V E K TO R A NALYSIS TEIL I SIEGFRIED PETRY

V E K TO R A NALYSIS TEIL I SIEGFRIED PETRY Fassung vom 5 Januar 013 1

I n a l t 1 Grundbegriffe 3 Vektorfunktionen 3 1 Screibweise und Definition 3 Ableitung einer Vektorfunktion 3 3 Differentiationsregeln 5 3 Anwendungen auf die Differentialgeometrie der Raumkurven 6 31 Grundsätzlices über Raumkurven 6 311 Eine Gerade im Raum 6 31 Die Bogenlänge einer Raumkurve 7 3 Tangente, Tangentenvektor, Tangenteneineitsvektor 9 33 Begleitendes Dreikant 10 34 Krümmung und Krümmungskreis 1 4 Integralrecnung mit Vektoren 13 5 Lösungen 14

1 Grundbegriffe Die Vektoranalysis wendet die Metoden der Analysis (Differential- und Integralrecnung) auf matematisce Funktionen an, in denen Vektoren auftreten, die sic in Abängigkeit von Ort und Zeit verändern können Die wictigsten Anwendungsgebiete der Vektoranalysis sind pysikalisce Felder, insbesondere elektromagnetisce Felder Pysikalisce Felder sind Teilgebiete des Raumes, in denen jedem Punkt eindeutig eine»feldgröße«ein Skalar oder ein Vektor (auc ein Tensor oder Spinor) zugeordnet ist Je nac Art der Feldgröße sprict man von einem Skalarfeld oder einem Vektorfeld (bzw Tensor- oder Spinorfeld) Skalare Feldgrößen sind z B Druck, Temperatur, Beleuctungsstärke, Potential Vektorielle Feldgrößen sind z B elektrisce und magnetisce Feldstärke, Strömungsgescwindigkeit Kraftfelder sind Vektorfelder, in denen z B eine elektrisce Ladung oder eine Masse eine Kraft erfärt Elektrodynamisce Felder sind zeitlic veränderlice elektrisce und magnetisce Felder, in denen Induktionsvorgänge stattfinden Feldlinien sind (gedacte) Linien dergestalt, dass die Vektoren der Feldgröße ire Tangenten sind Bekannte Beispiele sind: Stromlinien, elektrisce und magnetisce Feldlinien Vektorfunktionen 1 Screibweise und Definition Der deutscen Norm folgend werden die Zeicen für Vektoren kursiv und fett gescrieben, die Zeicen für den Betrag von Vektoren werden kursiv gescrieben Für die Bescreibung eines Vektors v durc seine kartesiscen Komponenten v 1, v, v 3 sind in der Pysik zwei Screibweisen üblic, nämlic mittels der Eineitsvektoren e 1, e, e 3 (auc i, j, k) der benutzten Basis und durc Aufzälung der durc ein Komma getrennten Komponenten in Klammern inter dem Vektorsymbol: v e + v e + v e ; v( v, v, v ) 1 1 3 3 1 3 Eine Funktion, bei der die abängige Variable ein Vektor ist, eißt Vektorfunktion Im einfacsten Fall sind die (skalaren) Komponenten v 1, v, v 3 des Vektors v Funktionen einer einzigen skalaren Variablen u, die oft auc als Parameter bezeicnet wird (Dann sprict man von einer einparametrigen Vektorfunktion) Dann ist v v ( u) e + v ( u) e + v ( u) e Ableitung einer Vektorfunktion 1 1 3 3 Analog zur Definition der Ableitung einer skalaren Funktion ist die Ableitung einer Vektorfunktion v(u) definiert: d v v v( u + u) v( u) lim lim du u 0 u u 0 u 3

Aus dieser Definition folgt als Erstes sofort, dass die Ableitung eines konstanten Vektors wegen v( u + u) v( u) gleic null ist Ferner ergibt sic für die Ableitung eines Vektors w f(u)c, der das Produkt einer skalaren Funktion f(u) und eines konstanten Vektors c ist: d w f ( u + u) c f ( u) c f ( u + u) f ( u) d f lim lim c c du u 0 u u 0 u du Für den oben bescriebenen Vektors v(u) folgt daraus wegen der Konstanz der Eineitsvektoren: dv dv dv dv e + e + e du du du du 1 3 1 3 Die Ableitung des Vektors v(u) nac u ist die Summe dreier Vektoren und somit wiederum ein Vektor Für den»ortsvektor«r eines Punktes P(x, y, z) gilt r OP xe + y e + z e wobei O der Ursprung des Koordinatensystems ist 1 3, Bewegt sic der Punkt P im Raum und sind seine Koordinaten differenzierbare Funktionen der Zeit t, so ist und r r( t) x( t) e + y( t) e + z( t) e 1 3, d d d x e1 + y e z + e 3 d t d t d t d t Nun sind aber dx/dt, dy/dt und dz/dt die Beträge der Gescwindigkeiten, mit denen sic die Projektionen des Punktes P auf die Acsen dort bewegen Sie sind somit die skalaren Komponenten des Gescwindigkeitsvektors des Punktes P d x d d vx, y vy, z vz d t d t d t Daer ist vx 1 vy vz 3 dt e + e + e der Vektor der Gescwindigkeit von P, also: Analog ergibt sic der Vektor a der Bescleunigung des Punktes P: vp (11) dt d a P (1) dt dt dt 4

3 Differentiationsregeln Die Gesetze für die Differentiation einparametriger Vektorfunktionen gewinnt man durc Zerlegung der Vektoren in ire Komponenten Diese sind skalare Funktionen, auf die man die einsclägigen Regeln für die Differentiation skalarer Funktionen anwendet So ergeben sic: 1 Die Ableitung der Summe und Differenz zweier Vektoren: Weitere Differentiationsregeln: d [ ] d v ( ) ( ) d w v u ± w u ± d u d u d u d d f ( u) d v [ f ( u) v( u) ] v + f ( u) d u d u d u f ( u) : skalare Funktion, d d v d w ( v w) w + v, du du du Skalarprodukt-Regel d d v d w ( v w) w + v, d u d u d u Vektorprodukt-Regel d d v d f v[ f ( u) ], d u d f d u Kettenregel Beispiel: Der Ortsvektor r eines Punktes P sei r( ϕ) ρ cosϕ e1 + ρ sin ϕ e + ϕ e3 (13) π Wenn φ alle reellen Zalenwerte annimmt, durcläuft der Punkt P eine Scraubenlinie mit dem Radius ρ und der Gangöe Die Ableitung dieser Vektorfunktion nac φ ist der Vektor ρ sinϕ e1 + ρ cos ϕ e + e3 π 5

Bewegt sic der Punkt P mit konstanter Winkelgescwindigkeit ω, dann ist ϕ ω t, wobei t die Zeit ist Dann ist nac Gleicung (11) der Gescwindigkeitsvektor v des Punktes v ω ρ ω sin e ρ ω cos( e + ω e dt dt π ( ϕ) + ϕ), 1 3 und nac Gleicung (1) der Bescleunigungsvektor d v a ρω cos ( ϕ) e1 ρω sin ( ϕ) e dt Für diesen Vektor gilt ρ ω ϕ ϕ ρ ω 4 4 a a cos ( ) + sin ( ) und a ρ ω Der Betrag der Bescleunigung ist also konstant Der Bescleunigungsvektor ist auf die Zylinderacse in gerictet und stet auf dieser senkrect Übung 1 1 Zeigen Sie, dass die Steigung der Kurve mit der Gleicung (13) konstant ist Geben Sie die Bogenlänge s der Kurve als Funktion von φ an (Hinweis: Wenn man den Mantel des Zylinders in eine Ebene abrollt, wird die Kurve zu einer Geraden) 3 Stellen Sie den Vektor r als Funktion der Bogenlänge s dar Übung 1 Ersetzen Sie in Gleicung (13) ρ durc ρ 0 φ ρ 0 ω t und identifizieren Sie die dadurc entsteende Kurve Berecnen Sie v und a und die Steigung der Kurve 3 Anwendungen auf die Differentialgeometrie der Raumkurven 31 Grundsätzlices über Raumkurven 311 Eine Gerade im Raum Eine Gerade im Raum kann vektoriell bescrieben werden: 1 Durc einen Punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ) durc den sie get, und durc ire Rictung Diese wiederum wird durc den»rictungsvektor«v(v 1, v, v 3 ) bescrieben Durc zwei irer Punkte (P 1 und P ) Dieser Fall kann auf den ersten zurückgefürt werden, indem man PP 1 v setzt Siee dazu auc Vektoralgebra, 51 Dann lautet die Gleicung des Ortsvektors r eines Punktes P auf der Geraden zum Beispiel: 6

r r0 + λ v < λ < Dabei ist r 0 der Ortsvektor des Punktes P 0 Die reelle Zal λ eißt Parameter Die Komponentendarstellung des Vektors r lautet dann r ( x + λ v ) e + ( y + λ v ) e + ( z + λ v ) e 0 1 1 0 0 3 3 Die skalaren Komponenten des Vektors r sind bei vorgegebenen r 0 und v dann lediglic Funktionen von λ: x x( λ ), y y( λ ), z z( λ ), und daer ist auc r r ( λ) Im Prinzip könnte auc die Variable x als Parameter dienen, wobei dann y y(x), z z(x) un r(x) Funktionen von x wären Es gibt aber Kurven (z B die oben bescriebene Scraubenlinie), bei der y und z nict in eindeutiger Weise von x abängen Dann ist die»parameterdarstellung«des Ortsvektors r eine bequeme und eindeutige Metode zur Bescreibung einer Raumkurve Der Parameter kann dabei ein Winkel sein (siee Scraubenlinie) oder aber z B bei Bewegungsvorgängen die Zeit, aber auc irgendeine andere Größe, die nict immer unmittelbar anscaulic sein muss 31 Die Bogenlänge einer Raumkurve Es leuctet unmittelbar ein, dass ein Teilstück einer Raumkurve (z B ein Stück der Mittellinie einer Straße) zwiscen zwei irer Punkte (P 1 und P ) eine gewisse Länge at, die praktisc auc mit einiger Genauigkeit gemessen werden kann Aber wie kann diese so genannte Bogenlänge matematisc definiert und bestimmt werden, wenn die Raumkurve z B durc ire Parameterdarstellung gegeben ist? Zur Lösung dieser Aufgabe denken wir uns die Kurve zwiscen den Punkten P 1 und P in eine Anzal n ungefär gleicer Teile zerlegt, die von 1 bis n durcnummeriert werden, und betracten eines dieser Teilstücke (z B das i-te) : Der Sekantenvektor zwiscen den Punkten, die das Teilstück begrenzen, ist dann r r r i i+ 1 i 7

Der Betrag r i dieses Vektors ist gleic der Länge der Raumdiagonalen eines Quaders mit den Kantenlängen x i, y i, z i und somit r x + y + z i ( i ) ( i ) ( i ) Da die Sekante die kürzeste Verbindung der beiden Endpunkte ist, muss die tatsäclice Bogenlänge s i größer oder mindestens gleic r i sein Entsprecend gilt für die gesucte Länge s 1, des Kurvenstücks zwiscen P 1 und P : n 1 s 1, PP 1 r i Vergrößert man nun die Anzal n der Teilstücke unbescränkt, wobei alle r i gegen null geen sollen, dann wird die rects steende Summe immer größer Näert sie sic dabei einem Grenzwert, so muss dieser die gesucte Bogenlänge sein: s PP lim r 1, 1 n n 1 Dieser Grenzwert wird in der Analysis als Integral bezeicnet: n P r i n 1 P1 r1 s PP lim r 1, 1 Darin ist dr das so genannte Differential des Betrages r des Ortsvektors, für das gilt: ( ) ( ) ( ) dx + d y + d z Wird eine Raumkurve durc die Parameterdarstellung x x(λ), y y(λ), z z(λ) bescrieben, dann ist i und dx d y dz dx d λ, d y d λ, dz dλ dλ dλ dλ dx d y dz + + d λ dλ dλ dλ Damit ergibt sic für die Bogenlänge des Kurvenstücks s 1, λ λ 1 dx d y dz + + d λ dλ dλ dλ Beispiel: Für die Scraubenlinie mit der Parameterdarstellung 8

x r sinϕ y r cosϕ z / π ist die Bogenlänge der Kurve zwiscen φ 0 und φ π π π ϕ ϕ ϕ ϕ π ( π ) 4π 4π 4π s r sin + r cos + d r + d r + r + 0 0 3 Tangente, Tangentenvektor, Tangenteneineitsvektor einer Raumkurve Durcläuft ein Punkt P in Abängigkeit von der Zeit τ eine Raumkurve, so ist sein Ortsvektor r eine Vektorfunktion der Zeit: r r (τ ) (Um Verwecslung und Verwirrung zu vermeiden, wird als Formelzeicen für die Zeit ier der griecisce Bucstabe τ verwendet) Die Komponentendarstellungen der Vektoren r, v und a sind r( τ) x( τ) e + y( τ) e + z( τ) e, 1 3 d x d y d z v( τ) e1 + e + e3, d τ d τ d τ d τ d x d y d z a( τ) e 1 + e + e 3 d τ d τ d τ Wir definieren nun: Die Kurventangente im Punkt P der Raumkurve ist die Gerade durc P, welce dieselbe Rictung at wie der Gescwindigkeitsvektor in P, also wie der Vektor v P (dr/dτ) P Der Vektor mit dem Betrag 1 und mit der Rictung der Kurventangente in einem Punkt der Kurve eißt Tangenteneineitsvektor Für den Tangenteneineitsvektor t gilt demnac v t v d τ dτ Wenn die unabängige Variable nict die Zeit ist, sondern eine beliebige, in irgendeiner Weise von der Zeit abängige Variable u (insbesondere wie oben ein Winkel φ oder die Bogenlänge s der Kurve von einem beliebig gewälten Anfangspunkt bis zum Punkt P), dann ist dτ dτ v k( u) v du dτ du du Dabei ist dτ /du ein skalarer (von u abängiger) Faktor k(u), der die Rictung des Produkt-Vektors k(u)v nict beeinflusst Also at auc der Vektor dr/du die Rictung von v und damit die Rictung der Tangente Folglic gilt allgemein für r r(u): 9

Übung 3 t d u und v v t d u Berecnen Sie den Tangenteneineitsvektor der Kurve mit der Gleicung (13) und der Kurve aus Übung 33 Begleitendes Dreikant Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass die Vektorfunktion r(u) und ire Ableitungen stetig sind Dann gibt es in jedem Punkt der Raumkurve genau eine Tangente, aber unendlic viele Tangentenebenen, weil jede Ebene durc die Tangente die Kurve berürt Unter diesen Tangentenebenen gibt es eine mit besonderen Eigenscaften, mit denen wir uns im Folgenden befassen werden Wir betracten zuerst den Bescleunigungsvektor a eines Punktes, der eine Raumkurve durcläuft Für in gilt (Gleicung (1)) d v d d v d d ( v ) v t a v t B a t t + t + (14) d τ d τ d τ d τ d τ d τ Dabei ist a B die Banbescleunigung des Punktes (Sie wird auc als Tangentialbescleunigung a t bezeicnet) Sie bewirkt lediglic eine Änderung der Bangescwindigkeit ( Betrag der Gescwindigkeit) des Punktes, nict aber eine Rictungsänderung Betracten wir nun den letzten Term der Gleicung (14), also den Vektor dt/dτ In der Literatur findet man einen ser einfacen und eleganten Beweis dafür, dass dieser Vektor auf der Tangente senkrect stet Leider wird bei diesem Beweis die Kettenregel (betreffend die Ableitung einer indirekten Funktion) benutzt, und diese gilt nict für Funktionen f(v) von Vektoren Ein sticaltiger Beweis ist folgender: Da t ein Eineitsvektor ist, gilt für seine Komponentendarstellung t cos α( u) e + cos β( u) e + cos γ( u) e, 1 3 wobei cos α, cos β, cos γ seine von u abängigen Rictungskosinus sind Für die Ableitung nac u gilt d t d α dβ d γ sin α e1 sin β e sin γ e3, d u d u d u d u und für das Skalarprodukt Für die Rictungskosinus gilt d t d α dβ d γ t cos α sin α cosβ sin β cosγ sin γ d u d u d u d u und für die Ableitung dieser Gleicung nac u α + β + γ cos + cos + cos 1, dα d β dγ ( α α β β γ γ ) cos sin cos sin cos sin 0 d u d u d u 10

Folglic ist das betractete Skalarprodukt gleic null, und da im Allgemeinen keiner der beiden Faktoren null ist, muss d t t dτ sein (siee Vektoralgebra, Ortogonalitätsbedingung) Demnac bescreibt die Gleicung 14, nämlic d t d v d t a v v, B a t + t + dτ dτ dτ dτ die Zerlegung des Vektors a in eine Komponente in Rictung der Tangente (Tangentialkomponente) und in eine dazu senkrecte Komponente, die als Normalkomponente bezeicnet wird Der zu dt/dτ (oder allgemein der zu dt/du) geörige Eineitsvektor wird als der Hauptnormalenvektor n der Kurve im Punkt P bezeicnet d t d t n dτ d u d t d t d d u τ Der Hauptnormalenvektor n weist in die Rictung, in die sic der Tangentenvektor im Punkt P dret, wärend P die Kurve durcläuft Zusammen mit t spannt n eine Ebene auf, die Scmiegebene (auc Scmiegungsebene) genannt wird, weil sic die Kurve gleicsam an diese Ebene anscmiegt Wenn wir zwei Punkte der Kurve erausgreifen, die in der Näe des Punktes P und auf versciedenen Seiten von im liegen, so bestimmen diese Punkte zusammen mit P eine Ebene Diese Ebene konvergiert zur Scmiegebene, wenn sic die beiden Punkte unbescränkt dem Punkt P näern Wir definieren nun noc einen dritten Eineitsvektor b, der auf t und n senkrect stet und mit inen zusammen ein Rectssystem bildet Dieser Vektor eißt Binormalenvektor Die drei Vektoren bilden eine den Punkt P begleitende Basis eines Koordinatensystems Sie eißt begleitendes Dreibein oder begleitendes Dreikant 11

34 Krümmung und Krümmungskreis einer Raumkurve Es ist nützlic, sic zunäcst die analogen Überlegungen und Begriffe bei einer ebenen Kurve zu vergegenwärtigen Dort liegen alle Kurventangenten in derselben Ebene, nämlic in der Ebene der Kurve Ändert sic die Rictung der Tangente (ir Winkel ) auf der Weglänge (Bogenlänge) s um den Wert α so ist die»mittlere Krümmung«k m auf der Strecke s wie folgt definiert: k m α, s und die Krümmung der Kurve im betracteten Punkt P k α lim s s 0 Unter dem Krümmungskreis der Kurve im Punkt P verstet man den Kreis durc P, der dieselbe Steigung und dieselbe Krümmung at wie die Kurve in P Der Radius ρ dieses Kreises eißt Krümmungsradius der Kurve in P Diese Definition übertragen wir nun auf eine Raumkurve Unter der mittleren Krümmung einer Kurve im Bereic s verstet man den auf s bezogenen Drewinkel α der Tangente Ir Grenzwert für s gegen 0 eißt Krümmung k der Kurve im Punkt P k α lim s s 0 Ein in der Scmiegebene gelegener Kreis durc P mit derselben Steigung und derselben Krümmung wie die Raumkurve, eißt Krümmungskreis der Kurve in P Sein Radius eißt Krümmungsradius ρ der Kurve in P Sein Mittelpunkt liegt auf der Hauptnormalen Für einen zum Mittelpunktswinkel α geörigen Kreisbogen s gilt Daer ist die (konstante) Krümmung eines Kreises s r α 1

1 k α s r Wir eften nun die Tangenteneineitsvektoren zweier benacbarter Kurvenpunkte an denselben Punkt: Für inreicend kleine Winkel α ist α t und zwar so, dass α lim 1 s 0 t Daer ist die Krümmung der Kurve α t d t k lim lim s 0 s s 0 s d s Der Radius des Krümmungskreises ist folglic 1 1 ρ k d t d s Da der Vektor dt/ds die Rictung des Hauptnormalen-Eineitsvektors n at, ist Daraus ergibt sic für k: d t 1 k n n d s d s ρ k d x d y d z + + d s d s d s d s 4 Integralrecnung mit Vektoren In Integralen können Vektoren sowol als Integrand (das ist die zu integrierende Funktion) als auc als Differential bei dem Integranden auftreten 1 Typ: Nur der Integrand ist ein Vektor Ein typisces Beispiel ist das Zeitintegral der Kraft, das in der Dynamik auftritt (Dort ist es ein bestimmtes Integral, es genügt ier jedoc, unbestimmte Integrale zu betracten) 13

F ( e1 + e + e3 ) e1 + e + e3 dt F F F dt F dt F dt F d t Das Ergebnis ist also, wie zu erwarten, ein Vektor x y z x y z Anmerkung: Dass oben die Eineitsvektoren e 1, e, e 3 wie skalare Größen vor die Integrale gezogen werden dürfen, lässt sic wie folgt beweisen: Das Integralzeicen ist das Symbol für den Grenzwert einer Summe Konstante Faktoren bei den Summanden können ausgeklammert werden, auc wenn sie (konstante) Vektoren sind Typ: Integrand und Differential sind Vektoren Ein Beispiel dafür ist das Wegintegral der Kraft, mit dem die Arbeit berecnet wird ( Fx 1 Fy Fz 3 ) ( x 1 y z 3 ) Fx dx Fy d y Fz d z F e + e + e d e + d e + d e + + Da F dr ein Skalarprodukt ist, ist das Ergebnis des Integrals erwartungsgemäß auc ein Skalar Ein spezielles Beispiel ierfür ist ( ) v d v v dx + v d y + v d z v + v + v + C v + C 1 1 x y z x y z Ein anderes interessantes Beispiel (unter Verwendung des erst später erklärten Operators Gradient (grad), dessen Bedeutung ier zu erkennen ist): U U U gradu dr e + e + e dx + d y + dz x y z e e e ( ) 1 3 1 3 U U U dx + d y + dz d U U + C x y z Erläuterung: Der Integrand im vorletzten Integral ist das vollständige Differential du der Funktion U U(x, y, z) 3 Typ: Nur das Differential ist ein Vektor v ( e1 + e + e3 ) e1 + e + e3 U d U dv dv dv U dv U dv U d v Das Ergebnis ist ein Vektor x y z x y z 5 Lösungen Übung 1 d z 1 tanα (d x) (d y) π ( ρ sinϕ d ϕ) ( ρ cosϕ d ϕ) πρ + + konst 14

s ρ ϕ + ϕ ϕ ρ + 4π 4π s 3 ϕ : k s ρ + 4π r( s) ρ cos( ks) e1 + ρ sin ( ks) e + ks e3 π Übung Die entsteende Kurve ist (statt auf einen Kreiszylinder) auf einen Kreiskegel aufgewickelt, dessen Spitze in O liegt und dessen Acse die Z-Acse ist r ρ0ϕ cosϕ e1 + ρ0ϕ sin ϕ e + ϕ e3, π v ω ρ0ω(cosϕ ϕ sin ϕ) e1 + ρ0ω(sinϕ + ϕ cos ϕ) e + ω e3, dt d dt d ϕ ϕ π a ρ0ω ( sinϕ ϕ cos ϕ) e1 + ρ0ω ( cosϕ ϕ sin ϕ) e dz tan α, (d x) + (d y) dz d ϕ, π d x ρ (cosϕ ϕ sin ϕ) d ϕ, d y ρ (sinϕ + ϕ cos ϕ) d ϕ, 0 0 (d x) + (d y) ρ (1 ϕ )(d ϕ), 0 + tan α πρ 1+ ϕ 0 15

Übung 3 1 r ρ cosϕ e1 + ρ sin ϕ e + ϕ e3, π dr ρ sinϕ e1 + ρ cos ϕ e + e3, π dr ρ sin ϕ + ρ cos ϕ + 4π ρ ϕ + ϕ + ρ + 4π ρ 4π ρ sin cos 1, dr sinϕ e1 + cosϕ e + e3 πρ t dr 1+ 4 π ρ r ρ ϕ cosϕ e 0 1 + ρ ϕ sin ϕ e 0 + ϕ e3, π dr ( ρ cosϕ ρ ϕ sinϕ 0 0 ) e1 + ( ρ sinϕ ρ ϕ cosϕ 0 + 0 ) e + e3, π dr ρ ( ϕ ϕ ϕ ) ϕ ( ϕ ϕ ϕ ) 0 + 0 + + 4π ρ cos sin sin cos, 1 0 + ϕ + 4π ρ0 dr,, ( ρ cosϕ 0 ρ ϕ sinϕ 0 ) e1 + ( ρ sinϕ cos 0 + ρ ϕ ϕ 0 ) e + e3 t π dr 1+ ϕ 4 π ρ 16