Was beeutet 'EIN ÜBUNGSBEISPIEL LÖSEN'? Ein Kommentar für Erstsemestrige zu en 'ÜBUNGEN zu EINFÜHRUNG in ie PHYSIK I' ü Vorbemerkung Übungsbeispiele ienen er aktiven Anwenung er in Vorlesungen erworbenen Kenntnisse auf physikalische Problemstellungen. Typische Überlegungen un Vorgangsweisen, wie sie auf em Weg zur Lösung häufig Anwenung finen, sollen hier an einem einfachen Beispiel illustriert weren, welches nur geringe mathematische un physikalische Vorkenntnisse benötigt. Es geht abei nicht arum zu emonstrieren, wie man aus 'akaemischem' Blickwinkel ein Übungsbeipiel quasi musterhaft lösen 'soll'. Vielmehr beruht as in en folgenen Erörterungen präsentierte Material nahezu urchwegs auf Reaktionen un Fragen von erstsemestrigen Stuierenen er letzten Jahre im Umgang mit iesem Beispiel! Der Text mag lang erscheinen, soll jeoch eutlich machen, wie viele verschieene Gesichtspunkte in ie Diskussion eines Beispiels einfließen können. Er spiegelt arüber hinaus as Faktum wier, ass Personen mit unterschielichem Vorwissen oft auch sehr unterschielich an ie Lösung eines physikalischen Problems herangehen. Währen manche Fragen einem naiven Zugang entsprechen, treten anere überhaupt erst ann auf, wenn man bereits über ein gewisses Vorwissen verfügt (siehe etwa Bemerkungen 3-6). Das Beispiel soll Erstsemstrigen aber auch zeigen, ass von vornherein keineswegs immer alles 'klar' ist un ass sie mit ihren Fragen nicht allein stehen (wie schon gesagt: praktisch alle nachstehen behanelten Fragen wuren von Stuierenen tatsächlich gestellt! Die abei auftretenen Schwierigkeiten sin also urchaus typisch). Im Anschluss an ie Diskussion un Lösung es Beispiels finet sich auch noch eine interaktive 'Demonstration', ie mit em Programm MATHEMATICA erstellt wure. In ieser Simulation können ie Eingangsparameter (Erraius, Sonnenraius sowie er Abstan zwischen Sonne un Ere) über einen weiten Bereich variiert un amit auch auf anere Systeme angewant weren (wir kommen am Ene nochmals arauf zurück). ü Fragestellung Der Abstan zwischen Sonne un Ere beträgt etwa 150 Millionen km, er Erraius 6378 km, er Sonnenraius 696 000 km. Unter welchem Winkelurchmesser erscheint ie Sonne von er Ere aus gesehen? Ist er Erraius azu nötig? Machen Sie vernünftige Näherungen! ü Bemerkung 1 Die Lösung einer physikalischen Aufgabe erfolgt immer unter Zugrunelegung bestimmter Annahmen un Moellvorstellungen, ie eine mehr oer weniger gute Annäherung an ie Realität arstellen (hier liegt ein wesentlicher Unterschie zur Mathematik, wo Fragestellungen zuminest im Prinzip meist exakte Lösungen zulassen). Diese Annahmen un Moellvorstellungen können explizit im Text genannt sein oer auch implizit vorausgesetzt weren, un wir weren auf einige avon weiter unten hinweisen.
2 Sun-Earth-Comment.nb Skizze Bevor wir beginnen, ist es sinnvoll, sich mittels einer Skizze einen ersten Überblick zu verschaffen (eine Skizze ist übrigens sehr häufig ein hilfreicher erster Schritt!). Diese Skizze ist nicht maßstabgetreu (versuchen Sie, eine maßstabgetreue Skizze anzulegen! Auf welche Schwierigkeiten stößt man abei?). Die Ere ist grau, ie Sonne rötlich argestellt, ie Mittelpunkte weren urch M E un M S markiert. Die Beobachtung er Sonne erfolge vom Punkt B aus. Offenbar ist nur erjenige Bereich er Sonnenoberfläche zu sehen, er zwischen en Punkten S un S' liegt, währen etwa ie Punkte H un H' vereckt sin. Im allgemeinen ist also immer nur weniger als ie Hälfte er Sonnenoberfläche sichtbar! Wenn a en bei B liegenen Winkel es blauen Dreiecks BM S S bezeichnet, so erscheint ie Sonne von B aus betrachtet, unter em Winkel 2a. Ein einfaches reiimensionales Moell kann man sich z.b. auch mit 2 unterschielich großen Bällen als Himmelskörper un einem Lineal als 'Sehstrahl' machen. Noch besser ist es, ie Bälle urch Luftballons zu ersetzen, eren Größe urch Aufblasen variiert weren kann, was ie Diskussion verschieener enkbarer Fälle erleichtert. ü Bemerkung 2 In er Angabe sin rei Zahlenwerte genannt. Währen ie Beeutung von Sonnen- bzw. Erraius aufs erste klar erscheint (vgl. azu jeoch auch ie Bemerkungen 3 un 6!), verient er Begriff es Abstans Ere-Sonne eine kurze Erläuterung: Wenn wir beispielsweise vom Abstan zweier Billarkugeln sprechen, meinen wir amit gewöhnlich en kürzesten Abstan zwischen en Kugeloberflächen (ieser Abstan ist Null, wenn ie Kugeln einaner berühren). Der Abstan zweier astronomischer Objekte wir agegen gewöhnlich nicht als er Abstan von Oberfläche zu Oberfläche sonern als er Abstan er Schwerpunkte efiniert, a ieser für ie Stärke er Gravitationswechselwirkung entscheien ist (ebenso beschreiben wir z.b. ie Bahnen er Planeten über ie Bewegung ihrer Schwerpunkte).
Sun-Earth-Comment.nb 3 Wir können nun näherungsweise Ere un Sonne als Kugeln beschreiben un weiteres annehmen, ass ie Masse in iesen Kugeln 'gleichmäßig' verteilt ist (er Ausruck 'gleichmäßig' ist etwas unscharf. Später, wenn wir mehr über Gravitation wissen, weren wir präziser von 'kugelsymmetrisch' sprechen). Dann fallen ie Schwerpunkte mit en Kugelmittelpunkten zusammen. Wir verwenen hier also eine Annahme, ie wir in er (noch etwas ungewohnten) Sprache er Physik so zusammenfassen können: Wir benutzen ein Moell, in em Ere un Sonne urch Kugeln mit kugelsymmetrischer Massenverteilung approximiert weren. Dies ist für ie Ere eine gute un für ie Sonne sogar eine sehr gute Näherung, sie ist aber a priori weer selbstverstänlich noch für beliebige astronomische Objekte gültig. Auch ie obige Skizze beruht u.a. auf ieser Annahme. ü Bemerkung 3 Da ie Sonne, im Gegensatz etwa zu Ere oer Mon, über keine klar abgegrenzte Oberfläche verfügt, ist er Begriff eines geometrischen Raius im Grune nicht streng anwenbar. Der Sonnenraius wir eshalb, in Weiterführung er historischen Traition, gewöhnlich einfach über en sichtbaren Sonnenran efiniert (.h.ie Strahlung im optischen Wellenlängenbereich, ie wir mit unseren Augen als 'Detektoren' wahrnehmen können). Da ies aber gerae er Fragestellung es Beispiels entspricht, müssen wir uns arüber im weiteren keine Geanken mehr machen. ü Bemerkung 4 Unsere Skizze ist so angelegt, ass ie Sonne von B aus gerae im Zenit erscheint, was ie nachfolgene Berechnung auf Grun er Symmetrie er Anornung erleichtert. Hier liegt eine weitere Annahme. Genau genommen kann ie Sonne nur für iejenigen Bereiche er Eroberfläche im Zenit stehen, ie zwischen en beien Wenekreisen liegen. Un selbst hier trifft iese Konstellation nur an zwei Tagen im Jahr jeweils genau um 12 Uhr Mittag zu. Die Skizze beschreibt also keineswegs en allgemeinen sonern einen im Grune äußerst seltenen Spezialfall! Streng genommen müssten aher ie geometrischen Überlegungen also entsprechen moifiziert weren (Wie?). Für as System Ere-Sonne sin iese Korrekturen jeoch praktisch vernachlässigbar (Warum? Versuchen Sie, en Fehler abzuschätzen!). ü Bemerkung 5 Die Angabe spricht von einer Entfernung Sonne-Ere von 'etwa' 150 Millionen km. Wie ist as zu verstehen? Ein Blick ins Internet (etwa Wikipeia oer Wolfram Alpha) zeigt uns, ass er Abstan zur Sonne über as Jahr hinweg variiert, a ie Erbahn eine angenäherte Ellipse un kein Kreis ist (average istance from Earth 149 619 000 km, largest istance 152 098 000 km, nearest istance 147 098 000 km). Die Abweichungen betragen aber weniger als zwei Prozent vom Mittelwert, soass wir für ie hier angestrebte Abschätzung gut mit er Annahme 150 Millionen km rechnen können. Das muss aber keineswegs immer gelten. Schon für en Ermon sin ie Variationen eutlich größer (schlagen Sie nach!)
4 Sun-Earth-Comment.nb ü Bemerkung 6 Der Erraius ist mit 6378 km angegeben. Nachforschung (z.b.im Internet) ergibt, ass es sich offenbar hier um en Äquator-Raius hanelt, währen er Raius am Pol auf Grun er urch ie Rotation verursachten Abplattung er Ere um etwa 20 km kleiner ist. Auch hier liegt also wieer eine Annahme vor, ie zwar für ie vorliegene Fragestellung keine große Beeutung hat, erer man sich aber bewusst sein sollte, a sie für anere Systeme sehr wohl beeutsam sein kann. ü Lösung - Exakte Berechnung Die exakte Berechnung kann nun mit Hilfe es rechtwinkeligen blauen Dreiecks BM S S erfolgen. Dabei ist ie Gegenkathete es Winkels a gleich em Sonnenraius un ie Hypotenuse gleich em Mittelpunkts-Abstan verminert um en Erraius R Ere. Es gilt also: sin a = Gegenkathete Hypotenuse = ï a = ArcSin ( ) Die Sonne erscheint also unter einem Winkelurchmesser von 2a = 2 ArcSin ( ) ü Vereinfachte Berechnung Wenn wir en ArcSin vermeien wollen (z.b. weil kein Taschenrechner zur Han ist), können wir as im gegenwärtigen Fall leicht tun: Für en Ausruck gilt nämlich < 0.005. Der Ausruck ist also sehr klein un er Unterschie zwischen em ArcSin un seinem Argument aher nahezu verschwinen: ArcSin ( ) = 0.004 640 214 gegenüber Weiters macht er Erraius nur etwa Näherung vernachlässigen können. Es gilt also: 2a = 2 ArcSin ( ) º 2 =0.004 640 197. 4 100 000 es Sonnenraius aus, soass wir R Ere gegenüber in guter º 2 Dieses Ergebnis hätten wir auch erhalten, falls wir von Anfang an mit em genäherten roten Dreieck M E M S H gearbeitet hätten: 2b = 2 ArcTan ( ) º 2. ü Bemerkung 7 Offenbar spielt ie in er Angabe enthaltene Frage 'Ist er Erraius azu nötig?' auf ie obige Überlegung an: ie Berücksichtigung es Erraius hat nur unbeeutenen Einfluss auf as Ergebnis. Eine genaue Kenntnis es Erraius ist also nicht nötig, man muss allerings ie Größenornung es Erraius wissen, um seine Vernachlässigung rechtfertigen zu können! (vgl. azu auch ie folgenen numerischen Resultate)
Sun-Earth-Comment.nb 5 Bemerkung 8 Falls Ihnen ie Überlegungen zu ArcSin un ArcTan nicht unmittelbar nachvollziehbar waren (iese Dinge weren in er Schule oft nicht behanelt), machen Sie sich nochmals mit en Eigenschaften von Sinus un Tangens sowie ihrer Umkehrfunktionen ArcSin un ArcTan vertraut. Betrachten Sie azu ie nachstehene mit MATHEMATICA erstellte Graphik: 1.4 1.2 1.0 x SinHxL ArcSinHxL TanHxL ArcTanHxL 0.14 0.12 0.10 x SinHxL ArcSinHxL TanHxL ArcTanHxL 0.8 0.08 0.6 0.06 0.4 0.04 0.2 0.02 0.0 0.5 1.0 1.5 0.00 0.05 0.10 0.15 Im linken Bil sieht man, ass ie 5 argestellten Funktionen für zunehmene Werte von x immer mehr auseinaner streben, für kleine Werte von x jeoch sehr nahe beisammen liegen. Rechts ist ieser Bereich nochmals heraus vergrößert. Betrachten wir azu ie numerischen Werte für x=0.1 (ie Berechnung erfolgt hier ebenfalls mit MATHEMATICA): x = 0.1; 8x, Sin@xD, ArcSin@xD, Tan@xD, ArcTan@xD< 80.1, 0.0998334, 0.100167, 0.100335, 0.0996687< Man erkennt, ass ie Werte nur um weniger als ein halbes Prozent auseinaner liegen, soass für x < 0.1 iese Funktionen einaner offenbar gut ersetzen können, sofern nicht tatsächlich sehr hohe Genauigkeit angestrebt wir (Diese Zusammenhänge sin Teil eines nützlichen Spezialwissens, as immer wieer benötigt wir un as Sie sich eshalb einprägen sollten!) ü Vergleich er numerischen Ergebnisse Nachstehen eine Übersicht über ie Ergebnisse entsprechen en verschieenen, oben iskutierten Näherungen. Der Angabe folgen wuren R Ere = 6378 km, = 696 000 km un er Abstan Sonne- Ere = 150 Millionen km gewählt:
6 Sun-Earth-Comment.nb Exakter Winkelurchmesser: 2a =2ArcSin @ -R Ere D =0.009280428ra =0.531729351 Näherung 1 HErraius vernachlässigtl: 2a =2ArcSin @ D =0.009280033ra =0.531706742 Näherung2HRechnemitHstattSL: 2a =2ArcTan @ -R Ere D =0.009280328ra =0.531723627 Näherung 1+2: 2a =2ArcTan @ D =0.009279933ra =0.531701018 Näherung 1+2 sowie Vernachlässigung es ArcTan: 2a =2 =0.0092800000ra =0.531704834 Man sieht, ass ie einzelnen Resultate erst in er fünften, von Null verschieenen, Stelle voneinaner ifferieren, ie relativen Abweichungen betragen weniger als 1 10 000 (kontrollieren Sie!). Das ist unbeeuten gegenüber en relativen Ungenauigkeiten er Angaben (siehe azu auch weiter unten). Zur Illustration machen wir auch noch eine, im Gegensatz zu oben, nun maßstäbliche Skizze es Systems Ere-Sonne, auf er allerings kaum mehr Details zu erkennen sin: ü Bemerkung 9 Man kann hier u.a. auch einen er Grüne erkennen, warum in Mathematik un Naturwissenschaften häufig as Winkelmaß ra em aus er Schule meist geläufigeren Gramaß vorgezogen wir. In er vorzüglichen Näherung 2a = ergibt sich er Wert 0.00928 ra urch eine simple Division. Die Umrechnung in Winkelgrae erforert in iesem Fall tatsächlich einen größeren rechnerischen Aufwan als ie Lösung es Beispiels selbst.
Sun-Earth-Comment.nb 7 ü Sinnvolle Genauigkeit Moerne Computer-Algebra-Systeme wie MATHEMATICA oer Maple, gestatten es, auch für transzenente Funktionen wie Sin, ArcSin, Tan, ArcTan, etc. im Prinzip beliebig viele Stellen zu berechnen (ie Beschränkungen liegen nur im Bereich er Speicherkapazität un Rechenzeit). Wieviele avon sin in unserem Fall aber wirklich sinnvoll? Oer aners gefragt: wie genau ist unser Ergebnis? Wir haben oben ie Resultate auf 7 signifikante Stellen angegeben, um auch noch ie kleinen Unterschiee in en verschieenen Näherungen eutlich sichtbar zu machen ('Signifikante Stellen' sin ie Zahl er Stellen ohne führene Nullen, z.b. sin für en oben angegebenen exakten Winkelurchmesser von 0.009 280 428 ra ie signifikanten Stellen 9280428 ). Das erweckt en Anschein hoher Genauigkeit. Tatsächlich jeoch beschränkt in unserem Fall bereits ie Genauigkeit er Eingangsgrößen ie erzielbare Genauigkeit es Resultats: ie relative Variation es Abstans Ere-Sonne ist von er Größenornung 1 100 (vgl.bemerkung 5), er relative Unterschie es angegebenen Sonnenraius zum besten heute bekannten Wert ist von er Größenornung 1 1000 irgenwo azwischen (vgl. Bemerkung 6). (schlagen Sie nach!), ie relative Genauigkeit es Erraius liegt Es hat in unserem Fall also wenig Sinn, mehr als 3 signifikante Stellen im Ergebnis anzugeben. Alle weiteren Ziffern sin Artefakte, ie in irreführener Weise eine tatsächlich nicht gegebene Präzision vortäuschen. (Machen Sie sich bewusst: as Angeben nicht gesicherter Stellen entlarvt mangelnes Verstännis hinsichtlich es Werts un er Aussagekraft er erhaltenen Resultate un ruft bei Personen, ie um iese Zusammenhänge wissen, sofort Misstrauen un Skepsis hervor!) ü Ergebnis Wenn wir ie oben unter Anwenung verschieener Näherungen erhaltenen Resultate im Lichte er vorangegangenen Diskussion auf jeweils 3 signifikante Stellen runen, sehen wir, ass tatsächlich alle 5 Ergebnisse übereinstimmen! Es ist also vollauf gerechtfertigt, ie einfachste Näherung zu verwenen, ie nicht einmal eine Winkelfunktion benötigt: 2a = = 0.00928 ra (as sin etwa 32 Bogenminuten oer ungefähr ein halbes Gra in vertrauteren Einheiten). ü Überprüfung es Ergebnisses Zuletzt noch ein weiterer, äußerst wichtiger Punkt: ie Überprüfung es Resultats! Eine solche kann auf verschieene Art erfolgen: etwa - urch en Versuch, asselbe Problem auf anerem Weg zu lösen - urch Abschätzungen, ie zuminest ie Plausibilität er erhaltenen Ergebnisse zeigen können - urch Prüfung er inneren Konsistenz er Resultate un ie Anwenung auf bekannte bzw. einfache Spezialfälle - urch en Vergleich mit bereits existierenen experimentellen Daten, mit Theorien oer Computer- Simulationen - urch eigene Messungen, etc.
8 Sun-Earth-Comment.nb In unserem Fall bietet sich eine einfache Methoe an: messen Sie ie Breite Ihres Daumens un ie Länge Ihres gestreckten Arms. Wenn Sie ie beien Werte urcheinaner iviieren, erhalten Sie amit in hinreichener Näherung en Raumwinkel, unter em er Daumen bei gestrecktem Arm erscheint (Sie können natürlich auch einen aneren Finger heranziehen à ). Vergleichen Sie ann Ihren 'kalibrierten' Finger einen Moment lang mit em Durchmesser er Sonnenscheibe [Tun Sie as am besten kurz vor Sonnenuntergang oer kurz nach Sonnenaufgang, wenn ie Helligkeit er Sonne ie Augen nicht gefähret]. Auf iese Weise erhalten Sie einen einfachen Schätzwert, er Ihnen zeigt, ob as Ergebnis zuminest ungefähr richtig ist. Eine anere Möglichkeit: ein Tag hat 24 x 60 = 1440 Minuten. Daraus ergibt sich, ass ie Sonnenscheibe am Himmelsgewölbe in 1440 = 4 Minuten jeweils um 1 Gra weiterwanert. Misst man nun ie Zeit, ie 360 ie Sonne benötigt, um etwa hinter er Kante eines Hausachs oer gl. zu verschwinen, so lässt sich araus unmittelbar er Winkelurchmesser er Sonnenscheibe angeben (probieren Sie es aus!) ü Interaktive 'Demonstration' Nachfolgen finen Sie noch eine mit MATHEMATICA erstellte interaktive Demonstration, ie es Ihnen erlaubt, ie Zahlenwerte sämtlicher iskutierter Näherungen in einem weiten Bereich für beliebige Werte er Eingangsparameter zu ermitteln. Die Begriffe 'Erraius' un 'Sonnenraius' wuren abei urch 'kleiner Raius' un 'großer Raius' ersetzt, um beliebige (kugelförmige) Objekte beschreiben zu können. Stuieren Sie etwa ie Systeme Ere-Mon für verschieene reale un fiktive Entfernungen, weiters Ere - geostationärer Satellit, Ere - International Space Station ISS (Daten azu finen Sie leicht im Internet). Auch ie Verhältnisse bei er Annäherung von Planeten un Monen (kurz vor em in Katastrophenszenarien gern iskutierten Zusammenstoß) können Sie untersuchen. Verfolgen Sie, unter welchen Beingungen ie Näherungen zunehmen ungenauer un zuletzt gänzlich unbrauchbar weren!