berücksichtigt Jede Crew hat einen Heimatflughafen, ein Flugplan besteht aus einer Sequenz von Flugabschnitten mit Ausgangs- und Endpunkt Heimatflughafen (dies nennt man Pairing, dt: Paarung) Wirkende Einflussgrößen auf Pairing: Gesamtzeitdauer, max. Flugzeit pro Tag etc. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 19 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Gewöhnliche Lösung des Problems in 2 Schritten: 1 Berechnung einer großen Anzahl von erlaubten Pairings und Berechnung der Kosten für jedes Pairing unter Benutzung einer vorher gefundenen Lösung als Leitfaden Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 20 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Gewöhnliche Lösung des Problems in 2 Schritten: 1 Berechnung einer großen Anzahl von erlaubten Pairings und Berechnung der Kosten für jedes Pairing unter Benutzung einer vorher gefundenen Lösung als Leitfaden 2 Auswahl einer Teilmenge der erzeugten Pairings, so dass jeder Flug im Flugplan in mind. einem der ausgewählten Pairings enthalten ist. Dies sollte so erfolgen, dass die Totalkosten (Summe Einzelkosten) minimiert werden. Eine Crew kann auch bei einer anderen Flugbesatzung als Passagier mitfliegen, falls kostengünstiger. Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 20 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Problem ist also ein Set Covering Problem der Form: (SCP) min c T x s.t. Ax 1 x j B A 0-1 Matrix. Zeile entspricht Flugabschnitt, Spalte dem Pairing Typisch: 50 4000 Flüge, 10 3 10 6 Pairings und 5 10 Nichtnulleinträge pro Spalte der Matrix A (dünnbesetzt) Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 21 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs Vergleich des Wedelin - Algorithmus mit dem CPLEX-System (v2.1) für lineare und ganzzahlige Optimierung: Gesamtlaufzeit des Wedelin-Algorithmus wesentlich geringer als die des Lösers CPLEX zum Auffinden einer LP Lösung bei größeren Problemen Verbrauch von mehr Arbeitsspeicher bei CPLEX während des Rechenvorgangs Qualität der Lösungen kann sich im Vergleich zu den bewährten Methoden, die auf Lin. Programmierung und Branch & Bound basieren (bei Löser CPLEX verwendet) sehen lassen Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 22 / 25

Rechnergestützte Ergebnisse für SCPs CPLEX vs. Wedelin Abbildung: Größe des Problems vor und nach der Vorverarbeitung Abbildung: Testergebnisse (Zielfunktionswert, Zeit) für echte SCPs Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 23 / 25

Beantwortung Ausgangsfrage Die Ausgangsfrage lautete: Was haben diese 3 Objekte miteinander zu tun? Dag Wedelin, Entwickler des Algorithmus Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 24 / 25

Beantwortung Ausgangsfrage Die Ausgangsfrage lautete: Was haben diese 3 Objekte miteinander zu tun? Dag Wedelin, Entwickler des Algorithmus Joseph Louis Lagrange, berühmter Mathematiker (1736-1813) Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 24 / 25

Beantwortung Ausgangsfrage Die Ausgangsfrage lautete: Was haben diese 3 Objekte miteinander zu tun? Dag Wedelin, Entwickler des Algorithmus Joseph Louis Lagrange, berühmter Mathematiker (1736-1813) Boeing 737-500 der Lufthansa Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 24 / 25

Beantwortung Ausgangsfrage Danke für die Aufmerksamkeit! Abbildung: Ab in die Lüfte... Christian Spieler () Der Wedelin Algorithmus 20. Januar 2007 25 / 25