6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

$Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen eine Zahl eingeführt und unter anderem bewiesen, dass eine solche Folge gegen höchstens eine Zahl konvergieren kann. Damit können wir nun auch den Grenzwert einer Folge definieren. Definition 6.5 (Folgengrenzwerte) SeiK {R, C}. Dann heißt eine Folge (a n ) n N in K konvergent wenn es ein a K mit (a n ) n N a gibt. Nach Lemma.(b) ist a K dann eindeutig bestimmt und heißt der Grenzwert der Folge (a n ) n N, geschrieben als a = a n. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Nach Lemma.(a) ist jede Teilfolge einer konvergenten Folge wieder konvergent und hat denselben Grenzwert wie die Originalfolge. Weiter ist eine komplexe Folge (z n ) n N nach Lemma.(d) genau dann konvergent wenn die Folgen der Real- und der Imaginärteile beide konvergent sind, und in diesem Fall gelten ( ) ( ) Re z n = Re(z n ) und Im z n = Im(z n ). Schließlich besagt Lemma.(e) das es für eine reelle Folge keine Rolle spielt, ob wir sie in K = R oder in K = C betrachten, sowohl die Konvergenz als auch der notwendig reelle Grenzwert stimmen in beiden Fällen überein. Daher kann man, wie schon letztes Mal erwähnt, den komplexen Fall K = C als den allgemeinen Fall behandeln. Lemma 6.2 (Grundeigenschaften konvergenter Folgen) Seien K {R, C} und (a n ) n N eine konvergente Folge in K. Dann gelten: (a) Die Folge (a n ) n N ist beschränkt. (b) Die Folge der Beträge ( a n ) n N ist wieder konvergent und es gilt a n = a n. -

Beweis: Sei a K der Grenzwert der Folge (a n ) n N. (a) Wegen (a n ) n N a existiert ein n 0 N mit a n a < für alle n N mit n n 0. Weiter setzen wir c := max{ a +, a 0,..., a n0 } 0. Dann gilt a n c für alle n N. Sei nämlich n N gegeben. Ist dann n < n 0, so haben wir sofort a n c nach Definition von c, und ist n n 0, so ist ebenfalls a n = a + (a n a) a + a n a < a + c. Damit ist die Folge (a n ) n N beschränkt. (b) Sei ɛ > 0. Dann existiert ein n 0 N mit a n a < ɛ für alle n N mit n n 0. Für jedes n N mit n n 0 ist dann nach 5.Lemma 3.(e) auch an a an a < ɛ. Dies zeigt ( a n ) n N a. In der letzten Sitzung hatten wir als Beispiel eines Grenzwerts bereits n = 0 eingesehen. Einige weitere Grenzwerte sind eine unmittelbare Folgerung. Beispielsweise ist n 2 + = 0, einfach da (/(n 2 +)) n N eine Teilfolge von (/n) n N ist. Zwei weitere Beispiele wollen wir jetzt einfach angeben, der Beweis ist eine Übungsaufgabe. Sei q C. Dann gilt und im Konvergenzfall ist (q n ) n N ist konvergent q < oder q = qn = { 0, q <,, q =. Für jedes q C ist dagegen q n n! = 0. Wir kommen jetzt zu einem schon recht komplizierten Beispiel, wir wollen die Folge ( a n = + ) n n auf Konvergenz untersuchen. Wir wissen bereits, dass diese Folge streng monoton steigend und nach oben beschränkt ist, genauer ist a n < 3 für jedes n N. Der folgende -2

Satz zeigt, dass diese beiden Eigenschaften bereits die Konvergenz der Folge implizieren. Satz 6.3 (Konvergenz monotoner Folgen) Sei (a n ) n N eine reelle Folge. (a) Ist (a n ) n N monoton steigend und nach oben beschränkt, so ist (a n ) n N auch konvergent mit a n = sup{a n n N}. (b) Ist (a n ) n N monoton fallend und nach unten beschränkt, so ist (a n ) n N auch konvergent mit a n = inf{a n n N}. Beweis: (a) Schreibe s := sup{a n n N}. Sei ɛ > 0. Nach 4.Lemma 2.(a) existiert ein n 0 N mit a n0 > s ɛ. Sei n N mit n n 0. Dann ist Dies zeigt (a n ) n N s. (b) Analog. s ɛ < a n0 a n s, also a n s = s a n < ɛ. Dieser Satz ergibt insbesondere die Existenz des Grenzwerts ( α := + n ( = sup + n) n. n N n) Tatsächlich wird sich später herausstellen das α = e die Euler-Napiere Konstante e = 2, 7828... ist. Die ersten Folgenglieder von a n = ( + /n) n sind a = 2, a 2 = 9 4, a 3 = 64 27, a 4 = 625 256, a 5 = 7776 325, a 6 = 7649 46656 > 5 2, und da außerdem 3 eine obere Schranke unserer Folge ist, folgt 5 2 < α 3. Für die meisten Zwecke innerhalb der reinen Mathematik ist das schon genau genug. Als nächstes Beispiel wollen wir die Folge ( n n) n behandeln. Wir wissen bereits das diese für n 3 streng monoton fallend ist und außerdem trivialerweise durch nach unten beschränkt ist, also existiert ihr Grenzwert. Wir behaupten das n n = -3

gilt. Sei nämlich ɛ > 0 gegeben. Mit der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen 4.Lemma 4 erhalten wir ein n 0 N mit n 0 > + 2 ɛ 2. Sei nun n N mit n n 0 gegeben, also insbesondere n 2. Mit der allgemeinen binomischen Formel 4.Lemma 5 erhalten wir n = ( n n) n = ( + ( n n )) n = Hieraus folgen weiter n k=0 ( ) n ( n n ) k k ( ) n ( n n ) 2 2 = n(n ) ( n n ) 2. 2 ( n n ) 2 2 n und 0 < n 2 2 n n n 0 < ɛ 2 = ɛ, also schließlich n n = n n < ɛ. Dies beweist ( n n) n wie behauptet. Wir werden zeigen, dass auch für jede positive reelle Zahl c R mit c > 0 stets die Aussage ( n c) n gilt. Dies kann man analog zur eben vorgeführten Berechnung von n n durchführen, es ist sogar etwas einfacher, aber wir wollen hier einen alternativen Zugang wählen, der ohne Rechnung auskommt. In der Tat folgt die Konvergenzaussage direkt aus dem eben bewiesenen n n. Hierzu ist es hilfreich zuvor einige allgemeine Aussagen zu beweisen. Wir beginnen mit dem Begriff einer Nullfolge, der es uns erlauben wird viele Grenzwerte ohne die ɛ n 0 Überlegungen behandeln zu können. Definition 6.6 (Nullfolgen) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K heißt eine Nullfolge wenn (a n ) n N 0 gilt. Offenbar ist eine reelle oder komplexe Folge (a n ) n N genau dann eine Nullfolge wenn die reelle Folge ( a n ) n N eine Nullfolge ist. Lemma 6.4 (Grundeigenschaften von Nullfolgen) Sei K {R, C}. Dann gelten: (a) Sind (a n ) n N und (b n ) n N zwei Nullfolgen in K, so ist auch (a n + b n ) n N eine Nullfolge in K. (b) Sind (a n ) n N eine Nullfolge in K und c K, so ist auch (ca n ) n N eine Nullfolge in K. (c) Sind (a n ) n N eine beschränkte Folge in K und (b n ) n N eine Nullfolge in K, so ist auch (a n b n ) n N eine Nullfolge in K. -4

(d) Sind (a n ) n N eine Folge in K und a K, so gilt genau dann (a n ) n N a wenn (a n a) n N eine Nullfolge ist. (e) Sind (a n ) n N eine Folge in K und (b n ) n N eine Nullfolge in R mit a n b n für alle n N, so ist auch (a n ) n N eine Nullfolge in K. (f) Sind (a n ) n N eine Nullfolge in R mit a n > 0 für alle n N und α Q mit α > 0, so ist auch (a α n) n N eine Nullfolge. Beweis: (a) Sei ɛ > 0. Dann existieren n, n 2 N mit a n < ɛ/2 für alle n N mit n n und b n < ɛ/2 für alle n N mit n n 2. Setze n 0 := max{n, n 2 }. Für alle n N mit n n 0 ist dann auch a n + b n a n + b n < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Damit ist (a n + b n ) n N eine Nullfolge in K. (c) Es gibt eine Konstante c 0 mit a n c für alle n N. Sei ɛ > 0. Dann existiert ein n 0 N mit b n < ɛ/(c + ) für alle n N mit n n 0. Ist n N mit n n 0, so ist damit auch a n b n = a n b n c b n cɛ c + < ɛ. Damit ist (a n b n ) n N eine Nullfolge in K. (b) Klar nach (c). (d,e) Klar. (f) Seien p, q Z mit p, q und α = p/q. Wir zeigen zunächst, dass ( q a n ) n N eine Nullfolge ist. Sei also ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein n 0 N mit a n < ɛ q für alle n N mit n n 0. Für jedes n N mit n n 0 folgt damit auch q a n < q ɛ q = ɛ. Also ist ( q a n ) n N eine Nullfolge. Da konvergente Folgen nach Lemma 2.(a) auch beschränkt sind, ist somit auch (a α n) n N = (( q a n ) p ) n N nach (c) eine Nullfolge. Wir wollen noch ein paar Anmerkungen zum eben bewiesenen Lemma festhalten. Zunächst beachte das konvergente Folgen nach Lemma 2.(a) auch beschränkt sind, Aussage (c) des Lemmas ergibt also insbesondere, dass das Produkt einer konvergenten Folge und einer Nullfolge wieder eine Nullfolge ist. Weiter ist es in Aussage (e) des Lemmas nicht wirklich nötig das a n b n für alle n N gilt, es reicht aus das es einen Startindex n 0 N mit a n b n für alle n N mit n n 0 gibt. Dies ist implizit bereits im Lemma enthalten. Erinnern Sie sich daran, dass wir eingehends gesagt hatten, dass implizit immer auch Folgen mit gemeint sind, die erst ab einem Startindex definiert sind. Weiter ist es für die Konvergenz und den Grenzwert einer Folge offenbar egal ob wir die Folge selbst oder dieselbe Folge ab einem anderen Startindex betrachten. Wenden wir also Aussage (e) des Lemmas auf die Folgen (a n ) n n0 und (b n ) n n0 an, so ergibt sich genaz die genannte stärkere Aussage. Letztendlich haben wir uns in Teil (f) auf den Fall rationaler Exponenten α beschränkt, da wir Potenzrechnung mit beliebigen reellen Exponenten noch gar nicht eingeführt haben. Die Aussage (f) wird auch -5

für allgemeine positive Exponenten wahr sein, bedarf dann allerdings eines anderen Beweises, aber dazu werden wir dann später im Semester kommen. Unser Ziel ist noch immer einen ɛ n 0 freien Beweis der Aussage n c für jedes c R mit c > 0 anzugeben. Das eben bewiesene Lemma über Nullfolgen ist ein erster Schritt hierzu, und der zweite Schritt ist das folgende Lemma über reelle Folgen. Lemma 6.5 (Anordnungseigenschaften reeller Grenzwerte) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente, reelle Folgen. (a) Gilt a n b n für alle n N, so ist auch a n b n. (b) Gilt a n = b n und ist (u n ) n N eine weitere reelle Folge mit a n u n b n für alle n N, so ist auch die Folge (u n ) n N konvergent mit u n = a n = b n. Beweis: (a) Seien a der Grenzwert von (a n ) n N und b der Grenzwert von (b n ) n N. Angenommen es wäre a > b. Dann ist ɛ := (a b)/2 > 0 und es gibt n, n 2 N mit a n a < ɛ für alle n N mit n n und b n b < ɛ für alle n N mit n n 2. Setze n := max{n, n 2 }. Dann ist a n = b (a a n ) a a n a > b ɛ = a a b = a + b = b + a b = b + ɛ 2 2 2 > b + b n b b + b n b = b n, im Widerspruch zu unserer Annahme a n b n. Dies beweist die Behauptung a b. (b) Sei a der gemeinsame Grenzwert der Folgen (a n ) n N und (b n ) n N. Für jedes n N gelten also auch u n a b n a b n a und (u n a) = a u n a a n a n a, u n a max{ a n a, b n a } a n a + b n a. Nach Lemma 4.(a,d,e) ist (u n a) n N eine Nullfolge, d.h. auch die Folge (u n ) n N konvergiert gegen a. Die Aussage (b) des Lemmas wird manchmal auch als das Einschnürungslemma bezeichnet. Beachte das es auch für dieses Lemma reicht die Ungleichungen a n b n beziehungsweise a n u n b n nur für alle n N mit n n 0 für einen Startindex n 0 N zu fordern. Auch dies liegt daran, dass immer auch Folgen mit gemeint sind, -6

die erst ab einem gewissen Startindex definiert sind. Zur Illustration der jetzt bewiesenen Lemmata wollen wir uns noch einmal den Beweis der Aussage ( n n) n N anschauen. Wir hatten gezeigt, dass für jedes n N mit n 2 die Ungleichung 0 < n n 2 n gilt. Weiter ist die Folge (/(n )) n N als Teilfolge einer Nullfolge wieder eine Nullfolge und nach Lemma 4.(b,f) ist auch ( 2/(n )) n N eine Nullfolge. Damit ist ( n n ) n N nach dem Einschnürungslemma Lemma 5.(b) eine Nullfolge, d.h. wir haben ( n n) n N. Beachte das wir die Konvergenzaussage diesmal direkt aus der obigen Ungleichung gefolgert haben, ein Argumentieren über die Konvergenzdefinition mit ɛ und n 0 war gar nicht mehr nötig. Diesen Effekt werden wir noch häufiger sehen, der Nullfolgenbegriff und das unterstützende Lemma 4 erlauben es viele, aber nicht alle, ɛ-überlegungen durch einfacheres Schließen zu ersetzen. Als eine weitere Anwendung des Einschnürungslemmas wollen wir jetzt, wie schon angekündigt, n c = für alle c R mit c beweisen. Nach der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen 4.Lemma 4 gibt es ein n 0 N mit n 0 c. Für alle n N mit n n 0 c ist damit auch n c n n, und da wir bereits ( n n) n N wissen, folgt mit dem Einschnürungslemma Lemma 5.(b) auch ( n c) n N. Der andere Fall für c, also 0 < c < muss etwas anders behandelt werden, wir werden ihn mit Hilfe der Rechenregeln für Grenzwerte auf den Fall c > zurückführen. Satz 6.6 (Rechenregeln für Folgengrenzwerte) Sei K {R, C} und seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei konvergente Folgen in K. (a) Die Folge (a n + b n ) n N ist konvergent mit (a n + b n ) = a n + b n. (b) Für jedes c K ist die Folge (ca n ) n N konvergent mit (c) Die Folge (a n b n ) n N ist konvergent mit (ca n) = c a n. ( ) ( ) (a nb n ) = a n b n. -7

(d) Ist b n 0 und gilt b n 0 für alle n N, so ist die Folge (a n /b n ) n N konvergent mit a a n n = b n b. n Beweis: Seien a der Grenzwert von (a n ) n N und b der Grenzwert von (b n ) n N. (a) Die Folge ((a n + b n ) (a + b)) n N = ((a n a) + (b n b)) n N ist nach Lemma 4.(a,d) eine Nullfolge. (b) Die Folge (ca n ca) n N = (c(a n a)) n N ist nach Lemma 4.(b,d) eine Nullfolge. (c) Nach Lemma 2.(a) ist die Folge (a n ) n N beschränkt, und damit ist die Folge (a n b n ab) n N = (a n b n a n b + a n b ab) n N = (a n (b n b) + b(a n a)) n N nach Lemma 4.(a,b,c,d) eine Nullfolge. (d) Es gibt ein n 0 N mit b n < b /2 für alle n N mit n n 0. Für jedes n N mit n n 0 folgen damit auch b n = b (b b n ) b b n b > b b 2 = b 2 und = b n < 2 b, d.h. die Folge (/b n ) n N ist beschränkt. Damit ist die Folge ( an a ) ( ) ( ) an b ab n an b ab + ab ab n = = b n b n N b b b n N b b b n N ( = (a n a) a ) b n b n b (b n b) nach Lemma 4.(a,b,c,d) eine Nullfolge. b n n N Die Forderung b n 0 für alle n N in Aussage (d) ist eigentlich nicht nötig. Im Beweis von (d) haben wir ja gesehen, dass es ein n 0 N mit b n > b /2 für alle n N mit n n 0 gibt, und damit ist insbesondere auch b n 0 für alle n N mit n n 0. Betrachten wir also wieder die Folge ab dem Startindex n 0, so ergibt sich (d) auch in diesem Fall, solange wir uns die Folge (a n /b n ) n n0 als ab dem Startindex n 0 definiert denken. Die Voraussetzung b 0 ist dagegen wirklich nötig. Wir wollen jetzt ein paar Beispiele zur Anwendung der Grenzwertregeln behandeln.. Sei eine reelle Zahl c (0, ) gegeben. Dann ist /c > und somit folgt n c = n c = n c =, da wir den Grenzwert im Nenner bereits früher zu berechnet hatten. Insgesamt ist damit ( n c) n N für überhaupt jedes c R mit c > 0 gezeigt. -8

2. Wir wollen jetzt den schon recht kompliziert aussehenden Grenzwert 2n 3 2n + 7 n 3 + 3n + behandeln. Erweitern wir Zähler und Nenner mit /n 3 und erinnern uns an den schon bekannten Grenzwert /n 0, so rechnen wir mit den Grenzwertregeln 2n 3 2n + 7 n 3 + 3n + = 2 2 + 7 n 2 n 3 + 3 + = n 2 n 3 2 2 + 7 n 2 n 3 + 3 + = 2. n 2 n 3 Außerdem haben wir dabei die triviale Tatsache verwendet, dass konstante Folgen (c) n N gegen die entsprechende Konstante c konvergieren. 3. Ein ähnliches, scheinbar noch komplizierteres, Beispiel ist der Grenzwert Wir erweitern mit /n 2, und erhalten 2n 2 n cos(n) + 3 sin(n 4 + ). 3n 2 + n + ( ) n 2n 2 n cos(n) + 3 sin(n 4 + ) 3n 2 + n + ( ) n 2 cos n = + 3 sin(n4 +) n n 2 3 + + ( )n n n 2. Nun ist (/n) n eine Nullfolge und (cos n) n N eine beschränkte Folge, da der Cosinus ja nur Werte zwischen und annimmt, also ist (cos(n)/n) n nach Lemma 4.(c) eine Nullfolge. Ebenso sind (3 sin(n 4 +)/n 2 ) n und (( ) n /n 2 ) n Nullfolgen, es gilt also 2n 2 n cos(n) + 3 sin(n 4 + ) 3n 2 + n + ( ) n 2 cos n = + 3 sin(n4 +) n n 2 3 + + = 2 ( )n 3. n n 2 Als ein weiteres Beispiel zur Anwendung der Grenzwertregeln wollen wir die letzten beiden Beispiele noch etwas ausweiten, und allgemein den Grenzwert von Folgen berechenen die als rationale Ausdrücke in n gegeben sind, also als Quotient von Polynomen in n. Zur Vorbereitung beweisen wir ein kleines Lemma über das Wachstumsverhalten von Polynomen. Lemma 6.7 (Wachstumsverhalten von Polynomen) Seien K {R, C}, n N, ɛ > 0 und a 0,..., a n K mit a n 0 gegeben. Dann existiert eine reelle Zahl r > 0 so, dass für jedes x K mit x r stets ( a n ɛ) x n n < a k x k < ( a n + ɛ) x n gilt. k=0 Dies werden wir in der nächsten Sitzung beweisen, das Lemma ist hier nur schon angegeben, da es für die Präsenzaufgaben in Serie 5 hilfreich ist. -9