De gedämpfe Schwngung Bsher wurde de harmonsche Schwngung ohne dsspave Prozesse, d.h. Rebungsverluse, behandel. In der Regel reen allerdngs Rebungsverluse auf und de m Oszllaor gespechere Energe nmm m der Ze ab. Des muss dann auch zu ener Abnahme der Amplude der Schwngung führen, denn de Energe s, we gezeg, proporonal zum Quadra der Amplude. Ene solche Schwngung nenn man gedämpfe Schwngung. De Schwngungsglechung s be Vorlegen von Dämpfung, um den Dämpfungserm (Rebungserm zu ergänzen. I.d.R. handel es sch be der Dämpfung um Sokesche Rebung bzw. enem äquvalenen Prozess, be dem de Rebungskraf proporonal zur Geschwndgke, d.h. der zelchen Ableung der Orskoordnae, s.
Krafblanz De (Sokesche Rebungskraf s: Aus der Krafblanz erhäl man dann: F R b v d b d d m d a d b d d d d d b m und m bzw. a m s de Dämpfungskonsane. s de Egenfrequenz der ungedämpfen Schwngung. De Energeblanz führ her nch zum Zel, da de Energe durch de Dsspaon nch erhalen bleb.
Lösung der Schwngungsglechung m Dämpfung I De Lösung s we be der ungedämpfen Schwngung ene Snus-Funkon. Allerdngs s dese überlager von ener eponenellen Dämpfung m der /e-abfallze /. Darüber hnaus r ene Verschebung der Oszllaonsfrequenz gegenüber der Frequenz der ungedämpfen Schwngung auf: Aep( sn( ϕ,,5 ep(- A v an( ϕ v v v / A, -,5 -ep(- -, 5 5 ϕ 3
Lösung der Schwngungsglechung m Dämpfung II Enen wesenlchen Enfluss auf de Gesal der Lösung ha her offenschlch das Verhälns von Dämpfungskonsane zu der Egenfrequenz der ungedämpfen Schwngung. Ensprechend können dre Grenzfälle unerscheden werden: a < : Schwngfall (gedämpfe Schwngung, a / b : aperodscher Grenzfall (eponenelle Rückkehr n de Ruhelage, b / c > : Krechfall (eponenelle Rückkehr n de Ruhelage, c ± / A,,5, -,5 -, b a c 4 6 8 Ze (belebgen Enheen 4
Auswerung des Demonsraonsversuches zur gedämpfen Schwngung I (Fadenpendel Amplude (cm 8 7 6 5 4 3 R.9975 A 78.36663 ±.6793 58.396 ±6.39 A ep(- / 5 5 Ze (belebge Enheen Amplude (mm 8 6 4 - -4-6 -8 R.9976 ϕ -.46 ±.8.384 ±.5 56 ±6 A 78.4 ±.7 T 64.7 ±. A ep(-/ sn( ϕ 5 5 Ze (belebge Enheen 5
De erzwungene Schwngung Häufg werden Oszllaoren von außen m ener besmmen Frequenz Ω angereg, d.h. von außen wrk ene harmonsche Kraf F auf den Oszllaor. De Frequenz der äußeren Anregung muss nch nowendgerwese densch m der Frequenz des fre schwngenden Oszllaors, sener Egenfrequenz bzw., sen. Aus der Krafblanz erhäl man: d d m d d F H m Hsn( Ω De lnke See beschreb den gedämpfen harmonschen Oszllaor und de reche See de äußere Anregung. 6
Lösung der Glechung zur erzwungenen Schwngung I Der Oszllaor schwng m der Frequenz der äußeren Anregung Ω. De Amplude der Schwngung sowe de Phase (relav zur äußeren Anregung hängen sark von der Frequenz ab. Asn( Ω ϕ A ( Ω ( Ω H Ω ϕ aan Ω Ω π Ω> De mamale Amplude erhäl man n Resonanzfall, d.h. für: Ω res 7
Lösung der Glechung zur erzwungenen Schwngung II Als charakerssche Größe für de Dämpfung enes harmonschen Q π Oszllaors defner man de Güe Q: T Des s (bs auf enen Fakor π das Verhälns der /e-abfallze τ zur Perodendauer der ungedämpfen Schwngung T. Für Q würde das fre schwngende Sysem also ewa dre Schwngungen ausführen, bevor de Amplude auf /e abfäll. Ensprechend gl: Ωres Q τ Für große Q s also de Resonanzfrequenz Ω res nahezu glech. 8
Lösung der Glechung zur erzwungenen Schwngung III Der Oszllaor schwng m der Frequenz der äußeren Anregung. De Amplude der Schwngung sowe de Phase (relav zur äußeren Anregung hängen sark von der Frequenz ab. 5, / H A 4 3 Q 5,5 -ϕ / π,8,6,4 Q 5,5,,,5,,5,,,,5,,5, Ω / Als charakerssche Größe für de Dämpfung enes harmonschen Oszllaors defner man de Güe Q: Ω / Q 9
Darsellung der Schwngung Asn( ϕ oder Bsn( Ccos( v Acos( ϕ ( A v ϕ arcan v, v( X,5, v v Bcos( Csn( ( v( v C v B B,5, -,5 m, v, Asn(ϕ B*sn( C*cos( B*sn(C*cos( -, -,5 4 6 8
Komplee Zahlen I Vel bequemer als m sn( und cos( lassen sch Schwngungen mels kompleer Zahlen beschreben. Zunächs enge Grundlagen zur Ernnerung: yim(z z Re(z ϕ z y Re(z z z z z z und und Re(z Abkürzung bzw. z z z c.c. z Im(z y y und y z z alernave Im(z Schrebwese : (c.c.:conjugae comple De Abkürzung c.c. benuz man wenger für Zahlen als velmehr für umfangreche Ausdrücke. De Bldung des c.c. wrd durch Umkehrung der Vorzechen vor allen Termen m vorgenommen (.
Komplee Zahlen II De komplee Eponenalfunkon sez sch aus Snus- und Cosnus- Funkonen zusammen. Umgekehr lassen sch de Snus- und Cosnus- Funkonen durch komplee Eponenalfunkonen ausdrücken. yim(z z Re(z ϕ Jede komplee Zahl kann auf zwe Aren dargesell werden: a Realel und Imagnärel b Berag und Phase e cos( sn( cos( sn( z y z e ( e e ( e e ϕ z cos( ϕ z cos( ϕ und und y e z sn( ϕ z sn( ϕ
Lösungsansaz für de Schwngungsglechung Dam läss sch nun folgender allgemener Ansaz für de Lösung ener Schwngungsglechung machen: ( Ae c.c. A m ( ϕ ( ϕ ( e e A cos( ϕ A Für de Ableung nach der Ze erhäl man: A e ϕ & && ( Ae c.c. ( Ae c.c. Offenschlch reproduzer sch de Eponenalfunkon bem Dfferenzeren n allen Ordnungen. Nur de Vorfakoren ändern sch. Des s ener der Vorele der kompleen Schrebwese. 3
4 Lösungsweg: Homogene Schwngungsglechung Nun kann man den Ansaz n de homogene Schwngungsglechung ensezen: De konjuger kompleen Tele blden en völlg analoges Glechungssysem, das som abgespalen werden kann. Des s en weerer Vorel der kompleen Schrebwese. Man erhäl also: ( c.c. Ce ( c.c. Ce m d d d d h h h h λ λ λ λ λ λ De Lösung der quadraschen Glechung s: λ ± ± ( c.c. Ce e C e C h Dam erhäl man: De komplee Konsane C ergb sch aus den Anfangsbedngungen.
Lösung: Krechfall De Lösung läss sch naürlch auch ohne komplee Zahlen darsellen: h ( Ce c.c. C e cos( α m Der Krechfall ( > s nun lech anzugeben, denn: cos( cosh( sn( snh( De Lösung der Glechung s dann: e ( Acosh( Bsnh( 5
Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung I Nun berachen wr de Schwngungsglechung m äußerer Anregung: d d Hsn( Ω d d Des s ene sogenanne nhomogene Dfferenalglechung, da de reche See von Null verscheden s. De Glechung s lnear, da de lnke See n allen Termen lnear n s. Als Konsequenz deser Lnearä kann de Lösung der Glechung n zwe Anele aufgespalen werden. En Tel s de Lösung der nhomogenen Glechung p (parkuläre Lösung und der zwee Tel s en belebges Velfaches C der Lösung der homogenen Glechung h (Tasächlch gb es ja zwe unabhängge Lösungen der homogenen Glechung: h p C h h C h 6
Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung II Zunächs en enfaches Bespel (konsane Kraf: d d d d H En Bespel wäre en gedämpfes senkrech hängendes Federpendel. Ene parkuläre Lösung s dann offenschlch: p H De vollsändge Lösung s dann m der beres besmmen Lösung der homogenen Glechung: H C H ( C e C e e c.c. e De Lösung der homogenen Glechung s für klene Zeen wchg ( <, für große Zeen verschwnde se aber aufgrund der eponenellen Dämpfung und es verbleb nur de parkuläre Lösung. (De Feder ruh am Ende lech durchhängend. 7
Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung III De Aussage deses Ergebnsses gl generell auch für komplzerere Inhomogenäen. De homogene Lösung verschwnde mmer für große Zeen ( >> und es verbleb de parkuläre Lösung. De Anfangsbedngungen gehen über de beden Kosanen nur n de homogene Lösung en. Dam wrd für große Zeen de Lösung unabhängg von den Anfangsbedngungen. Offenschlch gl dann nch mehr de Zeumkehr, obwohl es en deermnssches Sysem s. De Ursache s de Dsspaon der Energe durch Rebung, de n gewssem Snne auch enen Informaonsverlus (über de Anfangsbedngungen bedeue. Des gl allgemen be Dsspaon. Trvales Bespel s en ruhendes Pendel, von dem nemand sagen kann, ob und we of es zuvor geschwungen ha. 8
Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung IV Nun kann der allgemene Ansaz, der auch für de parkuläre Lösung gl, n de nhomogene Schwngungsglechung ensez werden: d d ( d d Ae H cos( Ω c. c. H e Ω c. c. De konjuger kompleen Tele blden en völlg analoges Glechungssysem, das som abgespalen werden kann. Man erhäl also: H ( Ω A ( e Da A zeunabhängg s, muss offenschlch Ω gelen: H Ω Ω A 9
Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung V Dam s de Schwngungsglechung offenschlch beres gelös. Nun kann A noch n Amplude und Phase aufgeel werden. Dazu erweern wr zunächs m der konjuger kompleen Größe des Zählers, um so de Aufelung n Imagnär und Realel vom Nenner n den Zähler zu verlagern: ( an( ( ( ( ( ( ( ( ( Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ϕ ϕ m e H H H H A
Lösungsweg: Inhomogene Schwngungsglechung VI De vollsändge Lösung laue dam (Inegraonskonsanen: C bzw. C und α m C e C e ( cos( α und Ω H ( an( ϕ ( Ω Ω H Ω Ω e ( Ω ϕ ( Ω c.c. cos( Ω ϕ Der Enschwngvorgang s durch de Anfangsbedngungen ((, d(/d besmm. Deser s aber nach enem Zeraum von ewa / ausgedämpf. Dann s das Sysem engeschwungen und unabhängg von den Anfangsbedngungen.
Bespele für Lösungen m Enschwngvorgang / G - - 3 4 5, G ( Ω,5 blau : C G,ro : C 3G blau : α, ro : α H Ω ( Ω Der Enschwngvorgang s nach ener Ze / (bzw. / 5 wegehend abgeschlossen und be / (bzw. / nahezu völlg ausgedämpf. Das Sysem geh n den engeschwungenen Zusand über. De Lösung s dann unabhängg von den Anfangsbedngungen.
Besmmung der Inegraonskonsanen aus den Anfangsbedngungen De Anfangsbedngungen geben den Zusand zum Zepunk (oder jeder anderen als Sarzepunk defneren Ze an. Dazu werden be ener Dfferenalglechung zweer Ordnung zwe Angaben benög. Alle Bewegungsglechungen der Mechank snd Dfferenalglechungen zweer Ordnung (. Newonsches Gesez und de benögen Angaben snd: ( ( und ( v( v. Des gl dam auch für de Schwngungsglechung: ( ( ( v e ( [ Acos( Bsn( ] d d A G cos( ϕ ( G cos( Ω ϕ A BΩGsn( ϕ De Konsanen A und B lassen sch aus desem lnearen Glechungssysem lech besmmen. Man kann dann z.b. A und B n de Amplude C und den Phasenfakor α umrechnen. 3
Schwebung Überlagern sch zwe Schwngungen nahezu glecher Frequenz und verglechbarer Amplude, so komm es zu ener sogenannen Schwebung: A [ sn( sn( ] m / ± und << Trgonomersche Umformung ergb: Acos( sn( Des s ene Snus-Schwngung m der Frequenz, deren Amplude langsam m moduler s: B( sn( B( Acos( / A /.5 - - 5 5 4
Gekoppele Schwngungen I Häufg snd mehrere Oszllaoren anenander wederum harmonsch gekoppel. Wr berachen her nur den enfachen Fall zweer denscher Oszllaoren, z.b. zwe densche Pendel, de durch ene Feder gekoppel snd: De gekoppelen Schwngungsglechungen haben dann de Form: m&& m&& D D D D ( ( D mg / L g L und D m 5
6 Gekoppele Schwngungen II De beden Telchen können grundsäzlch n zwe verschedenen Moden schwngen: a glechphasg ( oder b gegenphasg ( > sn( sn( cos( cos( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ± ± ± ± und A A Allgemen ergb sch naürlch ene Überlagerung deser Moden. De allgemene Lösung laue:
Gekoppele Schwngungen III De Lösung ha offenschlch de Form ener Schwebung. Es kann also de Energe von enem Pendel auf das andere Pendel und zurück perodsch / A - - überragen werden. 5 5 / A - - 5 5 7