4 Vektoranalysis. 4.1 Riemannsche Metriken

4 Vektoranalysis 4.1 Riemannsche Metriken Zunächst etwas Lineare Algebra: Es seien r linear unabhängige Vektoren a 1,..., a r im R n gegeben, und V := R(a 1,..., a n sei der von ihnen aufgespannte Untervektorraum. Setzt man A := (a 1,..., a r M n,r (R, so ist A A M r,r (R, und G(a 1,..., a r := det(a A = det (a i aj i, j = 1,..., r heißt die Gramsche Determinante von a 1,..., a r. Das Skalarprodukt auf dem R n induziert ein Skalarprodukt auf dem Unterraum V. Ist nun {u 1,..., u r } eine ON-Basis von V, so gibt es eine Darstellung a i = r α iν u ν, i = 1,..., r. Setzen wir α i := (α i1,..., α ir und à := (α 1,..., α r, so ist ( r a i aj = α iν u ν ( r α jµ u µ = µ=1 r α iν α jν = α i αj und à à = A A, also G(a 1,..., a r = det(a A = det(ã à = det(ã2. Jetzt versehen wir V mit einer Orientierung. Ist {u 1,..., u r } positiv orientiert und {η 1,..., η r } V die dazu duale Basis, so ist Ω V := η 1... η r A r (V die zugehörige Volumenform, und es gilt: Ω V (a 1,..., a r = det(ã = G(a 1,..., a r. Jetzt betrachten wir den Spezialfall r = n 1. Dann ist V eine Hyperebene. Ist N R n ein Einheitsnormalenvektor zu V und (N, u 1,..., u n 1 im R n positiv orientiert, so entspricht die durch N gegebene transversale Orientierung von V der gegebenen positiven inneren Orientierung von V. Sei {ψ, ϕ 1,..., ϕ n 1 } (R n die duale Basis zu {N, u 1,..., u n 1 }. Dann ist η i := ϕ i V, für i = 1,..., n 1. Sind a 1,..., a n 1 linear unabhängig, so wird durch ϕ(w := det(w, a 1,..., a n 1 eine Linearform ϕ auf dem R n definiert. Daher gibt es genau einen Vektor z, so dass ϕ(w = z w ist. Man bezeichnet diesen eindeutig bestimmten Vektor z mit dem Symbol a 1... a n 1. Das ergibt die Gleichung

120 4 Vektoranalysis (a 1... a n 1 w = det(w, a 1,..., a n 1. Insbesondere steht a 1... a n 1 auf V senkrecht, ist also ein Vielfaches von N. Der Laplacesche Entwicklungssatz besagt: det(w, a 1,..., a n 1 = ( 1 k+1 w k det(a k, wobei A k die quadratische Matrix ist, die aus A = (a 1,..., a n 1 entsteht, indem man die k-te Zeile streicht. Wir erinnern uns nun an die einem Vektor w kanonisch zugeordnete (n 1-Form Λ w. Benutzen wir das euklidische Skalarprodukt, die positiv orientierte Standardbasis {e 1,..., e n } und die dazu duale Basis {ε 1,..., ε n }, so ist Λ w = w k ( 1 k+1 ε 1... ε k... ε n. Dann folgt: Λ w (a 1,..., a n 1 = also ( 1 k+1 w k det(a k = w (a 1... a n 1 und Ω V (a 1,..., a n 1 = η 1... η n 1 (a 1,..., a n 1 = ψ ϕ 1... ϕ n 1 (N, a 1,..., a n 1 = ε 1... ε n (N, a 1,..., a n 1 = det(n, a 1,..., a n 1 = ( 1 k+1 N k det(a k = (a 1... a n 1 N, G(a1,..., a n 1 = Ω V (a 1,..., a n 1 = (a 1... a n 1 N = a 1... a n 1. (Da N und a 1... a n 1 zueinander parallel sind, wird die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zu einer Gleichung. Definition Sei eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Riemannsche Metrik auf ordnet jedem Punkt x ein Skalarprodukt γ x auf dem Tangentialraum T x ( zu, so dass gilt: Sind ξ, η differenzierbare Vektorfelder auf, so ist eine differenzierbare Funktion. x γ x (ξ x, η x

4.1 Riemannsche Metriken 121 Zur Erinnerung: Dass γ x ein Skalarprodukt auf T x ( ist, bedeutet: 1. γ x : T x ( T x ( R ist R-bilinear. 2. Es ist γ x (v, w = γ x (w, v für alle v, w T x (. 3. Ist v 0, so ist γ x (v, v > 0. Ist (U, ϕ eine Karte für, so gibt es lokale Darstellungen ξ = ξ ν und η = x ν ( ( ( Setzen wir g νµ (x := γ x,, so ist x ν x x µ x η ν. x ν γ x (ξ(x, η(x = ν,µ ξ ν (x η µ (x g νµ (x. Fassen wir die g νµ zu einer Matrix G ϕ und die ξ ν (bzw. η µ zu einem Vektor ξ ϕ (bzw. η ϕ zusammen, so erhalten wir die Gleichung γ x (ξ(x, η(x = ξ ϕ (x G ϕ (x η ϕ (x. Die Riemannsche Metrik liefert auf jedem Tangentialraum eine Norm: v γ := γ x (ξ(x, ξ(x 1/2 = ( ξ ϕ (x G ϕ (x ξ ϕ (x 1/2. 4.1.1. Beispiel Sei G R n ein Gebiet und G eine abgeschlossene k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Dann wird durch γ x (v, w := v w eine Riemannsche Metrik (die kanonische Riemannsche Metrik definiert. Ist ϕ : T U eine lokale Parametrisierung und ψ = ϕ 1 die davon bestimmte Karte, so bilden die Vektorfelder i (ϕ(u := Dϕ(u(e i = ϕ u i (u die kanonischen Basisfelder auf U, und es ist g ij = i j, für i, j = 1,..., k.

122 4 Vektoranalysis Man kann aber auf jeder Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik konstruieren. Dazu sei (U ι, ϕ ι eine Überdeckung von durch lokale Karten und (f ι eine dazu passende Teilung der Eins. Dann setzt man γ x (v, w := ι f ι (x (v ϕι wϕι, wobei v ϕ R n die Darstellung von v bezüglich der Karte ϕ ist. Man rechnet leicht nach, dass γ alle Eigenschaften einer Riemannschen Metrik erfüllt. Definition Sei eine n-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik γ. Unter der Volumenform von versteht man die eindeutig bestimmte n-form Ω, für die (Ω x (u 1,..., u n = 1 für jedes x und jede positiv orientierte ON-Basis {u 1,..., u n } von T x ( ist. 4.1.2. Satz Ist (U, ϕ eine positiv orientierte Karte für und ϕ = (x 1,..., x n, so ist Ω U = det(g ϕ dx 1... dx n. Beweis: Weil ϕ positiv orientiert ist, gibt es eine positive Funktion h auf U, so dass gilt: Ω U = h dx 1... dx n. Setzen wir a ν := / x ν für ν = 1,..., n, so ist h(x = (Ω x (a 1,..., a n. Sei nun {u 1,..., u n } eine positiv orientierte ON-Basis von T x ( und a i = α iν u ν, für i = 1,..., n. Fassen wir die α iν zu einer Matrix à zusammen, so ist det(ã2 = det(ã à = G(a 1,..., a n die Gramsche Determinante von a 1,..., a n. Nun ist einerseits (Ω x (a 1,..., a n = det à (und letztere damit positiv, und andererseits ist det G ϕ (x = det ( γ x (a i, a j i, j = 1,..., n = G(a 1,..., a n. Zusammen ergibt dies: h(x = det(ã = G(a 1,..., a n = det G ϕ (x.

4.1 Riemannsche Metriken 123 4.1.3. Beispiele A. Ist U R n offen, so ist U eine orientierte Mannigfaltigkeit mit dem euklidischen Skalarprodukt als Riemannsche Metrik, ϕ = id und G ϕ = E n, also Ω U = dx 1... dx n =: dv das klassische Volumenelement. Der Tangentialraum T x (R n kann mit dem R n identifiziert werden, und dann ist v γ = v. B. Sei Y R n eine glatte Hyperfläche, transversal orientiert durch ein Einheitsnormalenfeld N. Ist y Y, so kann man T y (Y als Untervektorraum von T y (R n = R n auffassen. Ist {a 1,..., a n 1 } eine Basis von T y (Y, so ist (Ω Y y (a 1,..., a n 1 = (a 1... a n 1 N(y = Λ N(y (a 1,..., a n 1. Ist N = (N 1,..., N n, so ist (Ω Y y = Λ N(y = j ( N k ( 1 k+1 dx 1... dx k... dx n, wenn j : Y R n die kanonische Injektion ist. Man nennt do := Ω Y Oberflächenelement von Y. das C. Sei C R n eine glatte Kurve, parametrisiert durch α : I R n. Sei x 0 = α(t 0 C. Dann ist ( α,t0 = α (t 0. t Ist ϕ : C I eine durch α bestimmte Koordinate, so ist det G ϕ (x 0 = α (t 0 α (t 0 = α (t 0, also (Ω C ϕ (t = α (t dt. Man bezeichnet ds := Ω C auch als Linienelement. Es ist C ds = I α (t dt = L(C die Länge von C. Das letzte Beispiel legt die folgende Definition nahe: Definition Ist eine orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik, so nennt man vol( := den Inhalt (das Volumen von. Ω

124 4 Vektoranalysis Im Falle von 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten (also Kurven kommt die bekannte Weglänge heraus. 4.1.4. Beispiel Sei Y = S n 1 (r = B r (0 R n. Ist x Y, so ist N(x = 1 x der äußere r Normaleneinheitsvektor. Dann folgt mit dem Stokes schen Satz: vol n 1 (Y = (Stokes = Y n r do = B B r 1 r x k( 1 k+1 dx 1... dx k... dx n dx 1... dx n = n r vol n(b r (0. Im Falle n = 2 ist Y eine Kreislinie vom Radius r und vol 2 (B r (0 = r 2 π, also vol 1 (Y = 2rπ. Im Falle n = 3 ist Y eine Sphäre vom Radius r und vol 3 (B r (0 = 4 3 πr3, also vol 2 (Y = 3 r vol 3(B r (0 = 4πr 2. Zum Schluss dieses Abschnittes soll gezeigt werden, dass eine Riemannsche Metrik tatsächlich eine Metrik im Sinne der Topologie induziert. Aus Zeitgründen wurde diese Aussage nicht in der Vorlesung bewiesen. 4.1.5. Lemma Sei U R n offen und γ eine Riemannsche Metrik auf U. Ist K U kompakt, so gibt es Konstanten c, C > 0, so dass für alle x K und alle v T x (R n gilt: c v v γ C v. Beweis: Es gibt eine differenzierbare Funktion A : U M n (R, so dass A(x stets positiv definit und γ x (v, w = v A(x w, und v γ = ( v A(x v 1/2 ist. Sei K U kompakt und L := {(x, v U R n : x K und v = 1} = K S n 1. Auch L ist kompakt, und die stetige Funktion N(x, v := ( v A(x v 1/2 nimmt auf L ein Maximum und ein positives Minimum an. Also gibt es Konstanten c, C > 0, so dass für alle (x, v L gilt: c N(x, v C. Ist x K und v R n, v 0, so setzen wir λ := v. Dann ist (x, λ 1 v L und und analog N(x, v c v. N(x, v = λ N(x, λ 1 v λ C = C v,

4.1 Riemannsche Metriken 125 4.1.6. Satz Sei eine zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Riemannscher Metrik γ, d(x, y := inf{l γ (α : α stückweise differenzierbarer Weg von x nach y}. Dann ist d eine Metrik, die die vorhandene Topologie induziert. Beweis: 1 Offensichtlich ist stets d(x, y 0 und d(x, x = 0, sowie d(x, y = d(y, x. 2 Seien nun x, y, z drei Punkte von. Ist α ein Weg von x nach y und β ein Weg von y nach z, so ist d(x, z L γ (α + β = L γ (α + L γ (β. Bildet man das Infimum über alle α und β, so erhält man die Dreiecksungleichung d(x, z d(x, y + d(y, z. 3 Sind x 0, y 0 mit x 0 y 0, so ist zu zeigen, dass d(x 0, y 0 > 0 ist. Wir wählen ein Koordinatensystem (U, ϕ mit x 0 U und y 0 U, sowie eine offene Umgebung W = W (x 0 U. Auf U haben wir eine euklidische Riemannsche Metrik δ = δ e, durch (δ e x (v, w = (ϕ,x v (ϕ,x w für x U und v, w T x (. Nach dem Lemma gibt es Konstanten c, C > 0, so dass gilt: c ϕ,x v v γ C ϕ,x v für x W und v T x (. Für jede stückweise stetig differenzierbare Kurve α in W ist dann c L δ ( α L γ ( α C L δ ( α. Nun sei α : [a, b] ein Verbindungsweg von x 0 nach y 0 und t 0 := inf{t [a, b] : α(t W }. Dann liegt α(t 0 in W, und α(t W für a t t 0. Ist α := α [a,t0], so gilt: Also muss auch d γ (x 0, y 0 > 0 sein. L γ (α L γ ( α c L δ ( α c d δ (x 0, α(t 0 c dist δ (x 0, W > 0. 4 Sei M offen und p M. Sei (U, ϕ ein Koordinatensystem mit p U M. Sei B = B ε (ϕ(p ϕ(u und V := ϕ 1 (B U. Dann gibt es ein c > 0, so dass d γ (p, q c d δ (p, q c ε für q V ist. Ist also d γ (p, q < cε, so ist q V U. Das zeigt, dass die metrische Kugel mit Radius cε um p in U und damit in M enthalten ist. Also ist M auch im metrischen Sinne offen. 5 Sei umgekehrt M offen im metrischen Raum (, d γ, und p M. Sei (U, ϕ ein Koordinatensystem in p und V = V (p U. Versieht man U wie oben mit der euklidischen Metrik δ, so gibt es Konstanten c, C > 0, so dass c v v γ C v für x V und v T x ( ist. Wir können annehmen, dass U im R n liegt. Sei ε > 0 so klein, dass W := {x : d γ (x, p < Cε} M und V ε := {x R n : x p < ε} V ist. Sei q V ε. Ist α die Verbindungsstrecke von p mit q in V ε, so gilt: d γ (p, q L γ (α C L δ (α < C ε. Also liegt V ε in W M, und M ist offen in der gegebenen Topologie von.

126 4 Vektoranalysis 4.2 Stern-Operator und Volumenelement Sei V ein n-dimensionaler orientierter Vektorraum mit Skalarprodukt, Ω V die zugehörige Volumenform. Durch t(v(w := v, w wird der kanonische Isomorphismus t : V V mit v t(v = λ v definiert. 4.2.1. Satz Ist α A p (V, so gibt es genau ein Element α = p α A n p (V mit für x 1,..., x n p V. ( α(x 1,..., x n p Ω V = α t(x 1... t(x n p Beweis: Zu jedem (n p-tupel (x 1,..., x n p V... V gibt es genau eine reelle Zahl a = a(x 1,..., x n p, so dass α t(x 1... t(x n p = a Ω V ist. Also kann man ( α(x 1,..., x n p := a setzen. Da die Zuordnung (x 1,..., x n p α t(x 1... t(x n p multilinear und alternierend ist, gilt das auch für α. Sei {a 1,..., a n } eine positiv orientierte ON-Basis von V und {α 1,..., α n } die duale Basis, also Ω V = α 1... α n. Dann folgt: 4.2.2. Satz Sind I = (i 1,..., i p und J = (j 1,..., j n p Multiindizes mit 1 i 1 <... < i p n, 1 j 1 <... < j n p n und I J = {1,..., n}, so gilt: (α i 1... α ip = δ(i 1,..., i p, j 1,..., j n p α j 1... α j n p. Beweis: Zur Abkürzung sei δ(i, J = δ(i 1,..., i p, j 1,..., j n p. Weil die a i eine ON-Basis bilden, ist t(a i = α i, für i = 1,..., n. Damit folgt: (α i 1... α ip t(a j1... t(a jn p = = α i 1... α ip α j 1... α j n p { δ(i, J ΩV falls I J =, = 0 sonst. { Damit ist (α i 1 δ(i, J falls I J =,... α ip (a j1,..., a jn p = 0 sonst also (α i 1... α ip = δ(i, Jα j 1... α j n p.,

4.2 Stern-Operator und Volumenelement 127 4.2.3. Folgerung Ist α eine p-form, so ist α = ( 1 p(n p α. Beweis: Es reicht, die Aussage für Formen vom Typ α I := α i 1... α ip zu beweisen. Sei I J = {1,..., n}. Dann ist (α I = δ(i, J α J = δ(i, Jδ(J, Iα I. Andererseits ist α I α J = ( 1 p(n p α J α I. Damit folgt: δ(j, I = ( 1 p(n p δ(i, J. 4.2.4. Folgerung Die lineare Abbildung = p : A p (V A n p (V ist ein Isomorphismus, mit 1 p = ( 1 p(n p n p. Bemerkung: Ist n = dim(v ungerade, so ist 1 p = n p, für jedes p. Ist n gerade, so ist 1 p = ( 1 p n p. 4.2.5. Satz Sind α, β A p (V, so ist α ( β = β ( α. Beweis: Sei zunächst α = α I und β = α K. Ist K L = {1,..., n} und I J = {1,..., n}, so gilt: α β = α I α K = α I δ(k, Lα L { 0 falls K I, = δ(i, Jα I α J = Ω V falls K = I. Die Berechnung von β α liefert das gleiche Ergebnis. Ist α = a I α I und β = b K α K, so ist α β = ( a I b I ΩV. Speziell ist I J I α α = ( ai 2 ΩV. I Wir halten weiterhin eine positiv orientierte ON-Basis {a 1,..., a n } von V und die zugehörige duale Basis {α 1,..., α n } von V fest. Sei g ij := a i, a j. Die Matrix G = ( g ij : i, j = 1,..., n ist symmetrisch und positiv definit, also insbesondere invertierbar. Sei G 1 = (g kl die inverse Matrix zu G.

128 4 Vektoranalysis Sei v = v i a i V. Die Indizes bei den kontravarianten Komponenten v i sind bewusst hochgestellt. Hat die zugeordnete Linearform t(v = λ v die Gestalt λ v = v ν α ν (mit tiefgestellten Indizes v ν, so gilt: v ν = λ v (a ν = v, a ν = Andererseits ist g kµ v µ = µ=1 v i a i, a ν = ( g µi v i = µ=1 g νi v i (weil g iν = g νi ist. ( g kµ g µi v i = µ=1 δ ki v i = v k. In der Physik lässt man an dieser Stelle gerne die Summenzeichen weg. Die Prozeduren v ν = g νi v i und v k = g kµ v µ bezeichnet man als Herunter- und Heraufziehen der Indizes. Die Koeffizienten v ν nennt man die kovarianten Komponenten von v. Der Sternoperator kann wörtlich auf Mannigfaltigkeiten übertragen werden: Definition Sei eine n-dimensionale orientierbare zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit, mit fest gewählter Orientierung, Riemannscher Metrik γ und Volumenelement Ω. Ist α Ω p (, so gibt es genau eine Differentialform α Ω n p (, so dass für alle Vektorfelder ξ 1,..., ξ n p auf gilt: ( α(ξ 1,..., ξ n p Ω = α t(ξ 1... t(ξ n p. Dabei ist t : ( Ω 1 ( der durch t(ξ(η = γ(ξ, η definierte Isomorphismus. Wie in Vektorräumen folgt, dass = p : Ω p ( Ω n p ( ein Isomorphismus mit 1 p = ( 1 p(n p n p ist. Und für α, β Ω p ( ist α ( β = β ( α. 4.2.6. Satz Ist zusätzlich kompakt, so wird durch α, β p := α β (für α, β Ω p ( ein Skalarprodukt auf Ω p ( definiert.

4.2 Stern-Operator und Volumenelement 129 Beweis: Offensichtlich ist...,... p eine symmetrische Bilinearform. Und weil α α = h Ω mit einer positiven Funktion h ist, ist sie auch positiv definit. 4.2.7. Folgerung Ist kompakt, so ist p eine Isometrie, d.h., es ist α, β n p = α, β p. Beweis: Sind α, β Ω p (, so gilt: α, β = ( α ( β = ( 1 p(n p ( α β = β ( α = β, α = α, β. Definition Sei eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Das Codifferential δ = δ p : Ω p ( Ω p 1 ( wird definiert durch δ := ( 1 n(p+1+1 d. 4.2.8. Satz Ist kompakt, ϕ Ω p 1 ( und ψ Ω p (, so ist dϕ, ψ = ϕ, δψ. Beweis: Sei σ p : Ω p ( Ω p ( definiert durch σ p (α := ( 1 np+p α. Dann ist σ n p = σ p und deshalb p σ p = σ n p p, sowie n p p = σ p. Für ω Ω n p+1 ( ist daher ( 1 p ω = ( 1 p σ n p+1 ω = ( 1 p+n(p 1+(p 1 ω = ( 1 n(p+1+1 ω. Mit dem Satz von Stokes folgt nun: ( dϕ, ψ = dϕ ψ = d(ϕ ψ ( 1 p 1 ϕ d ψ = ( 1 p ϕ d ψ = ϕ ( ( 1 n(p+1+1 d ψ = ϕ δψ = ϕ, δψ. Die Definition des Codifferentials ist in der Literatur nicht einheitlich. Hier ist es als adjungierter Operator zu d festgelegt.

130 4 Vektoranalysis Definition Sei eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit und t : ( Ω 1 ( der kanonische Isomorphismus. Dann definiert man: 1. Ist f eine differenzierbare Funktion auf, so heißt der Gradient von f. f = grad f := t 1 (df 2. Ist ξ ein Vektorfeld auf, so heißt die Funktion die Divergenz von ξ. div ξ := δ(tξ 3. Ist dim = 3 und ξ ein Vektorfeld auf, so nennt man die Rotation von ξ. rot ξ := t 1 d(tξ Ist η ein weiteres Vektorfeld auf, so nennt man das Vektorprodukt von ξ und η. Im Falle = R n ist f = ( f x 1,..., f x n. ξ η := t 1 (tξ tη Weil δ = d im Falle p = 1 ist, folgt außerdem im R n : div(ξ 1,..., ξ n = d (ξ 1 dx 1 + + ξ n dx n ( = d ξ i ( 1 i 1 dx 1... dx i... dx n ( ξ i = dx 1... dx n x i Nebenbei haben wir hier (im R n auch folgende Formeln bewiesen: = ξ i x i. t(ξ = ξ i ( 1 i 1 dx 1... dx i... dx n = Λ ξ und

4.2 Stern-Operator und Volumenelement 131 Ist n = 3, so ist div ξ = dλ ξ. rot(ξ 1, ξ 2, ξ 3 = t 1 d(ξ 1 dx 1 + ξ 2 dx 2 + ξ 3 dx 3 ( ( = t 1 ξ 3 ξ 2 dx2 dx 3 + ( ξ 3 ξ 1 dx1 dx 3 x 2 x 3 x 1 x 3 + ( ξ 2 ξ 1 dx1 dx 2 x 1 x 2 ( ( = t 1 ξ 3 ξ 2 dx1 + ( ξ 1 ξ 3 dx2 + ( ξ 2 ξ 1 dx3 x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 ( ξ3 = ξ 2, ξ 1 ξ 3, ξ 2 ξ 1. x 2 x 3 x 3 x 1 x 1 x 2 Im R 3 ist außerdem α = α für jede 1-Form und jede 2-Form, und deshalb Λ η = tη. Also ist t 1 Λ rot ξ = rot ξ = t 1 d(tξ. Daraus folgt: Λ rot ξ = d(tξ (im R 3. Weil und t Isomorphismen sind, gilt: Ist Λ ξ = Λ η, so ist ξ = η. 4.2.9. Formeln der klassischen Vektoranalysis Im R 3 sei f eine differenzierbare Funktion, ξ und η Vektorfelder. Dann gilt: 1. rot grad f = 0. 2. div rot ξ = 0. 3. rot(f ξ = f rot(ξ + grad f ξ. 4. div(ξ η = rot ξ η ξ rot η. 5. div(f ξ = grad f ξ + f div ξ. Beweis: 1 0 = ddf = d ( t(grad f = Λ rot grad f, also rot grad f = (0, 0, 0. 2 0 = dd ( t(ξ = d(λ rot ξ = (div rot ξdv, also div rot A = 0. 3 Es ist Λ rot(f ξ = d ( t(f ξ = d ( f t(ξ = df t(ξ + f d t(ξ = t(grad f t(ξ + f Λ rot ξ = Λ grad f ξ + Λ f rot ξ = Λ grad f ξ+f rot ξ.

132 4 Vektoranalysis 4 denn es ist tξ Λ η = (ξ η dv. 5 Schließlich gilt: (div(ξ ηdv = d(λ ξ η = d ( t(ξ t(η = dt(ξ t(η t(ξ dt(η = Λ rot ξ t(η t(ξ Λ rot η = (rot ξ η ξ rot ηdv, (div(f ξdv = d(λ f ξ = d(f Λ ξ = df Λ ξ + f dλ ξ = t(grad f Λ ξ + f (div ξdv = (grad f ξ + f div ξdv. Auf Mannigfaltigkeiten sehen die Differentialoperatoren etwas anders aus. In einem Vektorraum V mit Skalarprodukt...,... wird jedem Vektor v V kanonisch eine Linearform λ v V durch λ v (w = v, w zugeordnet. Das überträgt sich auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten in Form des Isomorphismus t : ( Ω 1 (. Es ist also tξ(η = γ(ξ, η, und daher γ( f, η = γ(t 1 df, η = t(t 1 df(η = df(η = L ξ (f. Die kovarianten Komponenten von ξ = f sind die Koeffizienten ξ j = f von df. x j Dementsprechend sind die kontravarianten Komponenten ξ i von ξ gegeben durch ξ i = n j=1 gij ξ j = n j=1 gji ξ j, und in lokalen Koordinaten ist ( f = g j 1 f,..., x j j=1 j=1 g j n f x j. Im V haben wir auch jedem Vektor v eine alternierende (n 1-Form Λ v zugeordnet, und das lässt sich ebenso auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten verallgemeinern. 4.2.10. Satz Zu jedem Vektorfeld ξ auf gibt es eine eindeutig bestimmte (n 1-Form Λ ξ auf mit t(η Λ ξ = γ(η, ξ Ω. Ist ϕ = (x 1,..., x n ein lokales Koordinatensystem, so ist

4.2 Stern-Operator und Volumenelement 133 (Λ ξ ϕ = det G ϕ ξ k ( 1 k+1 dx 1... dx k... dx n. Beweis: Die Eindeutigkeit ergibt sich wie folgt: Ist Λ ξ mit der gewünschten Eigenschaft gegeben und Λ ξ = a k dx 1... dx k... dx n, so ist einerseits dx i Λ ξ = ( 1 i+1 a i dx 1... dx n und andererseits t 1 (dx i = (g i1,..., g in, also ( γ(t 1 (dx i, ξ Ω = g ik g kl ξ l Ω = ξ i det G ϕ dx 1... dx n. Daraus folgt: a i = det G ϕ ( 1 i+1 ξ i. Ist umgekehrt Λ ξ so gegeben und η = (η 1,..., η n, so ist k,l t(η = ( g ik η i dx k, also t(η Λ ξ = i,k g ik η i ξ k det G ϕ dx 1... dx n = γ(η, ξ Ω Das zeigt die Existenz. 4.2.11. Satz Ist g := det G ϕ, so hat die Divergenz in lokalen Koordinaten die Gestalt div ξ = 1 g und es gilt die Formel d(λ ξ = (div ξ Ω. ( g ξ k x k, Beweis: Es ist d(λ ξ = ( g ξ k x k dx 1... dx n = 1 g ( g ξ k x k Ω.

134 4 Vektoranalysis Auf der anderen Seite ist div ξ = d (tξ, und das muss man Schritt für Schritt ausrechnen. Nach Definition ist zunächst (dx 1... dx i... dx n ( x k Ω = dx 1... dx i... dx n t ( x k Also ist (dx 1... dx i... dx n = und weil α = ( 1 n 1 α auf Ω n 1 ( ist dx 1... dx i... dx n = = g ik dx 1... dx i... dx n dx i = ( 1 n i 1 g g ik Ω ( 1 n i 1 g g ik dx k ( 1 i+1 1 g ik dx k. g Multipliziert man beide Seiten mit g νi und addiert über i, so erhält man: Damit ist und tξ = = dx ν = ( 1 i+1 g g νi dx 1... dx i... dx n. ξ ν dx ν = ( 1 i+1 g g νi ξ ν dx 1... dx i... dx n ( 1 i+1 g ξ i dx 1... dx i... dx n d tξ = ( 1 i+1 = 1 g µ=1 ( g ξ i x µ ( g ξ i x i Ω. Weil (f Ω = f ist, folgt die Behauptung. dx µ dx 1... dx i... dx n Bemerkung: Im R n ist g = 1 und es kommen die bekannten Formeln heraus. Ist G R n ein Gebiet und ϕ : G G R n ein Diffeomorphismus, so kann man G als parametrisierte Mannigfaltigkeit auffassen. Als Beispiel seien die ebenen Polarkoordinaten genannt: ϕ(r, θ = (x(r, θ, y(r, θ = (r cos θ, r sin θ.