Technische Mechanik 1. Einleitung 2. Statik des starren Körpers 3. Statik von Systemen starrer Körper 3.1 Gleichgewichtsbedingungen, das Erstarrungsprinzip 3.2 Lager 3.2.1 Lagerung in der Ebene 3.2.2 Allgemeiner Fall 3.3 Beispiele 3.3.1 Dreigelenkbogen 3.3 2 Sägebock
Leonhard Euler * 15. April 1707 in Basel 18. September 1783 in Sankt Petersburg Befindet sich ein System von Körpern im Gleichgewicht, dann sind auch alle aus ihm herausgeschnittenen Teile im Gleichgewicht. Die Wirkung der abgeschnittenen Teile ist durch die Schnittkräfte ersetzbar.. (Foto: Wikipedia)
Gleichgewichtsbedingung, Erstarrungsprinzip Gleichgewichtsbedingung: Ein System starrer Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn jeder einzelne starre Körper im Gleichgewicht ist. Erstarrungsprinzip: Ein System starrer Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn jedes Teilsystem sich im Gleichgewicht befindet.
Beispiel: Fahrradbremse - Modellbildung Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 Systemgrenze: Das System besteht aus zwei starren Körpern. Vereinfachung: Wir betrachten nur die Kräfte in der x-y-ebene und Momente um die z-achse. Kräfte in z- Richtung und Momente um die x- oder y- Achse werden nicht berücksichtigt (Ebenes Ersatzmodell) Gegeben: Betätigungskraft, Geometrie Gesucht: Felgen-Normalkraft, Reaktionskräfte in den Lagern (Grafik: www.fahrradwelt.de )
Beispiel: Fahrradbremse Das System besteht aus zwei starren Körpern. Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 Wir betrachten nur die Kräfte in der x-y-ebene und Momente um die z-achse. Kräfte in z-richtung und Momente um die x- oder y-achse werden nicht berücksichtigt (Ebenes Ersatzmodell). Teil II ist in Punkt A bzgl. Des Fahrradrahmens drehbar gelagert I ist in A bzgl. II drehbar gelagert Als äussere Kräfte wirken Betätigungskraft F 1 Felgen-Normalkraft F 2
Beispiel: Fahrradbremse Das System ist im Gleichgewicht, wenn sowohl Körper I als auch Körper II im Gleichgewicht sind. Körper I: Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 Richtung der Kräfte ergibt sich aus Dreieckskonstruktion, Größe (Betrag) aus: F F 1 2 = B cosα = B sinα Es folgt: tanα = F1 B = cosα F = F tanα 2 1 a b
Beispiel: Fahrradbremse Das System ist im Gleichgewicht, wenn sowohl Körper I als auch Körper II im Gleichgewicht sind. Körper I: n i= 1 n i= 1 n i= 1 F F ix iy M = 0 : F Bsinα = = 0 : F B cosα = ( B) iz = 0 : 2 0 1 0 F a + F b = 0 1 2 n i= 1 F ix = 0 : F2 Bsinα = 0 Zur Bestimmung der beiden unbekannten Kräfte ist es ausreichend 2 Gleichungen auszuwerten: sinα cosα 1 B 0 F2 = 0 F1
Beispiel: Fahrradbremse Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 Das System ist im Gleichgewicht, wenn sowohl Körper I als auch Körper II im Gleichgewicht sind. Körper II: Da die Kräfte F 1, F 2 und B am Körper I im Gleichgewicht stehen, ist ihre Resultierende gleich Null. Daraus folgt für Körper II, dass nur noch die beiden Kräfte A x und A y wirken. Diese müssen Null sein, damit Körper II im Gleichgewicht ist.
Technische Mechanik 1. Einleitung 2. Statik des starren Körpers 3. Statik von Systemen starrer Körper 3.1 Gleichgewichtsbedingungen, das Erstarrungsprinzip 3.2 Lager 3.2.1 Lagerung in der Ebene 3.2.2 Allgemeiner Fall 3.3 Beispiele 3.3.1 Dreigelenkbogen 3.3 2 Sägebock
Lager Ein starrer Körper hat in der Ebene drei unabhängige Bewegungsmoglichkeiten: zwei Translationen in der Ebene und eine Drehung um eine zur Ebene senkrechte Achse Lager schränken die Bewegungsmöglichkeit ein.
Lager Ein starrer Körper hat im Raum sechs unabhängige Bewegungsmoglichkeiten: drei Translationen und drei Drehungen Lager schränken die Bewegungsmöglichkeit ein.
Lager in der Ebene
Lager im Raum (1)
Lager im Raum (2)
Beispiel: Gelenkarmroboter KUKA KR 1000 titan Traglast 1000 kg Max. Reichweite 3202 mm Anzahl der Achsen 6 Wiederholgenauigkeit <±0,2 mm Gewicht 4700 kg (Foto: KUKA )
Beispiel: Scara-Roboter KUKA KR 5 Scara R550 Traglast 5 kg z-hub 200 mm / 320 mm Max. Reichweite 550 mm Anzahl der Achsen 4 Wiederholgenauigkeit <±0,02 mm Gewicht 20 kg Geschwindigkeit max. 7,1 m/s (Foto: KUKA )
Beispiel: Fahrradbremse Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 Shimano Deore XT, BR-M760 (Foto: www.cycle-basar.de )
Beispiel: Kardangelenk Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 (Foto: www.wobestellen.de )
Beispiel: Gleitlager (Foto: www.bf-vln.de)
Beispiel: Wälzlager (Foto: www.bf-vln.de)
Beispiel: Fahrwerk (Fotos: www.kfz-tech.de)
Technische Mechanik 1. Einleitung 2. Statik des starren Körpers 3. Statik von Systemen starrer Körper 3.1 Gleichgewichtsbedingungen, das Erstarrungsprinzip 3.2 Lager 3.2.1 Lagerung in der Ebene 3.2.2 Allgemeiner Fall 3.3 Beispiele 3.3.1 Dreigelenkbogen 3.3 2 Sägebock
Beispiel: Dreigelenkbogen (1) Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 II I F G 1 F 2 P 1 P 2 A B Gegeben: Geometrie, äußere Kräfte Gesucht: Lagerkräfte A r, B r F r, F r 1 2
Beispiel: Dreigelenkbogen (2) Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 G y F 1 F 2 G x G x Gy P 1 P 2 A x A y By B x
Beispiel: Dreigelenkbogen (3) Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 G y F 1 F 2 G x G x Gy P 1 p 1y g 1y P 2 p 2y g 2y A x A y By B x p 1x p 2x g 1x g 2x
Beispiel: Dreigelenkbogen (4) Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 F 1 G y G x Stelle F r 1 durch Komponenten dar: r r r F F e 1 = F1, xex + 1, y y P 1 g 1y p 1y A x A y Gleichgewichtsbedingungen für Körper I: p 1x g 1x e r y e r x
Beispiel: Dreigelenkbogen (5) Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 G x Gy P 2 F 2 p 2y g 2y Gleichgewichtsbedingungen für Körper II: B x B y p 2x g 2x e r y e r x
Beispiel Dreigelenkbogen (6) Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 Gleichgewichtsbedingungen ergeben lineares Gleichungssystem r R = r F A Systemmatrix Vektor der (gegebenen) äußeren Kräfte Vektor der (gesuchten) Reaktionskräfte
Beispiel: Sägebock (1) Gegeben: Geometrie, äussere Kraft G Gesucht: Alle Reaktionskräfte Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 Vorgehen: Freischneiden der Körper, Eintragen aller Schnittkräfte, Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen Auflösen der Gleichungen nach den gesuchten Kräften
Beispiel: Sägebock (2) G N 1 α N 2 N 1 N 2 D C C D S S B A
Beispiel: Sägebock (3) Gleichgewichtsbedingungen für das Gesamtsystem: ( ) M E i = 0 : Bl sinα Al sinα = 0 Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 F iy = 0 : A + B G = 0 E A = B A = B = G 2 A B
Beispiel: Sägebock (4) Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 G N 1 α N 2 Gleichgewichtsbedingungen für den Zylinder: F ix = 0 : N1 cosα N2 cosα = 0 F iy = 0 : N1 sinα + N2 sinα G = 0 N 1 = N 2 N = N = 1 2 G 2sinα
Beispiel: Sägebock (5) Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008 N 1 D C H S Gleichgewichtsbedingungen für den rechten Holm: ( ) M H i = 0 : N1a Sb cosα + Bl sinα = 0 F ix = 0 : S + C N1 cosα = 0 F iy = 0 : B + D N1 sinα = 0 B a l S = G + tanα 2bsinα 2b a l C = G + tanα + 2bsinα 2b D = 0 1 2 tanα
Zusammenfassung Ein System starrer Körpr ist im Gleichgewicht, wenn jeder Körper im Gleichgewicht ist. Ein System starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn jedes Teilsystem im Gleichgewicht ist. Lager schränken die Bewegungsmöglichkeiten ein. Die Wertigkeit eines Lagers ist durch die Anzahl der von ihm übertragenen Reaktionskräfte, bzw. momente bestimmt. Sie gibt gleichzeitig an, wie viele Freiheitsgrade der Bewegung eingeschränkt werden.