Mathematik Eingangstest Dreisatz Aufgabe Ein Mitarbeiter im Außendienst erhielt im vergangenen Jahr für 24.500 km Geschäftsfahrten einen Kostenersatz von 0.290,00. Mit wie viel Kostenersatz kann er im laufenden Jahr rechnen, wenn seine Geschäftsfahrten sich voraussichtlich um.000 km erhöhen? Aufgabe 2 Die Inventurarbeiten in einer Großhandlung werden von 2 Angestellten in vier Tagen erledigt. Wie viel Tage benötigen 6 Angestellte für die Inventur? Aufgabe Für die Mikroverfilmung von 96.000 Originalbelegen je Arbeitsmonat benötigen 4 Mitarbeiter bei 8 Stunden täglicher Arbeitszeit insgesamt Arbeitstage. Die Zahl der Arbeitnehmer in der Verfilmungsstelle wird um eine Mitarbeiterin erhöht. Durch die Übernahme zusätzlicher Tätigkeiten in dieser Abteilung verbleiben für die Verfilmung nur noch 6 Stunden täglich, obwohl die Anzahl der Originalbelege auf durchschnittlich 20.000 gestiegen ist. In wie vielen Arbeitstagen ist der neue Verfilmungsumfang zu erledigen? Prozentrechnung Aufgabe 4 Nach einer Preiserhöhung von 6,5 % wird ein Auto für 20.84,00 verkauft. Wie teuer war das Auto ursprünglich und wie viel betrug die Preiserhöhung? Aufgabe 5 Ein Waschmittelhersteller setzt bei äußerlich unveränderter Packung das Gewicht des Inhalts von kg auf 2, kg herab. Der Preis der Packung bleibt unverändert 8,0. Ermittle den alten und den neuen kg-preis und berechne anschließend, wie viel % Preiserhöhung diese Maßnahme entspricht. Verteilungsrechnung Aufgabe 6 Ein Kaufmann verfügt in seinem Testament folgendermaßen über sein Barvermögen von 9.00,00. Seine Ehefrau soll / erhalten, seine beiden Töchter und sein Sohn je /. Außerdem bekommt jedes Kind eine Sonderzuwendung von 0.000,00. Von den Studienkosten des Sohnes sollen 2.000,00 mit der Erbschaft verrechnet werden, während die Aussteuer der Töchter mit je 5.000,00 auf die Erbschaft angerechnet werden sollen. Den Restbetrag soll die Hausangestellte erhalten. Wie viel Euro erhält jeder Erbe. Zinsrechnung Aufgabe Auf einem Sparbuch befinden sich am 0.0. 4.800,00. Der Zinssatz beträgt bis zum.05. 2,5 % und wird dann auf 2,5 % erhöht. Wie viel Zinsen sind am Jahresende gutzuschreiben, wenn am 28.08. 500,00 abgehoben wurden? Aufgabe 8 Ein Kapital in Höhe von 6.480,00 erbrachte 2,09 Zinsen. Wie viel Zinstage war das Kapital angelegt, wenn die Verzinsung 4,5 % Prozent betrug? Multiplikation von Summen und zerlegen in Faktoren Aufgabe 9 Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen: a) 5a + {8b [ 4a (6b + 2 a) (a 9b)] (a + b) + a} b b) 4x (2y 8w) (5w 4x) 6y + w (x 2y) c) (a 2b)(4x y) + (a + 5b )(6y 2x)
Aufgabe 0 Zerlege in Faktoren: a) 26a b 0 y 4 + 64a b y 0a 9 b 8 y b) 2a 2 nx + abnx 2a 2 ny abny Binomische Formeln Aufgabe Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln: a) (x + 25) 2 b) (x 2 y 9a b 2 ) 2 c) (x + 2y)(2y x) Aufgabe 2 Ergänze zur binomischen Formel und fasse dann zusammen: a) x 2 + 2x + = ( ) 2 b) x 2 6xy + = ( ) 2 c) 6x 2 + + 44y 4 = ( ) 2 Funktionen und Gleichungen Aufgabe Löse folgende lineare Gleichungen. a) 56 (x 9) = 9 + (x ) (6x + ) b) 2 [(6 + x ) (x )] = 6 + (2x 5) Aufgabe 4 Berechne jeweils die Geradengleichung für die Geraden mit folgenden Eigenschaften: a) Die Punkte P ( 4) und P 2 (6 2) liegen auf g. b) g 2 liegt parallel zu g mit der Funktionsgleichung g (x) = x + und verläuft durch den Punkt P ( ). c) Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden g und g 2 sowie die Schnittpunkte beider Geraden mit den Koordinatenachsen. d) Zeichne die Geraden ohne Zuhilfenahme einer Wertetabelle. Aufgabe 5 Marlies hat die Wahl zwischen zwei Handy-Tarifen. Bei Tarif zahlt sie eine Grundgebühr von 8,00 und für jede Gesprächseinheit durchschnittlich 0,04. Bei Tarif 2 wird eine Grundgebühr von 6,00 und für jede Gesprächseinheit 0,08 verlangt. a) Bestimme die Funktionsgleichungen der beiden Tarifarten. b) Ermittle rechnerisch und zeichnerisch die Gesprächseinheiten, bei denen die gleichen Kosten entstehen. Aufgabe 6 Berechne die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen: a) x 2 x + 0 = 0 b) 6x 2 + / x + 2 / = 0 Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Aufgabe Berechne die Lösungsmengen der folgenden Gleichungssysteme: a) Gleichsetzungsverfahren: b) Einsetzungsverfahren x + 6y = - 6 x + 5y = 4 x = 2y 2x y = 4 c) Additionsverfahren bzw. d) freie Wahl des Verfahrens Subtraktionsverfahren 2x + y = 5 5x + 8y = 6x y = 0 9x 8y = 25 Aufgabe 8 In einem Stall werden Kaninchen und Hühner gehalten. Die 08 Tiere stehen auf insgesamt 298 Beinen. Wie viele Kaninchen und wie viele Hühner leben in dem Stall?
Lösungen Aufgabe 24.500 km 2.500 km 0.290,00 0.290 2.500km 24.500km =.550,00 Aufgabe 2 2 Ang. 6 Ang. 4 Tage 4T 2A 6A = Tage Aufgabe 96.000 B. 20.000 B. 4 M. 5 M. 8 Std./Tag 6 Std./Tag Tg. Tg20.000B4M8Std/Tg 96.000B5M6Std/Tg = 4 Tage Aufgabe 4 06,5 % 00 % 20.84,00 20.84 00% 06,5% = 9.600,00 Preiserh.: 24 Aufgabe 5 kg kg 2, kg kg 2,0.. 8,0 8,0 00 % 8,0 kg = 2,0 kg 8,0 kg = 2, kg 00 % 2,0 = 9 % Preiserhöhung 9 % oder kg 00 % 00% kg 2,0 kg = 9 % Preiserhöhung 9 % 2,0 kg Erläuterung: bei geringerer Füllmenge steigt der Preis und damit auch die Prozentzahl indirektes Verhältnis!! Aufgabe 6 / von 9.00 = 9.900,00 Ehefrau: 9.900 = 59.00,00 Tochter : 9.900 + 0.000 5000 = 24.900,00 Tochter 2: 9.900 + 0.000 5000 = 24.900,00 Sohn: 9.900 + 0.000 2.000 =.900,00 Zwischensumme: 2.400,00 Hausangestellte: Rest =.900,00 Aufgabe Kapital in Laufzeit Zinssatz in % Zinsen in 4.800,00 50 Tage 2,5 % 50,00 4.800,00 88 Tage 2,5 % 2,6 4.00,00 22 Tage 2,5 % 40,08 22,5 vergleiche Grundformel bei Aufgabe 8! Aufgabe 8 K p t Z 00% 60Tg. 2,09 00% 60Tg. Grundformel: Z t 00% 60Tg. K p 6840 4,5% mit Kapital K, Zinssatz p, Zeit t in Tagen. 89 Tg. Aufgabe 9 a) 5a + {8b [ 4a (6b + 2a) (a 9b)] (a + b) + a} b = 5a + {8b [ 4a 6b 2a a + 9b] a b + a} b = 5a + 8b + a b + 4a 4b = 20a + b
b) 4x (2y 8w) (5w 4x) 6y + w (x 2y) = 8xy 2xw 0yw + 24xy + xw 6yw = 2xy 29xw 6yw c) (a 2b)(4x y) + (a + 5b )(6y 2x) = 4ax ay 8bx + 4by + 6ay 2ax + 0by 60bx = 8ax ay 68bx + 44by Aufgabe 0 Zerlege in Faktoren: a) 26a b 0 y 4 + 64a b y 0a 9 b 8 y = 2a b 8 y (6a 4 b 2 y + 82b 5 y 6 05a 2 ) b) 2a 2 nx + abnx 2a 2 ny abny = an (x y)(2a + b) Aufgabe a) (x + 25) 2 = x 2 + 250x + 5.625 b) (x 2 y 9a b 2 ) 2 = 9x 4 y 2 54x 2 ya b 2 + 8a 9 b 4 c) (x + 2y)(2y x) = 44y 2 x 2 Aufgabe 2 Ergänze zur binomischen Formel und fasse dann zusammen: a) x 2 + 2x + 6 = (x + 6) 2 b) x 2 6xy + 9y 2 = (x y) 2 c) 6x 2 + 96 xy 2 + 44y 4 = ( 4x + 2y 2 ) 2 Aufgabe a) 56 (x 9) = 9 + (x ) (6x + 56 x + 9 = 9 + x 6x 65 x = 5x 2x = 2 x = 6 L = { 6 } b) 2 [(6 + x) (x )] = 6 + (2x 5) 2 [ 6 + x x + ] = 6 + 2x 5 2 6 x + x = 6 + 2x 5 5 4x = + 2x 6x = 6 x = L = { } Aufgabe 4 y2 y 2 4 6 a) m = = = 2 x2 x 6 y = mx + b b = y mx = 4 (2) = 0 g (x) = 2x + 0 b) g 2 g m 2 = m = y = mx + b b = y mx = = 8 g 2 (x) = x 8 c) Schnittpunkt: g (x) = g 2 (x) y-achsenabschnitte: b = 0, b 2 = 8 B = ( 0 0 ), B 2 = ( 0 8 ) 2x + 0 = x 8 Nullstellen: (i) 2x + 0 = 0 (ii) x 8 = 0 (Schnittpunkte mit der x-achse) 9x = 8 2x = 0 x = 8 d) x = 2 x = 5 x = g (2) = g 2 (2) = 6 S ( 2 6 ) N = ( 5 0 ); N 2 = ( 0 ) Schnittpunkt S ( 2 6 ) B B 2 Nullstelle N 2 Nullstelle N
Aufgabe 5 Gesamtkosten: y Anzahl der Gesprächseinheiten: x a) Tarif : y(x) = 0,04x + 8 Tarif 2: y(x) = 0,08x + 6 b) 0,08x + 6 = 0,04x + 8 0,04x = 2 Schnittpunkt P ( 50 0 ) x = 50 y (50) = 0 (in ) c) Aufgabe 6 a) x 2 x + 0 = 0 b) 6x 2 + x + 2 = 0 x 2 x = 0 x 2 4 x = 0 x 2 2 x + 49 ( 2 ) = 0 + 4 x 2 4 2 x + 2 ( ) = + ( ( x 2 ) 2 49 9 = 40 4 4 4 (x 2 ) 2 25 = 44 x 2 = 2 x 2 = 2 x 2 5 2 = x 2 2 ) 5 = x = 5 x = 2 L = { 2 ; 5 } x = x = L = { ; } Aufgabe x 6y 6 x 6 y 6 x 5y x 5y a) b) 4 x 2y x 4 2y 2x y 4 y 2x 4 6y 6 = 4 2y +2y+6 x+5 (2x 4) = 4y = 2 :(4) x + 0x 0 = y = x = x = 6 () 6 = 2 x = L = { ( 2 )} y = 2 4 = 8 L = { ( 8 ) } c) 2x y 5 6x y 0 5x 8y d) + 9x 8y 25 6x y 5 4x 4 6x y 0 x 0x + 0y = 5 L = { } 9 8y = 25 y = 2 L = {( 2 )} Aufgabe 8 Anzahl der Kaninchen: x 08 Tiere: x + y = 08 2 Anzahl der Hühner: y 298 Beine: 4x + 2y = 298 2x 2y 6 4x 2y 298 2x = 82 x = 4 4 + y = 08 y = 6 Es leben 4 Kaninchen und 6 Hühner in diesem Stall.