TEIL I: Analoge Filter

TEIL I: Analoge Filter Version vom 11. Juli 212 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 1

Literatur: L. D. Paarmann, Design And Analysis of Analog Filters: A Signal Processing Perspective. Kluwer Academic Publishers, 21. D. Kreß and D. Irmer, Angewandte Systemtheorie. Oldenbourg Verlag, München und Wien, 199. O. Mildenberger, Entwurf analoger und digitaler Filter. Vieweg, 1992. R. Schaumann and Mac E. Van Valkenburg, Design of Analog Filters. Oxford University Press, 21. Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

Kapitel 1 Grundlagen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 3

1.1 Phasen- und Gruppenlaufzeit, Dämpfung Annahme: Übertragungsfunktion G(f ) = G(f ) e jϕ(f ) Dämpfung: a(f ) = 1 log 1 G(f ) 2 = 2 log 1 G(f ) db Phasenlaufzeit: Gruppenlaufzeit: t ph (f ) = 1 2π ϕ(f ) f t g (f ) = 1 2π dϕ(f ) df Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4

1.2 Paley-Wiener-Theorem ist G(f ) quadratisch integrierbar, d.h, gilt G(f ) 2 df <, dann (und nur dann) ist die Bedingung ln G(f ) 1 + (2πf ) 2 df < notwendig und hinreichend für die Existenz einer kausalen Impulsantwort g(t) Hinweis 1: die quadratische Integrierbarkeit ist z.b. bei Hochpassfiltern oder Bandsperren nicht erfüllt Hinweis 2: auch wenn zu einem vorgegebenen G(f ) 2 bzw. a(f ) eine kausale Impulsantwort existiert, ist das Filter nicht notwendigerweise auch realisierbar Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 5

1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung ein (lineares, zeitinvariantes) Netzwerk mit N unabhängigen Speicherelementen kann durch eine Differentialgleichung N-ter Ordnung beschrieben werden entsprechend ergibt sich für die Übertragungsfunktion G p (p) eine gebrochen rationale Funktion gemäß G p (p) = M µ= α µp µ N ν= β νp ν = α + α 1 p + + α M p M β + β 1 p + + β N p N. in Pol-Nullstellenform gilt G p (p) = k p (p p 1 )(p p 2 )... (p p M ) (p p 1 )(p p 2 )... (p p N ) mit k p = α M β N. Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6

1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung U 1 (p) Netzwerkmodell für Analogfilter: α α 1 α M 1 p 1 p 1 p 1 p U 2 (p) β β 1 β M β N 1 1 β N Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 7

1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung wichtige Randbedingungen: alle Filterkoeffizienten α µ und β ν sind reell die Nullstellen p,µ, µ = 1,2,...,M, und die Polstellen p ν, ν = 1, 2,..., N, sind entweder reell oder sie treten in konjugiert komplexen Paaren auf für BIBO-Stabilität wird gefordert: M N der Realteil aller Polstellen ist negativ / das Nennenpolynom ist ein Hurwitzpolynom (für β N = 1 muss für alle Koeffizienten des Nennerpolynoms gelten: β ν >, ν =, 1, 2,..., N.) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8

1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung Kettenschaltung von Teilsystemen 1. und 2. Ordnung: die Übertragungsfunktion G p (p) kann als Produkt von Gliedern erster und zweiter Ordnung ausgedrückt werden G p (p) = k p M 1 µ=1 N 1 ν=1 (p p µ M2 µ=1 (p p ν ) N2 ν=1 (p 2 + γ µ p + δ µ ) p 2 + ǫ ν p + η ν ) p µ und p ν sind dabei reelle Null- und Polstellen die Nullstellen (Polstellen) der Ausdrücke p 2 + γ µ p + δ µ (p 2 + ǫ ν p + η ν ) sind entweder konjugiert komplex oder reell es gilt also : M = M 1 + 2M 2 ; N = N 1 + 2N 2 damit kann jedes Filter N-ter Ordnung durch Filter 1. und 2. Ordnung kaskadiert werden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 9

1.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration: Allpasskonfiguration: ein (fiktives) Teilsystem G p (p) = p+p 1 p p 1 hat einen konstanten Amplitudengang bei einem Allpass liegen allen Polstellen spiegelbildlich zur jω-achse Nullstellen gegenüber da komplexe Pole als konjugiert komplexe Paare auftreten müssen, gilt demnach: G p (p) = (p + p 1)(p + p 2 )... (p + p N ) (p p 1 )(p p 2 )... (p p N ) die Gruppenlaufzeit eines Allpasses ist niemals negativ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 1

1.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration: Minimalphasenkonfiguration: bei einem Minimalphasensystem liegen alle Nullstellen in der linken Halbebene oder auf der jω-achse jedes Nicht-Minimalphasensystem kann in ein Allpass-Teilsystem und ein Minimalphasen-Teilsystem zerlegt werden da die Gruppenlaufzeit eines Allpasses niemals negativ ist, besitzt ein Minimalphasensystem von allen möglichen Systemen mit identischem Dämpfungsverlauf die kleinste Gruppenlaufzeit Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 11

1.5 Randbedingungen für den Dämpfungsverlauf häufig wird beim Filterentwurf ein bestimmter Dämpfungsverlauf a(f ) bzw. G(f ) 2 angestrebt Frage: Welche Kriterien muss der Dämpfungsverlauf erfüllen, damit damit das Filter realisierbar ist? Ausgangspunkt: Y (f ) = G(f ) 2 = G(f ) G(f ) = G(f )G( f ) mit G(f ) = G p (p) p=j2πf und Y (f ) = Y p (p) p=j2πf folgt auch Y p (p) = G p (p) G p ( p) Y p (p) muss in G p (p) und G p ( p) faktorisiert werden können und ist ebenfalls eine gebrochen rationale Funktion Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 12

1.5 Randbedingungen für den Dämpfungsverlauf G(f ) 2 ist nur dann ein geeigneter Dämpfungsverlauf mit zugehörigem G p (p), wenn G(f ) 2 nur geradzahlige Potenzen von f enthält (f, f 2,...) die Ordnung des Zählerpolynoms nicht größer als die Ordnung des Nennerpolynoms ist G(f ) 2 keine reellen Polstellen hat (entspricht der Bedingung, dass Y p (p) keine Polstellen auf der jω-achse hat) G(f ) 2 keine reellen Nullstellen hat, die mit ungerader Anzahl vorkommen das zugehörige Y p (p) in G p (p) und G p ( p) faktorisiert werden kann Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 13

Kapitel 2 Filter 1. Ordnung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 14

2.1 Tiefpass Realisierung und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 15

2.1 Tiefpass Dämpfungsverlauf 1log 1 G(f ) 2 db 5 1 15 2 25 1 2 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 16

2.1 Tiefpass Phasenverlauf 1 2 ϕ(f ) in Grad 3 4 5 6 7 8 9 1 2 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 17

2.1 Tiefpass Verlauf der Gruppenlaufzeit 1.9.8.7 tg(f )/T.6.5.4.3.2.1 1 2 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 18

2.2 Hochpass Realisierung und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 19

2.2 Hochpass Dämpfungsverlauf 2 1log 1 G(f ) 2 db 4 6 8 1 12 14 16 18 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

2.2 Hochpass Phasenverlauf 9 8 7 ϕ(f ) in Grad 6 5 4 3 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 21

2.2 Hochpass Verlauf der Gruppenlaufzeit 1.9.8.7 tg(f )/T.6.5.4.3.2.1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 22

2.3 Shelving-Tiefpass Passive Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G(f ) = 1 + j2πft z 1 + j2πft p = 1 + jf /f gz 1 + jf /f gp mit f gz = 1 2πT z, f gp = 1 2πT p ϕ(f ) = arctan(f /f gz ) arctan(f /f gp ), wobei f gz > f gp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 23

2.3 Shelving-Tiefpass Impulsantwort (passive Realisierung) aus der Übertragungsfunktion G(f ) = 1 1 + j2πft p + j2πft z 1 + j2πft p folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zunächst g(t) = 1 e t Tp s(t) + d ( ) Tz e t Tp s(t) T p dt T p und damit g(t) = T z T p δ(t) + 1 T p e dabei ist s(t) der Einheitssprung t Tp ( 1 T ) z T p s(t) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 24

2.3 Shelving-Tiefpass Aktive Realisierung und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 25

2.3 Shelving-Tiefpass Dämpfungsverlauf (passive Realisierung) Darstellung für f gz = 1f gp (passives Filter) 1 1log 1 G(f ) 2 db 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f gp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 26

2.3 Shelving-Tiefpass Phasenverlauf Darstellung für f gz = 1f gp 5 ϕ(f ) in Grad 1 15 2 25 3 35 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f gp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 27

2.3 Shelving-Tiefpass Verlauf der Gruppenlaufzeit Darstellung für f gz = 1f gp 1.2 1 tg(f )/(Tp Tz).8.6.4.2.2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f gp Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 28

2.4 Shelving-Hochpass Passive Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G(f ) = T p T z 1 + j2πft z 1 + j2πft p = f gz f gp 1 + jf /f gz 1 + jf /f gp mit f gz = 1 2πT z, f gp = 1 2πT p ϕ(f ) = arctan(f /f gz ) arctan(f /f gp ), wobei f gp > f gz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 29

2.4 Shelving-Hochpass Impulsantwort (passive Realisierung) aus der Übertragungsfunktion G(f ) = T p T z 1 1 + j2πft p + j2πft p 1 + j2πft p folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zunächst g(t) = 1 T z e t Tp s(t) + d dt ) (e t Tp s(t) und damit ( g(t) = δ(t) e t Tp 1 1 ) T p T z s(t) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 3

2.4 Shelving-Hochpass Aktive Realisierung und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 31

2.4 Shelving-Hochpass Dämpfungsverlauf (passive Realisierung) Darstellung für f gp = 1f gz (passives Filter) 1 1log 1 G(f ) 2 db 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f gz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 32

2.4 Shelving-Hochpass Phasenverlauf 35 Darstellung für f gp = 1f gz 3 ϕ(f ) in Grad 25 2 15 1 5 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f gz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 33

2.4 Shelving-Hochpass Verlauf der Gruppenlaufzeit Darstellung für f gp = 1f gz.4.2 tg(f )/(Tz Tp).2.4.6.8 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f gz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 34

2.4 Shelving-Hochpass Antwort auf einen (schmalbandigen) Raised-Kosinus Impuls Darstellung für f gp = 1f gz 1.8 Ausgangsimpuls Eingangsimpuls Amplitude.6.4.2.2 1 5 5 1 normierte Zeit t/t g () Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 35

2.5 Allpass Aktive Realisierung (1) und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 36

2.5 Allpass Übertragungsfunktion (aktive Variante (1) ) G(f ) = 1 j2πft 1 + j2πft = 1 1 + j2πft j2πft 1 + j2πft zugehörige Impulsantwort g(t) = δ(t) + 2 T e t T s(t) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 37

2.5 Allpass Aktive Realisierung (2) und PN-Diagramm Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 38

2.5 Allpass Phasenverlauf (Variante (1)) 2 4 ϕ(f ) in Grad 6 8 1 12 14 16 18 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 39

2.5 Allpass Verlauf der Gruppenlaufzeit 2 1.8 1.6 1.4 tg(f )/T 1.2 1.8.6.4.2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f g Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 4

Kapitel 3 Filter 2. Ordnung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 41

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G p (p) = ω 2 p 2 + p ω Q + ω2 mit ω 2 = 1 LC,Q = 1 R L C G(f ) 2 = [1 (f /f ) 2 ] 2 + (f /f ) 2 /Q 2 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 42

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Amplitudengang in Abhängigkeit der Güte 2 15 1log 1 G(f ) 2 db 1 5 5 1 15 2 Q=1 Q=2 Q=.71 Q=.5 25 1 2 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 43

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Amplitudengang: 3 db-breite der Resonanzüberhöhung normierter Amplitudengang in db.5 1 1.5 2 2.5 Q=2 Q=1 Q=5 3.8.85.9.95 1 1.5 1.1 1.15 1.2 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 44

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Amplitudengang: maximal flacher Verlauf für Q = 1/ 2.2.1 1log 1 G(f ) 2 db.1.2.3.4 Q = 1/ 2 = 18/6 Q = 19/6 Q = 17/6.5 1 2 1 1 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 45

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Gruppenlaufzeit in Abhängigkeit der Güte 5 4.5 tg(f ) πf 4 3.5 3 2.5 2 1.5 Q=5 Q=2 Q=.71 Q=.5 1.5 1 2 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 46

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Gruppenlaufzeit: maximal flacher Verlauf für Q = 1/ 3 1.4 1.3 1.2 Q = 1/ 3 = 3/ 27 Q = 3/ 28 Q = 3/ 26 tg(f )/tg() 1.1 1.99.98.97.96 1 2 1 1 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 47

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 6 4 Q=5 Q=2 2 g(t)/f 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 normierte Zeit t f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 48

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 1.8 1.6 1.4 Q=5 Q=2 1.2 h(t) 1.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 normierte Zeit t f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 49

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 3 2.5 2 Q=.71 Q=.5 Q=.25 g(t)/f 1.5 1.5.5.5 1 1.5 2 2.5 3 normierte Zeit t f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 5

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Impuls- und Sprungantwort 1 h(t).8.6.4 Q=.71 Q=.5 Q=.25.2.5 1 1.5 2 2.5 3 normierte Zeit t f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 51

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierungsvariante: Sallen-Key Tiefpassfilter 1 für R 1 = R 2 = R gilt: ω = R,Q = 1 C2 C 1 C 2 2 C 1 (Bild aus: Active Filter Design Techniques, Texas Instruments) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 52

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (1) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 53

3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar) Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (2) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 54

3.2 Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G p (p) = p 2 p 2 + p ω Q + ω2 aktive Realisierungsvariante mit ω 2 = 1 LC,Q = 1 R G p,hp (p/w ) = G p,tp (w /p) im Sallen-Key Tiefpassfilter Cs und Rs vertauschen L C Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 55

3.2 Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) vom Tiefpass zum Hochpass (Amplitudengang) 1 8 6 Tiefpass, Q=2 Hochpass, Q=2 1log 1 G(f ) 2 db 4 2 2 4 6 8 1 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 56

3.2 Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (1) die folgenden 2 Folien zeigen den Amplitudengang, die Gruppenlaufzeit und die Sprungantwort für f = 2 Hz Gruppenlaufzeitverzerrungen sind bis ca. 15 Hz hörbar Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 57

3.2 Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (2) 1 log 1 G(f ) 2 db Summe 5 Tiefton Hochton 1 1 1 1 2 1 3 1 4 Frequenz f in Hz tg(f ) in ms 2 1.5 1.5 Summe 1 1 1 2 1 3 1 4 Frequenz f in Hz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 58

3.2 Hochpass (zusätzliche doppelte Nullstelle) Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (3) 1.8 Sprungantwort h(t).6.4.2.2.4.6.8 1.5 1 1.5 2 2.5 3 Zeit t in ms Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 59

3.3 Bandpass (zusätzliche einfache Nullstelle) Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G p (p) = p ω Q p 2 + p ω Q + ω2 mit ω 2 = 1 LC,Q = 1 R L C für Q.5 wie Kettenschaltung aus TP und HP erster Ordnung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 6

3.3 Bandpass (zusätzliche einfache Nullstelle) 3 db Breite bei Q 1 1log 1 G(f ) 2 db Q=2 Q=1 Q=5.5 Q=3 1 1.5 2 2.5 3.8.85.9.95 1 1.5 1.1 1.15 1.2 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 61

3.3 Bandpass (zusätzliche einfache Nullstelle) aktive Realisierungsvariante (1): Sallen-Key Bandpassfilter mit G = 1 + R 2 R 1, ω = 1 RC und Q = 1 3 G gilt hier: G p (p) = Q 3 1/Q p ω Q p 2 +p ω Q +ω 2 (Bild aus: Active Filter Design Techniques, Texas Instruments) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 62

3.3 Bandpass (zusätzliche einfache Nullstelle) aktive Realisierungsvariante (2): Multiple Feedback Filter mit ω = 1 C R1 +R 3 R 1 R 2 R 3 und Q = ω 2 CR 2 gilt hier: G p (p) = R p ω 2 2R 1 Q p 2 +p ω Q +ω 2 (Bild aus: Active Filter Design Techniques, Texas Instruments) aktive Realisierungsvariante (3): Tow-Thomson-Biquad Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 63

3.4 Notch-Filter Realisierung und PN-Diagramm Übertragungsfunktion G p (p) = p2 + p ω Q + ω2 p 2 + p ω Q k + ω2 mit ω 2 = 1 LC, Q = 1 L R 2 C, k = R 2 R 1 + R 2 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 64

3.4 Notch-Filter Amplitudengang und 3 db Breite 1log 1 G(f ) 2 db 3 6 9 Q=2, k=1/2 Q=1, k=1/2 Q=2, k=1/4 Q=1, k=1/4 12.2.4.6.8.951.5 1.2 1.4 1.6 1.8 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 65

3.5 Notch-Tiefpass PN-Diagramm und möglicher Ansatz zur Umsetzung Übertragungsfunktion G p (p) = p2 + p ω k 1 Q k 2 + (ω k 1 ) 2 p 2 + p ω Q + ω2 mit k 1 > 1 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 66

3.5 Notch-Tiefpass Amplitudengang und Anwendungsbeispiel Beispiel mit k 1 =2, k 2 =4 1 1log 1 G(f ) 2 db 5 5 1 15 2 Notch Tiefpass (Entzerrer) Hochpass mit Boost (Q=2) Hochpass entzerrt (Q=1/2) 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 67

3.6 Allpass PN-Diagramm und mögliche Realisierung (Bild aus: Active Filter Design Techniques, Texas Instruments) Übertragungsfunktion G p (p) = k p (p + p 1)(p + p 2 ) (p p 1 )(p p 2 ) mit p 1/2 = ω 2Q ±ω 1 (2Q) 2 1 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 68

3.6 Allpass Gruppenlaufzeit in Abhängigkeit der Güte 4.5 4 3.5 tg(f ) π f 3 2.5 2 1.5 Q=2 Q=1 Q=.577 Q=1/2 1.5 1 2 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 69

Kapitel 4 Standard Tiefpass- Approximationen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 7

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Ausgangspunkt: Amplitudengang G(f ) 2 = 1 + 1 ( ) 2N f fc Merkmal: maximal flache Charakteristik im Durchlassbereich (Phasengang wird erkauft) Polstellen mit G(ω) 2 = G(ω)G( ω) = G p (p)g p ( p) p=jω folgt zunächst für die 2N verschiedenen Pole p ν, ν =,1,...,2N 1, von Y p (p) = G p (p)g p ( p): p ν = ω c e jϕ ν mit ϕ ν = π 2N + ν π N für N gerade, p ν = ω c e jϕ ν mit ϕ ν = ν π N für N ungerade G p (p) werden genau die N verschiedenen Pole von Y p (p) zugeordnet, die in der linken Halbebene liegen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 71

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) PN-Diagramme für verschiedene Filterordnungen (1) N = 2 N = 3 1 1 jω/ωc.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.5.5 1 σ/ω c jω/ωc.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.5.5 1 σ/ω c Anmerkung: k p = ω N c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 72

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) PN-Diagramme für verschiedene Filterordnungen (2) N = 4 N = 5 1 1 jω/ωc.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.5.5 1 σ/ω c jω/ωc.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.5.5 1 σ/ω c Anmerkung: k p = ω N c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 73

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Amplitudengang in Abhängigkeit des Filtergrads 2 1log 1 G(f ) 2 db 4 6 8 1 12 14 16 18 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 N=1 2 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 74

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Kaskadierung eines Filters 5. Ordnung 5 1log 1 G(f ) 2 db 5 1 15 gesamt reelle Polstelle Polpaar 1 Polpaar 2 jω/ωc 1.8.6.4.2.2.4.6.8 2 1 1 1 1 1 1.5 normierte Frequenz f /f c σ/ω c 1 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 75

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Gruppenlaufzeit in Abhängigkeit des Filtergrads 3 tg(f ) πfc 2.5 2 1.5 1 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5.5 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 76

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Sprungantwort 1.2 1.8 h(t).6.4 N=2 N=3 N=4 N=5.2.5 1 1.5 2 2.5 3 normierte Zeit t f c Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 77

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dämpfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (1) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 78

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dämpfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (2) notwendige Filterordnung: log N = ( 1 a min /1 1 1 a max/1 1 log ( fs f d ) ) zugehörige 3 db Grenzfrequenz f c f d ( 1 a max /1 1 ) 1 2N f c f s ( 1 a min /1 1 ) 1 2N Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 79

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dämpfungstoleranzschema: Beispiel f d = 2 khz, a max =.25 db, f s = 156.4 khz, a min = 8 db ergibt: N = 6, 25.3 khz f c 33.7 khz N=6 8 7 6 f c =25.3 khz f c =33.7 khz a(f ) db 5 4 3 2 1 1 2 3 5 8 1 156 normierte Frequenz f in KHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 8

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Normierte Reaktanzen, Widerstände und Frequenzen Bezugs-Kreisfrequenz: ω B (in rad/s) Bezugs-Widerstand: R B (in Ω) normierter Widerstand: R = R R B normierte Kapazität: C = C ω B R B normierte Induktivität: L = L ω B 1 R B normierte Kreisfrequenz bzw. Bildvariable: ω = ω ω B ; p = p ω B Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 81

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Dimensionierung eines passiven Polynomfilters Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 82

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Normierte Reaktanzwerte für r 2 = R 2 = 1 (Tabelle aus: Fritzsche Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 83

4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass) Normierte Reaktanzwerte für r 2 = R 2 = (Tabelle aus: Fritzsche Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 84

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Tschebyscheff Polynome erster Art Polynome für die Ordnungen bis 5: T (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2x 2 1 T 3 (x) = 4x 3 3x T 4 (x) = 8x 4 8x 2 + 1 T 5 (x) = 16x 5 2x 3 + 5x rekursive Berechnung: T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x) Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen: { cos(n arccos(x)) für 1 x 1 T n (x) = cosh(n arccosh(x)) sonst Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 85

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Tschebyscheff Polynome Verlauf für n = 3 und n = 5 1.5 Tn(x).5 1 1.5.5 1 1 x T n 2 (x).5 1.5.5 1 x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 86

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Ausgangspunkt: Amplitudengang G(f ) 2 = 1 1 + δ 2 T ) N( 2 f f d Merkmal: Restwelligkeit von a max = 1 log 1 (1 + δ 2 ) db im Durchlassbereich Equal Ripple Filter Phase wird erkauft die Frequenz f d bestimmt die Grenze des Durchlassbereichs (mit 2(1) = 1 gilt auch 1 log 1 G(f d ) 2 = a max ) ) ( ) 2N da TN( 2 f f d den Term f f d enthält, steigt die Dämpfung im Sperrbereich mit N 2 db pro Dekade. Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 87

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Polstellen zunächst werden wieder die Pole von Y p (p) = G p (p)g p ( p) bestimmt für die Pole p Y,ν, ν = 1,...,2N, von Y p (p) muss gelten δ 2 T 2 N ( py,ν jω d ) = 1 bzw. δ T N ( py,ν jω d ) = ±j der Übertragungsfunktion G p (p) werden die Pole in der linken Halbebene zugeordnet; es gilt (ν = 1,..., N) ( ) ( ) (2ν 1)π (2ν 1)π p ν = σ HA sin +jω HA cos, wobei 2N 2N ( ) ( ) 1 1 σ HA = sinh N arcsinh1 ω HA = cosh δ N arcsinh1 δ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 88

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Polstellen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 89

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass PN-Bilder für verschiedene Filterord., 1.25 db Ripple (1) N = 2 (Q = 1) N = 3 1 1 jω/ωd.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.5.5 1 σ/ω d jω/ωd.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.5.5 1 σ/ω d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 9

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass PN-Bilder für verschiedene Filterord., 1.25 db Ripple (2) N = 4 N = 5 1 1 jω/ωd.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.5.5 1 σ/ω d jω/ωd.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.5.5 1 σ/ω d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 91

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Amplitudengang in Abhäng. des Filtergrads (1.25 db Ripple) 2 1log 1 G(f ) 2 db 4 6 8 1 12 14 16 18 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 2 1 2 1 1 1 1 1 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 92

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Amplitudengang im Durchlassbereich (1.25 db Ripple) 2 1log 1 G(f ) 2 db 1.5 1.5.5 1 N=2 N=3 N=4 N=5 1.5 2.2.4.6.8 1 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 93

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Potenztiefpass vs. T1 Tiefpass (N = 5, 1.25 db Ripple) 1 1log 1 G(f ) 2 db 1 2 3 4 Tscheby1 (N=5) Butterworth (N=5) 5 1 2 1 1 1 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 94

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Potenztiefpass vs. T1 Tiefpass (N = 5, 1.25 db Ripple) 1 1log 1 G(f ) 2 db 2 3 4 5 6 Tscheby1 (N=5) Butterworth (N=5) 7 8 1 1 1 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 95

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Gruppenlaufzeit in Abhäng. des Filtergrads (1.25 db Ripple) 7 tg(f ) πfd 6 5 4 3 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 2 1.5 1 1.5 2 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 96

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Sprungantwort in Abhäng. des Filtergrads (1.25 db Ripple) 1.2 1.8 h(t).6.4.2 N=1 N=2 N=3 N=4 N=5 1 2 3 4 5 6 normierte Zeit t f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 97

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Dämpfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung notwendiger Filtergrad: N = r «1 arccosh a min /1 1 1 a max/1 1 arccosh f s f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 98

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Dämpfungstoleranzschema: Beispiel (1) f d = 2 khz, a max =.25 db, f s = 156.4 khz, a min = 8 db ergibt: N = 5 N = 5 genügt aber sogar für einen Ripple von nur.25 db 8 7 a max =.25 db a max =.25 db 6 a(f ) db 5 4 3 2 1 1 2 3 5 8 1 156 normierte Frequenz f in KHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 99

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Dämpfungstoleranzschema: Beispiel (2) Dämpfungsverlauf im Durchlassbereich für a max =.25 db und a max =.25 db.25.2 a(f ) db.15.1 a max =.25 db.5 a max =.25 db 5 1 15 2 normierte Frequenz f in KHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 1

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Dämpfungstoleranzschema: Beispiel (3) Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich für a max =.25 db und a max =.25 db.8.7 tg(f ) in ms.6.5.4.3.2 a max =.25 db a max =.25 db.1 5 1 15 2 normierte Frequenz f in KHz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 11

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Dimensionierung eines passiven Polynomfilters bzgl. der folgenden Tabellen wurde angenommen: normierter Widerstand r 2 = R 2 = ü normierte Grenzkreisfrequenz Durchlassbereich: ω d = 2π f d = 1 es ist gleichgültig, ob das erste Element s 1 ein Querelement (Kapazität) oder ein Längselement ist (Spule) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 12

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Normierte Reaktanzwerte für a max =.18 db (Tabelle aus: Fritzsche Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 13

4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass Normierte Reaktanzwerte für a max = 1.25 db (Tabelle aus: Fritzsche Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 14

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Ausgangspunkt: Amplitudengang G(f ) 2 1 = 1 1 + δ 2 T N( 2 fs ) = δ2 T ( 2 fs ) N f f 1 + δ 2 T N( 2 fs Merkmal: Restwelligkeit im Sperrbereich; die Minimaldämpfung beträgt von a min = 1 log 1 (1 + 1 δ 2 ) db Phase wird erkauft die Frequenz f s bestimmt die Grenze des Sperrbereichs (mit T 2 N (1) = 1 gilt auch 1 log 1 G(f s ) 2 = a min ) f ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 15

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Polstellen zunächst werden wieder die Pole von Y p (p) = G p (p)g p ( p) bestimmt bei identischem Parameter δ, der beim Typ 1 die Maximaldämpfung a max im Durchlassbereich und beim Typ 2 die Minimaldämpfung a min im Sperrbereich bestimmt, gilt für die normierten Pole p Y,ν, ν = 1,...,2N, von Y p (p) offensichtlich p Y,ν = j j 1 = 1 p Y,T1,ν p Y,T1,ν dabei sind p Y,T1,ν die normierten Polstellen von Y p,t1 (p) für den Fall eines Typ 1 Filters der Übertragungsfunktion G p (p) werden die Pole in der linken Halbebene zugeordnet; es gilt (ν = 1,..., N) p ν = 1/ p T1,ν Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 16

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Nullstellen der Amplitudengang G(f ) 2 besitzt Nullstellen bei den Frequenzen 1 N f,k = f s cos ( π ), k = 1,2,..., (2k 1) 2 2N die Nullstellen von G p (p) sind demnach: j 2πf,k Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 17

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ 1 Tiefpass (N=3) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 18

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ 1 Tiefpass (N=5) 2 N = 5 1.5 1.5 j ω.5 1 1.5 2 2.5 2 1.5 1.5.5 1 σ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 19

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang in Abhäng. des Filtergrads (a min = 2 db).25.2 G(f ) 2.15.1 N=2 N=3 N=5.5 2 4 6 8 1 normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 11

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang in Abhäng. des Filtergrads (a min = 2 db) 1.5 1log 1 G(f ) 2 db.5 1 1.5 2 N=2 N=3 N=5 2.5 3 1 2 1 1 1 normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 111

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (a min = 8 db) Darstellung incl. Übergangsbereich 1 1log 1 G(f ) 2 db 1 2 3 4 5 6 7 Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5, 8 1 3 1 2 1 1 1 normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 112

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (a min = 8 db).5 Darstellung des Durchlassbereichs 1log 1 G(f ) 2 db.5 1 1.5 2 2.5 Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5, 3 1 3 1 2 1 1 1 normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 113

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Gruppenlaufzeit im Vgl. zum Potenztiefpass (a min = 8 db) 1.8 1.6 1.4 tg(f )/tg() 1.2 1.8.6.4.2 Butterworth, N=2 Tscheby T2, N=2 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5, 1 4 1 3 1 2 1 1 1 normierte Frequenz f /f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 114

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Sprungantwort im Vgl. zum Potenztiefpass (a min = 8 db) 1.2 1 h(t).8.6.4 Butterworth, N=5 Tscheby T2, N=5,.2 5 1 15 2 normierte Zeit t f s Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 115

4.3 Tschebyscheff Typ 2 Tiefpass Notwendige Filterordnung notwendiger Filtergrad: N = gleiches Ergebnis wie beim Typ 1 Filter r «1 arccosh a min /1 1 1 a max/1 1 arccosh f s fd Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 116

4.4 Cauer Tiefpass Ausgangspunkt: Amplitudengang G(f ) 2 = 1 1 + δ 2 R ) N( 2 f f d,l Restwelligkeit im Durchlass- und Sperrbereich geringste notwendige Filterordnung bei vorgegebenen Parametern a min, a max, f s f d die Maximaldämpfung im Durchlassbereich beträgt a max = 1 log 1 (1 + δ 2 ) db; es gilt also δ = 1 a max/1 1 die Minimaldämpfung im Sperrbereich beträgt a min = 1 log 1 (1 + δ 2 L 2 ) db; es gilt also L 2 = 1a min /1 1 1 amax/1 1 ( ) R f N f d,l ist eine rationale elliptische Funktion vom Grad N Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 117

4.4 Cauer Tiefpass Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R 2 (x, 1) 2 15 1 R2(x, 1) 5 1 1 5 1 15 2 1 8 6 4 2 1 1 2 4 6 8 1 x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 118

4.4 Cauer Tiefpass Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R 4 (x, 1) 2 15 1 R4(x, 1) 5 1 1 5 1 15 2 8 6 4 2 1 1 2 4 6 8 x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 119

4.4 Cauer Tiefpass PN-Bilder für verschiedene Filterordnungen (1) Annahmen: a max =.5 db, a min = 3 db N = 2 N = 3 jω/ωd 6 4 2 2 4 6 jω/ωd 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 8 6 4 2 2 4 6 8 σ/ω d 3 2 1 1 2 3 σ/ω d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 12

4.4 Cauer Tiefpass PN-Bilder für verschiedene Filterordnungen (2) Annahmen: a max =.5 db, a min = 3 db 3 N = 4 1.5 N = 5 2 1 jω/ωd 1 1 jω/ωd.5.5 2 1 3 4 3 2 1 1 2 3 4 σ/ω d 1.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 σ/ω d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 121

4.4 Cauer Tiefpass Amplitudengang für N = 5 a max = 1 db, a min = 3 db 1 1 log 1 G(f ) 2 db 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 122

4.4 Cauer Tiefpass Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich 4.5 4 a max =.5 db, a min = 5 db tg(f )/tg() 3.5 3 2.5 2 1.5 1 N=2 N=3 N=4 N=5.5 1 2 1 1 1 normierte Frequenz f /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 123

4.4 Cauer Tiefpass Sprungantwort für N = 5 1.5 N=5, a min =5 db 1 h(t).5 a max =1 db a max =.5 db a =.1 db max a max =.1 db 1 2 3 4 5 normierte Zeit t f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 124

4.4 Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung näherungsweise gilt: a min + 2log 1 (1/δ) 2 log 1 (R N (f s /f d,l)) aus dem folgenden Diagramm kann für jede Parameterkonstellation f s /f d, a min und δ (δ = 1 a max/1 1) der notwendige Filtergrad abgelesen werden Beispiel: für f s /f d = 1.5, a min = 5 db und a max =.5 db bzw. a min + 2log 1 (1/δ) 59.1 db folgt N = 5 das gleiche Verfahren kann auch für den Potenztiefpass und den Tschebyscheff-Tiefpass angewendet werden; in diesen Fällen gilt a min + 2log 1 (1/δ) 2 N log 1 (f s /f d ) bzw. a min + 2log 1 (1/δ) 2 log 1 (cosh(n acosh(f s /f d ))) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 125

4.4 Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung eines Cauer Tiefpasses 14 amin + 2log 1 (1/δ) db 12 1 8 6 4 N=1 N=9 N=8 N=7 N=6 N=5 N=4 N=3 2 1.5 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.8 3. f s /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 126

4.4 Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung eines Tschebyscheff-Tiefpasses 14 amin + 2log 1 (1/δ) db 12 1 8 6 4 N=1 N=9 N=8 N=7 N=6 N=5 N=4 N=3 2 1.5 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.8 3. f s /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 127

4.4 Cauer Tiefpass Notwendige Filterordnung eines Potenz-Tiefpasses 12 amin + 2log 1 (1/δ) db 11 1 9 8 7 6 5 4 3 2 N=17 N=15 N=13 N=11 N=9 N=7 N=5 N=3 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.8 f s /f d Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 128

4.5 Besseltiefpass Entwurfsziel Polynomfilter mit maximal flacher Gruppenlaufzeit (Amplitudengang wird erkauft) möglicher Ansatz: Storch-Methode Besselpolynome Polynome für die Ordnungen bis 4: B (x) = 1 B 1 (x) = x + 1 B 2 (x) = x 2 + 3x + 3 B 3 (x) = x 3 + 6x 2 + 15x + 15 B 4 (x) = x 4 + 1x 3 + 45x 2 + 15x + 15 rekursive Berechnung: B n (x) = (2n 1)B n 1 (x) + x 2 B n 2 (x) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 129

4.5 Besseltiefpass Storch-Methode ideale Verzögerung (normiert): G p ( p) = e p = 1 e p e p = sinh( p) + cosh( p) Taylor-Reihe: cosh( p) = 1 + p2 2! + p4 4! + p6 6!... Taylor-Reihe: sinh( p) = p + p3 3! + p5 5!... Kettenbruch: coth( p) = cosh( p) sinh( p) = 1 p + 1 3 p + 1 5 p + 7 1 p +... Kettenbruch nach N Gliedern abbrechen und als gebrochen rationale Funktion darstellen; Zählerpolynom wird mit cosh( p) identifiziert, Nennerpolynom mit sinh( p) Zähler- und Nennerpolynom addieren (ergibt Besselpolynom) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 13

4.5 Besseltiefpass Übertragungsfunktion für die normierte Bildvariable soll gelten p = p t g () dabei ist t g () die Gruppenlaufzeit bei der Frequenz f = in diesem Fall gilt für die Übertragungsfunktion als Funktion der normierten Bildvariablen: es gilt demnach G(f = ) = 1 G p ( p) = B N() B N ( p) außerdem gilt für die normierte Gruppenlaufzeit: t g () = 1 für die Grafiken wurde außerdem f = f t g () angenommen, also ausnahmsweise p = 2π f (und nicht p = f ) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 131

4.5 Besseltiefpass Gruppenlaufzeit als Funktion der normierten Frequenz norm. Gruppenlaufzeit 1.95.9.8.7.6 N=2 N=5 N=1.5.5 1 1.5 2 normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 132

4.5 Besseltiefpass Dämpfung als Funktion der normierten Frequenz 1 1log 1 G( f ) 2 db 1 2 3 4 5 N=2 N=5 N=1 6.1.2.3.4.5.6.7.8 normierte Frequenz f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 133

4.5 Besseltiefpass relative Laufzeitabweichung als Funktion der Dämpfung relative Laufzeitabweichung in % 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 N=2 N=5 N=1 12 1 8 6 4 2 1log 1 G(f ) 2 db Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 134

4.5 Besseltiefpass Gruppenlaufzeit als Funktion der Frequenz.6.5 tg(f ) f3db.4.3.2 N=2.1 N=5 N=1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 normierte Frequenz f /f 3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 135

4.5 Besseltiefpass Dämpfung als Funktion der Frequenz 1 N=2 N=5 N=1 1log 1 G(f ) 2 db 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 2 normierte Frequenz f /f 3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 136

4.5 Besseltiefpass PN-Diagramm für verschiedene Filterordnungen 6 N=8 jω tg() 4 2 2 N=5 N=3 4 6 6 4 2 2 4 6 σ t g () Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 137

4.5 Besseltiefpass Impulsantwort 4 3.5 3 2.5 N=2 N=5 N=1 g(t)/f3db 2 1.5 1.5.5 1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 normierte Zeit t f 3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 138

4.5 Besseltiefpass Sprungantwort 1 h(t).8.6.4 N=2 N=5 N=1.2.2.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 normierte Zeit t f 3dB Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 139

Kapitel 5 Transformationen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 14

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Ziel: aus gegebener Tiefpass-Übertragungsfunktion G ptp (p) äquivalente Hochpass-Übertragungsfunktion G php (p) gewinnen schaltungstechnischer Ansatz: Kapazitäten im Querzweig des passiven Netzwerks (siehe S. 8) durch Induktivitäten ersetzen; Induktivitäten im Längszweig durch Kapazitäten die Transformationsvorschrift lautet demnach: p = 1/ p dabei ist p die normierte Bildvariable im TP-Bereich p ist die normierte Bildvariable im HP-Bereich eine Normierung von p bzw. p mit der Kreisfrequenz ω c führt bei logarithmischer Frequenzachse zu einer Spieglung des TP-Amplituden(betrags)gangs an der Frequenz ω c, denn es gilt log(ω c /ω) = log(ω/ω c ) die Normierung kann beispielsweise mit der Grenzfrequenz ω D = 2πf D des Durchlassbereichs erfolgen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 141

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Beispiel: Tschebyscheff Typ 1 HP- und TP-Filter 5. Ordnung 5 1log 1 G( ω) 2 db 1 15 2 25 3 35 Tiefpass Hochpass (transformiert) Hochpass (Matlab) 4 1 1 1 1 1 ω Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 142

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenem Dämpfungstoleranzschema 1 HP-Dämpfungstoleranzschema in normierte Form überführen (z. B. Normierung mit ω D ) 2 durch Frequenztransformation ω = 1/ω (das Vorzeichen spielt beim Dämpfungsverlauf keine Rolle) äquivalentes TP-Toleranzschema entwickeln 3 für gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff,... ) Filtergrad und TP-Übertragungsfunktion G ptp ( p ) ermitteln 4 G ptp ( p ) in HP-Übertragungsfunktion G php ( p) überführen gemäß 5 G php ( p) entnormieren G php ( p) = G ptp ( p ) p =1/ p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 143

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenem Dämpfungstoleranzschema Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 144

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p ν im TP-Bereich, ν {1,2,...,N } 1 es gilt: p p = 1 ν 1 = 1 p p p ν ν p p 1 p ν für die Pole im HP-Bereich gilt also mit N = N : p ν = 1 p ν, ν = 1,...,N es entstehen (N M ) Nullstellen im Ursprung sowie M Nullstellen gemäß: p µ = 1 p, µ = 1,... µ,m für die Konstante k p folgt: k p = k p N ( 1)N+M ν=1 1 p M ν µ=1 p µ Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 145

5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation Beispiel: Pole und Nullst. vor und nach der Transformation 3 rot: TP, blau: HP, Tscheby I Filter rot: TP, blau: HP, Tscheby II Filter 4 2 3 1 2 1 j Im{p} 7 j Im{p} 1 1 2 2 3 4 3 4 3 2 1 1 2 3 Re{p} 4 2 2 4 Re{p} Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 146

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Ziel: aus gegebener Tiefpass-Übertragungsfunktion G ptp (p) äquivalente Bandpass-Übertragungsfunktion G pbp (p) gewinnen das Amplitudenbetragsspektrum sei bei logarithmischer Frequenzachse symmetrisch zur Mittenfrequenz ω = 2πf für die Mittenfrequenz gilt also ω = ω D ω D = ω S ω S und demnach ω D ω = ω ω D bzw. (geometrischer Mittelwert) ω S ω = ω ω S sowie log(ω ) = 1 2 [log(ω D) + log(ω D )] (linearer Mittelwert) bzw. log(ω ) = 1 2 [log(ω S) + log(ω S )] Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 147

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Beispiel: Tschebyscheff Typ 1 BP-Filter 5. Ordnung 5 1log 1 G(ω) 2 db 1 15 2 25 3 35 B = ω D ω D 4 ω S ω D ω ω D ω S Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 148

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation schaltungstechnischer Ansatz: Kapazitäten im Querzweig des passiven Netzwerks (siehe S. 8) durch Parallelschwingkreise (Induktivität und Kapazität) ersetzen; Induktivitäten im Längszweig durch Serienschwingkreise Transformationsvorschrift: p = ( p + 1/ p)/ B p ist wieder die normierte Bildvariable im TP-Bereich p = p/ω ist die normierte Bildvariable im BP-Bereich; normiert wird demnach mit ω es ist vorteilhaft, den Ausdruck p + 1/ p zusätzlich mit der normierten Bandbreite B = B/ω = ω D ω D ω zu normieren dadurch korrespondiert die Frequenz ω D im BP-Bereich mit der Frequenz ω D = 1 im TP-Bereich für ω S folgt demnach: ω S = ω S 1/ ω S B Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 149

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Entwurf eines Bandpass-Filters bei gegebenem Dämpfungstoleranzschema 1 BP-Dämpfungstoleranzschema in normierte Form überführen, (Normierung mit ω ) 2 durch Frequenztransformation ω = ω 1/ ω TP-Toleranzschema entwickeln B äquivalentes 3 für gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff,... ) Filtergrad und TP-Übertragungsfunktion G ptp ( p ) ermitteln 4 G pbp ( p ) in BP-Übertragungsfunktion G pbp ( p) überführen gemäß 5 G pbp ( p) entnormieren G pbp ( p) = G ptp ( p ) p =( p+1/ p)/ B Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 15

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Entwurf eines BP-Filters bei gegebenem D.-toleranzschema Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 151

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p ν im TP-Bereich, ν {1,2,...,N } 1 es gilt: = B p p = 1 ν / B p ν p+ 1 p p p 2 p( p ν B)+1 für die N = 2N Pole im BP-Bereich gilt also: p ν1,2 = p B ν ( p B/2) 2 2 ± ν 1 es entstehen (N M ) Nullstellen im Ursprung sowie 2M Nullstellen gemäß: p µ1,2 = p µ B 2 ± ( p B/2) 2 µ 1 für die Konstante k p folgt: k p = k p B N M Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 152

5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation Beispiel: Transformation eines Tschebyscheff I-Filters 2 rot: TP, blau: BP, Tscheby I Filter Amplitudengang Bandpass und Tiefpass (normierte Frequenzachse) j Im{p} 1.5 1.5 7 G(f) in db 1 2 3 Tiefpass Bandpass.5 4 1 1.5 5 2 2 1 1 2 Re{p} 6 1 1 1 normierte Frequenz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 153

TEIL II: Digitale Filter Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 154

Literatur: A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Zeitdiskrete Signalverarbeitung. R. Oldenbourg Verlag, 1999. D. Kreß and D. Irmer, Angewandte Systemtheorie. Oldenbourg Verlag, München und Wien, 199. K.D. Kammeyer and Kristian Kroschel, Digitale Signalverarbeitung. Vieweg + Teubner, 29. Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 155

Kapitel 6 Rekursive zeitdiskrete Filter Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 156

6.1 Bilinear-Transformation Ziel: aus gegebenen Übertragungsfunktion G p (p) eines zeitkontinuierlichen Filters Übertragungsfunktion G z (z) eines rekursiven diskreten Filters gewinnen Ansatz: 1 p (idealer Integrator) als Elementarbaustein des kontinuierlichen Filters durch t z+1 2 z 1 ersetzen (diskreter idealer Integrator, Stützstellenabstand t = 1/f p ) die Transformationsvorschrift lautet demnach: G z (z) = G p (p ) p = 2 z 1 t z+1 (1) der exakte Zusammenhang zwischen p und z wäre durch p = 1 t ln(z) gegeben (G z (z) wäre dann aber keine gebrochen rationale Funktion mehr) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 157

6.1 Bilinear-Transformation die Bilineartransformation führt also zu einer Verzerrung der Übertragungsfunktion in Frequenzrichtung der Zusammenhang zwischen f (unverzerrt) und f (verzerrt durch Bilineartransformation) lautet: f = 1 t 1 π tan(πft ) (2) ist das Dämpfungstoleranzschema eines Digitalfilters gegeben, dann werden die Eckfrequenzen f D und f S zunächst vorverzerrt; das auf die vorverzerrten Eckfrequenzen f D und f S zugeschnittene Analogfilter wird dann per Bilineartransformation in ein Digitalfilter überführt entfällt der Vorfaktor 1/t in (2), kann auch der Vorfaktor 1/t in (1) entfallen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 158

6.1 Bilinear-Transformation Verzerrung der Frequenz durch die Bilinear-Transformation 1.5 f t.1.5.1.1.2.4.6.1.2.3.4 f t Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 159

6.1 Bilinear-Transformation Transformierte Pole und Nullstellen betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p ν, ν {1,2,...,N }, des Analogfilters; es gilt 1 p p ν = 1 2f p z 1 z+1 p ν = 1 2f p p ν z + 1 z 2f p+p ν 2f p p ν für die N Polstellen des rekursiven Digitalfilters gilt demnach in Abhängigkeit der N = N Polstellen des Analogfilters z ν = (2f p + p ν)/(2f p p ν), ν = 1,...,N besitzt das Zählerpolynom des Analogfilters den Grad M, ergeben sich für das Digitalfilter N M Nullstellen z µ bei 1 sowie M Nullstellen gemäß z µ = (2f p + p µ )/(2f p p µ ), µ = 1,...,M Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 16

6.1 Bilinear-Transformation Beispiel: Transformation eines Cauer-Tiefpasses 9. Ordnung 4 3 analoges Cauer Filter 9. Ordnung 1.8.6 digitales Cauer Filter 9. Ordnung 2.4 j Im{p} 1 1 j Im{z}.2.2 2.4 3.6 4.8 4 2 2 4 Re{p} 1 1.5.5 1 Re{z} Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 161

6.1 Bilinear-Transformation Beispiel: digitaler Tschebyscheff I-HP 5. Ordnung G(f) in db 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 digitaler Tschebyscheff I HP, N=5, f D /(f p /2)=.83 1 1 2 1 1 normierte Frequenz f/(f p /2) 1 j Im{z} 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 digitaler Tschebyscheff I HP, N=5, f D /(f p /2)=.83 1.5.5 1 Re{z} 5 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 162

6.2 Impulsinvariant-Methode Grundidee: Impulsantwort des Analogfilters durch Partialbruchzerlegung der Übertragungsfunktion (und anschließende Transformation in den Zeitbereich) analytisch bestimmen Impulsantwort abtasten und Einzelterme in den z-bereich transformieren u.u. großer Fehler durch Aliasing (Verletzung des Abtastth.) Partialbruchdarstellung von G p (p): G p (p) = a + n P r ν ν=1 k=1 a ν,k (p p ν ) k, wobei a = { fürm < N fürm = N α M βn p ν sind die n P unterschiedlichen Polstellen (Nullstellen des Nennerpolynoms) mit den Vielfachheiten r ν Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 163

6.2 Impulsinvariant-Methode Impulsantwort des Analogfilters: g c (t) = a δ(t) + n P r ν ν=1 k=1 a ν,k (k 1)! tk 1 e p νt s(t) s(t) ist der Einheitssprung, wobei s() = 1/2 gilt a δ(t) ist der direct feed-through term (nur für M = N vorhanden) Impulsantwort des zeitdiskreten Filters: g[n] = a δ[n] + n P r ν ν=1 k=1 t a ν,k (k 1)! (n t ) k 1 e p νnt s[n] Hinweis: der direct feed-through term darf nicht mit t bewertet werden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 164

6.2 Impulsinvariant-Methode Übertragungsfunktion des zeitdiskreten Filters: Annahme: nur einfache Pole, d.h., n P = N G z (z) = a + N ν=1 t a ν 2 z + z ν z z ν, wobei z ν = e p νt zusätzl. Beitrag eines Pols p ν mit der Vielfachheit 2: t a ν,1 2 z + z ν z z ν + t 2 a ν,2 z z ν (z z ν ) 2 zusätzl. Beitrag eines Pols p ν mit der Vielfachheit 3: t a ν,1 2 z + z ν z z ν +t 2 a ν,2 z z ν (z z ν ) 2 +t3 a ν,2 z z ν (z + z ν ) (z z ν ) 3 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 165

6.2 Impulsinvariant-Methode Beispiel: Zielvorgaben: a min = 7 db, a max =.5 db, f d = 2 khz, f s = 24 khz, Cauer-Tiefpass Charakteristik Cauer Filter 1. Ordnung, Impulsinvariantmethode 1 G(f) in db 2 3 4 5 Analogfilter f p =96 khz f p =192 khz f p =384 khz f p =768 khz 6 7 8 1 2 24 3 4 48 Frequenz f in khz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 166

6.2 Impulsinvariant-Methode Beispiel (Forts.): Darstellung des Durchlassbereichs.2 Cauer Filter 1. Ordnung, Impulsinvariantmethode G(f) in db.15.1.5.5 Analogfilter f p =96 khz f p =192 khz f p =384 khz f p =768 khz.1.15.2 1 2 Frequenz f in khz durch die Welligkeit im Sperrbereich tritt starkes Aliasing auf Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 167

6.2 Impulsinvariant-Methode Beispiel (Forts.): Vergleich Bilinear-Tr. / Impulsinvariant-M. Cauer Filter 1. Ordnung, Bilineartransformation, f p =768 khz Cauer Filter 1. Ordnung, Impulsinvariantmethode, f p =768 khz 1 1.8.8.6.6.4.4.2.2 j Im{z}.2 j Im{z}.2.4.4.6.6.8.8 1 1 1.5.5 1 Re{z} 1.5.5 1 Re{z} Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 168

6.2 Impulsinvariant-Methode weiteres Beispiel: Zielvorgaben: a min = 7 db, a max =.5 db, f d = 2 khz, f s = 24 khz, Tschebyscheff I-Tiefpass Charakteristik Tschebyscheff I Filter 16. Ordnung, Impulsinvariantmethode 1 Tschebyscheff I Filter 16. Ordnung, Impulsinvariantmethode 1.8 G(f) in db 2 3 4 5 Analogfilter f p =96 khz G(f) in db.6.4.2.2 Analogfilter f p =96 khz 6.4 7.6 8.8 9 1 1 2 24 3 Frequenz f in khz hier gibt es keine Aliasing-Probleme 1 1 1 2 24 3 Frequenz f in khz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 169

6.2 Impulsinvariant-Methode Anmerkungen zur Matlab-Implementierung impinvar : der direct feed-through term des Analogfilters darf NICHT mit t gewichtet werden; die MATLAB-Funktion impinvar ist in dieser Hinsicht falsch implementiert bei der MATLAB-Implementierung wird den kausalen Expontentialimpulsen an der Sprungstelle t = der rechtsseitige Grenzwert zugewiesen; dadurch folgt (für den Fall ausschließlich einfacher Pole) die etwas ungenauere Zuordnung G z (z) = a + n P ν=1 t a ν z z z ν, wobei z ν = e p νt der größte Fehler entsteht dabei bei f = die Impulsinvariant Methode eignet sich hervorragend, um die Impuls- oder Sprungantwort von Analogfiltern zu bestimmen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 17

6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen Direktform 1: Darstellung als Signalflussgraph Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 171

6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen Direktform 2: ergibt sich, wenn die vorherige Struktur (Direktform 1) transponiert wird Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 172

6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen Kaskaden- und Parallelstruktur: die Parallelstruktur folgt unmittelbar aus der Partialbruchzerlegung Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 173

6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung Annahme: quantisierter Koeffizient (Rückkoppelzweig): ˆβ ν = β ν + β ν, ν =,...,N 1 (β N = 1) β ν ist der Quantisierungsfehler Polstellen ohne Quantisierung: z i, i = 1,2,...,N Positionsfehler der i-ten Polstelle (Direktform 1): z i = N 1 ν= N 1 z i β ν = β ν ν= N k=1,k i z ν i (z i z k ) β ν ein einzelner quantisierter Koeffizient beeinflusst alle Pol-Lagen (Direktform 1) der Positionsfehler wächst mit sinkendem Abstand z i z k zwischen den Polen (und mit wachsender Anzahl der Pole) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 174

6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, f D =2 khz, N = 1) 1 2log 1 G(f ) db 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ideal Direktform 1, f s =96 khz 1 1 2 4 f in khz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 175

6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, f D =2 khz, N = 1) 1 2log 1 G(f ) db 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ideal Direktform 1, f s =192 khz Kaskade, f s =192 khz 1 1 2 4 f in khz Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 176

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens Beispiel: 3 Bit Quantisierung 1 Festkommadarstellung mit Matlab Ausgangsamplitude Q(x).8.6.4.2.2.4.6.8 1 RoundMode: nearest RoundMode: ceil RoundMode: floor 1.5.5 1 Eingangsamplitude x Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 177

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens Lineares Ersatzmodell eines Quantisierers hier: Runden zum nächsten Nachbarn x[n] e[n] Q(x[n]) bei einem (B+1) Bit Quantisierer gilt für die Quantisierungsstufenbreite: = X max /2 B f e (x) 1/ Φ ee (f ) 2 /(12 f p ) 2 2 x f p 2 f p 2 2 /12 f Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 178

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens IIR-Struktur der direkten Form 1 (Bsp. mit N = 2) x 1 [n] ˆx 1 [n] ŷ[n] Q B1 α 2 Q B z 1 α 1 β 1 z 1 z 1 α β z 1 Annahmen: (B+1) Bit Schieberegister (2B+1) Bit Addierer (also keine Rundung nach der Multiplikation der (B+1) Bit Festkommazahlen) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 179

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens IIR-Struktur der direkten Form 1: Lineares Ersatzschaltbild e 1 [n] e 2 [n] x 1 [n] ˆx 1 [n] α 2 ŷ[n] z 1 α 1 β 1 z 1 z 1 α β z 1 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 18

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens IIR-Struktur der direkten Form 1: Rauschvarianz σ 2 1 von ŷ[n] infolge der Rauschquelle e 1[n]: σ 2 1 = 2 B 1 12 fp /2 f p /2 G(f ) 2 df = 2 B 1 12 g 2 [n], n= Rauschvarianz σ2 2 von ŷ[n] infolge der Rauschquelle e 2[n], also infolge des internen Rundens: σ2 2 = 2 fp /2 B 12 G R (f ) 2 df = 2 B 12 gr[n], 2 f p /2 n= wobei G R (z) die Übertragungsfunktion des Rückkoppelzweigs ist: z N G R (z) = N ν= β mit β N = 1 νz ν Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 181

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens IIR-Struktur der direkten Form 1: wird hingegen nach jeder Multiplikation gerundet, werden also (B + 1) Bit Addierer verwendet, dann können insgesamt (M + 1 + N) Rauschquellen (Anzahl der Multiplizierer) zur Rauschquelle e 2 [n] zusammengefasst werden für die Rauschvarianz σ2 2 Rundens gilt dann von ŷ[n] infolge des internen σ 2 2 = (M + 1 + N) 2 B 12 fp /2 f p /2 G R (f ) 2 df bei der Kaskadierung von Filtern muss berücksichtigt werden, dass jedes ausgangsseitige Rauschen durch die nachfolgenden Stufen gefiltert wird Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 182

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens Rauschvarianz durch Rundung innerhalb der Schaltung hier: Filter 2. Ordnung mit (2B+1) Bit Addierern Hinweis: dargestellt wird σ 2 2 12/ 2 B 1 2 IIR Filter 2. Ordnung: Rauschbeitrag durch e 2 [n] normierte Rauschvarianz am Ausgang 1 1 analytische Schaetzung Simulation 1 5 1 15 2 quality factor Q Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 183

6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens Grenzzyklus als Folge von Rundung hier: Filter 2. Ordnung, 16 Bit Quantisierung 1 Antwort auf einen Rechteckimpuls 1 x 1 4 Antwort auf einen Rechteckimpuls.8.8.6.6.4 y[n].4.2.2 y[n].2.2.4.6.8.4 2 4 6 8 1 12 n 1 2 25 3 35 n Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 184

Kapitel 7 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 185

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Häufig verwendete Fensterfunktionen M=48 1.8 w[n].6.4.2 Rechteck Barlett Hann Hamming Blackman 1 2 3 4 5 n Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 186

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Rechteck Fenster, M=48 1 2 log 1 ( W(f)/ W() ) db 2 3 4 5 6 7 8.1.2.3.4.5 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 187

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Barlett Fenster, M=48 1 2 log 1 ( W(f)/ W() ) db 2 3 4 5 6 7 8.1.2.3.4.5 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 188

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Hann Fenster, M=48 1 2 log 1 ( W(f)/ W() ) db 2 3 4 5 6 7 8.1.2.3.4.5 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 189

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Hamming Fenster, M=48 1 2 log 1 ( W(f)/ W() ) db 2 3 4 5 6 7 8.1.2.3.4.5 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 19

7.1 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Häufig verwendete Fensterfunktionen (Fouriertransformierte) Blackman Fenster, M=48 1 2 log 1 ( W(f)/ W() ) db 2 3 4 5 6 7 8.1.2.3.4.5 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 191

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Amplitudengang bei verallgemeinerter linearer Phase (1) Fensterfunktion: w[n], n =,1,...,M vorausgesetzte Symmetrie: w[n] = w[m n] damit gilt für das Spektrum: W(f ) = W g (f ) e j2πft M/2 W g (f ) ist eine gerade (Index g ) reelle Funktion der Phasenterm korrespondiert mit der Zeitverschiebung M 2 t Symmetrie der zu approximierenden Impulsantwort: Fall (a): g i [n] = g i [M n] Fall (b): g i [n] = g i [M n] Symmetrie der zu approximierenden Übertragungsfunktion: Fall (a): G i (f ) = G i,g (f ) e j2πft M/2 G i,g (f ) ist eine gerade reelle Funktion Fall (b): G i (f ) = jg i,u (f ) e j2πft M/2 G i,u (f ) ist eine ungerade reelle Funktion G i (f ) besitzt eine konstante Gruppenlaufzeit Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 192

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Amplitudengang bei verallgemeinerter linearer Phase (2) Gesamtübertragungsfunktion: G(f ) = W (f ) G i (f ) = 1 f p f p /2 W g (ν) G i (f ν)dν e j2πft M/2, f p /2 wobei G i (f ) = G i,g (f ) bzw. G i (f ) = jg i,u (f ) das Verhalten der Gesamtübertragungsfunktion G(f ) in der Umgebung einer Sprungsstelle kann damit mit Hilfe des laufenden Integrals G(f ) 1 1 f p f f p /2 W g (ν)dν untersucht werden (Sprungstelle bei f =, siehe Grafiken) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 193

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode zum Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 194

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen Rechteck Fenster, M=48 1 δ db 21 db 2 2 log 1 G(f) db 3 4 5 6 7 8.1.5.5.1 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 195

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen Barlett Fenster, M=48 1 2 2 log 1 G(f) db 3 4 5 6 7 8.1.5.5.1 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 196

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen Hann Fenster, M=48 1 2 3 δ db 44 db G g (f) 4 5 6 7 8 9 1.1.5 f/f p.5.1 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 197

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen Hamming Fenster, M=48 1 2 G g (f) 3 4 5 6 7 8 9 δ db 53 db 1.1.5.5.1 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 198

7.2 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Verhalten der Übertragungsfunktion an Sprungstellen Blackman Fenster, M=48 1 2 2 log 1 G(f) db 3 4 5 6 δ db 75 db 7 8 9 1.1.5.5.1 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 199

7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Typen linearphasiger FIR-Filter: Typ 1: für die Impulsantwort gilt: g[n] = g[m n] M ist eine gerade ganze Zahl für G(f ) gilt damit G(f ) = G g (f ) e j2πf M 2 t, wobei G g (f ) = g [ M 2 ] + M/2 n=1 2g [ n + M 2 ] cos(2πfnt ) 3 1 2.5.8 2.6 g[n].4 G g (f) 1.5 1.2.5.2 2 4 6 n 1 1 f t Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 2

7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Typen linearphasiger FIR-Filter: Typ 2: für die Impulsantwort gilt: g[n] = g[m n] M ist eine ungerade ganze Zahl für G(f ) gilt damit G(f ) = G g (f ) e j2πf M 2 t, wobei G g (f ) = (M+1)/2 n=1 2g [ n + M 1 2 ] ( cos 2πf 2n 1 ) t 2 4 1 3.8 2 g[n].6.4 G g (f) 1 1.2 2 3.2 2 4 6 8 n 4 1 1 f t Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 21

7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Typen linearphasiger FIR-Filter: Typ 3: für die Impulsantwort gilt: g[n] = g[m n] M ist eine gerade ganze Zahl für G(f ) gilt damit G(f ) = jg u (f ) e j2πf M 2 t, wobei G u (f ) = M/2 n=1 2g [ n + M 2 ] sin(2πfnt ) 2 1.8 1.5.6 1.4.2.5 g[n] G u (f).2.4.5.6 1.8 1 1.5 2 4 6 n 2 1 1 f t Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 22

7.3 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Typen linearphasiger FIR-Filter: Typ 4: für die Impulsantwort gilt: g[n] = g[m n] M ist eine ungerade ganze Zahl für G(f ) gilt damit G(f ) = jg u (f ) e j2πf M 2 t, wobei G u (f ) = (M+1)/2 n=1 2g [ n + M 1 2 ] ( sin 2πf 2n 1 ) t 2 2.5 g[n] 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 2 4 6 8 n G u (f) 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 2.5 1 1 f t Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 23

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Fensterverlauf als Funktion von β Kaiser Fenster, M=48 1.8.6 w[n].4.2 β= β=3 β=6 β=9 1 2 3 4 n Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 24

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Fouriertransformierte als Funktion von β Kaiser Fenster, M=48 2 log 1 ( W(f)/ W() ) db 1 2 3 4 5 6 β= β=3 β=6 β=9 7 8.5.1.15.2.25 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 25

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Verhalten an spektraler Sprungstelle Kaiser Fenster, M=48 1 2 2 log 1 G(f) db 3 4 5 6 7 8 9 β= β=3 β=6 β=9 1.1.5.5.1 f/f p Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 26

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Approx.-fehler und Breite Übergangsbereich Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 27

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Approx.-fehler und Breite Übergangsbereich Parameter β in Abhängigkeit des Approximationsfehlers: a = 2 log 1 (δ) db β =.112(a 8.7) a > 5.5842(a 21).4 +.7886(a 21) 21 a 5 a < 21 notwendige Fensterbreite (M + 1) in Abhängigkeit von β und der spektralen Breite f des Übergangsbereichs: M + 1 =, a 8 2.285 2π f wobei f eine mit f p normierte Breite ist Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 28

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (1) Zielparameter: konstante Gruppenlaufzeit Minimaldämpfung im Sperrbereich: a min = 6 db Eckfrequenz Durchlassbereich: f D = f D /f p =.2 Eckfrequenz Sperrbereich: f S = f S /f p =.3 abgeleitete Entwurfsparameter: Grenzfrequenz f c des zu approximierenden idealen Tiefpass-Filters: f c =.25 (folgt aus der Symmetrie der Filterflanke, siehe Seite 27) Breite Übergangsbereich: f =.1 (Approximationsfehler von.1 im Durchlassbereich wird erkauft) β =.112(a 8.7) = 5.653 Filterordnung: (a 8)/(2.285 2π.1) 1 = 36 Impulsantwort: g[n] = 2 f c si(π2 f c (n M/2)) w[n], n 36 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 29

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (2) M=36, β=5.653, f D =.2, f S =.3, f c =.25, a min =a =6 db 1 2 2 log 1 ( G(f) ) db 3 4 5 6 7 8.1.2.3.4.5 f t Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 21

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (3) 1 x 1 3 Approximationsfehler ggb. idealem TP.5.5 1 1.5.1.2.3.4.5 f t Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 211

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (1) Zielparameter: konstante Gruppenlaufzeit Minimaldämpfung im Sperrbereich: a min = 6 db Eckfrequenz Durchlassbereich: f D = f D /f p =.3 Eckfrequenz Sperrbereich: f S = f S /f p =.2 abgeleitete Entwurfsparameter: für die Impulsantwort des Hochpassfilters gilt: ( ) g[n] = si(π(n M/2)) 2 f c si(π2 f c (n M/2)) w[n], n M, wobei der Subtrahend mit der Impulsantwort des äquivalenten Tiefpass-Filters korrespondiert für ein gerades M entartet si(π(n M/2) zu δ(n M/2) Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 212

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (2) abgeleitete Entwurfsparameter (Fortsetzung): für den äquivalenten Tiefpass ergeben sich die Parameter aus dem vorherigen Beispiel, also β = 5.653 und M = 36; allerdings wird der zulässige Approximationsfehler bei diesen Parametern im Sperrbereich überschritten; dieser Effekt ist auch aus der Abb. auf Seite 211 ersichtlich eine Erhöhung von β = 5.653 auf β = 5.8 sichert die geforderte Approximationsgüte (Minimaldämpfung) im Sperrbereich, allerdings muss auch M erhöht werden bei M = 37 (ungerade Zahl) handelt es sich um ein FIR-Filter vom Typ 2, das immer eine Nullstelle bei z = 1 aufweist; dieser Sachverhalt ist für die Approximationsgüte im Durchlassbereich eines Hochpass-Filters ungünstig (unendliche Dämpfung bei f = f p /2) eine Erhöhung auf M = 38 (FIR-Filter Typ 1) bringt die gewünschte Approximationsgüte Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 213

7.4 Entwurf von FIR-Filtern mit der Fenstermethode Kaiserfenster: Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (3) 1 2 3 4 M=37, β=5.652 M=38, β=5.8 5 6 7 8.1.2.3.4.5 Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 214