7. Elektrische Leitfähigkeit von estkörpern 7.1 Die elektrischen Eigenschaften von Kristallen Die grundlegende Eigenschaften kennzeichnen das elektrische Verhalten von estkörpern: 1. Der spezifische Widerstand ρ. Die SI-Einheit - Ohm-Meter. E L ρ R ρ J A. Der Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstands α. Die SI-Einheit K -1 ρ ρ. 0 + ρ0α ( T T0) m. Die Ladungsträgerdichte n. Die SI-Einheit m -. ρ ne τ Angesicht der spezifischen Widerstände unterscheiden wir Leiter und Nichtleiter (oder Isolatoren). Leiter unterteilt man auf Metalle und Halbleiter. Halbleiter: k II P h y s i Kristalle sind estkörper, deren Atome in einer drei- (zwei- oder ein-) dimensionalen, sich wiederholenden Struktur (Gitter) angeordnet sind. Jedes Gitter besteht aus fundamentale, sich wiederholende Einheiten - die Elementarzellen. 1. haben einen wesentlich größeren spezifischen Widerstand.. zeigen einen negativen Temperaturkoeffizient (bei Metallen ist er positiv).. besitzen eine wesentlich geringere Dichte n an Ladungsträgern als Metalle.
7. Die Energieniveaus in einem kristallinen estkörper Nähern sich zwei Atome, beginnen ihre Wellenfunktionen zu überlappen ei der Annäherung der Atome spalten sich die atomaren Zustände in jeweils zwei Niveaus auf. Kupferatom 9 Elektronen: 1s s p 6 s p 6 d 10 4s 1. Im einem zweiatomigem System mit 99 58 Elektronen müssen alle 58 Elektronen nach dem Pauli-Prinzip verschiedene Quantenzustände besetzen. Atomen- System Einzelne In einem Gitter (N Atome sind zusammen) muss sich jedes Niveau der einzelnen Kupferatome in N Niveaus für den estkörper aufspalten: einzelne bilden Energieniveaus des Atoms Energiebänder, Kupferatomen wobei benachbarte änder durch eine Energielücke voneinander getrennt t sind. estkörper Die änder zu niedrigeren Energien sind schmaler als die zu höheren Energien. Die Elektronen mit niedrigeren Energien befinden sich die meiste Zeit tief in der Elektronenwolke lk nahe am Kern. Die Wellenfunktionen dieser Kernelektronen überlappen daher weniger als die Wellenfunktionen der äußeren Elektronen.
7. Schrödinger-Gleichung und die andstruktur eines estkörpers Das Potenzial U (x) entspricht der Periodizität des d ψ + U ( x) Eψ 0 jeweiligen Kristalls. U(x) U(x + x mdx n )U(x + nδ) Als Konsequenz der Gitterperiodizität des Potenzials muss die ψ ( x) Aufenthaltswahr- scheinlichkeit der Kristallelektronen auch gitterperiodisch sein: ψ ( x) ψ ( x+ x n ) ψ ( x) exp( ikx) uk ( x) x Δ u ( ) ( ) die loch-unktion x u x+ x n nδ k k n duk ( x) duk ( x) k Die Gleichung für u k (x): + ik + U ( x) uk ( x) E( k) uk( x) m dx m dx m Die reale Dispersion E(k) kann durch eine Die Gleichung hat Lösungen für Taylorentwicklung darstellen: u k (x) nur für bestimmte E(k). k E( k) E( k 0) + m eff Durch die Definition einer effektiven Masse m 1 1 d E eff dk Oft sind die effektiven Massen von sehr verschieden von der Masse m 0 der Elektronen in Vakuum. Sie kann sogar negative sein.
7.4 Nichtleiter Einen estkörper bezeichnet man als Nichtleiter bzw. Isolator, wenn trotz angelegter Spannung kein Strom durch ihn hindurchfließt. Keine freie Elektronen? Damit ein Strom fließen kann, muss die kinetische Energie von Elektronen zunehmen, d.h., einige Elektronen müssen in ein höheres Energieniveau wechseln. In einem Nichtleiter ist das höchste and, in dem sich noch Elektronen befinden, voll besetzt. Das Pauli-Prinzip verhindert, dass Elektronen in bereits besetzte Niveaus wechseln können. Was ist mit den Zustände in dem oberen and? 7.5 Metalle Ein Metall: das and ist halbvoll besetzt. Das höchste besetzte Energieniveau liegt mitten in einem Energieband. Legen wir an ein Metall eine Spannung an, kann ein Strom fließen, da es für die Elektronen (die Ladungsträger in einem Metall) in unmittelbarer energetischer Nähe (also ohne großen Energieaufwand erreichbar) genügend freie Niveaus gibt, in welche die Elektronen springen können. Ein Metall kann elektrische Ladungen leiten, weil die Elektronen im obersten besetzten Energieband leicht in höhere Energieniveaus innerhalb dieses ands wechseln können.
Physik II: das Modell freier Elektronen. eingeführt. Im Rahmen dieses Modells können sich die Leitungselektronen frei durch das gesamte Metall bewegen wie Gasmoleküle in einem geschlossenen ehälter. Hier: (Quantenmechanik) (i)di die Energien der Elektronen sind quantisiert; (ii) das Pauli-Prinzip gilt. Wegen des Pauli-Prinzips können nicht alle Elektronen das Zustand mit der niedrigsten Energie besetzten. Das höchste am absoluten Nullpunkt (T 0 K) besetzte Niveau in diesem Вand ist das ermi-niveau, und die zugehörige Energie als ermi-energie E. ür Kupfer ist E 7,0 ev. E k v m k m Die Elektronengeschwindigkeit, die der ermi-energie entspricht, ist die ermi-geschwindigkeit v. ür Kupfer ist v 1,6 10 6 m/s. Diese Tatsache widerspricht der klassischen Vorstellung, wonach am absoluten Nullpunkt jede orm von ewegung eingefroren ist. Die Leitungselektronen des Metalls sind die Valenzelektronen der Atome (die Elektronen in den äußeren Schalen der einzelnen Atome). Atome mit einem Valenzelektron stellen dem Metall daher auch genau ein Elektron als Leitungselektron zur Verfügung, Atome mit zwei Valenzelektronen tragen schon zwei Elektronen bei. Deshalb ist die Dichte der Elektronen: in einem Metall: n vn A v ist die Wertigkeit (Kupfer v1)
Leitfähigkeit T0 Wie viele Zustände hat ein Metall? Die elektrische Leitfähigkeit eines Metalls hängt davon ab, wie viele Quantenzustände den Elektronen zur Verfügung stehen und welchen Energien diese Zustände entsprechen oder wie viele Zustände gibt es pro Einheitsvolumen in einer Probe, deren Energien in dem ereich zwischen E und E + de liegen? Wir schreiben NN(E) de und nennen N(E) die Zustandsdichte bei der Energie E. Wenn man sich die elektronischen Zustände als Punkte im k-raum vorstellt, haben diese den Abstand π/l, wobei L die Länge der Probe ist. lächen konstanter Energie im k- Raum sind Kugeloberflächen. Eine Oberfläche mit einem Radius k und der Dicke dk besitzt das Volumen 4πk dk. Um die Anzahl der Zustände zu berechnen, müssen wir nun noch durch das k-raumvolumen teilen, das ein Zustand einnimmt. Dieses beträgt gerade (π/l). Da in jedem Zustand zwei Elektronen sein können, benötigen wir x y kn k + k const π n L noch den aktor : 4π k N ( E) de π / L Zustandsdichte pro Volumeneinheit L1 m ( ) dk
( ) N E de 4π k ( π ) dk E k m me k E k m m 1 m de kdk dk de de m k me 4π m m N( E) de E de ( π ) me N E Die elektrische Leitfähigkeit eines Metalls hängt von der Wahrscheinlichkeit P(E) ab, mit der freie Energieniveaus tatsächlich besetzt werden. m π / ( ) E T 0: alle Niveaus mit E<E P(E) 1; alle Niveaus mit E>E P(E) 0. 1 T>0 ermi-dirac-statistik: P( E) E E exp 1 kt + Die ermi-energie eines gegebenen Materials ist die Energie des Quantenzustande, dessen esetzungswahrscheinlichkeit gleich 0,5 ist. Macht die Temperatur viel aus? 1 kt 1.8 10 00J 4.1 10 J.5 10 ev<< E
Wie viele besetzte Zustände hat ein Metall? Die Dichte N 0 (E) der besetzten Zustände: N ( E ) N0 ( E) N( E) P( E) E E exp 1 erechnung der ermi-energie : kt + 4π 8π k me ( ) / n k me n ππ ππ ( ) ( ) E ( n) mm π / Kennen wir für ein Metall n, können wir auch die ermi-energie für dieses Metall berechnen. El. eld 0 mv k Δ v ee m τ ee Δ k τ El. eld 0 Nur Eigenschaften von Elektronen- zuständen bei E E spielen eine Rolle für die Leitfähigkeit m mv ρ ne τ ne τ - die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen ξ - der mittlere Abstand zwischen den Streuzentren ξ
C Wärmekapazität Elektronen in einem Metall: ( ) ( ) ( ) ( 0 ) de d E ges T ges T E ; E ( T ) E ( 0 ) δe δn ( T ) dt dt wobei δn(t) ( ) ist die Dichte der Elektronen, die Zustände oberhalb der ermi-energie besetzen, und δe ist die mittlere Energieerhöhung. ges ges ( ) ( ) δ n T N E k T δ E k T d C V ( kt N( E) kt) kn( E) T T dt genauer: Thermische h Leitfähigkeit (Physik II (UT)): 1 K C vl V π CV kn( E) T wobei v die ermi Geschwindigkeit und l die freie Weglänge 1 1π K Cvl V kn E TvlT ( ) ( ) In reinen Metallen bringen die ermi-elektronen den wichtigsten eitrag zur thermischen Leitfähigkeit