Betriebswirtschaft 1 Betriebswirtschaft 1 1. Entscheidungstheorie Lars Schmidt-Thieme Wirtschaftsinformatik und Maschinelles Lernen (ISMLL) Institut für Betriebswirtschaft und Wirtschaftsinformatik & Institut für Informatik Universität Hildesheim http://www.ismll.uni-hildesheim.de Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 1/55 Betriebswirtschaft 1 1. Das Grundmodell 2. Entscheidung unter Risiko 3. Entscheidung unter Ungewissheit 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit 5. Nutzentheorie 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 1/55
Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Komponenten (1/2) 1. Situationen (auch: Szenarien, Umweltlagen): unbeeinflußbar vom Entscheidungsträger: s 1, s 2,..., s n Für jede Situation s j gibt es eine Eintrittswahrscheinlichkeit: p j, j = 1,..., n I.a. setzt man voraus, daß alle möglichen Situationen erfaßt sind; dann: n p j = 1 j=1 2. Ziele: festgelegt vom Entscheidungsträger: z 1, z 2,..., z k Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 1/55 Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Komponenten (2/2) 3. (Handlungs-)Alternativen: wählbar vom Entscheidungsträger: a 1, a 2,..., a m I.a. setzt man voraus, (i) daß es nur endlich viele diskrete Alternativen gibt und (ii) daß alle möglichen Alternativen bekannt sind. 4. Ergebnisse: für (a) jede Situation s j, (b) jede Alternative a i und (c) jedes Ziel z h ein Ergebnis e h i,j, i = 1,..., m, j = 1,..., n, h = 1,..., k Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 2/55
Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Ergebnismatrix Für Entscheidungsprobleme mit nur einem Ziel (k = 1) gibt es n m viele Ergebnisse e i,j := e 1 i,j die man üblicherweise in einer Ergebnismatrix zusammenfaßt: E := (e i,j ) i=1,...,m,j=1,...,n = e 1,1 e 1,2... e 1,n e 2,1. e 2,2... e 2,n.... e m,1 e 1,2... e m,n Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 3/55 Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Entscheidungsproblem in Tabellenform Für Entscheidungsprobleme mit nur einem Ziel (k = 1) kann man alle Komponenten auch in einer Tabelle zusammenstellen: s 1 s 2... s n p 1 p 2... p n a 1 e 1,1 e 1,2... e 1,n a 2. e 2,1. e 2,2... e 2,n.... a m e m,1 e 1,2... e m,n Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 4/55
Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Beispiel: Erneuerung des Maschinenparks [DS05] 1. Situationen: s 1 Rezession (p 1 = 0, 1), s 2 Stagnation (p 2 = 0, 2), s 3 langsames Wachstum (p 3 = 0, 5), s 4 beschleunigstes Wachstum (p 4 = 0, 2). 2. Ziele: z 1 Umsatzmaximierung. 3. Alternativen: a 1 Ersatzinvestition, a 2 Erweiterungsinvestition, a 3 Rationalisierungsinvestition. a 4 Ersatzinvestition Variante 2. 4. Ergebnisse: s 1 s 2 s 3 s 4 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2 a 1 2 5 7 3 a 2 6 3 5 4 a 3 4 8 4 5 a 4 2 4 7 3 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 5/55 Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Ineffizienze Alternativen Eine Alternative a q dominiert eine Alternative a i, falls 1. sie für alle Situationen mindestens die gleichen Ergebnisse hervorbringt wie a i : und e q,j e i,j für alle j = 1,..., n 2. für mindestens eine Situation echt größere Ergebnisse hervorbringt als a i : e q,j > e i,j für mindestens ein j {1,..., n} Eine Alternative a i heißt effizient, wenn sie von keiner Alternative dominiert wird, sonst ineffizient. Ineffiziente Alternativen können ohne Schaden gestrichen werden. s 1 s 2 s 3 s 4 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2 a 1 2 5 7 3 a 2 6 3 5 4 a 3 4 8 4 5 a 4 2 4 7 3 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 6/55
Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Entscheidungssituationen 1. Entscheidung unter Sicherheit: die eintretende Situation ist bekannt (deterministisches Entscheidungsproblem). 2. Entscheidung unter Risiko: für die möglichen Situationen sind nur ihre Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt (stochastisches Entscheidungsproblem). 3. Entscheidung unter Ungewissweit: es sind alle möglichen Situationen bekannt, nicht aber ihre Eintrittswahrscheinlichkeiten. Entscheidung unter Unsicherheit: Sammelbegriff für Entscheidung unter Risiko unt Entscheidung unter Ungewissweit. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 7/55 Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Entscheidung unter Sicherheit und mit einem Ziel s 1 s 2 s 3 s 4 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2 a 1 2 5 7 3 a 2 6 3 5 4 a 3 4 8 4 5 Wenn wir wissen, daß Situation 4 eintritt: wähle Alternative... Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 8/55
Betriebswirtschaft 1 / 1. Das Grundmodell Entscheidung unter Sicherheit und mit einem Ziel s 1 s 2 s 3 s 4 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2 a 1 2 5 7 3 a 2 6 3 5 4 a 3 4 8 4 5 Wenn wir wissen, daß Situation 4 eintritt: wähle Alternative a 3 mit Ergebnis 5 (besser als die beiden anderen Alternativen). Einkriterielle Entscheidungsprobleme unter Sicherheit (mit endlichen Alternativenmengen) sind trivial! Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 8/55 Betriebswirtschaft 1 1. Das Grundmodell 2. Entscheidung unter Risiko 3. Entscheidung unter Ungewissheit 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit 5. Nutzentheorie 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 9/55
Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Zufallsprozesse Bezeichne X das Ergebnis eines numerischen Zufallsprozesses, z.b. Würfeln: X {1, 2,..., 6} VW-Aktienkurs: X R + 0 Ergebnis des Eintretens einer Situation bei Wahl von Alternative a 1 : X {2, 3, 5, 7} X 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 25 30 X 2 3 4 5 6 7 time 0 5 10 15 20 25 30 time X wird als Zufallsvariable bezeichnet. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 9/55 Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Wahrscheinlichkeitsverteilungen Ein Zufallsprozeß wird durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung beschrieben. Für endliche Ergebnismengen Ω: p : Ω [0, 1] mit x Ω p(x) = 1 z.b. Würfeln: Ω := {1, 2,..., 6} x 1 2 3 4 5 6 p(x) 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 Ergebnis des Eintretens einer Situation bei Wahl von Alternative a 1 : Ω := {2, 3, 5, 7} x 2 3 5 7 p(x) 0.1 0.2 0.5 0.2 p(x) beschreibt, wie häufig X den Wert x annimmt ( im Mittel ; bei beliebig häufigem Ziehen). Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 10/55
Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Stichproben; Mittelwerte Stichprobe: n Realisierungen einer Zufallsvariable X, die x 1, x 2,..., x n, 1. unabhängig voneinander gezogen worden sind und 2. aus der gleichen Verteilung gezogen worden sind. (Man sagt auch: die Verteilung ist stationär, d.h., hängt nicht von der Zeit / dem Index ab.) Mittelwert: x(x 1,..., x n ) := x 1 + x 2 +... + x n n = 1 n Der Mittelwert x gibt den mittleren Wert der Ereignisse einer Stichprobe an. n i=1 x i Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 11/55 Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Erwartungswert: Erwartungswert und Varianz von Verteilungen µ(x) := p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n = x Ω p(x) x Der Erwartungswert µ(x) beschreibt den Mittelwert von Stichproben ( im Mittel ; für beliebig große Stichproben; µ = gr. m ; sprich mü ). Varianz: σ 2 (X) := x Ω p(x) (x µ(x)) 2 Standardabweichung: σ(x) := p(x) (x µ(x)) 2 x Ω Die Varianz σ 2 (X) beschreibt die Variabilität der Werte von Ereignissen ( im Mittel ; für beliebig große Stichproben; σ = gr. s ; sprich sigma ). Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 12/55
Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Einfache Entscheidungsregeln (1/2) s 1 s 2 s 3 s 4 µ σ 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2 a 1 2 5 7 3 5, 3 1, 90 a 2 6 3 5 4 4, 5 0, 92 a 3 4 8 4 5 5, 0 1, 55 µ-regel: wähle die Alternative a i mit dem größten Erwartungswert. Maximierung des Ergebnisses im Mittel. Hier: a 1. σ-regel: wähle die Alternative a i mit der kleinsten Standardabweichung. Minimierung der Variabilität im Mittel. Hier: a 2. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 13/55 Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Semivarianz Oft werden nur Abweichungen vom Erwartungswert nach unten als negativ eingestuft. Dann kann man statt der Varianz auch die sogenannte Semivarianz verwenden: ρ 2 (X) := x Ω p(x) (max{0, µ(x) x}) 2 Die Semivarianz mißt die Variabilität nach unten (semi = gr. halb ; ρ = gr. r, sprich rho ). Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 14/55
Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Einfache Entscheidungsregeln (2/2) s 1 s 2 s 3 s 4 µ σ ρ 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2 a 1 2 5 7 3 5, 3 1, 90 1, 47 a 2 6 3 5 4 4, 5 0, 92 0, 71 a 3 4 8 4 5 5, 0 1, 55 0, 77 ρ-regel: wähle die Alternative a i mit der kleinsten Semivarianz. Minimierung der Variabilität nach unten im Mittel. Hier: a 2. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 15/55 Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Einfache Entscheidungsregeln (3/3) s 1 s 2 s 3 s 4 µ σ ρ Φ = µ σ 0, 1 0, 2 0, 5 0, 2 a 1 2 5 7 3 5, 3 1, 90 1, 47 3, 4 a 2 6 3 5 4 4, 5 0, 92 0, 71 3, 58 a 3 4 8 4 5 5, 0 1, 55 0, 77 3, 45 (µ, σ)-regel: wähle die Alternative a i mit dem größten Wert der Präferenzfunktion Φ(µ, σ) Maximierung der Präferenz, die von Erwartungswert und Varianz abhängt. (µ, ρ)-regel: wähle die Alternative a i mit dem größten Wert der Präferenzfunktion Φ(µ, ρ) Maximierung der Präferenz, die von Erwartungswert und Semivarianz abhängt. Das Ergebnis hängt von der konkreten Gestalt der Präferenzfunktion Φ ab! Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 16/55
Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Präferenzfunktionen Φ Üblicherweise gilt für Präferenzfunktionen: Je größer der Erwartungswert, desto größer die Präferenz: Φ µ > 0 Risikofreude: Je größer σ, desto größer Φ. Z.B.: Φ σ > 0 Φ(µ, σ) =µ + σ Φ(µ, σ) =3µ + 1 2 σ Risikoneutralität: Änderungen von σ haben keinen Einfluß auf Φ. Φ σ = 0 Z.B.: Φ(µ, σ) =µ Risikoaversion: Je größer σ, desto kleiner Φ. Φ σ < 0 Z.B.: Φ(µ, σ) =µ σ Φ(µ, σ) =2µ σ Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 17/55 Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Präferenzfunktionen Φ [DS05] Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 18/55
Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Beispiel: der Bratwurst-Stand (1/3) Bratwurst-Verkaufsstand auf einem Wochenmarkt. Bratwürste müssen vorher gekauft werden, können nicht gelagert oder zurückgegeben werden. Einkaufspreis pro Stück: 0,50. Verkaufspreis pro Stück: 1,50. Anzahl der Gäste: unsicher, abhängig vom Wetter: 50 bei Regen, 100 bei Bewölkung, 300 bei Sonne. Wetterdienst am Vorabend: 10% Regen, 40% Bewölkung, 50% Sonne. Entscheidungsfrage (jede Woche!): Wie viele Bratwürste sollen eingekauft werden? Ein Bratwurst-Verkaufsstand als Entscheidungs-Problem Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 19/55 Bratwurst-Verkaufsstand auf einem Sommerfest Betriebswirtschaft 1 Bratwürste / 2. Entscheidung müssen unter vorher Risiko gekauft werden und können nicht zurückgegeben werden Einkaufspreis Beispiel: pro Stück: der Bratwurst-Stand 0,50 (2/3) Anzahl der Gäste: unsicher, abhängig vom Wetter Verkaufspreis pro Stück: 1,50 Frage: Wie viele Bratwürste sollen eingekauft werden? 10% 40% 50% p 1 = 0, 1 p 2 = 0, 4 p 3 = 0, 5 Entscheidungstabelle Situation Situation 1: Situation 2: Situation 3: Aktion (Mögl. Absatz: 50 BW) (Mögl. Absatz: 100 BW) (Mögl. Absatz: 300 BW) Aktion 1: Kaufe 100 Bratwürste Kosten: 50 Einnahmen: 75 Gewinn: 25 Kosten: 50 Einnahmen: 150 Gewinn: 100 Kosten: 50 Einnahmen: 150 Gewinn: 100 Aktion 2: Kaufe 300 Bratwürste Kosten: 150 Einnahmen: 75 Gewinn: -75 Kosten: 150 Einnahmen: 150 Gewinn: 0 Kosten: 150 Einnahmen: 450 Gewinn: 300 Beispiele für Entscheidungsregeln: Wie kann der maximale Gewinn erzielt werden? [Amb06] Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 20/55
Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Beispiel: der Bratwurst-Stand (3/3) Woche 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Wetter Aktion1 100 100 100 100 25 100 100 100 100 100 925 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 21/55 Betriebswirtschaft 1 / 2. Entscheidung unter Risiko Beispiel: der Bratwurst-Stand (3/3) Woche 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Wetter Aktion1 100 100 100 100 25 100 100 100 100 100 925 Aktion2 300 300 0 0-75 0 300 300 300 0 1425 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 21/55
Betriebswirtschaft 1 1. Das Grundmodell 2. Entscheidung unter Risiko 3. Entscheidung unter Ungewissheit 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit 5. Nutzentheorie 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 22/55 Betriebswirtschaft 1 / 3. Entscheidung unter Ungewissheit Einfache Entscheidungsregeln (1/3) s 1 s 2 s 3 s 4 max min???? a 1 1 7 9 3 9 1 a 2 6 4 5 4 6 4 a 3 6 6 3 7 7 3 a 4 4 8 3 5 8 3 Maximax-Regel: bewerte jede Alternative mit ihrem möglichen Höchstgewinn: Φ(a i ) := max j=1,...,m e i,j Wähle die Alternative a i mit dem größten Höchstgewinn. Maximierung des möglichen Höchstgewinns. Maximin-Regel: bewerte jede Alternative mit ihrem garantierten Mindestgewinn: Φ(a i ) := min j=1,...,m e i,j Wähle die Alternative a i mit dem größten Mindestgewinn. Maximierung des Mindestergebnisses. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 22/55
Betriebswirtschaft 1 / 3. Entscheidung unter Ungewissheit Einfache Entscheidungsregeln (2/3) s 1 s 2 s 3 s 4 max min Hur. Lapl.???? a 1 1 7 9 3 9 1 5 5 a 2 6 4 5 4 6 4 5 4, 75 a 3 6 6 3 7 7 3 5 5, 5 a 4 4 8 3 5 8 3 5, 5 5 Hurwicz-Regel: bewerte jede Alternative mit einer Linearkombination von möglichem Höchst- und garantiertem Mindestgewinn: Φ(a i ) := λ max e i,j +(1 λ) j=1,...,m λ [0, 1] heißt Optimismusparameter min j=1,...,m e i,j Laplace-Regel: bewerte jede Alternative mit ihrem Erwartungswert unter der Annahme, daß alle Situationen gleichwahrscheinlich sind: Φ(a i ) := n j=1 1 n e i,j Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 23/55 Betriebswirtschaft 1 / 3. Entscheidung unter Ungewissheit Laplace und Hurwicz Pierre-Simon Laplace (1749 1827) French mathematician and astronomer. Leonid Hurwicz (*1917 ) American economist and mathematician. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 24/55
Betriebswirtschaft 1 / 3. Entscheidung unter Ungewissheit Einfache Entscheidungsregeln (3/3) s 1 s 2 s 3 s 4 max min Hur. Lapl.???? a 1 1 7 9 3 9 1 5 5 a 2 6 4 5 4 6 4 5 4, 75 a 3 6 6 3 7 7 3 5 5, 5 a 4 4 8 3 5 8 3 5, 5 5 Ergebnismatrix e i,j. Regretmatrix r i,j. s 1 s 2 s 3 s 4 max???? a 1 5 1 0 4 5 a 2 0 4 4 3 4 a 3 0 2 6 0 6 a 4 2 0 6 2 6 Regret- oder Savage-Niehans-Regel: bewerte in jeder Situation jede Alternative mit dem entgangenen Gewinn, der durch Wahl einer besseren Alternative erzielt hätte werden können (regret): Bewerte jede Alternative mit ihrem maximalen Regret: Φ(a i ) := max j=1,...,m r i,j Wähle die Alternative mit dem kleinsten maximalen Regret. r i,j := max i =1,...,n e i,j e i,j Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 25/55 Betriebswirtschaft 1 1. Das Grundmodell 2. Entscheidung unter Risiko 3. Entscheidung unter Ungewissheit 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit 5. Nutzentheorie 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 26/55
Betriebswirtschaft 1 / 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit Zielerreichungsgrade Verschiedene Ziele: z 1, z 2,..., z k Jede Alternative a i führt bzgl. jeden Zieles z h zu einem Ergebnis e h i (unter Sicherheit ist die eintretende Situation s j bekannt und nur sie relevant). Oft wird dieses Ergebnis in Bezug zu einem gewünschten oder zum bestmöglichen Ergebnis gesetzt (Zielerreichungsgrad): ẽ h g h i := eh i ẽ h Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 26/55 Betriebswirtschaft 1 / 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit Beispiel Vollständige Ergebnismatrix (2 Situationen, 4 Ziele, 5 Alternativen): Matrix mit Zielerreichungsgraden: s 1 (p 1 = 0.3) s 2 (p 2 = 0.7) z 1 z 2 z 3 z 4 z 1 z 2 z 3 z 4 a 1 2 4 10 6 3 5 3 10 a 2 4 3 16 8 3 2 20 4 a 3 2 4 10 17 12 2 9 15 a 4 8 0 0 20 6 0 0 24 a 5 14 2 12 8 2 4 12 4 s 1 z 1 z 2 z 3 z 4 a 1 0, 14 1, 00 0, 63 0, 30 a 2 0, 29 0, 75 1, 00 0, 40 a 3 0, 14 1, 00 0, 63 0, 85 a 4 0, 57 0, 00 0, 00 1, 00 a 5 1, 00 0, 50 0, 75 0, 40 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 27/55
Betriebswirtschaft 1 / 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit Beziehungen zwischen verschiedenen Zielen Komplementarität: Je größer z h, desto größer z p. Indifferenz: Änderungen von z h haben keinen Einfluß auf z p. Konkurrenz: Je größer z h, desto kleiner z p (und umgekehrt). [DS05] Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 28/55 Betriebswirtschaft 1 / 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit Ineffizienze Alternativen Eine Alternative a q dominiert eine Alternative a i, falls 1. sie für alle Ziele mindestens die gleichen Ergebnisse hervorbringt wie a i : und e h q e h i für alle h = 1,..., k 2. für mindestens ein Ziel echt größere Ergebnisse hervorbringt als a i : e h q > e h i für mindestens ein h {1,..., k} Eine Alternative a i heißt effizient, wenn sie von keiner Alternative dominiert wird, sonst ineffizient. Ineffiziente Alternativen können ohne Schaden gestrichen werden. s 1 z 1 z 2 z 3 z 4 a 1 0, 14 1, 00 0, 63 0, 30 a 2 0, 29 0, 75 1, 00 0, 40 a 3 0, 14 1, 00 0, 63 0, 85 a 4 0, 57 0, 00 0, 00 1, 00 a 5 1, 00 0, 50 0, 75 0, 40 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 29/55
Betriebswirtschaft 1 / 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit Hierarchische Ziele Ziele können hierarchisch geordnet sein (lineare Ordnung), z.b. wobei erst z (1), dann z (2), dann z (3), dann z (4) erst z 2, dann z 1, dann z 3, dann z 4 1. erstgenannte Ziele vorrangig optimiert werden sollen, 2. später genannte Ziele nur, soweit sie den vorher genannten nicht schaden. 1. Finde alle Alternativen A 1, die bzgl. z (1) optimal sind. 2. Finde unter den Alternativen A 1 diejenigen Alternativen A 2, die bzgl. z (2) optimal sind.. k. Finde unter den Alternativen A k 1 diejenigen Alternativen A k, die bzgl. z (k) optimal sind. s 1 z 1 z 2 z 3 z 4 a 1 0, 14 1, 00 0, 63 0, 30 a 2 0, 29 0, 75 1, 00 0, 40 a 3 0, 14 1, 00 0, 63 0, 85 a 4 0, 57 0, 00 0, 00 1, 00 a 5 1, 00 0, 50 0, 75 0, 40 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 30/55 Betriebswirtschaft 1 / 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit Ziele können auch in Zieldominanz 1. ein dominierendes Hauptziel und 2. Nebenziele (auch: satisfizierende Ziele), für die ein Mindest-Anspruchsniveau festgelegt wird, unterschieden werden, z.b. 1. Hauptziel: z 2 2. Nebenziele: e 1 i 0, 21, e 3 i 0, 68, e 4 i 0, 75 1. Finde alle Alternativen A, die die Mindest-Anspruchniveaus aller Nebenziele erfüllen. 2. Finde unter den Alternativen A diejenigen Alternativen, die bzgl. des Hauptzieles optimal sind. s 1 z 1 z 2 z 3 z 4 a 1 0, 14 1, 00 0, 63 0, 30 a 2 0, 29 0, 75 1, 00 0, 40 a 3 0, 14 1, 00 0, 63 0, 85 a 4 0, 57 0, 00 0, 00 1, 00 a 5 1, 00 0, 50 0, 75 0, 40 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 31/55
Betriebswirtschaft 1 / 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit Zielgewichtung Ziele können auch gewichtet kombiniert werden: k Φ(a i ) := λ 1 e 1 i + λ 2 e 2 i +... + λ k e k i = λ h e h i h=1 wobei üblicherweise k λ h 0 für alle h = 1,..., k und λ h = 1 h=1 Die Wahl der Gewichte ist anwendungsabhängig. s 1 z 1 z 2 z 3 z 4 Φ λ 0, 3 0, 4 0, 1 0, 2 a 1 2 4 10 6 4, 4 a 2 4 3 16 8 5, 6 a 3 2 4 10 17 6, 6 a 4 8 0 0 20 6, 4 a 5 14 2 12 8 7, 8 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 32/55 Betriebswirtschaft 1 / 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit Goal-Programming Man gibt für jedes Ziel ein gewünschtes Ergebnis ẽ h für alle h = 1,..., k vor und sucht nach der Alternative, deren Ergebnisse bzgl. aller Ziele von den gewünschten Ergebnissen am wenigsten abweicht, z.b. k Ψ(a i ) := ẽ h e h i h=1 Es gibt viele verschiedene Fehlermaße Ψ. s 1 z 1 z 2 z 3 z 4 Ψ a 1 2 4 10 6 9 a 2 4 3 16 8 10 a 3 2 4 10 17 16 a 4 8 0 0 20 25 a 5 14 2 12 8 9 e h 8 3 10 8 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 33/55
Betriebswirtschaft 1 1. Das Grundmodell 2. Entscheidung unter Risiko 3. Entscheidung unter Ungewissheit 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit 5. Nutzentheorie 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 34/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzen Es gibt Ziele, die sich per se schlecht quantifizieren lassen, Bsp.: Kundenzufriedenheit, subjektiver Nutzen. Auch für quantifizierbare Ziele ist nicht immer sichergestellt, daß der gleiche Zuwachs in Einheiten des Ziels stets den gleichen Nutzen hat, Bsp.: Nutzenzuwachs von 20.000 Gewinn statt 10.000 Gewinn vermutlich höher als Nutzenzuwachs von 1.020.000 Gewinn statt 1.010.000 Gewinn Messe nicht nur Ergebnisse e h i der jeweiligen Ergebnisse. direkt, sondern auch Nutzen u(e h i ) Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 33/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Verläufe von Nutzenfunktionen Lineare Nutzenfunktion Konkave Nutzenfunktion u u e e 10.000 20.000 1.010.000 1.020.000 10.000 20.000 1.010.000 1.020.000 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 33/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und ein Ziel Halbierungsmethode: setze den Nutzen des schlechtesten Ergebnisses auf 0: u(e schlechtestes ) := 0 setze den Nutzen des besten Ergebnisses auf 1: u(e bestes ) := 1 für zwei Ergebnisse e und f mit bekanntem Nutzen u(e) < u(f), frage den Entscheider nach dem Ergebniswert e, so daß genauso hoch ist wie der Nutzen von e statt e der Nutzen von f statt e. und setze den Nutzen von e auf den Mittelwert: u(e u(e) + u(f) ) := 2 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 34/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und ein Ziel / Beispiel Entscheidungsproblem: Länge von Annas Karibikurlaub: mindestens 10 Tage wg. langem Flug, höchstens 20 Tage wg. begrenztem Budget: u(10 Tage) = 0, u(20 Tage) = 1 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 35/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und ein Ziel / Beispiel Entscheidungsproblem: Länge von Annas Karibikurlaub: mindestens 10 Tage wg. langem Flug, höchstens 20 Tage wg. begrenztem Budget: u(10 Tage) = 0, u(20 Tage) = 1 Frage Anna: Auf wieviele Tage müsste ein Urlaub von 10 Tagen verlängert werden, so daß die Verlängerung genauso nützlich für dich wäre wie eine Verlängerung von 10 plus diesen Tagen auf 20 Tage? Anna: 13 Tage statt 10 Tage haben für mich den gleichen Nutzenzuwachs wie 20 Tage statt 13 Tage. u(13 Tage) = 0, 5 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 35/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und ein Ziel / Beispiel Entscheidungsproblem: Länge von Annas Karibikurlaub: mindestens 10 Tage wg. langem Flug, höchstens 20 Tage wg. begrenztem Budget: u(10 Tage) = 0, u(20 Tage) = 1 Frage Anna: Auf wieviele Tage müsste ein Urlaub von 10 Tagen verlängert werden, so daß die Verlängerung genauso nützlich für dich wäre wie eine Verlängerung von 10 plus diesen Tagen auf 20 Tage? Anna: 13 Tage statt 10 Tage haben für mich den gleichen Nutzenzuwachs wie 20 Tage statt 13 Tage. u(13 Tage) = 0, 5 Frage Anna: x statt 10 genausogut wie 13 statt x? etc. u(11, 2 Tage) = 0, 25, u(15, 5 Tage) = 0, 75 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 35/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und ein Ziel / Beispiel [DS05] Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 35/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und mehrere Ziele Drei Schritte: 1. Wähle Ziele aus, so daß sie paarweise unabhängig und quantifizierbar sind. 2. Bestimme für alle Ziele Zielgewichte λ 1, λ 2,..., λ k 3. Bestimme für jedes Ziel z h separat eine Nutzenfunktion u h. Dann berechne den Nutzen bzgl. aller Ziele via u(a i ) := u(e 1 i, e 2 i,..., e k i ) := k λ h u h (e h i ) h=1 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 36/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und mehrere Ziele / Beispiel Bertas Urlaub: Mögliche Dauer: 10-20 Tage. Mögliche Orte: Karibik: sicher sonnig, Mittelmeer: voraussichtlich sonnig, Nordsee: eher nicht sonnig. Ziele: 1. möglichst lange, 2. möglichst sonnig. Alternativen: 1. 10 Tage Karibik, 2. 13 Tage Mittelmeer, 3. 20 Tage Nordsee. Zielgewichte: Nutzenfunktionen: λ Dauer := 4, λ sonnig := 6 für das Ziel Dauer: wie Annas Nutzenfunktion. für das Ziel sonnig: u 2 (sicher sonnig) := 1, u 2 (vorauss. sonnig) := 0, 8, u 2 (nicht sonnig) := 0 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 37/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und mehrere Ziele / Beispiel Bertas Urlaub: Zielgewichte: Nutzenfunktionen: λ Dauer := 4, λ sonnig := 6 für das Ziel Dauer: wie Annas Nutzenfunktion. für das Ziel sonnig: u 2 (sicher sonnig) := 1, u 2 (vorauss. sonnig) := 0, 8, u 2 (nicht sonnig) := 0 Nutzen der drei Alternativen: 10 Tage Karibik: u(10 Tage Karibik) = 4 u 1 (10 Tage) + 6 u 2 (sonnig) = 6 13 Tage Mittelmeer: u(13 Tage Mittelmeer) = 4 u 1 (13 Tage) + 6 u 2 (vorauss. sonnig) = 6, 8 20 Tage Nordsee: u(20 Tage Nordsee) = 4 u 1 (20 Tage) + 6 u 2 (nicht sonnig) = 4 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 38/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und mehrere Ziele / Zielgewichte Methoden zur Bestimmung der Zielgewichte: Verteilungsmethode: Arrangiere Ziele in einer Zielhierarchie. Weise dem obersten Ziel eine Punktzahl zu (z.b. 100 Punkte oder Gewicht 1,0). Beim obersten Ziel beginnend, verteile die Punkte eines Ziels auf seine Unterziele. Paarweise Vergleiche: Bilde alle möglichen Paare von Zielen und frage den Entscheider, welches der beiden Ziele ihm jeweils wichtiger ist. Das Zielgewicht eines Ziels ist dann die Anzahl der Paare, in denen es einem anderen Ziel vorgezogen wird. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 39/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und mehrere Ziele / Zielgewichte Schöner Urlaub λ=1,0 Dauer Umwelt Aktivitäten sonnig unverschmutzt Bademöglichkeiten Nachtleben Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 40/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und mehrere Ziele / Zielgewichte Schöner Urlaub λ=1,0 Dauer Umwelt Aktivitäten λ=0,3 λ=0,2 λ=0,5 sonnig unverschmutzt Bademöglichkeiten Nachtleben Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 40/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und mehrere Ziele / Zielgewichte Schöner Urlaub λ=1,0 Dauer Umwelt Aktivitäten λ=0,3 λ=0,2 λ=0,5 sonnig unverschmutzt Bademöglichkeiten λ=0,1 λ=0,1 λ=0,1 Nachtleben λ=0,4 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 40/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Sicherheit und mehrere Ziele / Zielgewichte Ist das Ziel in der Zeile wichtiger als das Ziel in der Spalte? Dauer sonnig unverschmutzt Baden Nachtleben Dauer nein ja nein ja sonnig ja ja ja unverschmutzt ja nein Baden nein Nachtleben Insgesamt k(k 1) 2 = 10 paarweise Vergleiche von k = 5 Zielen. λ Dauer = 2 10 = 0, 2 λ sonnig = 4 10 = 0, 4 λ Baden = 1 10 = 0, 1 λ Nachtleben = 2 10 = 0, 2 λ unverschmutzt = 1 10 = 0, 1 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 41/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit Beispiel: Gebäude gegen Brandschäden versichern. Alternativen: a 1 : Versicherung abschließen (Prämie P bezahlen). a 2 : Versicherung nicht abschließen. Situationen: s 1 : Brand mit Totalschaden (20 M bezahlen) s 2 : kein Brand. s 1 s 2 p 1 = 0, 0001 p 1 = 0, 9999 a 1 P P a 2 20M 0 Wert der Prämie P aus Sicht der Versicherung: µ(a 2 ) = 20M 0, 0001 + 0 0, 9999 = 2000 Prämie z.b. 2500. Aus Sicht des Versicherungsnehmers: meistens Abschluß, obwohl es sich allein vom Erwartungswert nicht rechnet! Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 42/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit St. Petersburger Spiel: Einsatz: x GE. Münze wird so lange geworfen, bis Zahl oben ist (n-ter Wurf). Auszahlung: 2 n GE. Beispiele: Würfe Auszahlung Zahl 2 GE Wappen, Zahl 4 GE Wappen, Wappen, Zahl 8 GE Wappen, Wappen, Wappen, Wappen, Wappen, Zahl 64 GE Welchen Betrag x wollen Sie setzen? Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 43/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit St. Petersburger Spiel: Erwartungswert: n 1 2 3... n... p 1/2 1/4 1/8... 1/2 n... Auszahlung 2 4 8... 2 n... µ = 1 2 2 + 1 4 4 + 1 8 8 +... = Bernoulli: die meisten Personen setzen aber nur 10 GE. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 44/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit / Bernoulli-Prinzip Bernoulli-Prinzip: Es gibt eine (Risiko-)Nutzenfunktion u : R R die jedem Ergebnis e i,j einen Nutzen u(e i,j ) zuordnet. Entscheidungen werden dann nicht anhand des Erwartungswertes der Ergebnisse, n µ(a i ) := p j e i,j sondern anhand j=1 gefällt. des Erwartungswertes der Nutzenwerte n Eu(a i ) := p j u(e i,j ) j=1 Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 45/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit Vergleiche zwei Aktionen: a 1 : Aktion mit sicherer Auszahlung v. a 2 : Aktion mit Auszahlung (Basis-Referenz-)Lotterie. x, mit Wahrscheinlichkeit 1 p y, mit Wahrscheinlichkeit p Ist ein Entscheider indifferent zwischen den beiden Aktionen, heißt v das Sicherheitsäquivalent der Lotterie (x; 1 p y; p). Je nach Risikofreudigkeit bzw. Aversion ist das Sicherheitsäquivalent größer bzw. kleiner als der Erwartungswert der Lotterie µ(a 2 ) = (1 p) x + p y Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 46/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit Mittelwert-Kettungs-Methode: 1. Setze für den kleinst-möglichen Ertrag x und den größt-möglichen Ertrag y: u(x) := 0, u(y) := 1 2. Frage den Entscheider nach dem Sicherheitsäquivalent v der Lotterie (x; 0, 5 y; 0, 5) und setze u(v) := 0, 5. 3. Frage den Entscheider sukzessive nach dem Sicherheitsäquivalent v der von Lotterien (e; 0, 5 f; 0, 5) mit Ergebnissen e und f mit bekannten Nutzenwerten und setze u(v) := 0, 5 u(e) + 0, 5 u(f) Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 47/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit St. Petersburger Spiel mit maximaler Auszahlung 2 10 = 1024 GE: u(2) := 0, u(1024) := 1 Welches Sicherheitsäquivalent hat für dich die Lotterie (2; 0, 5 1024; 0, 5)? Anna: 700 GE. Welches Sicherheitsäquivalent hat für dich die Lotterie (2; 0, 5 700; 0, 5)? Anna: 400 GE. Welches Sicherheitsäquivalent hat für dich die Lotterie (700; 0, 5 1024; 0, 5)? Anna: 950 GE. Welches Sicherheitsäquivalent hat für dich die Lotterie (2; 0, 5 1024; 0, 5)? Berta: 350 GE. Welches Sicherheitsäquivalent hat für dich die Lotterie (2; 0, 5 350; 0, 5)? Berta: 150 GE. Welches Sicherheitsäquivalent hat für dich die Lotterie (350; 0, 5 1024; 0, 5)? Berta: 600 GE. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 48/55 Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit u 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Anna Berta 0 200 400 600 800 1000 e Anna ist risikofreudig, Berta ist risikoavers. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 49/55
Betriebswirtschaft 1 / 5. Nutzentheorie Nutzenfunktion bestimmen / Unsicherheit [DS05] Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 50/55 Betriebswirtschaft 1 1. Das Grundmodell 2. Entscheidung unter Risiko 3. Entscheidung unter Ungewissheit 4. Entscheidung bei Zielkonflikten unter Sicherheit 5. Nutzentheorie 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 51/55
Betriebswirtschaft 1 / 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Statische und Dynamische Entscheidungsprobleme statisch: eine Entscheidung ist einmalig zu fällen bzw. die Situationen, Eintrittswahrscheinlichkeiten und Alternativen sind festgelegt. dynamisch: eine Entscheidung ist mehrmals zu fällen und Situationen, Eintrittswahrscheinlichkeiten oder Alternativen können sich von Mal zu Mal ändern. Planungszeitraum: Perioden t = 1,..., T. Gesucht: Entscheidungsfolge a 1, a 2,..., n T (Politik), so daß erwarteter Ertrag maximal ist: e := T e t, t=1 e t = Ertrag in Periode t Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 51/55 Betriebswirtschaft 1 / 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Beispiel: Ölbohrproblem Eine Ölgesellschaft besitzt Bohrrechte für ein Stück Land: 1. Entscheidung: vorher seismischen Test durchführen? Kosten: 30T. 60% positives Ergebnis, 40% negatives Ergebnis. 2. Entscheidung: nach Öl bohren? Kosten: 100T. Wahrscheinlichkeit für Ölfund: ohne seismischen Test: 55% bei positivem seismischem Test: 85%. bei negativem seismischem Test: 10%. Ergebnis: bei Ölfund: 400T. sonst: wertlos. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 52/55
Betriebswirtschaft 1 / 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Beispiel: Ölbohrproblem [DS05] Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 53/55 Betriebswirtschaft 1 / 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Rückwartsrechnung (roll back-verfahren) Darstellung des Entscheidungsproblems als stochstischer Entscheidungsbaum: Entscheidungsknoten (Quadrate im Bsp.): Wahl einer Alternative a 1,..., a m. Zufallsknoten (Kreise im Bsp.): zufälliges Eintreten einer Situation s 1,..., s n. Rückwartsrechnung (roll back-verfahren): von den Blättern zur Wurzel: an Zufallsknoten: Erwartungswert über die Kindknoten berechnen. an Entscheidungsknoten: Alternative mit maximalem Erwartungswert wählen. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 54/55
Betriebswirtschaft 1 / 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Beispiel: Ölbohrproblem [DS05] Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 54/55 Betriebswirtschaft 1 / 6. Mehrstufige Entscheidungen und Planung Literatur [Amb06] Klaus Ambrosi. Betriebswirtschaft 1. Skript, 2006. [DS05] Wolfgang Domschke and Armin Scholl. Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Eine Einführung aus entscheidungsorientierter Sicht. Springer, 2 edition, 2005. Vorlesung Betriebswirtschaft 1, Wintersemester 2007/8 55/55