Mathematische Grundlagen für das Physik-Praktikum: Grundwissen: Bruchrechnung Potenzen Logarithmen Funktionen und ihre Darstellungen: Lineare Funktionen Proportionen Exponentialfunktion Potenzfunktionen Trigonometrische Funktionen
Anwendungsbeispiel: Ohmsches / Kirchhoff`sches Gesetz Serien-Schaltung R R 1 R R 3 Parallel-Schaltung 1 1 1 1 R R1 R R 3 Einheiten beachten!
a a a a,,, (n mal ) a n Potenzen a n am =a n+m n a n m =a m a 0 a =1 Darstellung mit Zehnerpotenzen: 73784 = 7,3784 105 0,000453 = 4,53 10-4 n m ( a ) =a n m 0 1 a 0 n n a = n = n =a =a a a ebenso : gebrochene Hochzahlen n 1 n n n m m m n a = a bzw. a = a =( a ) n
Umrechnung der physikalischen Einheiten t 5,4 10 4 s 5,4 10 µs 540µs Zeit: Länge etc.: 3 1mm 10 m 50mm 4 50 (10 3 m ) 4 50 10 1 m 4 1l(Liter ) 1dm 3 (10 1 m ) 3 10 3 m 3 Konzentration: mol mol 3 mol c 0,00 0,00 3 3 0,00 10 l 10 m m3 Dichte: 1 g cm 3 10 3 kg 6 10 m 3 10 3 kg m 3 1 t m3
Logarithmus Definition: Basis: y = ax x = loga y z.b.: 10,,... e =,718... Dekadischer Logarithmus log dualer Logarithmus natürlicher Logarithmus ln 1,0 y =y=log logx10 (x) 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8-1,0 1 3 4 5 6 Def.: xx > 0 7 8 9 10
Logarithmus Beispiele: x 1000 10 x? x log10 1000 3 x 64 x? x log 64 6
Logarithmus aus den Regeln der Rechnung mit Potenzen folgt: log (A* B) = log A + log B log (A / B) = log A - log B log (AB ) = B * log A
Logarithmus einige nützliche Beispiele: 1 A B log = log A log = log A B A log =0,3010 ln 0,7 1 3 3 log 0,001=log(10 )=log 3 =0 log(10 )= 3 10 () () () ( ) log 8=log ( 3 )=3 log( ) 0,9 1 log 0,5=log =0 log( ) 0,3 ()
e-funktion y = e ax Umkehrfunktion: y = e x Ableitung von y = ex bzw. y = e ax x = ln y dy/dx = e x dy/dx = a e ax = a y
e-funktion y = e ax Halbwertsgröße: y (xh) = y0 / y = y0 e -a x xh = ln / a Zerfallsgesetz: N N 0e t bzw. A A 0e t ln t1/ ln ln 0,693 Absorptionsgesetz: I I o e x
e-funktion/ natürlicher Logarithmus y = e ax Logarithmieren N N 0e x ln N ln N 0 x y y = a - µx lny e-funktion Gerade x x
Logarithmen halblogarithmische Darstellung der e-funktion : Gerade
Logarithmen Entsprechende Darstellung von Potenzfunktionen y = k xn log y = log k + n log x y = a + µx
Gerade einfache Funktionen: Funktionsgleichung: y = f(x) = m * x + a Steigung Achsenabschnitt y y 1 y Steigung m x x1 x 10 y=1,5*x + 3,5 y = f (x) 8 6 4 0-10 y=0,3*x+5-8 -6-4 - 0 x 4 6 8 10
Trigonometrische Funktionen c Sinus: sin = a / c Cosinus: cos = b / c Tangens: tan = a / b Cotangens: cot = b / a b 1, y=sin(x) 1,0 0,8 0,6 y = f (x) 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8-1,0-1, y=cos(x) 0 X [ ] 4 a
0 15 10 tan (x) 5 0-5 -10-15 -0 0,0 0,5 1,0 X [ ] 1,5,0
der Winkel ist stets in Bogenmaß anzugeben! sin 0o 30o 0 0,5 cos 1 tan 0 1 3 1 3 3 45o 60o 1 1 1 3 1 0,5 0 1 für kleine Winkel gilt näherungsweise: 3 90o sin = tan Umkehrfunktion zu sin ( ) = a : = arc sin ( a ) 360o <> oder = sin-1 ( a )
Differential: oder Ableitung Ist mathematisch aus dem Differenzenquotienten hergeleitet, der die Steigung einer Sekante, d.h. der Verbindungslinie zweier Punkte einer Kurve (Funktion), bestimmt. Aus dem Grenzwert, wenn beide Punkte ineinander übergehen, bildet sich der Differentialquotient, der die Steigung der Tangenten in jedem Punkt der Kurve angibt. dy y y1 y f ( x x) f ( x) y f ( x) lim dx x1 x x x 0 x
Differential: y Sekante P1 y1 y Tangente P x x1 x
Ableitungen bekannter Funktionen: y=a n y=a x x y=e a x y=e y=ln x y=sin x y=cos (a x) ' y =0 ' n 1 y =a n x ' x y =e ' a x y =a e ' y =1/ x ' y =cos x ' y = a sin (a x)
zu beachten: Produktregel y=u ( x ) v ( x ) y ' =u v ' + v u' ' Quotientenregel u( x ) v u u v ' y= y= v( x ) v Kettenregel dy du y=f (u( x )) y = du dx ' '
Mathematische Grundlagen für das Physik-Praktikum: Fehlerrechnung Begriffe Fehlerquellen systematische Fehler zufällige Fehler
Bestimmung des Fehlers: Berechnung des mittleren Fehlers aus einer Meßreihe m Schätzfehler, bei Einzel-Messung Skalenteilung Nonius-Teilung (Schieblehre) Güteklasse eines Meßgerätes Systematische Fehler
Bestimmung des Fehlers: Angabe des Fehlers einer Meßgröße x [m]: absolute Fehler: ± x [m] relativer Fehler: x/x ohne Dimension! prozentualer Fehler: x 100% x
Fehlerfortpflanzung z = k am bn cp k=konstante z a b c m n p z a b c Größtfehler z: Summe oder Differenz z = k1 a ± k b ± z k 1 a k b... z: Potenzprodukt z = k1 am bn cp z a b c m n p z a b c
Beispiel: Messung mit Schieblehre d = 0,5 mm d = 0,1 mm d = 0,5 ±0,1 mm d 0,1 0, d 0,5 d 100% 0% d Fehler auf maximal Stellen angeben!
Frage: Was ist Fehler von ym bei bekanntem Fehler in xm? x y? y y ym x xm x Antwort: Das hängt vom Anstieg der Funktion y(x) im Punkt xm ab
Frage: Was ist Fehler von ym bei bekanntem Fehler in xm? x y? y Differenzenquotient: y = y ym y x x Differentialquotient: x xm y = dy dx x x Antwort: Das hängt vom Anstieg der Funktion y(x) im Punkt xm ab
Fehlerfortpflanzung z = f(a, b, c,...) a ± a, b ± b, c ± c, f f f z a b c... a b c partielle Ableitung y Sekante P1 y1 y Tangente P x x1 x
Beispiel: Fallender Körper Gleichförmig beschleunigte Bewegung 1 s (t )= g t s(t) Messung: Fallzeit t mit Messungenauigkeit t Bestimmung der Fallstrecke s. Wie groß ist s?
Beispiel: Fallender Körper Gleichförmig beschleunigte Bewegung 1 s (t )= g t s(t) Messung: Fallzeit t mit Messungenauigkeit t Bestimmung der Fallstrecke s. Wie groß ist s? ds Δs= Δt dt Δs=g t Δt Δs g t Δt = s 1 gt Δs Δt = s t
Beispiel: Fadenpendel Mathematisches Pendel der Länge l und Periodendauer T der Schwingung l T = π l g Messung: Periodendauer T mit Messungenauigkeit T Erhöhung der Messgenauigkeit? Ziel: Bestimmung von g, g
Beispiel: Fadenpendel Ziel: Bestimmung von g, g Absoluter Fehler: l Formal aus Fehlerfortpflanzung: Ausführen d. Ableitungen: Vergleich der Ableitungen mit g: Relativer Fehler: l T = π g 4 π l g= T g g Δg= Δl+ ΔT l T 4π 4 π l = Δl+ 3 ΔT T T g g = Δl+ ΔT l T Δg Δl ΔT = + g l T
Welche Fehlerfortpflanzung sollte man nehmen? Beispielfunktion: f (x, y)=x + y ( x² + y²)½ x Lineare F.-Fortpflanzung (Größtfehlerabschätzung): Δf Δx Δ y = + f x y f f Δf = Δx+ Δy x y y Für systematische und Meßfehler von Einzelmessungen Gauß'sche F.-Fortpflanzung: f f Δf = ( Δx) +( Δy) x y Δf Δx Δy = ( ) +( ) f x y Für Mittelwerte von Messungen und Ihren statistischen Meßfehlern
Poissonverteilung es gilt: x Fehler in der Zähl-Statistik: N = mittlere Zählrate Fehler N relative Fehler N 1 N N N prozentuale Fehler 100% 100% N N
Co ist ein -Strahler mit einer Halbwertszeit von t1/ = 5, a. Die Quelle zeigt heute eine Aktivität von 6,5 kbq. Wie groß sind der absolute und der relative statistische Fehler der oben angegebenen Aktivität, wenn Sie 10 Sekunden lang mit einem Zählrohr messen, das eine Nachweisempfindlichkeit von 0,5% hat? 60