Kraker Plattner Preis Mathematik
Inhaltsverzeichnis 0 Bildungsstandards und EXPEDITION Mathematik... 3 1 Reelle Zahlen... Algebra... 8 3 Die Satzgruppe von Pythagoras... Gemeinsam durch die Welt Funktionen... 37 Lineare Gleichungssysteme... 73 7 Drehzylinder, Drehkegel, Kugel... 96 8 Statistik... 10 9 Computer im Mathematikunterricht... 118 Liebe Lehrerin, lieber Lehrer! Diese Materialien wurden von Lehrerinnen und Lehrern entwickelt aus dem Unterricht, für den Unterricht. Als Benützer/innen des Werks sind aber auch Sie Expertinnen und Experten für EXPEDITION Mathematik! Wir freuen uns über Ihre Rückmeldungen (Lob, Kritik und Anregungen). Bitte senden Sie diese ans Lektorat: mathematik@dorner-verlag.at Kraker, Plattner, Preis EXPEDITION Mathematik 010 Verlag E. DORNER GmbH Ungargasse 3, 1030 Wien Tel.: 01 / 33 6 36, Fax: 01 / 33 6 36-1 E-Mail: office@dorner-verlag.at www.dorner-verlag.at ISBN 978-3-70-0738-8 1. Auflage, 010 Alle Drucke sind im Unterricht parallel verwendbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Eine Vervielfältigung für den Unterrichtsgebrauch und sei es auch nur in Teilen ist daher nicht zulässig. Satz: imprint, Zusmarshausen Gesamtherstellung: Verlag E. DORNER GmbH, Wien EXPEDITION Mathematik
0 Bildungsstandards und EXPEDITION Mathematik 0 Bildungsstandards und EXPEDITION Mathematik 1 Der Aufzug fährt in den 10. Stock. Dafür braucht er 0 Sekunden, d. h. er legt pro Sekunden ein Stockwerk zurück. Er bleibt für 10 Sekunden in diesem Stockwerk und fährt dann in den 13. Stock. Nach Sekunden fährt er in den zweiten Stock, um 8 Sekunden später in das 0. Stockwerk zu fahren und dort zu bleiben. 3 Sehr gut eignen sich ein Kreisdiagramm oder ein Säulendiagramm. % 60 0 0 30 0 10 Alfred Maria Sebastian Waltraud 0 A = a (a 7) oder A = (b + 7) b Sylvia: 1 7 0 m = 1,3 m; Agata: 1 m = 1,08 m; Thomas: 1 m = 1,0 m 6 6 00 Fahrzeuge. Daher: Lkw: 00 = 0,3 = 3 %; Lieferwagen: 13, %; Pkw: 61 %; Motoräder:, % 7 Arithmetischer Mittelwert: 18,0 m 8 a), dm b) 7 cm c) 99 m 9 3: Frau Krutzler nimmt pro Tag 3 Tabletten, das sind nach x Tagen 3 x Tabletten. Damit nimmt die Anzahl pro Tag um 3 und nach x Tagen um 3 x ab. 60: Anzahl der Tabletten, die sie anfangs hat. 10 Wie groß ist die Anzahl der Nächtigungen von Ausländern in Bregenz? Ca. 00 000 Um wie viel % gibt es mehr Nächtigungen von Ausländern als von Inländern in Salzburg? Ca. 190 % Wie viel % mehr Nächtigungen von Ausländern gibt es in Wien verglichen mit Bregenz? Um ca. 3700 % mehr. Druckfehler im Schüler/innenbuch (1. Auflage) orange = inländische Gäste, blau = ausländische Gäste 11 Die beiden Antworten setzen die Kenntnis der Flächenformel fürs Parallelogramm voraus. a) Zwei kongruente Dreiecke kann man auf dreierlei Arten zu einem Parallelogramm zusammenfügen. Es gilt: A P = c h c A D = c h c. Analog gilt dies auch für A Dreieck = b h b = a h a b) Zwei kongruente Trapeze kann man (immer) zu einem Parallelogramm mit der Seitenlänge (a + c) zusammen legen. Es gilt: A Parallelogramm = (a + c) h A Trapez = (a + c) h 1 Beliebiges Beispiel: a =, b =, c = 1; : ( 1) = : 1 = aber : : 1 = = 13 Kreisdiagramme eignen sich gut zur Darstellung relativer Häufigkeiten. Da die absoluten Zahlenwerte verloren gehen, ist der Vergleich zwischen den Städten nur schwer möglich. EXPEDITION Mathematik 3
1 Reelle Zahlen 1.1 Wurzelbehandlung Quadratwurzeln 1 a) 1; ; 9; 16; ; 36; 9; 6; 81; 100; 11; 1; 169; 196; ; 6; 89; 3; 361; 00; 1; 8; 9; 76; 6 b) Es ist 33 lang und 3 breit. a) b) 0 c) 6 d) 80 e) 9 f) 8 g) 1 h) 1 i) 10 j) 100 k) 1 l) 3 a) 7 b) 13 c) 1000 d) 0 e) 0, f) 1, g) 700 h) 0,001 a) 11 cm b) _ 1 cm c) 0,1 cm a) cm b) 13 dm c) 0 cm d) 3, cm e) 1,1 m f) 18 mm g) _ 3 cm h) _ x dm i) _ y m j) z m 6 a) (1) a _ a _ _ a + () a a _ a 9 3 9 9 81 9 16, 1,,,,06, 1 16 0 0 0 0 0 0 b) Für a 0 gilt: a = _ _ a + = _ a. 7 a) b) 0,3 c) d) 3 e) 3 f) x g) y h) 3 a i) 0, b j) k) z 100 l) 8 a) 16 b) c) 6 d) 3 e) 60 f) 3 g g) 3 h) 1 i) j) y k) 3 x l) 3 9 a) _ 36 _ 9 = 3 = _ 9 ; _ + _ = 10 = _ 81 + _ 1 ; _ _ = = 3 _ 9 + ; _ 9 + 1 = 8 = _ 100 _ b) 16 = _ 100 + _ 36 ; = _ 16 ; _ = ; _ 6 + _ 36 = _ 16 + _ 6 _ 6 1 c) 100 = 10+ 1 ; 1 10 10 = 0,1 = 100 = _ 0,01 = 1 10 = _ 100 : 10 000 10 α = β = 7, γ = 36 11 Da eine Wurzel stets nichtnegativ ist, hat nur das linke Mädchen richtig gerechnet. 1 000 km 13 10 m Zaun 1 a) 160 m b) 1 m 1 10 a 1 EXPEDITION Mathematik
1 a) Wenn die Längen des Rechtecks im Verhältnis : verkleinert werden, wird die Fläche im Verhältnis : verkleinert. Damit ist der Flächeninhalt des neuen Rechtecks 16 % des Flächeninhalts des Ausgangsrechtecks. b) Der Rauminhalt wird um 16, % größer. 1. Irrationale Zahlen 1..1 Näherungsweises Berechnen von Quadratwurzeln Intervallverschachtelung 16 a) (1) Das Quadrat mit A = cm hat eine Seitenlänge von genau cm. () Das Quadrat mit A = 16 cm hat eine Seitenlänge von genau cm. Bei beiden Quadraten lässt sich durch Wurzelziehen die Seitenlänge leicht ermitteln. b) Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch 17 Kreisdiagramm (1) 18 a) 3 < _ 10 <, wegen 3 = 9 und = 16; 3,1 < _ 10 < 3, wegen 3,1 = 9,61 und 3, = 10,; 3,16 < _ 10 < 3,17, wegen 3,16 = 9,986 und 3,17 = 10,089. _ 10 = 3,16 b) _ 0 =,7 c) _ 60 = 7,7 d) _ 10 = 11,83 e) _ 00 = 1,1 f) _ 390 = 19,7 19 a) z. B.,8;,1 b) z. B. 7; 7,1 c) z. B. 3,; 3,6 d) z. B. 8,89; 8,9 e) z. B. 8,37; 8,8 0 Die Seitenlänge liegt zwischen 1 und 1, weil 1 = 196, 1 =. 1.. Quadratwurzeln und die Menge der irrationalen Zahlen 1 a) = ; 9 = _ 3+ ; = + ; 1 = 1 b) Multipliziert man die beiden Dezimalzahlen, dann ist die letzte Stelle des Produkts. Dort müsste aber sicher 0 stehen. 0 Bergretter/innen 3 a) _ 0 lässt sich nicht ziehen; irrational. b) 0,01 = 0,1; rational c) 3 10 = 7; rational d) + 7 9 = 7 9 ; rational e) _ _ 7 + = _ 7 _ 7 = 7; rational f) Das Quadrat einer rationalen Zahl ist wieder rational. Aber _ _ 10 + _ 6 + = 10 + _ 60 + 6 = 16 + _ 60 ist irrational. Somit muss auch _ 10 + _ 6 irrational sein. g) 0,000 09 = 0,007; rational h) 1,8; rational Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch EXPEDITION Mathematik
1.3 Rechenregen für Wurzeln 6 a b _ a b _ a _ b _ a b _ a _ b 9 16 1 1 3 3 81 9 7 7 3 3 1 100 0 0 7 a) _ 8 = _ 16 = b) _ 7 3 = _ 81 = 9 c) _ 900 = 30 d) _ 9 _ 16 = 9 16 = 7 = 6 e) _ 1 = 1 f) _ 100 = 10 g) _ 1 = 1 h) _ 16 = i) _ 100 = 10 8 a) 3 = 1 b) 1 13 = 16 c) 6 = d) 3 7 = 8 e) 8 1 = 10 f) 9 = 180 9 a) b) c) 6 d) 7 e) f) 10 g) 9 h) 10 i) 30 a) 3 a b) 6 m c) a c d) a e) 7 m n f) x g) g h) a b 31 Das Gehalt müsste um 100 % erhöht werden. 3 a) Martin hat recht. Die Terme unter einer Wurzel stehen innerhalb unsichtbarer Klammern. Helene hat die Vorrangregeln nicht beachtet. b) z. B. 36 + 6 = _ 100 = 10 _ 36 + _ 6 = 6 + 8 9 = _ 16 = _ _ 9 = 3 33 a) _ 8 = _ = _ _ = _ b) Das große Quadrat mit Flächeninhalt lässt sich in gleich große Quadrate mit Flächeninhalt 6 zerlegen. Die Seitenlänge des großen Quadrates beträgt _, die eines kleinen Quadrates _ 6. Damit gilt aber _ = _ 6. 3 a) _ b) _ c) _ 3 d) 10 _ e) _ 3 f) _ 6 g) 10 _ 10 h) 3 i) 3 _ j) b _ 3 3 a) 3 _ b) _ 3 c) _ d) _ 1 e) a _ b 36 a) _ 18 b) _ 8 c) _ 00 d) _ a e) _ a f) _ 8 a 37 Siehe Nusslösungen im Schüler/innenbuch 38 Daniel aß ein Viertel, Lukas drei Achtel aller Knödel. Ursprünglich waren 16 Knödel in der Schüssel. 6 EXPEDITION Mathematik
1. Die Kubikwurzel 39 Siehe Lösungsvorschlag im Schüler/innenbuch 0 a) (1) a 3 a _ 3 a + 3 () a a 3 3 a 3 8 8 1 7 3 7 6 16 6 1 8 1 30 7 000 30 1 1 1 1, 1,78 1, 0,06 0, 0,06 1 1 1 7 3 7 3 8 8 7 1 b) Die Kubikwurzel ist die Umkehroperation der dritten Potenz und umgekehrt. 1 a) b),3 c) 10 d) 6 e) 0,1 f) 0 g) x h) a i) x j) b a) 3 b) c) 0, d) e) 100 f) g) 0,0 h) 0,8 3 Die Kantenlänge liegt zwischen und 6, weil 3 = 1 und 6 3 = 16. a),080 b) 7,368 c) 0,9 d) 3,13 e) 0,0 f),309 Linkes Bild: ist das Quadrat von ; ist die Wurzel von. Rechtes Bild: 1 ist die 3. Potenz von ; ist die 3. Wurzel von 1. 6 3,8 m 3 Im Blickpunkt Das Heronverfahren Berechnen von Wurzeln 7 a) a 0 =, b 0 = 6, a 1 = + 6 =,; b 1 = 30 a1 = 60, +, 11 =,, a = = 1 =,77 7 7 ; b = 30 a =,77 178 3, a 3 = a + b =,77 7 b) analog zu a) a 3 = 3,87 983 36 c) analog zu b) a 3 = 6,80 70 698 8 Folge den Anweisungen im Schüler/innenbuch 3 EXPEDITION Mathematik 7