Computational Astrophysics 1. Kapitel: Sonnensystem Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik Kepler Center for Astro and Particle Physics Sommersemester 2011 W. Kley: Computational Astrophysics
1. Zweikörperproblem Übersicht 1. Zweikörperproblem - Keplergesetze - Bewegungsgleichungen - Planetenbahnen - Keplergleichung - Nullstellensuche - Fixpunkt-Iteration W. Kley: Computational Astrophysics 1
1. Zweikörperproblem Übersicht 1.1 Zweikörperproblem - Keplergesetze - Bewegungsgleichungen - Planetenbahnen - Keplergleichung - Nullstellensuche - Fixpunkt-Iteration W. Kley: Computational Astrophysics 2
1. Zweikörperproblem Keplergesetze 1) Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei die Sonne sich in einem Brennpunkt der Ellipse befindet (1609) 2) Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten (Astronomia Nova, 1609) 3) Das Quadrat der Bahnperiode (P ) ist proportional zum Kubus des mittleren Abstandes (Große Halbachse a) von der Sonne (Harmonices Mundi, 1619) W. Kley: Computational Astrophysics 3
1. Zweikörperproblem Relativkoordinaten r P S r s r p O O: Koordinatenursprung S: Sonne, r s Radiusvektor zur Sonne P: Planet, r p Radiusvektor zum Planeten r = r p r s Vektor von Sonne zum Planeten W. Kley: Computational Astrophysics 4
1. Zweikörperproblem Bewegungsgleichungen Für die Sonne M s rs = M s a s = GM sm p ( r p r s ) r p r p 3 = GM s m p r r 3 (1) Für den Planeten m p rp = m p a p = GM sm p ( r p r s ) r p r s 3 = GM s m p r r 3 (2) Subtraktion M s (2) - m p (1) und teilen durch M s + m p Gleichung für die Relativbewegung Mit: µ = M s m p /(M s + m p ) M = M s + m p µ r = µ a = GMµ r r 3 (3) W. Kley: Computational Astrophysics 5
1. Zweikörperproblem Äquivalentes Einkörperproblem Das Zweikörperproblem kann auf ein äquivalentes Einkörperproblem für die Relativbewegung reduziert werden µ r = GMµ r r 3 (4) Der Planet bewegt sich wie ein Körper der reduzierten Masse µ = M s m p /(M s + m p ) im Feld der Zentralmasse M = M s + m p. r ist der Relativvektor (von Sonne zum Planeten). Erhaltungsgrößen : Energie Drehimpuls E = 1 2 µv2 G Mµ r (5) L = µ r v (6) W. Kley: Computational Astrophysics 6
1. Zweikörperproblem Bewegungsgleichungen Spezifischer Drehimpuls h (Drehimpuls/Masse) L µ h Es gilt h r, d.h. Bewegung in Ebene senkrecht zu L. Wähle KO-System mit z-achse parallel zu L, also h = L z /µ x = r cos φ, y = r sin φ Die Bewegungsgleichung (4) lautet nun mit k = G M. r 2 φ = h (7) r r φ 2 = k r 2 (8) W. Kley: Computational Astrophysics 7
1. Zweikörperproblem Flächensatz 01 00 11 00 11 000 111 000 111 000 111 0000 1111 00000 11111 00000 11111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 000000000 111111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 0000000 1111111 000000 111111 0000000 1111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 r 00000 11111 0000 1111 00000 11111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 000 111 000 111 00 11 00 11 01 01 O dr xx Fläche ds des schraffierten Dreiecks ds = 1 2 r dr teile durch dt mit (7) Ṡ = 1 r v 2 Ṡ = 1 2 h (9) d.h. Drehimpulserhaltung Zweites Keplersches Gesetz W. Kley: Computational Astrophysics 8
1. Zweikörperproblem Radial-Gleichung Einsetzen der Drehimpulsgleichung ergibt (k = GM) r + k r 2 h2 r 3 = 0 (10) Multiplikation mit ṙ und Integration über die Zeit t liefert 1 2ṙ2 k r + h2 2r 2 = ɛ (11) ɛ = E/µ spezifische Energie (Energie/Masse) des Planeten Definiere effektives Potential V eff (r) = k r + h2 2r 2 (12) ṙ 2 + 2V eff (r) = 2ɛ (13) W. Kley: Computational Astrophysics 9
1. Zweikörperproblem Effektives Potential V eff (r) ε 3 V eff (r) = k r + h2 2r 2 O r ε ε 2 1 Zentrifugalpotential: für r 0 abstoßend. r 0 ε 0 ɛ = ɛ 0 Kreisbahn (gebunden) ɛ < ɛ 1 < 0 Ellipse (gebunden) ɛ = ɛ 2 = 0 Parabel (marginal gebunden) ɛ = ɛ 3 > 0 Hyperbel (ungebunden) W. Kley: Computational Astrophysics 10
1. Zweikörperproblem Die Form der Bahn Mit ṙ = dr dφ und u = 1 dφ dt r ( ) 2 du + u 2 2ku dφ h 2 = 2ɛ h 2 (14) nochmal ableiten: Binet s Gleichung: d 2 u dφ 2 + u = k h 2 inhomogene Oszillatorgleichung Die Lösung lautet r = p 1 + e cos(φ φ 0 ) (15) Gleichung für Kegelschnitt = 1. Keplersches Gesetz in Gl.14 e = (1 + 2ɛh2 k 2 ) 1/2, p = h2 k a(1 e2 ) (16) W. Kley: Computational Astrophysics 11
1. Zweikörperproblem Die Ellipse semi lactus rectum p = a ( 1 e 2) F P r Fokus (Sonne) Planet (Abstand: F-P) Aphel a b O E P r φ F Perihel a große Halbachse b kleine (b a) Exzentrizität e = (1 b 2 /a 2 ) 1/2 q = a(1 e) (Perihel) Q = a(1 + e) (Aphel) φ wahre Anomalie q=a(1 e) ( Winkel: Perihel - Planet) E: exzentrische Anomalie W. Kley: Computational Astrophysics 12
1. Zweikörperproblem Energie und Drehimpuls Im Perihel r p und Aphel r a ist v r, also gilt L = µr p v p = µr a v a E = 1 2 µv2 p GMµ r p = 1 2 µv2 a GMµ r a mit r p = a(1 e) und r a = a(1 + e) folgt (NOTE: L = µh, E = µɛ) L = µ GMa(1 e 2 ), E = GMµ 2a (17) Integriere Flächensatz (9) über ganze Periode P : πab/p = h/2 mit b = a (1 e 2 ) P 2 = 4π2 a 3 GM d.h. Das Dritte Keplersche Gesetz (18) W. Kley: Computational Astrophysics 13
1. Zweikörperproblem Der Planet in der Bahn I Die radiale Bewegungsgleichung lautete (11) ṙ 2 = A + 2B r + C r 2 (19) mit A = 2ɛ, B = k, C = h 2 (20) r dr allg. Lsg. = dt (21) r 0 A + 2Br + Cr 2 t 0 Substitution: r = a (1 e cos E) ; a = B [ A ; e = 1 AC Lsg.: (mit Perihel bei t = t 0 ) Kepler Gleichung t B 2 ] 1/2 M = 2π P (t t 0) = E e sin E (22) M mittl. Anomalie, P Periode., E = 0 Perihel, E = π Aphel. W. Kley: Computational Astrophysics 14
1. Zweikörperproblem Der Planet in der Bahn II Kepler-Gleichung ist transzendente Gleichung, Lösung iterativ starte zu einer festen Zeit (eg. t = P/4) mit Anfangswert E 0 (eg. π/2), und iteriere Berechne wahre Anomalie φ mit tan E k+1 = M + e sin E k (23) ( ) φ 2 und Abstand r nach (15) = ( ) 1 + e E 1 e tan 2 (24) r = p 1 + e cos(φ φ 0 ) W. Kley: Computational Astrophysics 15
1. Zweikörperproblem Planetenbewegung Umlaufzeiten: siderische: Wahre Umlaufzeit P eines Planeten um die Sonne synodische: Umlauf relativ zur Sonne, P syn Zeit zwischen 2 Konjunktionen Mittlere Bahngeschwindigkeiten: Relativgeschwindigkeit: Für äußere Planeten (n erde > n planet ) Beispiel Mars P syn = 2.14 Jahre n erde, n planet n erde n planet = 2π/P syn 1 = 1 1 P syn P erde P planet W. Kley: Computational Astrophysics 16
1. Zweikörperproblem Bahnelemente I Vollständige Beschreibung der Bahn durch: - 2 Bahnelemente a, e (Große Halbachse, Exzentrizität) - 3 Winkel, welche die Orientierung der Bahn angeben - 1 Zeitursprung T P, z.b. der Durchgang durch Perihel Referenzkoordinatensystem: Kartesisches System: Im Ursprung die Sonne x y Ebene = Ekliptikebene = Ebene der Erdbahn z-achse in Richtung des Drehimpulse der Erdbahn x-achse in Richtung des aufsteigenden Knotens der Erdbahn, (Frühlingspunkt (-Äquinoktium, Tag- und Nachtgleiche), Widderpunkt) W. Kley: Computational Astrophysics 17
1. Zweikörperproblem Bahnelemente II a, e Frühlingspunkt Knoten : aufsteigender absteigender i Inklination Erdbahn-Eklipt. Ω Länge des aufsteig. Knotens in Ekliptik ω Länge des Perihels vom in Bahnebene T P Periheldurchgang W. Kley: Computational Astrophysics 18
1. Zweikörperproblem Bahnelemente III Mit allen 6 Größen a, e, i, Ω, ω, T P ist eindeutige Bestimmung des Position des Planeten möglich Damit können z.b. die Orte r und die Geschwindigkeiten v des Planeten eindeutig angegeben werden. Bewegungsgleichungen (9 Körper, Sonne + 8 Planeten) r i = GM i r i r i 3 + F i, i = 1,..., 9 (25) F i Störungen der anderen Körper auf i-ten Planeten (Masse m i ) M i = (M + m i ) Gl. nicht exakt lösbar, näherungweise Ellipsen plus Störungen Variation der Bahnelemente z.b. variiert e zwischen 0 und 0.06, heute 0.0167 W. Kley: Computational Astrophysics 19
1. Zweikörperproblem Überblick: Sonnensystem W. Kley: Computational Astrophysics 20
1. Zweikörperproblem Bahnelemente der Planeten Momentane Bahnelemente der Planeten Name Symb. Gr. Halbachse Exzent. Inklin. Periode a [AU] e Grad [Jahre] Merkur 0.3871 0.2056 7 o 00 0.241 Venus 0.7233 0.0068 3 o 24 0.615 Erde 1.0000 0.0167-1.00 Mars 1.5237 0.0934 1 o 51 1.88 Ceres 2.766 0.077 10 o 40 4.601 Jupiter 5.2026 0.0488 1 o 18 11.9 Saturn 9.5549 0.0555 2 o 29 29.5 Uranus 19.2184 0.0463 0 o 46 84.0 Neptun 30.1104 0.0090 1 o 46 165 Pluto 39.5447 0.2490 17 o 09 248 Die Bahnelemente variieren (oskulieren) aufgrund der Wechselwirkungen untereinander W. Kley: Computational Astrophysics 21