Elektrotechnik II. für Wirtschaftsingenieure. Vorlesung am Karlsruher Institut für Technologie. von Dr.-Ing. Wolfgang Menesklou

Institut für Angewandte Materialien Werkstoffe der Elektrotechnik Leiterin: Prof. Dr.-Ing. Ellen Ivers-Tiffée Elektrotechnik II für Wirtschaftsingenieure Vorlesung am Karlsruher Institut für Technologie von Dr.-Ing. Wolfgang Menesklou Institut für Angewandte Materialien Werkstoffe der Elektrotechnik (IAM-WET) Geb. 50.40 (FZU), Raum 316, Tel: 0721 608 47493 Email: menesklou@kit.edu Link: http://www.iam.kit.edu Juni 2015 1

Ergänzung zu Kapitel 6: Messtechnik, Impedanz-Spektroskopie Inhaltsverzeichnis Impedanzspektroskopie... 3 1.1 Grundlagen... 5 1.1.1 Grundelemente der Impedanzspektroskopie (R, L, C)... 6 1.1.2 Element Konstanter Phase und RQ-Element... 9 1.1.3 Gerischer-Element... 10 1.1.4 Warburg Impedanz... 12 1.2 Darstellungsformen... 14 1.2.1 Bode-Diagramm... 15 1.2.2 Ortskurven... 17 1.3 Messung... 19 1.3.1 Voraussetzungen... 20 Literaturverzeichnis... 22 2

Impedanzspektroskopie Die Impedanzspektroskopie ist ein Analyseverfahren, das in vielen Bereichen zur Charakterisierung elektrischer Materialeigenschaften eingesetzt wird. Mit diesem Verfahren ist es möglich sowohl statische als auch dynamische Vorgänge in einem Festkörper oder einer Flüssigkeit zu untersuchen. Dabei ist es unerheblich, ob das zu untersuchende Objekt ein Isolator, ein Halbleiter, ein Ionenleiter, ein metallischer Leiter oder eine Kombination davon ist. Dass mit dieser Analysemethode eine zerstörungsfreie Prüfung mit geringem präparativem und messtechnischem Aufwand möglich ist, macht die Impedanzspektroskopie zu einem mächtigen Analyseverfahren. Da die Analyse und Charakterisierung von Werkstoffen immer wichtiger wird beispielsweise in der Sensorentwicklung oder Materialforschung und die Impedanzspektroskopie gerade in diesem Bereich sehr gut eingesetzt werden kann ist es notwendig, diese Messmethode detailliert vorzustellen. Der in dieser Arbeit beschriebene Praktikumsversuch baut auf den theoretischen Grundlagen des Grundstudiums auf und stellt die Mächtigkeit sowie die Anwendungsmöglichkeiten der Impedanzspektroskopie, nicht nur für den Sensor- und Aktorbereich, dar. Der Versuch zeigt außerdem, dass komplexe Messproben aus elektrotechnikfernen Bereichen, mit hoher Aussagekraft einfach analysiert werden können. Der Begriff Impedanz leitet sich vom lateinischen Wort impedire ab, was soviel bedeutet wie hemmen oder hindern. In der Elektrotechnik wird mit Impedanz der komplexe Wechselstromwiderstand (Scheinwiderstand) bezeichnet. Spektroskopie bedeutet allgemein die Lehre von der Erzeugung, Beobachtung, Registrierung, Ausmessung und Deutung der Spektren (in Naturwissenschaften und Technik: elektromagnetisches Spektrum). Der Begriff wird in der Regel für die Darstellung von Strahlungen jeglicher Art (Licht, Photonen, Mikrowellen, Elementarteilchen etc.) in Abhängigkeit von der Wellenlänge, Frequenz, Energie, Masse etc. verwendet (nach Internetchemie.info). Die verschiedenen Spektroskopiearten (wie beispielsweise IR-, Laser-, Massen oder Röntgenspektroskopie) unterscheiden sich im zu untersuchenden Spektrum (Frequenzbereich) und den daraus resultierenden Messzielen. Die Impedanzspektroskopie ist ein in vielen Bereichen einsetzbares, zerstörungsfreies Analyseverfahren, das mit geringem Präparationsaufwand zu schnellen Messergebnissen führt. 3

Mit Hilfe dieser Messergebnisse ist es möglich, auch nicht elektrotechnische Proben in Form elektrotechnischer Ersatzschaltbilder zu modellieren und die einzelnen Bauelemente quantitativ zu bestimmen. Die Nachteile der Impedanzspektroskopie treten hauptsächlich bei der Interpretation der Messergebnisse und der Modellbildung hervor. Da bei der Messung reale Proben untersucht werden, bei der Modellierung jedoch von idealen Bauelementen ausgegangen wird, kann es bei der Analyse der Messungen zu Fehlinterpretationen kommen. Dass verschieden aufgebaute Schaltungen dasselbe Ausgangssignal liefern können, kann bei der Modellierung zu falschen Ersatzschaltbildern führen. In diesem Kapitel werden die Bereiche der Impedanzspektroskopie beschrieben, welche für das Verständnis und die Durchführung des Laborversuchs notwendig sind. 4

1.1 Grundlagen Die zum Verständnis dieser Arbeit notwendigen mathematischen und elektrotechnischen Grundlagen der komplexen Wechselstromrechnung werden vorausgesetzt. Zu diesem Thema sei auf einschlägige Literatur verwiesen wie beispielsweise Papula (xxx) oder Moeller et al (xxx). In Tabelle sind die wichtigsten Begriffe zusammengefasst und im Folgenden werden die grundlegenden Zusammenhänge sowie die wesentlichen Elemente kurz erläutert. Tab. 1 Symbol Begriffe und Symbole der komplexen Wechselstromrechnung Z Scheinwiderstand Impedanz R Wirkwiderstand Resistanz X Blindwiderstand Reaktanz Y Scheinleitwert Admittanz G Wirkleitwert Konduktanz B Blindleitwert Suszeptanz X C Kapazitiver Blindwiderstand Kondensanz oder Kapazitanz X L Induktiver Blindwiderstand Induktanz (auch Reaktanz) ϕ Phasenwinkel bzw. Phasenverschiebung Nach Moeller et. al. (S. 328) Die Impedanz bezeichnet in der Elektrotechnik den komplexen Wechselstromwiderstand Z, der aus einem Real- und Imaginärteil besteht: Z = R + jx (Gl. 1: Darstellung in algebraischer Form) Z = Z + jz bzw. Z = Re(Z) + jim(z) (Gl. 2: alternative Darstellungen von Gl. 1) Z jϕ = Z e (Gl. 3: Darstellung in Polarkoordinaten) 5

Definiert ist sie als Quotient aus der komplexen Wechselspannung u(t) und dem komplexen Wechselstrom i(t): u( t) Z = (Gl. 4) i( t) Elektrische Bauelemente besitzen nur dann einen komplexen Wechselstromwiderstand, wenn es sich um Speicherelemente handelt. Bei solchen Elementen können Ladungsträger in einem elektrischen Wechselfeld nicht schnell genug abfließen. Der Stromfluss reagiert zeitverzögert auf die Änderung der Spannung. Diese Verzögerung verursacht eine Phasenverschiebung ϕ zwischen Spannung und Strom deren Zusammenhang wie folgt definiert ist: X tan ϕ = (Gl. 5) R Phasenverschiebung und Impedanz sind von der Frequenz der Wechselgrößen abhängig. Dieses Verhalten wird in der Impedanzspektroskopie genutzt. 1.1.1 Grundelemente der Impedanzspektroskopie (R, L, C) Ideale Bauelemente besitzen entweder einen Real- oder einen Imaginäranteilteil. Die Impedanzen dieser Grundelemente sind folgendermaßen definiert: Z R ( ω ) = R (Gl. 6) Z C ( ω) 1 = j ω C (Gl. 7) Z L ( ) = j ω L ω (Gl. 8) Abb. 1 zeigt die Darstellung der Impedanz idealer Grundelemente als Ortskurve am Beispiel eines Widerstandes und eines Kondensators. Aus den Gleichungen 6 und 7 ist zu erkennen, dass der Widerstand nur eine frequenzunabhängige reale Komponente und der Kondensator nur eine frequenzabhängige Imaginärkomponente besitzt. Der Kondensator wird somit als Gerade parallel zur Imaginärachse dargestellt. Der Verlauf dieser Ortskurve reicht von ( Z ) = Im ( ) = 0 Im für ω = 0 bis Z für ω =. Der Widerstand wird aufgrund seiner Frequenzunabhängigkeit als 6

Punkt auf der reellen Achse abgebildet. Die Reihenschaltung beider Bauelemente stellt den Kondensator als Gerade parallel zur Imaginärachse mit einem Versatz auf der Realachse in der Größe des Widerstands R dar. Abb.1. Ortskurve der Reihenschaltung eines idealen Widerstands und einem idealen Kondensator (Quelle: nach Sauerwald) Werden reale Bauelemente verwendet oder ideale Bauelemente zusammengeschaltet ergeben sich charakteristische Ortskurven. Einer der häufigsten Fälle in der Praxis ist das RC-Glied, die Parallelschaltung aus Kondensator und Widerstand. Aus den Gleichungen 6 und 7 ergibt sich, für ein RC-Glied, folgende Gesamtimpedanz: Z RC R ( ω ) = (Gl. 9) 1 + jω R C Durch Umformung lassen sich Real- und Imaginärteil in getrennten Termen darstellen: Z RC 2 R ω R C ( ω ) = j (Gl. 10) 1+ C 2 ( ω R C) 1+ ( ω R ) 2 Werden für ω Frequenzen zwischen 0 und eingesetzt, ergibt sich die in Abb. 2 dargestellte 7

Ortskurve, bei der folgende 3 Punkte von Bedeutung sind: = 0 Z ( 0) = R ω 0 Im Gleichstromfall wirkt der Kondensator wie ein unendlich großer Widerstand. Die Gesamtimpedanz entspricht dem ohmschen Widerstand R. ω = Z( ) = 0 Bei unendlich hoher Frequenz wirkt der Kondensator wie ein Kurzschluss. ω R = 1 1 R R Z = j RC RC 2 2 In diesem Fall sind die Beträge von Real- und Imaginärteil gleich groß. Sie entsprechen jeweils der Hälfte des ohmschen Widerstands. Der Kehrwert dieser Kreisfrequenz wird Relaxationszeit genannt. Sie ist identisch mit der Zeitkonstanten des RC-Glieds: τ RC 1 = R C = (Gl. 11) ω R Der Betrag der Reaktanz ist in diesem Punkt maximal (siehe Abb. 2). Abb.2. Ortskurve der Parallelschaltung eines idealen Widerstands und eines idealen Kondensators (Quelle: nach Sauerwald) 8

1.1.2 Element Konstanter Phase und RQ-Element Bei einer stochastischen Modellbildung wie beispielsweise beim Ersatzschaltbild von biologischem Gewebe tritt kein ideales RC-Verhalten auf, welches durch eine einzige Relaxationszeit charakterisiert wird, sondern eine Verteilung von Relaxationszeiten, die sich um einen Hauptwert gruppieren. Der Grund hierfür liegt, beim genannten Beispiel, an der Inhomogenität der Zellgröße und Anordnung. Im Impedanzspektrum zeigen diese Prozesse deshalb keinen perfekten Halbkreis (nach Mac Donalds und Andre Weber). Um solche Impedanzverläufe beschreiben zu können, wurde das so genannte Element Konstanter Phase (Constant Phase Element) oder auch Q-Element eingeführt (Mac Donalds). Die Impedanz des CPE-Elements ist wie folgt definiert: π 1 1 j n n 2 Z CPE ( ω ) Q( ω ) = = ω e n ( jω ) Y Y 0 0 Der Betrag und die Phase ergeben sich somit zu: = 0 n 1, Y0 = const. (Gl. 12) Q( ω) 1 n = ω (Gl. 13) Y 0 ϕ( ω ) = n π (Gl. 14) 2 Für n = 1 erhält man den Ausdruck für die Impedanz einer idealen Kapazität mit Y 0 = C. Die Parallelschaltung eines CPE mit einem Widerstand wird als RCPE-Element oder RQ-Element bezeichnet. Die komplexe Impedanz eines RQ-Elements lautet dementsprechend, Z RQ R ( ω) = 1 + RQ( ω) (Gl. 15) Für die Zeitkonstante τ und die Eckfrequenz f max eines RQ-Elements gilt: τ = n ( RY ) (Gl. 16) RQ 0 und 9

f max, RQ = 1 1 2πτ = 2π n RY (Gl. 17) RQ 0 In Abb. 3 sind die Impedanzkurven von RQ-Elementen für verschiedene n gezeigt. Für n = 1 entspricht der Impedanzverlauf dem eines RC-Elements, für n = 0 dem eines Ohmschen Widerstandes (Andre Weber). -Z /Ohm 0,75. 0,50. ω Max = 1/τ RQ Y /S 5 4 3 2 ω 1 π n 2 0 0 1 2 3 4 5 Y /S 0,25. 0,00. ω ω 0 n 0,6. 0,7. 0,8. 0,9. 1,0. 0,00. 0,25. 0,50. 0,75. 1,00. 1,25. Z /Ohm Abb.3. Ortskurven der Impedanz Z und der zugehörigen Admittanzen Y von RQ-Elementen mit verschiedenen Exponenten n. Für n = 1 entspricht die Impedanzkurve der eines RC- Elements (idealer Halbkreis), für kleinere n ist der Halbkreis flacher (Quelle Schichlein). 1.1.3 Gerischer 1 -Element Ein wichtiges Impedanzelement bei der Modellierung von porösen Elektrodenstrukturen wie beispielsweise bei einer Brennstoffzelle ist das Gerischer-Element. Die Impedanz dieses Elements kann aus einer Leiterstruktur, wie sie in Abb. 4 zu sehen ist, abgeleitet werden (nach Mac Donalds, Andre Weber). Diese Leiterstruktur modelliert vereinfacht das keramischmetallische Verbundsystem der Anode durch zwei parallel geschaltete ionische (r ion ) und 1 Heinz Gerischer (1919-1994, dt. Chemiker); Doktorvater von Gerhard Ertl (*1936, dt. Physiker, Nobelpreisträger 2007) 10

elektronische (r el ) Strompfade, die an den Aktiven Zonen jeweils mit dem Reaktionsgas zusammentreffen und zur Ladungstransferreaktion (r ct, c ct ) führen. Elektrolyt Keramische Phase (Ionenleitung) r ion r ion ScSZ Nickel r ct c ct r ct c ct r el r el Stromsammler Metallische Phase (Elektronenleitung) x Abb.4. Vereinfachte Leiterstruktur einer CerMet Anode als elektrisches Ersatzschaltbild (Quelle: de Boer) Der Impedanzausdruck eines Gerischer-Elements kann aus der oben gezeigten Leiterstruktur mit der vereinfachenden Annahme, dass r ion >> r ct >> r el ist, hergeleitet werden und ergibt sich zu (Bisquert): Z G rion / cct Z0 ( ω) = = 1 ( r c ) + jω k + jω ct ct (Gl. 18) In Abb. 5 ist ein Beispiel einer simulierten Impedanzkurve eines Gerischerelements gezeigt. Im niederfrequenten Bereich verhält sich die Kurve wie ein RC-Element, wobei sich im hochfrequenten Ast der Kurve das Verhalten dem eines CPE-Elements mit Exponenten n = 0.5 annähert, d.h. die Kurve nähert sich dem Ursprung mit einem Phasenwinkel von 45. 11

Z /Ohm -0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02 Z Gerischer 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Z /Ohm Abb.5. Simulierte Impedanzkurve einer Gerischer Impedanz für k=1910 s -1 und Z 0 =15.898 Ωs -0.5. (Quelle: Leonide) 1.1.4 Warburg Impedanz Ein häufig in der Elektrochemie benutztes Impedanzelement ist das FLW-Element. Dieses Element beschreibt die komplexe Impedanz einer idealen eindimensionalen Diffusion von Partikeln in einer endlichen Diffusionsschicht der Länge l (daher auch der Name Finite Length). Durch Einführung geeigneter Randbedingungen erhält man die folgende Impedanzgleichung (Mac Donalds): Z FLW tanh jωt ( ω) = RW (Gl. 19) jωt mit T 2 l = (Gl. 20) D D: Effektiver Diffusionskoeffizient der Teilchen (m 2 s -1 ). l: Effektive Diffusionslänge der Diffusionsschicht (m). R W : Diffusionswiderstand (Ohm). Die charakteristische Frequenz f max der Warburg Impedanz kann durch den folgenden Ausdruck approximiert berechnet werden (Mac Donalds), 12

f 2.53 D = 2π l max 2 (Gl. 21) In Abb. 6 ist ein Beispiel einer simulierten Impedanzkurve eines Warburgelements gezeigt. Im niederfrequenten Bereich verhält sich die Kurve wie ein RC-Element, wobei im hochfrequenten Ast der Kurve das Verhalten sich dem eines CPE-Elements mit Exponenten n = 0.5 annähert, d.h. die Kurve nähert sich dem Ursprung mit einem Phasenwinkel von 45. Z /Ohm -0.40 Z /Ohm-0.45-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.05 Z Warburg 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Z /Ohm Abb.6. Simulierte Impedanzkurve einer Warburg Impedanz für T=0.01 s und R W = 1 Ω. Die Kurve nähert sich für ω dem Ursprung mit einem Phasenwinkel von 45 (Quelle: Andre Weber) 13

1.2 Darstellungsformen Die Impedanz kann, wie eine komplexe Zahl, in der Gaußschen Zahlenebene als Vektor dargestellt werden (siehe Abb. 7). Abb.7. Darstellung der Impedanz in der komplexen Ebene in kartesischen und Polarkoordinaten (Quelle: Wikipedia) In algebraischer Form wird dieser Vektor aus den Komponenten Wirkwiderstand (Abszisse) und Blindwiderstand (Ordinate) dargestellt (kartesische Form). In Polarkoordinaten wird er aus dem Betrag des Scheinwiderstands Z und dem Phasenwinkel ϕ gebildet. Impedanzspektroskopische Messungen werden innerhalb eines Frequenzbereichs durchgeführt, das heißt, Betrag und Phase werden über einem dynamischen Frequenzbereich gemessen. Die frequenzabhängige Veränderung der Impedanz kann in verschiedenen Diagrammen dargestellt werden. 14

1.2.1 Bode-Diagramm Beim Bode 2 -Diagramm wird auf der Abszisse die Frequenz in der Regel logarithmisch aufgetragen. Auf der Ordinate werden Betrag und Phase der Impedanz entweder in einem (siehe Abb. 8) oder in zwei (siehe Abb. 9) Diagrammen dargestellt. 10 2-25 0 Z 10 1 theta 25 10 0 50 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Freq uency (Hz) Abb.8. Impedanzspektrum eines Lautsprechers in einem Bode Diagramm bei dem Phase und Betrag in einer Grafik dargestellt werden (Quelle: eigene Darstellung mit Z-View) 2 nach Hendrik Wade Bode (1905 1982, US-amerikanischer Elektrotechniker) 15

10 2 Z 10 1 10 0 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Freq uency (Hz) -25 theta 0 25 50 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 Freq uency (Hz) Abb.9. Impedanzkurve eines Lautsprechers im Bode Diagramm bei dem Phase und Betrag in getrennten Grafiken dargestellt werden (Quelle: eigene Darstellung mit Z-View) Vorteil dieser Darstellung ist, dass der Verlauf des Betrags bzw. der Phase der Impedanz über der Frequenz einzeln abgelesen werden können. 16

1.2.2 Ortskurven In der Elektrotechnik stellt eine Ortskurve (siehe Abb. 10) den Verlauf der Impedanz in Abhängigkeit von der Frequenz als Laufvariable in der komplexen Ebene dar. Abb.10. Impedanz als Funktion der Frequenz in Ortskurvendarstellung (Quelle: eigene Darstellung) In der Regel wird der Realteil auf der Abszisse und der Imaginärteil auf der Ordinate aufgetragen. Da bei impedanzspektroskopischen Messungen meist Kapazitäten (seltener Induktivitäten) gemessen werden, wird der negative Abschnitt der Ordinate oft oberhalb der Abszisse aufgetragen. Der Vorteil der Ortskurve gegenüber dem Bode-Diagramm ist, dass der Impedanzverlauf der zu messenden Probe direkt abgelesen und leichter interpretiert werden kann. Ersatzschaltbilder können somit einfacher modelliert werden. Für die Impedanzspektroskopie werden deshalb meist Ortskurven verwendet. Je nach Anwendung und Einsatz werden folgende Varianten unterschieden: 17

Das Cole-Cole 3 -Diagramm wird meist zur Darstellung der relativen Permittivität von dielektrischen Materialien verwendet. (komplexe Stoffparameter) Das Nyquist 4 -Diagramm findet vor allem Anwendung bei der Untersuchung regelungstechnischer Systeme, die auf ihre Stabilität hin untersucht werden. Ortskurven werden in der Kern- und Teilchenphysik oft als Argand 5 -Diagramm bezeichnet. Andere Ortskurven, wie beispielsweise das in der Hochfrequenztechnik eingesetzte Smith 6 -Diagramm, sind im der Impedanzspektroskopie von untergeordneter Bedeutung. Wesentliche Unterschiede zwischen den verschiedenen Ortskurven existieren nur, wenn wie beispielsweise beim Smith-Diagramm charakteristische Übertragungsfunktionen verwendet werden. 3 nach den Brüdern Kenneth Steward Cole (1900 1984, US-amerikanischer Biophysiker) und Robert H. Cole (USamerikanischer Biophysiker); die Brüder Cole führten 1931 experimentelle Untersuchungen bezüglich der Impedanz an biologischem Gewebe durch. 4 nach Harry Nyquist (1889 1976, schwedisch US-amerikanischer Physiker) 5 nach Jean-Robert Argand (1768 1822, schweizerischer Mathematiker) 6 nach Phillip Hagar Smith (1905 1987, US-amerikanischer Ingenieur) 18

1.3 Messung Grundsätzlich werden bei der Impedanzspektroskopie Betrag und Phase eines Messobjektes innerhalb eines bestimmten Frequenzbereichs gemessen. Start und Endfrequenz sowie die Anzahl der Messungen hängen vom Ziel der Messung und dem Messobjekt selbst ab. Abb. 11 zeigt den prinzipiellen Messaufbau einer Impedanzspektroskopie. i(ω) Probe Z u(ω) Abb.11. Messprinzip einer Impedanzspektroskopie (Quelle: eigene Darstellung nach Andre Weber) Dem Messobjekt wird ein sinusförmiger Strom ( ω) iˆ sin( ωt) aufgeprägt und die zugehörige Spannungs-Antwort i = (Gl. 22) ( ω ) = uˆ sin( ωt + ϕ) u (Gl. 23) gemessen. Abhängig vom Ziel der Messung kann auch der umgekehrte Fall das Messobjekt wird mit einer Spannung angeregt und der Strom gemessen erfolgen. In komplexer Schreibweise lassen sich die Gleichungen wie folgt darstellen: und daraus die Impedanz berechnen: jωt ( ω) i e i = ˆ (Gl. 24) j( ωt+ ϕ ) ( ω) = uˆ e u (Gl. 25) 19

( ω) ( ω) u Z ( ω) = (Gl. 26) i Aus der komplexen Schreibweise lassen sich wie in Kapitel 3.1 beschrieben Betrag und Phase berechnen und in einem passenden Diagramm (siehe Kapitel 3.2) darstellen. 1.3.1 Voraussetzungen Um verwertbare Ergebnisse zu erhalten muss das Messsystem folgende Voraussetzungen erfüllen: 1. Kausalität Die zu untersuchende Sprungantwort muss aufgrund einer definierten Anregung erfolgen (kausaler Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal). 2. Linearität Das Ausgangssignal muss sinusförmig und das System somit linear sein. Bei der Messung eines nichtlinearen Systems muss dieses innerhalb eines Bereiches angeregt werden, in dem die Übertragungskennlinie einen linearen Abschnitt besitzt. Eine weitere Möglichkeit besteht darin, den Hub des Eingangssignals so klein zu wählen, dass das Ausgangssignal einer linearen Übertragung entspricht (siehe Abb. 12). 3. Zeitinvarianz Während der kompletten Messung darf sich das System nicht verändern. Darauf ist besonders bei langen Messungen (viele Messpunkte oder Messungen bei sehr niedrigen Frequenzen) zu achten. 20

U U 0 Arbeitspunkt Linearer Abschnitt U DC +u(ω) + I I DC +i(ω) Abb.12. Weber) Nichtlineare Kennlinie einer Probe (Quelle: eigene Darstellung nach Andre 21

Literatur Gruden, R., Didaktische und technische Konzeption eines Impedanzspektroskopie- Messplatzes, Masterarbeit, IWE, KIT (2009). Menesklou, W., Praktikum Sensoren und Aktoren - Versuch 1, IWE, KIT (2009) Barsoukov, E. & Macdonald, J.R., Impedance Spectroscopy, Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons (2005) Funke, K., Impedanzspektroskopie, Münster: Institut für physikalische Chemie der Universität Münster (2002) Ivers-Tiffée, E., Brennstoffzellen und Batterien, Vorlesungsskript, Karlsruhe: Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik (IWE) der Universität Karlsruhe (TH) (2008) Leonide, A., Impedanzanalyse von Ni/CerMet-Andoden, Karlsruhe: Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik (IWE) der Universität Karlsruhe (TH) (2005) Schichlein, H., Experimentelle Modellbildung für die Hochtemperatur-Brennstoffzelle SOFC, Karlsruhe: Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik (IWE) der Universität Karlsruhe (TH) (2003) Weber, A., Hochtemperatur-Brennstoffzelle SOFC, elektrochemische Impedanzspektroskopie, Praktkum Brennstoffzellenlabor (Versuch Nr. 6), Karlsruhe: Institut für Werkstoffe der Elektrotechnik (IWE) der Universität Karlsruhe (TH) (2008) 22