Investitionsdauerentscheidungen

Investitionsdauerentscheidungen Investitionsdauerentscheidungen werden in Nutzungsdauerprobleme und Ersatzzeitpunktprobleme unterteilt. Abbildung 1 soll die Untergliederung der Investitionsdauerentscheidungen verdeutlichen. Investitionsdauerentscheidungen Nutzungsdauerprobleme Ersatzzeitpunktprobleme einmalige Investition einmalige Investition mehrmalige Reininvestition identisch nicht-identisch mehrmalige Reininvestition identisch nicht-identisch unend. häufige Reininvestition identisch nicht-identisch unendl. häufige Reininvestition identisch nicht-identisch Abbildung 1: Untergliederung der Investitionsdauerentscheidungen 1. Wie in Abbildung 1 zu sehen ist, gibt es jeweils drei mögliche Fälle von Nutzungsdauer- und Ersatzzeitpunktproblemen: einmalige Investition, mehrmalige (endliche) Reinvestition und unendlich häufige Reinvestitionen. Dabei können die letzten beiden Fälle weiterhin nach der Art der Investition unterschieden werden: die identische Reinvestition und die nicht-identische Reinvestition 2. 1 Jacob, A, et al. (Basiswissen, 1994), S. 77 2 Vgl. Jacob, A, et al. (Basiswissen, 1994), S. 76

Nutzungsdauerprobleme ergeben sich immer dann, wenn bereits vor dem Investitionsbeginn über die Investitionsdauer entschieden werden soll. Wird hingegen über die Investitionsdauer bei einer bereits laufenden Investition diskutiert, dann spricht man vom Ersatzzeitpunktproblem. In beiden Fällen wird über die Anzahl der Perioden entschieden, in denen die Investition genutzt werden soll. 3 In dieser Veröffentlichung wird die einmalige Investition anhand von einem Beispiel erläutert. Das Beispiel wird mit zwei Methoden berechnet. Die Methoden lauten Kapitalwertmethode und die Methode des zeitlichen Grenzgewinns. Desweiteren wird die unendliche und identische Investition erklärt. Einmalige Investition Der Fall des Nutzungsdauerproblems einer einmaligen Investition liegt dann vor, wenn ein Investitionsobjekt nicht durch eine gleiche oder technisch weiterentwickelte Anlage ersetzt wird. Zur Verdeutlichung wird im Folgenden ein Beispiel von Hoffmeister, W. (Investitionsrechnung, 2000) S. 130 herangezogen. Ein Investor möchte in eine Anlage investieren. Die Höhe der Investition beträgt 900.000. Die technische Nutzungsdauer der Anlage beträgt T=6 Jahre. Der Kalkulationssatz beträgt i=6,5 %. Dem Investor liegt eine Tabelle (siehe Tabelle 2) vor, die die jährlichen Zahlungsüberschüsse (Z) beinhaltet. Außerdem enthält die Tabelle die am Gebrauchtmaschinenmarkt zu erzielenden Einnahmen durch den Verkauf der Anlage (R). 4 Siehe Tabelle Tabelle 1: Zahlungsstrom Für die Berechnung dieser Aufgabe gibt es zwei Lösungswege, die Kapitalwertmethode und die Berechnung des zeitlichen Grenzgewinns. Beide Wege führen zum identischen Ergebnis und werden im Folgenden vorgestellt. 3 Vgl. ebd. S76 4 Hoffmeister, W. (Investitionsrechnung, 2000), S. 130.

Zunächst wird der Lösungsweg der Kapitalwertmethode vorgestellt. Bei der Kapitalwertmethode gilt: Die optimale Nutzungsdauer (n) ist dann erreicht, wenn der Kapitalwert maximal ist. Eine Überlegung dabei ist, dass der Investor mehrere Alternativen zur Auswahl hat, die sich unterschiedlich auf die Nutzungsdauer auswirken. Die erste Alternative ist, dass der Investor überhaupt nicht in diese Anlage investiert. In diesem Fall ist die Nutzungsdauer gleich null (n = 0). Die zweite Alternative ist, dass der Investor investiert. Dann kann er die Anlage ein Jahr (n = 1) oder mehrere Jahre (n = 1.6) nutzen. Bei 6 Perioden und der Option für keine Investition ergeben sich somit T = 6 + 1 = 7 Alternativen. Somit hat der Investor 7 verschiedene Möglichkeiten was die Nutzungsdauer betrifft. Für jede Alternative der Nutzungsdauer n entstehen Ein- und Auszahlungen. Diese Zahlungsströme der Ein- und Auszahlungen sind in Tabelle 2 dargestellt. n 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1-900 1250 2-900 500 1150 3-900 500 550 930 4-900 500 550 480 550 5-900 500 550 480 250 300 6-900 500 550 480 250 150 50 Tabelle 2: Zahlungsströme der Investition in Tausend Die gelbe Spalte steht für die verschiedenen Nutzungsdaueralternativen. Die grüne Zeile steht für die Nutzungsdauer in Jahren. Die letzte Zahl in einer Zeile ist die Addition des Liquiditätserlöses und des Zahlungsüberschusses in derselben Periode. Die Berechnung des Kapitalwertes erfolgt mit der folgenden Formel: Das in der Gleichung steht für jegliche Zahlungen, die bis zu dem betrachteten Zeitpunkt angefallen sind. Wird der Kapitalwert z.b. für t = 3 ausgerechnet, dann sieht die Gleichung wie folgt aus:

Dabei darf nicht vergessen werden, dass in t = 0 eine Auszahlung stattfindet. In t = 3 erfolgen zwei Einzahlungen. Der Investor erhält neben dem Zahlungsüberschuss auch den Rückfluss aus dem Verkauf der Investition, Somit ergibt sich ein Kapitalwert von 824,29. Um die bestmögliche Nutzungsdauer zu ermitteln, muss für jede Variante der Nutzungsdauer n (T+1=7) der Kapitalwert ausgerechnet werden. Die Ergebnisse sind in Tabelle 3 zusammengefasst: n KW 1 273,71 2 583,39 3 824,30 4 879,29 5 865,06 6 789,84 Tabelle 3: Kapitalwerte Aus Tabelle 3 kann nun entnommen werden, welche Nutzungsdauer für den Investor ökonomisch optimal ist. Für den Investor ist es optimal, die Investition vier Jahre zu halten, da am Ende der vierten Periode der höchste Kapitalwert mit 879,29 vorzufinden ist. Der zweite Lösungsweg erfolgt über die Berechnung der zeitlichen Grenzgewinne. Der Grundbaustein für diese Methode ist die Kapitalwertmethode. Die Formel der Kapitalwertmethode stellt die Grundbasis dieser Berechnung dar, denn man rechnet mit der Ableitung dieser Formel. Die Methode der zeitlichen Grenzgewinne macht sich die Tatsache zunutze, dass sich die letzten und vorletzten Zahlungen zwei benachbarter Nutzungsdaueralternativen unterscheiden. 5 5 Vgl. Kruschwitz, L. (Investitionsrechnung, 2007), S. 218

Bei dieser Methode wird explizit auf die Veränderung der Kapitalwerte zwischen zwei benachbarten Nutzungsdaueralternativen geschaut. Das bedeutet, dass nur die Verlängerung um eine Periode betrachtet wird. Ist beispielsweise die Veränderung im positiven Bereich, dann sollte die Investition diese eine Periode auf jeden Fall weiter genutzt werden. Ist die Veränderung jedoch negativ, dann sollte weiter ermittelt werden, ob die nächsten Nutzungsdaueralternativen diese negative Veränderung aufwiegen werden. Wiegen die nächsten Perioden die negative Veränderung nicht auf, dann ist es ökonomisch sinnvoll, die Investition nach der Periode abzubrechen, in der die Veränderung positiv ist. 6 Denn nur solange der sich ergebende periodenspezifische Grenzgewinn positiv ist, lohnt es sich, die Investition fortzusetzen. 7 Die Formel des zeitlichen Grenzgewinns sieht folgendermaßen aus: Die Formel lässt sich vereinfachen, wenn sie mit dem Aufzinsungsfaktor ausmultipliziert wird. Dann ergibt sich: Wobei die Nettozahlung (Zahlungsüberschüsse und Liquidationserlös) der Periode n dar stellen. Der Liquidationserlös der Periode n-1, der dann für ein Jahr angelegt wird, anstatt die Anlage weiter zu betreiben wird mit dem Term erklärt. Dieser Teil der Gleichung enthält die Opportunitätskosten. 8 Die Anwendung der Gleichung erfolgt zwischen zwei Perioden, zwischen n und n-1. Die Verlängerung der Nutzungsdauer ist ökonomisch sinnvoll, solange der aufgezinste zeitliche Grenzgewinn positiv bleibt. Bei näherer Betrachtung der Gleichung kann nur der aufgezinste Liquidationserlös der Vorperiode den aufgezinsten zeitlichen Grenzgewinn negativ werden lassen. Das bedeutet, dass die kalkulierten Zahlungsüberschüsse und der 6 Vgl. Hoffmeister, W. (Investitionsrechnung, 2000), S. 131-133 7 Vgl. Männel, W. (Inv.Controlling, 2006), S. 77.I 8 Vgl. Grob, L.(Einführung 2006), S. 361.

Liquidationserlös der folgenden Periode größer sein müssen, als der aufgezinste Liquidationserlös der Vorperiode 9. In Tabelle 4 sind die Ergebnisse der Berechnung mittels einer Tabelle dargestellt. In der ersten Spalte der Tabelle 4 befinden sich die Nutzungsdaueralternativen. In der zweiten Spalte sind die Nettozahlungen des letzten Jahres zu finden. Die dritte Spalte enthält den Liquidationserlös der Vorperiode und die nächste Spalte enthält den aufgezinsten Liquidationserlös der Vorperiode. Die fünfte Spalte ist die Spalte, auf die es ankommt. Diese ergibt sich, wenn man den aufgezinsten Liquidationserlösder der Vorperiode aus Spalte 4 von den Nettozahlungen in der zweiten Spalte abzieht. Tabelle 4: Zeitlicher Grenzgewinn Mathematisch betrachtet, muss die Ableitung der Gleichung gleich Null sein, denn nur so kann der maximale Kapitalwert ermittelt werden. Wie in Tabelle 4 zu sehen ist, ist der zeitliche Grenzgewinn bei Periode fünf bereits negativ. Die erste Annahme wäre das die optimale Nutzungsdauer vier Perioden beträgt, denn danach ist der zeitliche Grenzgewinn negativ. Tatsächlich liegt die optimale Nutzungsdauer nicht ganz bei vier Perioden, denn der Nullpunkt der Gleichung liegt innerhalb der fünften Periode. Da aber nach ganzen Perioden gesucht wird, ist die optimale Nutzungsdauer auch hier wie bei der Kapitalwertmethode vier Perioden. 9 Vgl. Hoffmeister, W. (Investitionsrechnung, 2000), S. 131-133.

Unendliche, identische Investitionen In diesem Fall wird angenommen, dass alle Nachfolgeinvestitionen dieselben Zahlungsströme aufweisen wie die Basisinvestition. Der Planungszeitraum ist unendlich. Die Zinsen des Kapitalwertes des Nachfolgers sind dieselben wie beim Vorgänger. Daraus resultiert, dass die optimale Nutzungsdauer bei allen identischen Investitionen in einem unendlichen Planungszeitraum identisch ist. Um die optimale Nutzungsdauer zu bestimmen muss der Kapitalwert der unendlichen identischen Investitionskette berechnet werden. Wenn der Kapitalwert der ersten Investition lautet, dann ist der Kapitalwert des zweiten Projektes, bezogen auf t=0, somit. Der nächste Kapitalwert lautet dann und so weiter. In eine Gleichung zusammen gefasst sieht es dann wie folgt aus: Nach Umformen der Gleichung kann man auch schreiben: Der Grenzwert beläuft sich, für m, auf Mit dieser Formel lässt sich der Kapitalwert einer unendlich langen identischen Investitionskette berechnen. 10 Als erster Schritt sollte der Kapitalwert der ersten Investition ermittelt werden. Diesen Kapitalwert multipliziert man mit dem Faktor. Dadurch wird ein Kapitalwert der unendlichen identischen Investitionskette ermittelt. 10 Vgl. Kruschwitz, L. (Investitionsrechnung, 2007), S. 229

Das folgende Beispiel aus Kruschwitz, L. (Investitionsrechnung, 2007), S. 230soll die Berechnungsweise verdeutlichen. Jedoch werden für dieses Beispiel die Zahlungsreihen aus dem Kapitel 3.1 verwendet. Einem Investor steht eine Investition mit 6 verschiedenen Nutzungsdaueralternativen zur Verfügung. Die Investition kann und soll unendlich oft wiederholt werden. Der Kalkulationszinssatz beträgt 6,5%. Die Zahlungsreihen befinden sich in der Tabelle 5. n 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1-900 1250 2-900 500 1150 3-900 500 550 930 4-900 500 550 480 550 5-900 500 550 480 250 300 6-900 500 550 480 250 150 50 Tabelle 5: Zahlungsströme der Investition in Tausend Die nachstehende Tabelle veranschaulicht die Berechnung der unendlichen identischen Investitionskette. Zur Vereinfachung wird der Wert mit a abgekürzt. In der zweiten Spalte befindet sich der zuerst auszurechnende Kapitalwert für die erste Investition. Die Ergebnisse in der zweiten Spalte sind identisch zu Tabelle 3. Nutzungsdauer Kapitalwert a KW * a 1 273,75 16,38462 4485,29 2 583,46 8,450177 4930,34 3 824,29 5,808857 4788,18 4 861,30 4,490811 3867,94 5 865,09 3,70207 3202,62 6 789,87 3,177974 2510,19 Tabelle 6: Kapitalwerte der unendlichen identischen Investitionskette Die Nutzungsdauer der Einzelinvestititon würde 5 Perioden betragen. In einer unendlichen identischen Investitionskette beträgt die Nutzungsdauer nur noch 2 Jahre. Mit zunehmender Anzahl der Nachfolgeobjekte nimmt die Nutzungsdauer ab.

Man bezeichnet diesen Sachverhalt als Gesetz der Investition oder als den Ketteneffekt. 11 Literaturverzeichnis Obermeier, T. und Gasper, R. (Inv. und U.-Bewertung 2008) Investitionsrechnung und Unternehmensbewertung, 1. Auflage, Obermeier und Gasper, Oldenbourg 2008. Grob, L.(Einführung 2006) Einführung in die Investitionsrechnung, 5. Auflage, Grob, Vahlen 2006. Jacob, H. und Voigt, K. (Invest. 1994) Investitionsrechnung, 4. Überarbeitete und erweiterte Auflage, Jacob und Voigt, Gabler 1994. Vgl. Schulte, G. (Investition 2007) Investition,2. Auflage, Schulte, Oldenbourg 2007. Zimmermann, G. (Inv.Rechnung 2003) Investitionsrechnung, 2. Auflage, Zimmermann, Oldenbourg 2003. Gabler (Wirtschaftslexikon) http://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/technische-nutzungsdauer.html. 22.02.2014. Stand o.v, o.j. Nutzungsdauer. http://www.welt-der-bwl.de/nutzungsdauer. Jacob, A, et al. (Basiswissen, 1994), Basiswissen Investition und Finanzierung, Gabler, Wiesbaden 1994. Hoffmeister, W. (Investitionsrechnung, 2000), Investitionsrechnung und Nutzwertanalyse, Kohlhammer, Stuttgart 2000. Vgl. Kruschwitz, L. (Investitionsrechnung, 2007), Investitionsrechnung, 11. Auflage, Oldenburg, München 2007 Vgl. Männel, W. (Inv.Controlling, 2006), Investitionscontrolling, 8. Auflage, Verlag der GAB, Nürnberg 2006 11 Vgl. Hoffmeister, W. (Investitionsrechnung, 2000), S. 136