FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 Name, Vorname: Matr.-Nr.: Zugelassene Hilfsmittel: beliebiger Taschenrechner eine selbsterstellte Formelsammlung ein mathematisches Formelwerk Wichtige Hinweise: Ausführungen, Notizen und Lösungen auf den Aufgabenblättern werden nicht gewertet. Vor der Lösung ist deutlich die dazugehörige Nummer der Aufgabe zu vermerken. Die Aufgabenblätter sind zusammen mit den erstellten Lösungen abzugeben. Auf allen Lösungsblättern ist der Name deutlich zu vermerken. Aufgabe : Nennen Sie 5 konkrete Anwendungsbeispiele für den Einsatz elektrischer analoger oder digitaler Filter! Anwendungsbeispiele unter anderem - analoges Anti-Alias-Filter vor der Analog-Digital-Wandlung - analoges oder digitales Schleifenfilter in der Regelungstechnik zur Einstellung des Regelverhaltens - analoges Bandpassfilter (Zwischenfrequenzfilter) zur Auswahl eines Frequenzbandes in der Empfängertechnik - analoges oder digitales Filter zur Klangbeeinflussung akustischer Signale in der Audiotechnik - analoges Glättungsfilter nach der Digital-Analog-Wandlung Aufgabe ) Σ 5 Punkte Aufgabe 2: Ermitteln Sie die Gruppenlaufzeit (Angabe als reale Zeiten) der folgenden vier gegebenen Systeme! a) Impulsantwort 0,4 in 0,3 0,2 0, 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 in -0, -0,2-0,4-0,3 b) Impulsantwort =0,5 3 0,5 8
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 c) Phasenverlauf > $ & in?@a -5 0 5 0 5 20 in & bzw. : undefinierte Phasenwerte d) Übertragungsfunktion im z-bereich =0,0,2 0,3 0,3 0,2 0, mit der Abtastfrequenz =50 a) Impulsantwort mit ungeradem Verlauf um die Symmetrieachse! =9 konstante Gruppenlaufzeit # $% =9 b) grafische Darstellung der Impulsantwort in 0,5 0,5 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 in Impulsantwort mit geradem Verlauf um die Symmetrieachse! =5,5 konstante Gruppenlaufzeit # $% =5,5 c) # $% = & '( ) *%' '* Phasenanstieg in definierten Bereichen überall konstant konstante Gruppenlaufzeit Anstieg= ( ) * * = 4 5 4 5 678! = & 9:8 # $% = & ; & 9:8 <=!9:8 # $% =00 d) Rücktransformation der z-transformierten in den Zeitbereich ergibt =0, 0,2 0,3 20,3 3 0,2 40, 5 2
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 oder grafisch 0, 0,2 0,3 0,3 0,2 0, 0 2 3 4 5 Impulsantwort mit geradem Verlauf um die Symmetrieachse! =2,5 Abtastwerte konstante Gruppenlaufzeit normiert auf Anzahl Abtastwerte # B)C =2,5 Abtastwerte Entnormierung auf reale Zeit Abtastperiode = KLMNOMPQRSTRUV W =!9:8 =20 # $% =# B)C W =2,5 20 # $% =50 Aufgabe 2) Σ 9 Punkte Aufgabe 3: Stellen Sie die Übertragungsfunktion im z-transformierten Bereich von der gegebenen Signalflussstruktur des digitalen Filters auf! x(k) 2 0,5 y(k) X X X X 3-4 -5 D: Einheitsverzögerung um einen Abtastwert 0,2-0, X 3
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 Umwandlung der Signalflussstruktur in z-transformierte Größen Y _ 2 0,5 Y 3 0,2-4 -0, -5 Aufstellen der Eingangs-Ausgangsbeziehung aus der Signalflussstruktur Y =Y [\\\\\\\\\\]\\\\\\\\\\^ 0,2 Y 0, rekursive Pfade [\\\\\\\\\\\\\\\\\]\\\\\\\\\\\\\\\\\^ _ 2_ 3 _ 4 _ 5 nichtrekursiven Pfade Ausklammern von Y und _ ergibt Y =Y `0,2 0, a _ `23 4 5 a mit Y=Y 0,5 bzw. Y = b8 folgt!, b8 = b8!,!, `0,2 0, a_ `23 4 5 a Y=Y `0,2 0, a0,5 _ `23 4 5 a Y Y `0,2 0, a=_ `,5 2 2,5 a Ausklammern von Y ergibt Y ` 0,2 0, a=_ `,5 2 2,5 a = b8 c8 = d, 8ef 8 e5, 8 eg!, 8 ef d!, 8 e5 2 Aufgabe 3) Σ 7 Punkte Aufgabe 4: Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion h von folgender aktiven analogen Schaltung! Stellen Sie die Übertragungsfunktion in der p-ebene (Nullstellen, Polstellen, Konstante) dar und kennzeichnen Sie die 3 db-grenzfrequenz auf der ij-achse! Um welchen grundlegenden Filtertyp (Hochpass/Tiefpass/Bandpass/Bandsperre/Resonanzfilter/Notchfilter/Kammfilter) handelt es sich? n k l _ m n _ k 4
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 h= o p o q = r 5 r f mit s h=n h und s h=mn h folgt h= t 5 udt f Darstellung in der p-ebene Ermittlung der Konstanten K durch Ausklammern des Faktors vor der höchsten Potenz von p aus Zähler und Nenner h= t 5 t f d v wf Konstante: x= t 5 t f Nullstelle: h! =0 Polstelle: h u t f =0 h = u t f p-ebene ij ij '} = u t f h = u t f 45 0 h! ~ x= t 5 t f Es handelt sich um einen Hochpass. Aufgabe 4) Σ 7 Punkte Aufgabe 5: Ermitteln Sie die digitalen Filterstrukturen (in z-transformierter Form) für folgende gegebenen Übertragungsfunktionen! Die Filterstrukturen müssen keine kanonischen Strukturen darstellen. a) = 8y 8 5 d b) =5 8 z 8 5 d8 8 5!,8d!, a) = 8y 8 5 d 8 z { 8ez 8 ez = b8 c8 =2 4 3 Y=_ `2 4 3 a Y=_ 2_ 4_ 3 5
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 _ 2 Y -4 b) =5 8 5 d8 8 5!,8d!, = b8 c8 =5 d8 ef 8 e5 3 { 8e5 8 e5!,8 ef d!,8 e5 d8 ef 8 e5 Y=_ 5!,8 ef d!,8 e5 Y ` 0,2 0, a=_ 5 `2 a Y Y 0,2 Y 0, =_ 5 `2 a Y=_ 5 `2 ay 0,2 Y 0, _ 5 2 0,2 Y - -0, Aufgabe 6: Ein digitales Filter habe die folgende Impulsantwort. in 0 5 0 in nichtrekursive Pfade rekursive Pfade Aufgabe 5) Σ 7 Punkte -2 6
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 = 2 5 0 Stellen Sie den Betrags- und Phasenverlauf des Frequenzgangs des Filters im Bereich von 0 bis 500 grafisch dar! Geben Sie dabei die Phasenwerte im Intervall zwischen und an und kennzeichnen Sie auch die Frequenzpunkte, bei denen undefinierte Phasenwerte auftreten! Symmetrierung der Impulsantwort um den Nullpunkt Verschiebung von um 5 nach links in -5 0 5 in -2 =5 2 5 Fourier-Transformation eines Delta-Impulses an beliebiger Position! ƒtq RQ & ˆ* Anwendung ergibt den komplexen Frequenzgang = d & Š * 2 & Š * Zerlegung in Real- und Imaginärteil =cos2 5 i sin2 5 2 cos2 5 i sin2 5 Imaginärteil entfällt, somit bleibt übrig =2 cos2 5 2 Œ Ž=0 m Ž= Darstellung m Ž Periode & = =0,2 =200 Š m Ž 0 00 200 300 400 500 in -2-4 7
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 Betrag Ergebnis ist unabhängig von der Verschiebung der Impulsantwort im Zeitbereich = = 2 cos2 5 2 grafische Darstellung des Betragsverlaufs 4 2 0 00 200 300 400 500 in Phase Phasenverlauf des nullpunktsymmetrischen Systems > $ in?@a undefinierte Phasenpunkte frequenzabhängige Korrekturphase >! = 2! >! = 2 5 >! = 2 0 00 200 300 400 500 in * = *!!:8!!:8 >! in?@a 0 00 200 300 400 500 in 8
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 resultierende Phase des ursprünglichen Systems > $ => $ >! > $ in?@a 0 00 200 300 400 500 in oder undefinierte Phasenpunkte Phasenverlauf undefinierte Phasenpunkte Aufgabe 6) Σ 0 Punkte Aufgabe 7: Gegeben ist folgendes digitale IIR-Filter. Ordnung in z-transformierter Darstellung. _ Y - 0,9 mit = b8 c8 = d!, 8 ef Ermitteln Sie den Betrag des Frequenzganges des IIR-Filters! Berechnen Sie die Betragswerte für die Frequenzpunkte =0, = *, = und = * mit = als Abtastfrequenz und W als Abtastperiode! Stellen Sie die berechneten Werte für grafisch dar und interpolieren Sie zwischen den vier berechneten Punkten! = d!, 8 ef komplexer Frequenzgang Ersetzung = & * Betrag = = = = = d!, l e 54 d!, l e 54 d!, šš& *!, Š B& * œ`d!, šš& *a 5 d`!, Š B& *a 5 œ`d!, šš& *a 5 d`!, Š B& *a 5 9
FB ET/IT Filterentwurf WS 2/3 bzw. mit W = * = Berechnung der Frequenzpunkte =0 = žd!, ššÿ& 5 dž!, Š BŸ& 5 œ`d!, šš!a 5 d`!, Š B!a 5 =0 = =0,526 0,5, {;= * <{= d!, šš; 4 5 < 5 d!, Š B; 4 5 < 5 {;= * <{=0,743 0,5 {;= <{= d!, šš; g y &< 5 d!, Š B; g y &< 5 {;= <{=,36 0,5 {;= * <{= œ`d!, šš&a 5 d`!, Š B&a 5 {;= * <{=0 0,5 grafische Darstellung 0 5 2 0 * * * folgerichtige grafische Darstellung Aufgabe 7) Σ 6 Punkte Klausur Σ 5 Punkte 0