KAPITEL 9 Funtionenreihen 9. Taylor-Reihen.................................... 74 9.2 Potenzreihen..................................... 77 9.3 Methoden der Reihenentwiclung.......................... 90 9.4 Anwendungen.................................... 96 Lernziele 9 Potenzreihen: Taylorreihen, Taylorformel, Restglied nach Lagrange, Konvergenz, Konvergenzradius, Konvergenzbereich, Zentrum, absolute und gleichmäßige Konvergenz, Addition, Subtration von Potenzreihen Differentation, Integration von Potenzreihen Methoden der Reihenentwiclung wie?, Konvergenz bzw. Konvergenzbereich) mittels Taylor-Formel = Taylorreihe, beannte Reihen addieren oder subtrahieren gemeinsames Konvergenzintervall) beannte Reihen differenzieren oder integrieren gleiches Konvergenzintervall) unbestimmter Ansatz Anwendungen: Berechnung von Grenzwerten, Integration nicht geschlossen integrierbarer Integranden, 73
9 Funtionenreihen 9. Taylor-Reihen 9.. Taylor-Formel Es geht hierbei um die Approximation einer hinreichend oft differenzierbaren Funtion f durch das sogenannte Taylor-Polynom. Satz 9. Taylor-Formel) Für jede auf dem offenen Intervall I R n + )-mal stetig differenzierbare Funtion f und, x I gilt f x) = f ) + f )! mit dem Restglied x ) + f ) 2! x ) 2 +... + f n) ) x ) n + R n x, ) n! R n x, ) = n! x t) n f n+) t) dt nach Cauchy) bzw. R n x, ) = f n+) ξ) n + )! x ) n+ mit ξ zwischen x und, nach Lagrange). heißt Entwiclungspunt. Beweis: Für n = 0 lautet die Taylorformel f x) = f ) + f t) dt, das ist aber gerade der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und damit nachgewiesen. Ist die Funtion f mehr als einmal stetig differnzierbar, so önnen wir partiell 74
9. Taylor-Reihen integrieren: f x) = f ) + f t) dt = f ) + f t) d x t)) dt dt = f ) x t)f t) x + x t)f t) dt = f ) + f t)x ) + x t)f t) dt = f ) + f t)x ) + f t) d ) x t) 2 dt dt 2 x = f ) + f x t)2 t)x ) f t) 2 + x t) 2 f t) dt 2 a......... = f ) + f )! x ) + f ) 2! Insbesondere wurde dabei verwendet: )! x ) 2 +... + f ) ) x ) +!! x t) f ) t) dt = )! [ =! x t) f ) t) x + = f ) ) x ) +!! f ) t) d ) x t) dt dt ] f +) t) x t) dt x t) f +) t) dt. x t) f +) t) dt Die Darstellung des Restgliedes nach Lagrange ist nun eine Konsequenz des Mittelwertsatzes der Integralrechnung: n! a f n+) t) x t) n dt = n! f n+) ξ) a x t) n dt = f n+ ξ) n + )! x a)n+.# Folgerung 9.2 Deutung der Taylor-Formel) Sind die Werte einer Funtion f : I R und ihrer ersten n Ableitungen in einem Punt I im Innern beannt, dann wird f in der Umgebung des Puntes x = gut durch das Taylor-Polynom approximiert. px) = T n x, ) = f ) + f )x ) +... + f n) ) x ) n n! Die Kurven y = px) und y = f x) gehen beide durch a, f )), sie haben dort dieselbe Steigung und Krümmung sowie alle Eigenschaften gemeinsam, die sich aus den Ableitungen bis zur Ordnung n ergeben, da p ) ) = f ) ) n). Der Approximationsfehler ann mit Hilfe des Restglieds abgeschätzt werden. 75
9 Funtionenreihen Beispiel 9.3 Approximationsfehler) Es ist für = 0 e x = + x + x 2 So ergibt sich für x die Abschätzung 2! +... + x n n! + e ξ n + )! x n+. ex + x + x 2 2! +... + x ) n = e ξ n! n + )! x n+ e n + )! x n+. Bei einem tolerablen Fehler von z.b. ungefähr 0 7, ist n in Abhängigeit von x, ), so e zu bestimmen, dass n+)! x n+ gilt. 0 7 Im Fall x > zerlegt man x = + x mit Z und x < und rechnet mit e x = e e x. Folgerung 9.4 Anwendung: Extremwert-Test) Ist die Funtion f auf dem offenen Intervall I n-mal stetig differenzierbar und I mit dann gilt. Extremalstelle n gerade; f ) = f ) =... = f n ) ) = 0, f n) ) 0, 2. n gerade, f n) ) < 0 a ist loale Maximalstelle, n gerade, f n) ) > 0 a ist loale Minimalstelle. Beweis: Da f n) ξ) und f n) ) für ξ nahe dasselbe Vorzeichen haben, gilt f x) f ) = f n) ξ) x ) n. n! Ist n ungerade, so tritt ein Vorzeichenwechsel beim Übergang von x < nach x > auf. Ist dagegen n gerade, dann gilt stets x ) n > 0 für x ) und aus f n) ) < 0 folgt f x) < f ) für alle x nahe mit x. # Satz 9.5 Taylor-Reihe) Ist f auf dem offenen Intervall I beliebig oft differenzierbar und I, dann onvergiert die Taylor-Reihe genau für diejenigen x I gegen f x), f x) = f ) ) x ),! für die das Restglied R n x, ) = f n+) ξ) n! x ) n für n 0 gegen 0 strebt. 76
9.2 Potenzreihen Bemerung 9.6 Im Allgemeinen ist es schwierig, die Konvergenz der Taylorreihe durch Betrachtung des Restglieds zu erhalten. Trotzdem ist diese Untersuchung notwendig, da aus der Konvergenz der Potenzreihe =Taylorreihe) nicht folgt, dass die Taylorreihe gegen die Funtion f x) onvergiert. D.h. es ist möglich, dass die Potenzreihe gegen gx) f x) onvergiert, obwohl a n = f n) ) gilt. Nur wenn die Taylorreihe gegen f x) onvergiert, n! dann stimmen Potenz- und Taylorreihe überein und haben den gleichen Grenzwert f x). Man ann aber mit Hilfe der Rechenregeln für Potenzreihen aus beannten Taylorreihen durch Addition, Subtration, Differentation und Integration weitere Taylorreihen berechnen. Aus der Potenzreihe ergibt sich allerdings nicht wie schnell das Taylorpolynom gegen die Taylorreihe onvergiert, d.h. Aussagen über die Konvergenzgeschwindigeit bzw. die Güte der Approximation durch das Taylorpolynom ergibt sich aus dem Restglied in der Taylorformel Satz 9., Seite 74). 9.2 Potenzreihen Definition 9.7 Eine unendliche Reihe der Form a x mit x R veränderlich) und a R onstant) heißt Potenzreihe, die Zahlen a 0) heißen Koeffizienten der Potenzreihe. Es handelt sich also um eine Funtionenreihe mit f x) = a x. Beispiel 9.8 Die Reihe ) x 2+ 2 + )! = x x 3 3! + x 5 5! +... hat die Koeffizienten a 0 = 0, a =, a 2 = 0, a 3 = 3!, a 4 = 0, a 5 = 5!,... bzw. a 2 = 0, a 2+ = ) 2+)!. Das Ziel ist, eine Funtion f auf einem Intervall I durch eine Potenzreihe darzustellen. Dafür untersuchen wir, wann und wo eine Potenzreihe puntweise onvergiert. 77
9 Funtionenreihen Definition 9.9 Es sei und die Zahl { } M := x R; a x onvergiert. { sup{ x, x M}, falls M beschränt ist, R :=, falls M unbeschränt ist. Man nennt R den Konvergenzradius der Potenzreihe. Es gibt die drei Möglicheiten R = 0, 0 < R <, R =. Satz 9.0 Berechnung des Konvergenzradius) Es sei a x eine Potenzreihe und existiert der eigentliche oder uneigentliche Grenzwert lim a + a = c oder lim a = c, so ist R = c der Reihe. falls c =, so ist R = 0 und für c = 0 ist R = ) der Konvergenzradius Beweis: Quotienten- bzw. Wurzelriterium für Zahlenreihen. Nachweis für Quotientenriterium: Wir untersuchen für welche x die Zahlenreihe = Potenzreihe onvergiert und wenden deshalb das Quotientenriterium für Zahlenreihen an: lim a + x + n a x = lim a + x n a = x lim a + n a Für x lim < onvergiert die Zahlenreihe absolut). Folglich onvergiert die Reihe a + n a absolut) für alle x mit Ist dagegen x lim a + n a x < lim a +. a n > dann divergiert die Reihe für alle x < lim a +. a n 78
9.2 Potenzreihen Analog geht es mit dem Wurzelriterium. # Beispiel 9. Die Potenzreihen x, haben alle den Konvergenzradius R =, da = x, x 2 = lim = lim + + ) 2 = lim 2 =. In den Randpunten ist das Konvergenzverhalten jedoch sehr verschieden: Die Reihe x divergiert für x = und x =. Die Reihe Die Reihe Beispiel 9.2 Darstellung von als Potenzreihe. = = x onvergiert für x = und divergiert für x =. x 2 onvergiert für x = und x =. f x) = ln + x) = ) + x = Potenzreihenentwiclung von ln+x), x < 4 2-2 - 0 2-2 -4-6 Reihe Reihe onvergiert divergiert, absolut und gleichmäßig Funtion ist nicht definiert gegen die Funtion n f n x) = ) x, = n = 2; 3; 8; 4; 25; 36-8 Reihe divergiert, Funtion ist definiert fx) =ln+x) 79
9 Funtionenreihen Der Konvergenzradius der Reihe ist c = lim a + = lim a ) +2 + ) + = lim + = und damit ist der Konvergenzradius R = =, folglich onvergiert die Reihe absolut für c x < gegen die Funtion. Im Randpunt x = divergiert die Reihe, da hier gilt ) + x = = + ) ) = = = und die harmonische Reihe divergent ist. Außerdem ist für x = und allgemein x, die Funtion ln + x) nicht definiert. Im anderen Randpunt x = dagegen erhält man die alternierende harmonische Reihe ) + x = = ) + = ) + = = und diese onvergiert bedingt). Da für x = auch die Logarithmusfuntion erlärt ist, folgt ln 2 = = )+, somit ist die Summe der alternierenden harmonischen Reihe gerade ln 2. Aus dieser Potenzreihendarstellung geht aber nicht hervor, wie gut bzw. schnell) die Folge der Partialsummen der Potenzreihe gegen die Funtion onvergiert. 9.2. Potenzreihen mit dem Zentrum a 0. Definition 9.3 Eine unendliche Reihe der Form a x a) heißt Potenzreihe mit dem Zentrum oder Entwiclungspunt) a, die Zahlen a heißen ihre Koeffizienten. Bemerung 9.4. Durch die Substitution z := x a geht die Potenzreihe mit dem Zentrum a in eine Potenzreihe mit dem Zentrum 0 über. 2. Als Konvergenzradius der Reihe mit dem Zentrum a bezeichnet man den Konvergenzradius R der entsprechenden Reihe mit dem Zentrum 0. Wegen x a < R a R < x < a + R gilt 80
a) x a R, a + R) a x a) onvergiert, b) x < a R oder x > a + R a x a) divergiert. 9.2 Potenzreihen 3. Man bezeichnet das offene Intervall a R; a + R) als auch Konvergenzintervall im Unterschied zum Konvergenzbereich, der alle x enthält für die die Reihe onvergiert. Beispiel 9.5 Wegen e x = e a e x a folgt die Darstellung der e-funtion als Potenzreihe mit Zentrum a diret aus der Potenzreihe für e x mit dem Zentrum 0 : Beispiel 9.6 Die Reihe e x = e a 2x ) =! x a), x R. 2 x ) 2 hat das Zentrum a =. Der Konvergenzradius ergibt sich aus 2 lim a n+ = lim 2+2 2 = lim 2 = 2 a n zu R =. Alternativ hätte man auch rechnen önnen 2 lim a n+ = lim 2x ) + 2 ) = 2x. a n Folglich ist die Reihe absolut) onvergent, wenn 2x < < 2x < 0 < x < 2 < x 2 < 2 x 2 < 2. 9.2.2 Summe und Produt Aus den Eigenschaften onvergenter Reihen und des Cauchy-Produts folgt: Satz 9.7 Summe) Für die Summe Differenz) zweier Potenzreihen a x und b x gilt im gemeinsamen Konvergenzbereich a x + b x = a + b )x. 8
9 Funtionenreihen Satz 9.8 Produt) Für das Produt zweier Potenzreihen a x und b x gilt im gemeinsamen Konvergenzbereich mit c := ) ) a x b x = c x a l b l = a 0 b + a b +... + a b 0. Cauchy-Produt) l=0 Beispiel 9.9 Es gilt e x = x! = + x + x 2 2 + x 3 3! + x 4 Hieraus folgen unmittelbar die Eigenschaften der e-funtion: e 0 =, e x ist für alle x R definiert, Konvergenzradius =, es gilt e x+y = e x e y für alle x, y R, e x = e x, e x > 0 für alle x R. 4! +... Beweis: e 0 = folgt durch Einsetzen, Konvergenzradius der Potenzreihe ist lim a + = a lim! +)! = lim + =, folglich onvergiert die Reihe für alle reellen x. e x e y = = = e x+y.! x! ) y! ) = x j y j! = j)! j! j=0 j=0 x j) y j j)! j! Cauchy-Produt! x + y) Binomischer Satz 9.2.3 Gleichmäßige Konvergenz In diesem Abschnitt wird die gleichmäßige Konvergenz von Funtionen. Dabei geht es darum, dass eine Folge stetiger Funtionen auf einem abgeschlossenen Intervall [a, b] gegen eine 82
9.2 Potenzreihen stetige Grenzfuntion onvergiert. In der Anwendung betrachten wir dann Potenzreihen, deren Partialsummen Polynome und damit stetige Funtionen sind. Nur bei gleichmäßiger Konvergenz ist die Grenzfuntion stetig. Als erstes führen wir den Begriff der puntweisen Konvergenz ein. Das bedeutet, dass die Stelle festgehalten wird und die Zahlenfolge {f n )} n 0 auf Konvergenz untersucht wird. Definition 9.20 Es sei f 0, f, f 2,... eine auf dem Intervall I R erlärte Funtionenfolge. Zu jedem x I bildet man die Zahlenfolge f 0 x), f x), f 2 x),... und bezeichnet im Fall der Konvergenz den Grenzwert mit f x). Man sagt, dass die Funtionenfolge f ) auf I puntweise gegen f, onvergiert, wenn für jedes feste x I der Grenzwert lim f x) existiert. Da die Konvergenzgeschwindigeit i. Allg. von Punt zu Punt verschieden ist, gehen oft gemeinsame Eigenschaften alle f bei der Grenzwertbildung verloren. Beispiel 9.2 Folge stetiger Funtionen mit unstetiger Grenzfuntion) f n x) = x n, 0 x, dann sind alle f n auf dem Intervall I = [0, ] stetig. Die Grenzfuntion ist aber { 0 für 0 x <, lim x n = f x) = n für x =., d.h. die Grenzfuntion f x) ist in x = nicht stetig. Um die Stetigeit der Grenzfuntion zu sichern, braucht man einen stäreren Konvergenzbegriff: 83
9 Funtionenreihen Definition 9.22 Eine Funtionenfolge f 0 f, f 2,..., onvergiert gleichmäßig auf I gegen die Funtion f : I R, wenn für jedes ɛ > 0 ein Index N = Nɛ) existiert, so dass gilt f x) f n x) < ɛ für alle x I und alle n Nɛ). Satz 9.23 Kriterium für gleichmäßige Konvergenz) Eine Funtionenfolge f 0 f, f 2,..., onvergiert gleichmäßig auf I, genau dann wenn lim sup f n x) f x) = 0. n x I Beispiel 9.24 Wir betrachten die Funtionenfolge f n x) = sinnx), n, auf dem Intervall [ π, π]. Als erstes n schätzen wir den Betrag der Differenz der n-ten Funtion der Folge und der Grenzfuntion, in diesem Fal f x) = 0, also f n x) 0, ab: sup f n x) 0 = sup x [ pi, π] x [ π, π] sinnx) n sup x [ π, π] n = n. Anschliessen wird der Grenzwert n gebildet: lim sup f n x) f x) = lim sup sinnx) n n 0 n lim x I x I Folglich onvergiert die Funtionenfolge f n x) = sinnx) n n n = 0. gleichmäßig gegen Null auf [ π, π]. 9.2.4 Eigenschaften der Grenzfuntion Satz 9.25 Stetigeit der Grenzfuntion) Sind alle Funtionen f n, n 0, auf dem Intervall I stetig und onvergiert die Folge f n ) n 0 auf I gleichmäßig gegen f, dann ist auch die Grenzfuntion f stetig. 84
9.2 Potenzreihen Folgerung 9.26 Sind alle Funtionen f n, n 0, auf dem Intervall I stetig und onvergiert die Folge f n ) n 0 auf I gleichmäßig gegen f, dann gilt lim x f x) = lim n f n ). Folgerung 9.27 Eine Funtionenreihe onvergiert gleichmäßig gegen f x), wenn die Folge der Partialsummen gleichmäßig auf [a, b] gegen f onvergiert. Im nächsten Satz wird ein Kriterium angegeben, dass die gleichmäßige Konvergenz von Funtionenreihen sichert. Satz 9.28 Majorantenriterium, M-Test, stetige Grenzfuntion stetiger Funtionen) Gilt für jede Funtion der auf dem Intervall I R definierten Funtionenfolge f ) 0 eine Abschätzung f x) M = const, für alle x I und onvergiert die Zahlenreihe M, dann ist die Funtionenreihe f x) auf I gleichmäßig und absolut onvergent. Beweis: Nach dem Majorantenriterium ist die Reihe puntweise onvergent. Sei f x) := f x) der jeweilige Summenwert. Die gleichmäßige Konvergenz der Reihe ist die gleichmäßige Konvergenz der Folge der Partialsummen S n x)) n 0 mit S n x) := n f x). Es sei ɛ > 0, dann gibt es wegen der Konvergenz der Zahlenreihe M ein N = Nɛ), so dass M = M n M < ɛ, falls n N. Damit erhält man für alle x I die einheitliche =n+ Abschätzung: f x) S n x) = f x) n f x) = f x) =n+ =n+ f x) M < ɛ. # =n+ 85
9 Funtionenreihen Beispiel 9.29 Die Reihe = alle x R und cos x 2 = onvergiert gleichmäßig und absolut auf R, denn es ist cos x 2 2 ist onvergent. 2 Insbesondere Potenzreihen lassen sich gliedweise schnell differenzieren und integrieren. Konvergieren die erhaltenen Reihen gegen die Ableitung bzw. das Integral der Funtion f x)? Auch hier spielt die gleichmäßige Konvergenz die entscheidende Rolle. Für gleichmäßig onvergente Funtionenfolgen gilt:. Integration der Grenzfuntion: Konvergiert die Folge stetiger Funtionen f n, n 0, auf dem Intervall [a, b] gleichmäßig gegen f : I R, dann b a ) lim f nx) dx = n b a b f x) dx = lim f n x) dx. n a Man darf also bei gleichmäßiger Konvergenz Integration und Grenzwertbildung vertauschen. 2. Differentation der Grenzfuntion: Sind alle Funtionen f n, n 0, auf dem Intervall [a, b] stetig differenzierbar, onvergiert die Folge f n x) puntweise gegen f x) und onvergiert die Folge der Ableitungen f n, n 0, gleichmäßig auf [a, b], dann ist auch die Grenzfuntion stetig differenzierbar und es gilt ) f x) = lim f nx) = lim f x). n n Man darf bei gleichmäßiger Konvergenz Differentiation und Grenzwertbildung vertauschen. für Satz 9.30 Konvergenz von Potenzreihen) Für eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R gilt. R = 0 Die Reihe onvergiert nur für x = 0. 2. Ist R > 0 und ρ R mit 0 < ρ < R, dann onvergiert die Reihe a x absolut und gleichmäßig auf dem abgeschlossenen Intervall ρ x ρ. D.h. die Reihe onvergiert puntweise auf dem offenen Intervall R < x < R.) 3. Für alle x mit x > R ist die Reihe a x divergent. Divergenz absolute & gleichmäßige Konvergenz Divergenz.. x x=-r Randpunte extra betrachten x=r 86
9.2 Potenzreihen Beweisidee: Rücführung auf die geometrische Reihe: q ) offensichtlich. 2) Es sei ρ < R, dann gibt es ein M mit ρ < R, wegen der Definition des Supremums. Da die Glieder einer onvergenten Zahlen)reihe eine Nullfolge bilden, gibt es ein C > 0 mit a x 0 C für alle 0. Für x ρ und alle 0 bedeutet das, dass a x = a x0 x Nach dem M-Test vgl. Satz 9.28) ist die Reihe Cq, mit q := ρ <. auf ρ x ρ absolut und gleichmäßig onvergent. 3) folgt aus der Definition von R. # Über das Konvergenzverhalten der Reihe in den Randpunten des Konvergenzbereichs M macht der Satz eine Aussage, diese Punte müssen extra untersucht werden. Beispiel 9.3 Die Reihe x hat den Konvergenzradius R =, denn diese Reihe onvergiert nach dem = Wurzel- oder Quotientenriterium für lim = lim x + x + ) = lim x + = x <, x + + x für x = erhält man die alternierende Reihe =, die nach dem Leibniz-Kriterium onvergent ist, und für x = erhält man die divergente harmonische Reihe. Der Konver- genzbereich der Reihe = x ) ist folglich das halboffene Intervall [, ). = 9.2.5 Differentation und Integration von Potenzreihen Auf relativ einfache Weise ann man durch Differentation und Integration aus onvergenten Porenzreihen weitere onvergente Reihen gewinnen. Es sei a x eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R > 0 und der Reihensumme f x), für x > r. Man sagt, die Funtion f wird auf R, R) durch die Potenzreihe dargestellt. Satz 9.32 Differentation von Potenzreihen) Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funtion f ist im offenen Konvergenzintervall R < x < R, R > 0, beliebig oft differenzierbar. Die Ableitungen erhält man durch gliedweise Differentation: f x) = a x, f x) = )a x 2, usw. = =2 87
9 Funtionenreihen Die abgleiteten Reihen a x, )a x 2,... haben alle den Konvergenzradius = =2 R. Beweis: Jedes x R, R) liegt in einem abgeschlossenen Teilintervall x ρ < R, in dem die Reihe und die Ableitungen gleichmäßig und absolut onvergieren, denn es gilt a x Cq mit q = ρ <.# Satz 9.33 Integration von Potenzreihen) Für alle a, b aus dem offenen Konvergenzintervall R, R) der Potenzreihe f x) = a x gilt b a f x) dx = b a a x dx = a + b+ a + ). Insbesondere ist mit a = 0 und b = x F x) := a + x + eine Stammfuntion von f auf R, R); der Konvergenzradius von F ist ebenfalls R. Beweis: Folgerung aus der gleichmäßigen Konvergenz der Ausgangsreihe. # Beispiel 9.34 Die geometrische Reihe liefert:. f x) = x = x für x <. 2. f x) = 3. f x) = x) 2 = x für x <. = x) 3 = 2 )x 2 für x <. =2 88
9.2 Potenzreihen Beispiel 9.35 Wir betrachten die speziellen geometrischen Reihen: f t) = + t = t) bzw. gt) = durch gliedweise Integration erhält man dann + t 2 = ) t 2. 0 f t) dt = 0 dt = ln + x) = + t 0 t) dx = ) + x + für x < und 0 gt) dt = 0 dt = arctan x = + t2 0 ) t 2 dx = ) 2 + x 2+ ebenfalls für x <. Mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums für Zahlenreihen ann man zeigen, dass diese Reihen auch für x = onvergieren, man erhält ln 2 = 2 + 3 4 + 5 +... und π 4 = 3 + 5 7 +.... 9.2.6 Koeffizientenvergleich Falls eine Funtion f über a R, a + R), R > 0, als eine Potenzreihe f x) = a x a) mit dem Zentrum a darstellbar ist, ann man sofort die Koeffizienten berechnen vgl. Satz 9.32): In der n-ten Ableitung f n) x) = ) n + )a x a) n =n setzt man x = a und erhält f n) a) = n! a n. = nn ) a n + n + )n 2 a n+ x a) + Satz 9.36 Eindeutigeitssatz für Potenzreihen) Aus f x) = a x a) = b x a) für alle x a R, a + R), R > 0, folgt a = b = f ) a), = 0,, 2,....! 89
9 Funtionenreihen Die beiden wichtigsten Interpretationen des Satzes sind:. Wenn es überhaupt möglich ist, f über a R, a + R) als Potenzreihe darzustellen, dann nur als Taylor-Reihe f ) a) F x) = x a).! 2. Wird eine Funtion f auf zwei verschiedene Arten als Potenzreihe mit Zentrum a dargestellt, dann sind die Koeffizienten entsprechender x a)-potenzen gleich. Prinzip des Koeffizientenvergleichs). 9.3 Methoden der Reihenentwiclung 9.3. Mittels Taylor-Formel und dem Nachweis, dass das Restglied für n gegen Null strebt. Beispiel 9.37 Es sei die Funtion f x) = sin 2 x an der Stelle a = 0 in eine Taylor-Reihe zu entwiceln. Dazu benötigen wir die Ableitungen von sin 2 x : f 0) x) = sin 2 x, f 0) 0) = 0, f ) x) = 2 sin x cos x = sin2x), f ) 0) = 0, f 2) x) = 2 cos2x), f 2) 0) = 2, f 3) x) = 4 sin2x), f 3) 0) = 0, f 4) x) = 8 cos2x), f 4) 0) = 8,...... f 2n ) x) = ) n+ 2 2n 2 sin2x), f 2n ) 0) = 0, f 2n) x) = ) n+ 2 2n cos2x),...... f 2n) 0) = ) n+ 2 2n Damit ergibt sich die Taylorreihe sin 2 x = 2 2! x 2 23 4! x 4 + 25 6! x 6 27 8! x 8 ±... R 2n+2 x, 0) mit dem Restglied R 2n+2 x, 0) = ) n+2 2 2n+ 2n + 2)! x 2n+2 cos2ξ). 90
9.3 Methoden der Reihenentwiclung Wir müssen zeigen, dass das Restglied gegen Null strebt. Offensichtlich ann man wie folgt abschätzen 2 2n+2 2x) 2n+2 R 2n+2 x, 0) 2 2n + 2)! x 2n+2 = 2 2n + 2)!, da cos2ξ) ist. Wir weisen nun nach, dass für fest gewähltes x gilt 2x) 2n+2 lim n 2n + 2)! = 0. Dazu betrachten wir zunächst die Folge a m = 2x m m! für fest gewähltes x!) und zeigen, dass diese Folge gegen Null onvergiert. Für m + > 2x gilt a m = 2x m m + )! a m+ 2x m+ = m + > oder a m > a m+, m! 2x d.h. für hinreichend großes m ist die Folge a m ) streng monoton fallend und wegen a m 0 nach unten beschränt und besitzt folglich einen Grenzwert a. Damit gilt nach den Rechenregeln für Grenzwerte D.h. a = lim a m = m 2x lim m m a m = lim m 2x m ) ) lim a m = 0 a = 0. m 2x lim m = 0. Die uns interessierende Folge für das Restglied sieht wie folgt aus m m! { 0, m = 2n, b m = R m x, 0) = 2x) m, m = 2n. m! Damit önnen wir abschätzen: 0 b m a m und erhalten, dass ist. Bemerung 9.38 Mit Hilfe des Additionstheorems lim b m = lim R mx, 0) = 0 m m sin 2 x) = cos 2 x) = 2 + cos2x)) = cos2x)) 2 und der Taylorreihe für den Sinus: sin x = n=0 ) n x 2n+ 2n + )! für alle x R siehe z.b. Zahlentafel) erhält man durch gliedweise Differentation und wegen der gleichmäßigen Konvergenz cos x = n=0 ) n x 2n 2n)! für alle x R. 9
9 Funtionenreihen Ersetzt man x durch 2x so ergibt sich cos2x) = n=0 ) n 2x)2n 2n)! für alle x R und damit cos2x) = n=0 ) n 2x)2n 2n)! = + ) n= n+ x 2n 2n)! für alle x R. Folglich hat sin 2 x die Taylorreihenentwiclung sin 2 x = 2 cos2x)) = ) n+ 22n x 2n n= 2n)! für alle x R. Wie man sich leicht überzeugt stimmt diese Reihe mit der im Beispiel erhaltenen überein muss auch so sein!). Der Vorteil der hier gezeigten Methode liegt darin, dass es genügt zu wissen, dass die Taylorreihe für sinx onvergiert, hieraus ergibt sich die Konvergenz aller anderen Taylorreihen. Beispiel 9.39 Die Binomialreihe ist eine Verallgemeinerung der binomischen Formel. Für alle x mit x < und alle α R gilt ) + x) α α = x αα ) = + αx + x 2 αα )α 2) + x 3 +... 9.) 2! 3! ) α αα )α 2) α + ) wobei :=.! Beweis: Diese Reihe erhält man als Taylorreihe ) von f x) = + x) α im Entwiclungspunt α = 0. Weiterhin hat die Reihe x hat den Konvergenzradius, da ) α + lim ) = lim αα ) α )! α αα ) α + ) + )! = lim α + ) =. Wir haben nicht gezeigt, dass die Taylorreihe onvergiert. Man ann aber zeigen, dass Konvergenz vorliegt und obige Potenzreihe für x < auch die Taylorreihe ist. Dieses Verfahren ist schwerfällig, deshalb sollte man anderen Methoden, wenn möglich, den Vorzug geben. 92
9.3 Methoden der Reihenentwiclung 9.3.2 Beannte Reihen differenzieren oder integrieren. Beispiel 9.40 Aus der binomischen Reihe 9.) erhält man für α = die Binomialoeffizienten ) ) ) 2 2 =, 2 = 2 0, 2 = 2 ) 2 = 3 2! 2 4 2 = 3 und allgemein 8 ) 2 = ) 2 ) 2 2 + ) 3 5 2 ) = ), für 2.! 2 4 6 2) Deshalb gilt = + x 2 x + 3 2 4 x 2 3 5 2 4 6 x 3 + 3 5 7 2 4 6 8 x 4 +..., für x < und mehr noch = + x 2 2 x 2 + 3 2 4 x 3 + 3 5 2 4 6 x 6 + 3 5 7 2 4 6 8 x 8 +..., für x < und durch Integration folgt arcsin x = x + 2 3 x 3 + 3 2 4 5 x 5 + 3 5 2 4 6 7 x 7 +..., falls x <. 9.3.3 Darstellung als Summe und/oder Produt von Funtionen mit beannter Reihenentwiclung. Beispiel 9.4 Es ist e x = + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! +... = n=0 e x + e x) als Summe x n n! für x R, damit erhält man für cosh x = 2 cosh x = + x + x 2 2 2! + x 3 3! +... + x + x 2 2 x ) 3 3 +... für x R. Analog erhält man = x 2 2)!, sinh x = x + x 3 3! + x 5 5! + x 7 7! +... = x 2+, für x R. 2 + )! 93
9 Funtionenreihen Beispiel 9.42 Es ist cos x x = cos x x = = + x + 2! x 2 2! + x ) 4 4! +... + x + x 2 + x 3 +...) ) ) ) x 2 + 2! x 3 + 2! + 4! x 4 +..., x <, da die Potenzreihe x 2 2! + x 4 4! +... für alle x R onvergiert, dagegen die Potenzreihe + x + x 2 + x 3 +... den Konvergenzradius hat. Beispiel 9.43 e x cos x = + x + x 2 2! + x 3 3! + x ) 4 4! +... x 2 2! + x ) 4 4! +... = + x + 3! ) x 3 +..., für x R, 2! da die Reihe für e x und die Reihe x 2 2! + x 4 4! +... für alle x R onvergieren. 9.3.4 Unbestimmter Ansatz Beispiel 9.44 Man macht den Ansatz f x) := { x, e x falls x 0,, falls x = 0. x e x = B! x und erhält nach Multipliation mit e x und dem Einsetzen der entsprechenden Reihenentwiclung: x = B 0 + B ) x + x ) 2 = B 0 x + und ein Koeffizientenvergleich ergibt:! x + B 2 2! x 2 + B 3 3! x 3 +... B + B ) 0 x 2 + 2 B2 2! + B 2! + B 0 3! B 0 =, B + B 0 2 = 0, B 2 2! + B 2! + B 0 3! 2! + x 3 3! +... ) x 3 +... = 0. 94
9.3 Methoden der Reihenentwiclung Hieraus berechnet man B 0 =, B = 2, B 2 = 6, B 3 = 0, B 4 = 30,.... Es verbleibt den Konvergenzradius der Reihe 2! x + 6 2! x 2 30 4! x 4 +... zu bestimmen. Dieser ergibt sich zu R = 2π. Die Zahlen B heißen Bernoulli-Zahlen. 9.3.5 Potenzreihen in Potenzreihen einsetzen. Allgemein wird eine Potenzreihenentwiclung der Funtion hx) := f gx)) bestimmt, wobei f x) = a x für x < R und gx) = b n x n für x < R 2. n=0 Dann werden die Potenzen von gx)) nach dem Cauchy-Produt berechnet: ) gx)) = b n x n = n=0 b n x n, n=0 dann ist f gx)) = ) a b n x n und nach steigenden x-potenzen geordnet erhält man die in einer Umgebung von 0 onvergente Potenzreihenentwiclung von hx) : ) hx) = f gx)) = a b n x n. n=0 n=0 Beispiel 9.45 Es sei f x) = e x = gx), dann ist hx) = f gx)) = e ex ) = e ex. Aus f x) = x! und gx)) = e x) = e x = n x n n=0 n! 95
9 Funtionenreihen folgt ) n ) hx) =! n! x n n x n =! n! n=0 n=0 ) 2 x 2 ) e + e x +! 2! + 3 x 3! 3! +.... Wie man leicht mit dem Quotientenriterium nachrechnet onvergieren die Reihen n n=0 alle n : + + ) n! lim + )! n = lim ) n + = 0.! für 9.4 Anwendungen Es gibt eine Vielzahl von Anwendungen, die darauf beruhen, dass sich Reihen leicht differenzieren und integrieren lassen bzw., dass sie sich durch Polynome approximieren lassen. Wir wollen nur auf zwei Anwendungen näher eingehen: 9.4. Grenzwertberechnung Dazu wird der Ausdruc, dessen Grenzwert bestimmt werden soll, durch eine Reihe in der Umgebung des Puntes, für den un s der Grenzwert interessiert entwicelt. Es sit z.b.: x ln x) sin 2 = x x x 2 x x x 3 + x 5 +... 3! 5! 2 x 3 ) 3... ) ) x x 3 + x 5 +... 3! 5! für x <. Für x 0 ann man x 2, x 0) ürzen und erhält ) x ln x) x x 2 2 3 lim x 0 sin 2 = lim )... x x 0 x 2 3! + x 4 5! +... x 2 3! + x 4 5! +... ) =. Diese Methode hat gegenüber der L Hospitalschen Regel den Vorteil, dass man eine Ableitungen berechnen muss. Außerdem erhält man einen guten Einblic in des Konvergenzverhalten. 9.4.2 Reihendarstellung und Berechnung einer Integralfuntion mit nicht elementar integrierbarem Integranden. Nicht elementar bzw. nicht geschlossen integrierbar wird eine Funtion genannt, deren Stammfuntion zwar existiert, aber nicht durch elementare Funtionen Potenzen, Winelfuntionen, Exponential- und Logarithmusfuntionen und beliebige Kombinationen dieser mit Hilfe der 96
9.4 Anwendungen Grundrechenarten) in Form eines geschlossenen Ausdrucs angegeben werden ann. Beispiele solcher Funtionen sind sin x ihre Stammfuntion heißt Integralsinus ), e x 2 und e x 2 x deren Integral die Gaußsche Fehlerfuntion Φx) = 0 e t2 dt ist. Das Integral wird durch gliedweise Integration der Reihe e t2 = ) t2!, t R, erhalten Φx) = ) x 2+! 2 + ), x R. Diese Reihendarstellung gestattet die Berechnung der Funtionswerte bis zu jeder gewünschten Genauigeit, wobei man aber bei der Approximation des Funtionswertes durch die n-te Partialsumme n umso größer wählen muss, je weiter sich x von der Null entfernt. 97