Systemorientierte Informatik. Grundlagen Digitaler Schaltungen.8 Schaltnetze aus Gattern und Leitungen.9 Boole sche Algebra. Minimierung Boole scher Funktionen. CMOS Komplegatter
Die nächste Funktion, die wir in einem Gatter mit MOS-Transistoren realisieren wollen, ist ein Nand-Gatter. Der Ausgang eines Nand-Gatters ist, wenn nicht beide Eingänge auf sind. Wir müssen also erreichen, dass auf den Ausgang das GND-Potenzial gelegt wird, wenn beide Eingänge ist *. Ferner müssen wir das Versorgungspotenzial V dd an den Ausgang bringen, falls mindestens einer der Eingänge ist **. Wie gelingt dies? Wir schalten zwei n-transistoren in Serie und verbinden die Source des ersten mit GND. Damit erfüllt die Drain des zweiten die erste Bedingung * für den Ausgang. Ferner schalten wir zwei p-transistoren parallel, deren Sourcen wir an V dd anschließen. Wiederum ist die Drain der Ausgang. Damit ist die zweite Bedingung ** für den Ausgang erfüllt. Verbinden wir nun die Drain anschlüsse dieser beiden Pfade, so ist das Nand-Gatter fertig.
Nand-Gatter in in out U in U in U out 3
Man beachte, dass die n-transistoren wieder lediglich gebraucht werden, um das Potenzial der logischen GND an den Ausgang zu bringen. Ebenso benutzen wir die p-transistoren nur zur Weiterleitung des logischen -Potentials V dd. Somit sind die Signale am Ausgang nicht um eine Schwellspannung unterschiedlich zu den beabsichtigten Potenzialen für die entsprechenden logischen Werte. Es ist ein gute und eine gute, die am Ausgang zu beobachten ist. Wie können wir nun ein Und-Gatter aufbauen? Durch hintereinanderschalten eines Nand-Gatters mit einem Inverter. Diese Schaltung ist auf der nächsten Folie zu sehen. Geht das auch mit weniger Transistoren? Bitte probieren Sie es aus. Beachten Sie aber dabei, dass am Ausgang gute Signale entstehen sollen. Warum? 4
Und-Gatter U in U in U out Nand Inverter 5
Nor-Gatter in in out U in Uin U out 6
Oder-Gatter U in Uin U out 7
Definition: Ein Schaltnetz ist eine technische Realisierung einer Boole schen Funktion. Schaltnetze können durch Zusammenschalten von Gattern und Leitungen aufgebaut werden. 8
Beispiel des Schaltnetzes: 3 & & y 9
Definition: Ein Produktterm ist eine UND-Verknüpfung von Eingabevariablen, wobei jede Eingabevariable höchstens einmal in invertierter oder in nichtinvertierter Form vorkommen kann.
Beispiele für Produktterme: 4
Definition: Ein Boole sche Funktion ist in Disjunktiver Normalform DNF, wenn sie aus einer ODER- Verknüpfung von Produkttermen besteht.
3 Beispiele für Funktionen in DNF: 4 3 4
Definition: Ein Minterm Vollkonjunktion, Minimaler Produktterm ist ein Produktterm, bei dem alle Eingabevariablen entweder in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen. Ein Minterm entspricht einer Zeile in der Wertetabelle der Funktion. 4
Beispiele für Minterme: hingegen ist kein Minterm, wenn es auch noch eine Eingabevariable gibt. 5
Definition: Die Kanonische Disjunktive Normalform KDNF einer Boole schen Funktion ist eine ODER- Verknüpfung aller Minterme, für die die Funktion den Wert annimmt. 6
7 Beispiele für Funktionen in KDNF: Die folgende Funktion ist nicht in KDNF; im zweiten Produktterm taucht das nicht auf, daher ist es kein Minterm.
Beispiel einer Wertetabelle einer Funktion: y Minterm 8
Beispiel des Schaltbildes einer Funktion in KDNF: & & & y & 9
Definition: Ein Summenterm ist eine ODER-Verknüpfung von Eingabevariablen, wobei jede Eingabevariable höchstens einmal in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen kann.
Beispiele für Summenterme:
Definition: Ein Boole sche Funktion ist in Konjunktiver Normalform KNF, wenn sie aus einer UND- Verknüpfung von Summentermen besteht.
Beispiele für Funktionen in KNF: 4 3 4 3
Definition: Ein Materm Volldisjunktion ist ein Summenterm, bei dem alle Eingabevariablen entweder in invertierter oder in nicht-invertierter Form vorkommen. Es gibt für jede Zeile i in einer Wertetabelle der Funktion einen Materm, der der Menge aller Zeilen außer seiner Zeile i entspricht. 4
Beispiele für Materme: hingegen ist kein Materm, wenn es auch noch eine Eingabevariable gibt. 5
Definition: Die Kanonische Konjunktive Normalform KKNF einer Boole schen Funktion ist eine UND- Verknüpfung aller Materme, für deren Zeile die Funktion den Wert annimmt. 6
Beispiele für Funktionen in KKNF: Die folgende Funktion ist nicht in KKNF; im ersten Summenterm tauchen und nicht auf, daher ist es kein Materm. 7
Beispiel einer Wertetabelle einer Funktion: y Materm 8
Beispiel des Schaltbildes einer Funktion in KKNF: & y 9
Beispiel einer Funktion im Auto: Zündung: Z : Zündung an Hitze: H : Temperatur>95 o Pegel: P : ausreichend Wasser Z H P W Minterm Z H P ZH P ZHP 3
Warnleuchten-Funktion in KDNF: W Z H P ZH P ZHP Z H P & & & W 3
Warnleuchten-Funktion in DMF: W Z P ZH Z H P & & W 3
Definition: Eine Boole sche Algebra ist eine algebraische Struktur A,,, wobei A eine Menge ist und und zweistellige Verknüpfungen auf dieser Menge. Beide Verknüpfungen müssen kommutativ sein. Es gibt neutrale Elemente für und. Es gelten beide Distributivgesetze. Für jedes Element gibt es ein inverses Element bezüglich beider Verknüpfungen. 33
34 Aiome der Boole schen Algebra:. Kommutativgesetze: :, A :, A. Neutrale Elemente: A A : : A A : : 3. Distributivgesetze: :,, A :,, A 4. Inverses Element: : und A A
35 Lemma: A : :,, A :,, A.. 3. 4. A :
36 Das inverse Element ist eindeutig. Beweis: Sei Eingabevariable. Seien, inverse Elemente zu. Das inverse Element zu ist also eindeutig. Aus diesen vier Aiomen lässt sich eine Reihe von Aussagen ableiten
37 Sätze der Boole schen Algebra: Satz : : A Beweis:
Sätze der Boole schen Algebra: Satz : A: Satz : A: Satz 3: A: Satz 4: A: 38
Satz 4: A: Beweis: 39
4 :,, A Satz 6 Assoziativgesetz für : :,, A Satz 5 Assoziativgesetz für :
4 :, A Satz 7: Beweis:
Satz 8: Satz 9:, A: : Satz : und Satz Erste Regel von demorgan: A :, Satz Zweite Regel von demorgan:, A: 4
43 :, A Satz 3 Erste Vereinfachungsregel: Satz 4 Zweite Vereinfachungsregel: :, A
44 ZH ZP ZH ZP P P ZH H H ZP P ZH P ZH H ZP H ZP ZHP ZHP ZPH ZPH ZHP ZHP ZHP ZHP ZHP ZHP ZHP W
Warnleuchten-Funktion in KDNF: W Z H P ZH P ZHP Z H P & & & W 45
Warnleuchten-Funktion vereinfacht zur KMF: W Z P H Z H P & W 46
Warnleuchten-Funktion in DMF: W Z P ZH Z H P & & W 47
Definition: Eine in disjunktiver Normalform angegebene Boole sche Funktion ist in Disjunktiver Minimalform DMF, wenn jede äquivalente Darstellung derselben Funktion in DNF mindestens genausoviele Produktterme besitzt, und wenn für jede äquivalente Darstellung in DNF mit genausovielen Produkttermen die Anzahl der Eingänge in diese Produktterme mindestens genauso groß ist wie die Anzahl bei dieser Darstellung. 48
KV-Diagramm: Rechteckiges Schema bei n Eingabevariablen n innere Felder Ränder so beschriftet, dass jede Variable genau die Hälfte des Diagramms abdeckt Jede Variable deckt genau den halben Bereich jeder anderen Variablen ab Jeder Minterm ist eindeutig durch ein inneres Feld repräsentiert. 49
5 c Beispiele: a b ab b a b a b a abcd a b abc c ab bc a bc a c b a c ab b c a d d abc d abc cd ab abcd cd b a d abc bcd a bcd a cd b a d abc bcd a d bc a d bc a d abc abcd c ab c ab
Beispiel: Warnleuchte: Z H P W Z P H W ZP ZH 5