Dr. Jürge Seger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheilichkeitstheorie, Schätz- ud Testverfahre ÜBUNG. - LÖSUNGEN. ypothesetest für die Dicke vo Plättche Die Dicke X vo Plättche, die auf eier bestimmte Maschie hergestellt werde, sei ormalverteilt N(μ;. Durch eie Stichprobe wird überprüft, ob die Maschie och exakt arbeitet, d.h. die Plättche im Durchschitt die Sollstärke vo μ = 0,5 cm aufweise. Gegebe sid Stichprobeumfag =0 Stichprobemittel x = 0,53 Stadardabweichug = 0,003 Die Nullhypothese lautet 0 : μ = μ0 = 0,5[ cm] ud die Alterativhypothese : μ μ0 = 0,5[ cm] Zweiseitiger Test für de Mittelwert μ: [] Festlegug des Sigifikaziveaus: α = 0,05 α = 0,95 [] Bestimmug der Quatile für die Stadardormalverteilug aus der N(0;-Tabelle: α α c = c = c(0,975 =,96 Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN [3] Berechug des Stichprobemittels (Testgröße: 0 x = x 0 i= i = 0,53[ cm] [4] Berechug der kritische Abweichug: Δx = c 0,003 0,003 =,96 =,96 = 0,0086 0 3,6 [5] Bestimmug des Aahmebereichs: μ c 0 x μ0 + c 0,5 0,0086 x 0,5 + 0,0086 0,484 x 0,586 [6] Etscheidug über die Aahme 0,586 < x = 0,53 Das Stichprobemittel (Testgröße liegt außerhalb des Aahmebereichs. Die Abweichug vom Sollwert μ0 = 0, 5 cm ist icht mehr zufällig, soder ist bei eiem Sigifikaziveau vo α = 0, 05 sigifikat. Die Nullhypothese wird bei eier Irrtumswahrscheilichkeit vo α = 5% durch de Test widerlegt ud daher verworfe.. ypothesetest für die Läge vo Werkstücke Die Läge X vo Werkstücke eies bestimmte erstellers sei ormalverteilt N(μ;=N(μ;. Der Produzet garatiert für die vo ihm gelieferte Werkstücke eie mittlere Läge vo μ0 = 0 cm. Durch eie Stichprobe wird die Behauptug des erstellers getestet. Eie Stichprobe vo = 5 Werkstücke ergibt eie durchschittliche Läge vo x =0,5 Wird die Behauptug des erstellers bei eiem Sigifikaziveau vo α = 0,0 durch diese Stichprobe bestätigt? Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN 3 Die Nullhypothese lautet 0 : μ = μ0 = 0 [ cm] ud die Alterativhypothese : μ μ0 = 0 [ cm] Zweiseitiger Test für de Mittelwert μ: [] Festlegug des Sigifikaziveaus: α = 0,0 α = 0,99 [] Bestimmug der Quatile für die Stadardormalverteilug aus der N(0;-Tabelle: α α c = c = c(0,995 =,58 [3] Berechug des Stichprobemittels (Testgröße: 5 x = x 5 i= i = 0,5[ cm] [4] Berechug der kritische Abweichug: Δx = c =,58 =,58 = 0,56 5 5 [5] Bestimmug des Aahmebereichs: μ c 0 x μ0 + c 0 0,56 x 0 + 0,56 9,484 x 0,56 [6] Etscheidug über die Aahme 9,484 0,5 0,56 Das Stichprobemittel liegt ierhalb des Aahmebereichs. Die Abweichug des Stichprobemittels vo μ0 = 0 cm ist zufällig ud icht sigifikat. Die Nullhypothese 0 wird bei eiem Sigifikaziveau vo α = 0,0 durch de Test bestätigt ud ageomme. Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN 4 3. ypothesetest für das Gewicht vo Zuckerpakete Das Gewicht vo 000g Zuckerpakete, die auf eier bestimmte Maschie abgefüllt werde, sei ormalverteilt N(μ;=N(μ;5. Durch eie Stichprobe soll getestet werde, ob 000-Gramm-Zuckerpakete im Durchschitt tatsächlich midestes 000g ethalte. Bei eier Stichprobe vo 0 zufällig etommee Zuckerpakete betrug das mittlere Gewicht x = 993,5g also weiger als 000g. Ist dieses Stichprobemittel och vereibar mit der Behauptug des erstellers, dass die Zuckerpakete im Durchschitt midestes 000g ethalte? Wir teste die eiseitige Nullhypothese 0 : μ μ0 = 000 [ g] ud die Alterativhypothese : μ < μ0 = 000 [ g] bei eiem Sigifikazivieau vo α = 0,05. Rechtsseitiger Test für de Mittelwert μ: [] Festlegug des Sigifikaziveaus: α = 0,05 α = 0,95 [] Bestimmug des Quatils für die Stadardormalverteilug aus der N(0;-Tabelle: c( α = c(0,95 =,645 [3] Berechug des Stichprobemittels (Testgröße: 0 x = x 0 i= i = 993,5[ g] [4] Berechug der kritische Abweichug: 5 Δx = c =,645 = 5,5 0 Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN 5 [5] Bestimmug des Aahmebereichs: μ0 c x 000 5,5 x 994,48 x [6] Etscheidug über die Aahme 994,48 > x = 993,5 Das Stichprobemittel liegt im Verwerfugsbereich. Die Uterschreitug des Sollgewichts ka icht mehr durch de Zufall erklärt werde, soder ist bei eiem Sigifikaziveau vo α = 0, 05 sigifikat. Die ypothese 0, dass die Zuckerpakete midestes 000g Zucker ethalte, wird bei eier Irrtumswahrscheilichkeit vo α = 5% durch de Test widerlegt ud daher verworfe. 4. ypothesetest für die Ausschussquote eies Masseprodukts Ei Uterehme garatiert für ei Masseprodukt eie Ausschussquote vo maximal 5 %. Ei Großhädler testet jeweils = 400 Stück ud leht die Aahme eier Lieferug ab, we die Stichprobe mehr als Stück, d.h. mehr als 5,5% Ausschuss ethält: x p = = = 400 0,055 Die Zufallsvariable X ist die Azahl der Ausschussstücke i eier Stichprobe = 400 Stück des Masseprodukts. X ist biomialverteilt ud bei große Stichprobe approximativ ormalverteilt N ( μ; = N( π; π ( π. Damit ist auch der Stichprobeateil P = X/ ormalvereilt mit E( P = E X Var( P = Var = E( X = π X = Var( X = sid also die Awedugsvoraussetzuge für die Normalverteilug erfüllt. Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN 6 Die eiseitige Nullhypothese für de Ateilswert lautet 0 : π π 0 = ud die Alterativhypothese : π > π 0 = 0,05 0,05 Es hadelt sich um eie eiseitige Test für de Ateilswert π, bei dem icht das Sigifikaziveau, soder die obere Aahmegreze (kritischer Wert gegebe ist ud das daraus resultierede Sigifikaziveau zu bereche ist. Wir gehe wie folgt vor:. Berechug der kritische Abweichug Δp = p π 0 = 0,055 0,05 = 0,005 Bei eier Abweichug des Stichprobeateils um mehr als 0,005 = 0,5% vom Sollwert, der garatierte maximale Ausschussquote, wird die Lieferug zurückgewiese. Die Behauptug des erstellers wird da bestritte ud d.h. die Nullhypothese verworfe.. Bestimmug des Quatils c Die Formel für die kritische Abweichug Δ p = c p = c π ( π löse wir ach c auf Δp c = p = Δp = 0,005 400 0,05 0,95 = 0,4588 0,46 3. Berechug des Sigifikaziveaus (Irrtumswahrscheilichkeit Aus der N(0;-Tabelle für die Stadardormalverteilug etehme wir die Wahrscheilichkeit für c α = Φ( c = Φ(0,46 = 0,677 Das ist die Wahrscheilichkeit dafür, dass eie Lieferug, die de Lieferbediguge etspricht, also eie Ausschussquote vo höchstes 5% aufweist, ageomme wird. Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN 7 Daraus folgt das Sigifikaziveau α = 0,677 = 0,38 Bei diesem Test wird also ei Sigifikaziveau vo 3,8% zugrudegelegt. Auch da, we 0 wahr ist, d.h. die maximale Ausschussquote vo 5 % eigehalte wird, werde 3% der Lieferuge zurückgewiese. Eie Abahmekotrolle mit eier Irrtumswahrscheilichkeit vo 3% ist icht sivoll ud wird vom ersteller kaum akzeptiert werde (Produzeterisiko. 5. Test der Gleichwahrscheilichkeit vo Müzwürfe. Zufallsvariable X : Azahl "Kopf" bei = 40 Müzwürfe Stichprobeateilswert x 9 p = = = 0,475 40 Nullhypothese 0 : π = π 0 = 0,5 Alterativhypothese : π π 0 = 0,5 Zweiseitiger Test für de Ateilswert π: [] Sigifikazzahl: α = 0,0 ; α = 0, 90 [] Quatile der Stadardormalverteilug aus der N(0;-Tabelle: α α c = c = c(0,95 =,645 Die Awedugsvoraussetzuge für die Normalverteilug (Approximatio der Biomialverteilug durch die Normalverteilug sid erfüllt: Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN 8 9 p = 40 = 9 > 5 40 ( p = 40 = > 5 40 [3] Stichprobeateilswert (Testgröße: x 9 p = = = 0,475 40 [4] Berechug der kritische Abweichug: Δp = c p = c =,645 0,5 0,5 40 =,645 0,079 = 0,3 [5] Bestimmug des Aahmebereichs: π c 0,5 0,3 0,37 p π + c p 0,5 + 0,3 p 0,63 [6] Etscheidug über die Aahme 0,37 < 0,475 < 0,63 Der Stichprobeateil p liegt im Aahmebereich. Die Abweichug vo π 0 = 0, 5 ist zufällig ud icht sigifikat. Die Nullhypothese 0, dass die Ereigisse "Kopf" ud "Zahl" beim Werfe eier Müze gleichwahrscheilich sid, wird bei eiem Sigifikaziveau vo α = 0,0 durch de Test bestätigt ud ageomme. Aalog erhalte wir für die Sigifikazzahl α = 5% de Aahmebereich π c 0,5 0,5 0,5,96 40 0,5 0,55 0,345 p π + c 0,5 0,5 p 0,5 +,96 40 p 0,5 + 0,55 p 0,655 Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN 9 Der Aahmebereich ist erwartugsgemäß bei dem iedrigere Sigifikaziveau α = 5% größer als bei α = 0%. Der Stichprobeateil liegt daher auch bei diesem Sigifikaziveau im Aahmebereich: 0,345 < 0,475 < 0,655 Die Nullhypothese wird daher wieder bestätigt ud ageomme. 6. Test für de Stimmeateil eier Partei Zufallsvariable X : Azahl der Wähler der Partei i eier Stichprobe vo = 00 Stichprobeateilswert x p = = Nullhypothese 84 = 00 0 : π π 0 = Alterativhypothese : π > π 0 = 4% 38% 38% Eiseitiger Test für de Ateilswert π: [] Sigifikazzahl: α = 0,05 ; α = 0, 95 [] Quatile der Stadardormalverteilug aus der N(0;-Tabelle: c( α = c( α = c(0,95 =,645 Die Awedugsvoraussetzuge für die Normalverteilug (Approximatio der Biomialverteilug durch die Normalverteilug sid erfüllt: p = 00 0,4 = 84 ( p = 00 0,58 = 6 > 5 > 5 [3] Stichprobeateilswert (Testgröße: x p = = 84 = 00 0,4 Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN 0 [4] Berechug der kritische Abweichug: Δp = c p = c =,645 0,38 0,6 00 =,645 0,0343 = 0,0564 [5] Bestimmug des Aahmebereichs: p π + cδp p 0,38 + 0,0564 p 0,4364 [6] Etscheidug über die Aahme p = 0,4 < 0,4364 Der Stichprobeateil der Wähler der Partei p= 0,4 liegt im Aahmebereich. Die Abweichug vom Stimmateil bei de letzte Wahle π 0 = 0, 38 ist zufällig ud icht sigifikat. Die Nullhypothese 0, dass der Wählerateil der Partei icht größer als bei der letzte Wahl ist, wird bei eiem Sigifikaziveau vo α = 0,05 durch de Test bestätigt ud ageomme. Die Alterativhypothese, dass der Wählerateil der Partei größer als bei der letzte Wahl ist, wird durch de Test widerlegt. 7. Test für Variaz eier Abfüllmaschie Nach Agabe des erstellers beträgt die Stadardabweichug der eue Abfüllmaschie = [g] ud die Variaz = 44 [g ]. Die Stichprobe vo = 0 Zu- ckerpakete ergab höhere Werte der Stadardabweichug ud der Variaz: = s = 5 [g] ; 5[g ] Wir teste die Behauptug des erstellers für das Sigifikaziveau α = 5%. Die rechtsseitige Nullhypothese lautet 0 : 0 = 44 [g ud die Alterativhypothese : > 0 = 44 [g ] ] Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN Rechtsseitiger Parametertest für die Variaz : [] Sigifikazzahl: α = 0,05 α = 0,95 [] Quatil (der χ -Verteilug mit 9 Freiheitsgrade: χ ( α ; = χ (0,95; 9 = 30,4 aus der χ -Tabelle [3] Stichprobevariaz (Testgröße: s = 0 0 i= ( x i x = 5 [4] Berechug des kritische Werts: 44 χ = 30,4 = 8,43 9 [5] Bestimmug des Aahmebereichs: s χ = 8,43 [6] Etscheidug über die Aahme s = 5 < 8,43 Die Stichprobevariaz (Testgröße liegt im Aahmebereich. Die Abweichug der Stichprobevariaz s vo 0 ach obe ist zufällig ud icht sigifikat. Die Nullhypothese 0, dass die Variaz der eue Abfüllmaschie höchstes = 44 [g ] ud die Stadardabweichug icht mehr als = g beträgt, wird bei eiem Sigifikaziveau vo α = 5% durch de Test bestätigt ud ageomme. Die Alterativhypothese, dass die Variaz größer als 44 [g ] ist, wird durch de Test widerlegt. Wird als Prüfgröße astelle der Stichprobevariaz die Zufallsvariable = V S = ( gewählt, da erfolgt der Test i folgede Schritte: Seger Iduktive Statistik
ÜBUNG. - LÖSUNGEN Rechtsseitiger Sigifikaztest für die Variaz : [] Sigifikazzahl: [] Testgröße: α = 0,05 α = 0,95 s v = ( 5 = (0 = 9,68 44 [3] Quatil (der χ -Verteilug mit 9 Freiheitsgrade: χ ( α ; = χ (0,95; 9 = 30,4 aus der χ -Tabelle [4] Aahmebereich: s ( χ = 30,4 [5] Etscheidug über die Aahme s ( = 9,68 < 30,4 Die Testgröße liegt im Aahmebereich. Die Nullhypothese 0 wird bei eiem Sigifikaziveau vo α = 0, 05 durch de Test bestätigt ud ageomme. Die Alterativhypothese wird durch de Test widerlegt. Seger Iduktive Statistik