1. Inhalt des Proseminars 1 Robert Denk 21.07.2016 Proseminar Analysis WS 2016/17 1. Inhalt des Proseminars Die Grundidee einer Fourierreihe besteht darin, eine Funktion als Überlagerung von Schwingungen, d.h. von Sinus- und Cosinus-Funktionen zu beschreiben. Dies wird z.b. angewendet bei der Analyse von Musikinstrumenten, aber auch im Mobilfunk. In beiden Fällen hat man eine periodische Funktion f : R R (Signal). Die Fourierreihe dazu beschreibt die Frequenz (akustisch die Tonhöhe) und die Signalstärke (akustisch die Lautstärke) der einzelnen Schwingungen. Die Funktion x sin(x) besitzt nur eine einzige Schwingung (siehe Abbildung 1. Ein Beispiel für ein unregelmäßigeres Signal ist in Abbildung 2 zu sehen. Abbildung 1: Eine reine Sinus-Schwingung und ihre Fourier-Koeffizienten Man spricht dabei auch von der Darstellung der Funktion im Spektralbereich oder Frequenzbereich. Die Darstellung eines Signals als Überlagerung von Schwingungen ist nützlich, um z.b. Musikinstrumente zu analysieren. So kann man die unterschiedliche Klangfarbe (unterschiedliche Obertöne) anhand der Fourierreihe leicht erkennen. In Abbildung 3 sieht man das Spektrum einer Querflöte beim Spielen des Tons g, in Abbildung 4 als Vergleich dazu das Spektrum einer Violine.
2 1. Inhalt des Proseminars Abbildung 2: Die Überlagerung mehrerer Schwingungen Abbildung 3: Die Spektraldarstellung einer Querflöte Mathematisch besitzt eine Fourierreihe die Form f(x) (a k cos(kx) + b k sin(kx)) (x R) k=0 für eine 2π-periodische Funktion f : R R. In komplexer Schreibweise erhält man f(x) c k e ikx (x R). k= Die mehrdimensionale Variante für eine Funktion f : R n C, welche in jeder Richtung 2π-periodisch ist, lautet f(x) k Z n c k e ik x (x R n ), wobei im Exponenten auf der rechten Seite k x das Standard-Skalarprodukt im R n bezeichnet. Es ergeben sich direkt folgende Fragen, welche im Proseminar geklärt und vorgetragen werden sollen:
1. Inhalt des Proseminars 3 Abbildung 4: Die Spektraldarstellung einer Violine Sind die Koeffizienten a k, b k bzw. c k eindeutig, und wie werden sie berechnet? Was kann man über die Konvergenz der Reihe sagen? In welchem Sinn bzw. für welche Funktionen konvergiert die Fourierreihe gegen die Funktion? Welche Eigenschaften besitzen die Fourier-Koeffizienten (z.b. Konvergenz gegen 0 für k )? Welche Rechenregeln gelten für die Fourier-Koeffizienten (z.b. was weiß man über die Fourier-Koeffizienten der Ableitung von f)? Ein Beispiel für die Rekonstruktion einer Sägezahn-förmigen Funktion ist in Abbildung 5 zu sehen. Eine interessante Eigenschaft der in der Fourierreihe auftretenden trigonometrischen Funktionen sin(kx), cos(kx) bzw. e ikx liegt in der Orthogonalität: Für die Funktion e k : [0, 2π] R, x e ikx gilt e k, e j L 2 = 0 (k j). Dabei ist das L 2 -Skalarprodukt gegeben durch f, g L 2 := 2π 0 f(x)g(x)dx. Wenn man also die Funktionen e k noch entsprechend normiert, erhält man ein unendliches System von orthonormalen Vektoren, und die trigonometrischen Funktionen bilden eine unendliche (Hilbertraum-)Basis des entsprechenden Funktionenraums L 2 ([0, 2π]). Wenn eine Funktion f periodisch mit einer anderen Periode als 2π ist, so erhält man die zugehörige Fourierreihe durch eine Skalierung. Für nicht-periodische Funktionen
4 Literatur gibt es immer noch eine Darstellung als Überlagerung von Schwingungen, allerdings dann in Form eines Integrals: f(x) ˆf(k)e ikx dk (x R). Man spricht von der Fouriertransformation. Die mehrdimensionale Formel sieht analog aus. Auch hier ergeben sich im Wesentlichen dieselben Fragen wie bei den Fourierreihen. Abbildung 5: Die Approximation einer unstetigen Funktion durch den Anfang der Fourierreihe Literatur [1] H. Amann and J. Escher. Analysis. I. Grundstudium Mathematik. [Basic Study of Mathematics]. Birkhäuser Verlag, Basel, 1998. [2] H. Amann and J. Escher. Analysis. II. Grundstudium Mathematik. [Basic Study of Mathematics]. Birkhäuser Verlag, Basel, 1999. [3] R. N. Bracewell. The Fourier transform and its applications. McGraw-Hill Series in Electrical Engineering. Circuits and Systems. McGraw-Hill Book Co., New York, third edition, 1986. [4] P. L. Butzer and R. J. Nessel. Fourier analysis and approximation. Academic Press, New York-London, 1971. Volume 1: One-dimensional theory, Pure and Applied Mathematics, Vol. 40. [5] K. Chandrasekharan. Classical Fourier transforms. Universitext. Springer- Verlag, Berlin, 1989.
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