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9. Schwingungen & Wellen 9.1.1 Der harmonische Oszillator - ungedämpfte Schwingung Definition: Oszillation oder Schwingung nennt man die hin-und-her Bewegung eines Körpers auf der gleichen Bahn um eine Gleichgewichtslade herum. Obschon die Naturen der schwingungsfähigen Systeme sehr stark variieren, können sie durch die gleiche mathematische Formeln beschrieben werden. Federpendel: Annahme: m >> Federmasse vernachlässigt Rückstellkraft : elastische Kraft: Harmonisch: heisst, dass die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung ist. Newton: etwas umgestellt ergibt dies: DG ist 2. Ordnung (enthält ein 2. Ableitung) 9-1
Differentialgleichung: (DG) DG ist 2. Ordnung (enthält ein 2. Ableitung) Charakteristik der DG: homogen: alle Terme enthalten die Variable linear: die Variable ist 1. Grades konstante Koeffizienten: die Konstanten sind 1. Grades Man sucht, so dass DG erfüllt ist: Ansatz: sind die Koeffizienten (Unbekannten) In die DG einsetzen: und da die Gleichung für alle gelten muss, gilt sie auch für, so dass. z.b. bestimmt man mit Hilfe der Anfangsbedingungen: EES: : Amplitude 9-2
Bewegungsgleichung des Federpendels: eine Lösung der DG: wobei harmonischer Oszillator : Amplitude : Winkelgeschwindigkeit (Eigengeschwindigkeit) Die maximale Amplitude ist durch die zusätzliche Energie gegeben. Bemerkung: & sind Projektionsfunktionen Zentripetalbeschleunigung: Die harmonische Schwingung ist die Projektion einer harmonischen Kreisbewegung. (mhu ist ein projiziertes mcu) Periode des Federpendels: : Periode : Frequenz Die Periode ist nicht amplituden-abhängig. 9-3
Anwendung: ges: Bewegungsgleichung (math. Pendel) (transzendente Gl., d.h. nicht lösbar) für kleine Auslenkung ist harmonisch DG (2-ter Ordnung, linear, homogen mit konst. Koeffizienten) mit mit Bemerkung: ist unabhängig von aber muss klein sein!! ist unabhängig von Bspw. bestimmen 9-4
9.1.2 Der gedämpfte Oszillator - gedämpfte Schwingung Einleitung: Alle in der natur vorkommenden Oszillatoren sind gedämpft. Schwingungsenergie Wärmeenergie Betrachten wir einen einfachen Fall, wo : Reibungskonstante Federpendel: (Bsp 1) Newton: DG (2-ter Ordnung, linear, homogen mit konst. Koeffizienten) Ansatz: wobei Setzt man diesen Ansatz in die DG, so findet man, dass er zutrifft, falls: und Eine mögliche Lösung: wobei Schwingungsfrequenz mit Reibung < Schwingungsfrequenz ohne Reibung 9-5
Grafisch: Beispiel: Mit verschiedener Dämpfung: Unterkritischer Bereich: Kritischer Bereich: Hyperkritischer Bereich: In der Praxis sucht man oft die leicht unterkritische Dämpfung. z.b. Waage, Drehspulinstrument, Stossdämpfer Man sucht eine Dämpfung, welche erfüllt. 9-6
9.1.3 Erzwungene Schwingung Ein Federpendel wird über eine Rolle mit einer periodischen Störkraft in Schwingung versetzt. Sei (Reibung vernachlässigt) Ansatz: Amplitude hängt ab von der Störfrequenz falls Amplitude wird unendlich. DG 2. Ord, lin, konst Koeff., inhomogen Resonanz- Katastrophe: Amplitudenzunahme, falls Oft wird das Schwingungsfähige System durch zu grosse Amplitude zerstört. Dies ist nur eine Näherung, da ohne Reibung. Wenn man die Reibung (Dämpfung) mitberücksichtig wird, so findet man dass mach einer Einschwingzeit das Pendel in einen stationären Schwingzustand kommt mit einer Amplitude: 9-7
Zudem findet man, dass zwischen Schwingung und Störkraft eine Phasendifferenz herrscht: Die Amplitude wird nicht mehr unendlich, kann aber immer noch so gross werden, dass das System zerstört wird. 9.2 Überlagerung von Schwingungen linearität oder Superpositionsprinzip Überlagern sich zwei oder mehrere Schwingungen in einem Medium so ist die resultierende Schwingung die Summe (Überlagerung) die Einzelschwingungen. (einzelne Schwingungen beeinflussen sich nicht gegenseitig). gleichzeitiges auswerfen freier Fall 9.2.1 Schwingungsrichtungen stehen senkrecht zueinender : Phasenverschiebung Lissajou-Figuren: Wir können nun die Zeit durch Substitution eliminieren: und setzten diese in die -Gleichung ein: respektive 9-8
mit Reibungskraft: Wenn die Reibung (Dämpfung) mitberücksichtigt wird, so findet man, dass nach einer Einschwingungszeit das Pendel in einen stationären Schwingungszustand kommt mit Amplitude: Phasenverschiebung: Zudem findet man, dass zwischen Schwingung und Störkraft eine Phasendifferenz herrscht: Amplitude wird nicht mehr unendlich, kann aber immer noch so gross werden, dass das System zerstört wird. (Auto aus dem Schlamm, obwohl dir Kraft nicht ausreichen würde) die Schwingung ist zu gross damit das System folgen kann. 9.2.2 Schwingung mit parallelen Schwingungsebenen für mehrere Schwingungen: Beispiel: und mit 9-9
Spezieller Fall: Schwebung: (nahe beieinander) : Schwingungsperiode : Schwebungsperiode 9-10
Koppelschwingung: z.b. zwei Sinus leicht verschoben: 9.2.3 Theorem von Fourier Fourieranalyse: Jeder periodische Prozess kann in eine Summe von harmonischen Teilsummen zerlegt werden. Fourier Koeffizienten 9-11
9.3 Wellenbewegung Einführung: Eine Welle ist eine Folge von miteinander gekoppeltem schwingungsfähigem System. (Oszillatoren) Schwingungszustand der Gesamtheit dieser Oszillatoren. Wellenbild Wellen sind deshalb sehr wichtig, weil sie Energie & Impuls übertragen können ohne Masse zu transportieren. Ist die Schwingung harmonisch, so ist die Welle sinusförmig. Beispiel: o Gespanntes Seil in Schwebung versetzen (mechanische Welle) o Wasseroberflächen-Welle o Schallwellen o Elektromagnetische Welle (Licht, Radio, UV, ) Man unterscheidet 2 Hauptgruppen: Transversalwellen Longitudinalwellen Schwingungsrichtung: (senkrecht) (parallel) Ausbreitungsrichtung: Berge & Täler Verdichtungen & Verdünnungen Wellenlänge : Distanz zwischen 2 Oszillatoren die in Phase schwingen. Frequenz v, f: Bei jeder Welle breitet sich also nur der Schwingungszustand aus. Die einzelnen Oszillatoren schwingen dabei nur um ihren Gleichgewichtszustand. Ausbreitungsgeschwindigkeit c: Anzahl Schwingungen eines Oszillatoren pro Sekunde. in Wasser: in Luft: ist auch die Vakuumlichtgeschwindigkeit: 9-12
Polarisation: Nur Transversalwellen sind polarisierbar!! Es gibt Materialien (Kristalle) welche für verschiedene Polarisationsrichtungen verschiedene Brechzahlen haben. Man sagt sie seien doppelbrechend Spannungsoptik: Material hat also eine Vorzugsrichtung, es ist anisotrop. Kann man künstlich erzeugen bspw. durch Spannung: 9-13
9.3.1 Mathematische Beschreibung der Wellenbewegung Transversalwelle: Für ein Teilchen in x gilt: Gesucht: x: Position auf der x-achse t: Zeit an der Stelle x wobei : Zeit, die nötig ist damit die Welle von bis kommt. da die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist, folgt: Dies gilt nur falls keine Dispersion herrscht, d.h. ist konstant. Für eine in positiv x-richtung laufende Welle: Für eine in negativ x-richtung laufende Welle: Wellenzahl Die Phasenverschiebung ist Positionsabhängig. Bewegungs- Gleichung: Diese Bewegungsgleichung ist eine Lösung der partiellen Differentialgleichung (Wellengleichung). Bemerkung: Allgemein schreibt sich die Bewegungsgleichung der Welle: 9-14
9.4 Interferenz und stationäre Wellen Definition: Wenn sich 2 (oder mehrere) Wellen überlagern, so ist die resultierende Welle die Summe der Auslenkungen der Einzelwellen. Linearitätsprinzip Superpositionsprinzip Interferenz: Da sich die Auslenkungen algebraisch addieren, kann die resultierende Auslenkung viel grösser (oder kleiner) sein als die ursprüngliche Auslenkung. Konstruktive Interferenz: Destruktive Interferenz: Vergrösserung der Amplitude Verkleinerung der Amplitude Betrachten wir eine transversale Welle, welche an einer Extremität (Ende des Ausbreitungsmilieus; Rand) Reflektiert wird: freie Extremität (Ende): feste Extremität (Ende): letzter Oszillator schwingt mit letzter Oszillator ist blockiert festes Ende: loses Ende:, bleiben unverändert, umgekehrte symmetrische Welle wird reflektiert. Annahme: keine Verluste, bleiben unverändert, symmetrische Welle wird reflektiert (nicht umgekehrt). Annahme: keine Verluste Stehende Welle: Wenn Wellen in einem Medium gegeneinander laufen, so können diese sich so kombinieren, dass eine scheinbar stehende Störung entsteht. 9-15
Eine stehende Welle kann man nur haben, wenn: - am freien Ende ein Bauch ist - am festen Ende ein Knoten ist. Exp.: Medium (Seil) mit 2 festen Eden: Das Seil habe eine Länge, die Enden sind fixiert. Für welche Frequenzen entstehen dabei stehende Wellen? Schwingung = 1. harmonische Schwingung Schwingung = 2. harmonische Schwingung Folglich sind die Frequenzen der harmonischen Schwingung gegeben durch: Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle auf dem Seil. 2 freie Enden 1 frei; 1 fest Ein festes Ende gilt als Knoten!! 9-16
Zusammenfassend: 2 identische Enden 2 verschiedene Enden Bemerkung: Exp. Schallwelle ist eine Longitudinalwelle. Beliebige Körper 9-17
Bemerkung: Wenn auf einem Seil (Seite) oder in deiner Luftsäule stehende Wellen produziert werden, so hat man in der Regel nebst der Fundamentalschwingung eine gewisse Anzahl von harmonischen Schwingungen, die ebenfalls auftreten. (meistens, aber nicht zwingend, ist umso kleiner, je höher ist) Fourieranalyse Frequenzänderung: Möglichkeiten um andere zu produzieren Saiteninstrument Luftsäuleninstrument Veränderung von c: (für ideales Gas) (Trockenluft) o falls o Dicke der Saite Verlängerung von l: Saite: Pressen der Saite auf den Halls (der Gitarre z.b.) verändert deren Länge und somit den Ton. Kürzere Saite höhere Töne Luftsäule: Länge der Luftsäule (Flöte, Posaune, ) wird variiert (Tasten, Ventile, ) Bevorzugung von höheren Harmonischen: Finger auf die Saite legen. Dies zwingt die Saite dort einen Knoten zu haben und unterdrückt somit einige Harmonische; andere werden dann bevorzugt. Verstärkung des produzierten Tones durch Resonanzkasten Beispiele: o Geigenkörper, Gitarrenkörper, Flügel, Becher eines Blasinstruments o Resonanzverstärkung durch Form der Glocke 9-18
9.5 Prinzip von Huyghens (Fresnel-Huyghens) Definition: Dieses Prinzip erlaubt ausgehend von einer Wellenfront jeder zukünftige Wellenfront vorherzusagen. Jeder Punkt einer Wellenfront kann als Ausgangspunkt einer neuen Kugelförmigen Welle angesehen werden. Die neue Wellenfront ist gegeben durch die Tangentialebene (Einhüllende) an alle Kugelwellen. Beispiel: 9-19
9.5.1 Doppelspaltversuch (Experiment von Young) Definition: Animation: http://www.mic-d.com/java/doubleslit/ Problem: Für welche Winkel findet man eine konstruktive (destruktive) Interferenz? A C Im Punkt und liegen die Wellen in Phase. o Kreis mit Zentrum und Radius schneidet im Punkt. Falls, so kann der Bogen durch eine Gerade genähert werden, welche senkrecht auf und steht. Die Wegdifferenz der beiden Strahlen ist: 9-20
1. Eine konstruktive (Addition) maximale Interferenz in haben wir genau dann, wenn die Wegdifferenz eine ganze Zahl mal die Wellenlänge ist. 2. Eine destruktive (Auslöschung) maximale Interferenz in haben wir genau dann, wenn die Wegdifferenz eine halbganze Zahl mal die Wellenlänge ist. n: Ordnung der Interferenz Beispiel: Die Spaltdistanz eines Doppelspaltes sei und er sei vor einem Schirm. Der Abstand zwischen dem Maximum nullter Ordnung und der erster Ordnung sei. Wie gross ist die Wellenlänge des Lichtes? da sehr klein ist (blau-violett) 9-21
9.5.2 Beugungsgitter : In der Praxis braucht man Beugungsgitter (grössere Intensität) d: Gitterkonstante Für optische Spektren braucht man Gitter mit 100 biss 1000 Linien pro mm. Der Spaltabstand muss in der Grössenordnung der Wellenlänge entsprechen. Bagg Gesetz: Stahlen (rot-blau) werden an einem Kristall reflektiert. Dieser hat eine streng geordnete Atomstruktur. Je nach Einfallswinkel werden Strahlen mit bestimmten Wellenlängen reflektiert (Einfallswinkel = Ausfallswinkel). Variiert man nun den Einfallswinkel, so kann das Wellenspektrum herausgelesen werden. 9-22
Michelson Interferometer: Mit einem Laser (L) wird ein Strahl auf einen halbdurchlässigen Spiegel (BS) geschickt. Dieser zweigt einen Teil auf einen Spiegel (M1) ab und lässt den anderen Teil geradewegs auf den 2. Spiegel (M2). Beide Spiegel reflektieren den einfallenden Strahl zurück auf (BS), welcher beide Teile auf den Schirm (S) projiziert. Befinden sich die 2 Reflektionsspiegel (M1 & M2) nicht im gleichen Abstand zu (BS), so entsteht (durch den Wegunterschied) eine Phasenverschiebung. Diese wirkt sich auf dem Schirm als Interferenz aus. 9-23