Nutationen schwerer symmetrischer Kreisel R. Hohmann hohmann@isg.cs.uni-magdeburg.de Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg ISG 396 Magdeburg SF 4 Kurfassung Ein schwerer symmetrischer Kreisel wird abweichend von der Winkelgeschwindigkeit der räession und der hier gleichmäßig auf einem Kegel umlaufenden Figurenachse durch einen Anfangswert ψ& ( ) d. h. nach dem Loslassen ohne Stoß u Nutationen angeregt. Die Bahnkurven können Wellen- Spiten- oder Schleifenbahnen sein. Die Simulation erfolgt auf der Basis von drei Differentialgleichungen der Euler-Winkel ψ ϑ ϕ für raumfeste Koordinaten. Man erhält sie direkt mittels der Lagrange- Gleichungen weiter Art und ebenso aus den bekannten Euler-Gleichungen des körperfesten Systems. Die quadratische Definitionsgleichung der räessionen folgt aus der Bewegungsgleichung des Neigungswinkel ϑ. Diese beiden Winkelgeschwindigkeiten definieren Bereiche für charakteristische Verläufe der Nutationen. Simulationssystem ist das block- und gleichungsorientierte ACSL. Einleitung Die Bewegungsgleichungen des schweren symmetrischen Kreisels sind mittels elliptischer Integrale analytisch vollständig gelöst. Die numerische Integration und arameterstudien der Bewegungsgleichungen sind die Methoden der Simulation. Am Anfang steht die Herleitung der Bewegungsgleichungen für ein raumfestes System mittels der Lagrange-Gleichungen weiter Art und ebenso aus den bekannten Euler-Gleichungen des körperfesten Systems [ ]. Wenn das für den Fipunkt F gültige Trägheitsellipsoid rotationssymmetrisch ist (Trägheitsmomente B = C ) und der Massenmittelpunkt S auf der Figurenachse liegt so besteht Symmetrie (Bild ). Aus der Bewegungsgleichung für den Neigungswinkel ϑ lassen sich die beiden möglichen Winkelgeschwindigkeiten der räession des Kreisels bestimmen der mit und dem ugehörigen Trägheitsmoment A um seine Figurenachse rotiert. Diese Geschwindigkeiten bilden die Grenen für charakteristische Verläufe der Nutationen. Bei vorgegebenen und lässt sich der ugehörige Neigungswinkel ϑ auch über das Momentengleichgewicht um den Fipunkt F ermitteln. Eine weitere Herleitung der räessionen erlauben die Drehimpulse des Systems. Alle drei Zugänge führen auf eine quadratische Definitionsgleichung.
Bild : Schwerer symmetrischer Kreisel in Kegelgestalt Bewegungsgleichungen Die Lagrange-Funktion des Kreisels L = T U Differen von kinetischer und potentieller Energie besitt drei verallgemeinerte Koordinaten für die Winkel q = ϕ q = ϑ q3 = ψ sowie die arameter A als Trägheitsmoment um die Figurenachse mit & ϕ ψ& F = + B das Trägheitsmoment um den Fipunkt F m die Masse des Kreisels und s den Abstand wischen Fipunkt und Massenmittelpunkt. Kinetische Energie T und potentielle Energie U : ( ψ ) sin ϑ & A & + ϑ + (& ϕ + ψ& cos ϑ) B T = U = mgs () Lagrange-Funktion in verallgemeinerten Koordinaten: A ( q3 sin q + q& ) + ( q& + q3 cosq ) mgs cosq B L = & & () d dt L L q& i qi = ( i = 3) (3) Die Lagrange-Gleichung weiter Art (3) gültig für konservative Systeme ist für die drei verallgemeinerten Koordinaten q i auf die Lagrange-Funktion () anuwenden.
Bewegungsgleichungen [3] für < ϑ < π / und Anfangswerten bei räession: & ϕ = ψϑ & & sin ϑ & ψ ϕ ( ) = & ϕ() (4) & ( B A) ψ sinϑ Aϕψ sinϑ + mgs sinϑ ϑ & & & = B ϑ ( ) = ϑ &() ϑ = (5) (& ϕ + ψ& cos ) B & ϑψ& + A ϑ & ϑ && ψ = ψ ( ) = ψ& () (6) Bsinϑ Mit der Beeichnungsweise aus [ ] für den Winkelgeschwindigkeitsvektor L = A B B für den Ortsvektor des ( ) für den Drehimpulsvektor ( ) y Massenmittelpunktes = ( s) = ( mgssinϑ cosϕ mgssinϑ sinϕ ) s und dem von der Schwerkraft ausgeübten Drehmoment M lauten die sechs Euler-Gleichungen für das körperfeste Hauptachsensystem mit dem Ursprung im Fipunkt F bekanntlich y B & + y B & ( A B) ( A B) A & = = mgssinϑ cosϕ & ϕ + ψ& & ϑ cosϕ + ψ& sinϑ sinϕ & ϑ sinϕ + ψ& sinϑ cosϕ. = mgssinϑ sinϕ y y (7) Das Substituieren der drei Komponenten des Vektors der Winkelgeschwindigkeit und ihrer Ableitungen in den oberen Bewegungsgleichungen liefert sofort (4). Multipliiert man die weite Dgl. mit cos ϕ die dritte mit sin ϕ und subtrahiert beide voneinander so folgt (5) nach Vertauschen dieser Faktoren und Addition schließlich (6). Eine Alternative wäre die Simulation mittels des Systems (7) von Dgln.. Ordnung Basis der analytischen Behandlung in [ ]. Sie würde neben den Euler-Winkeln auch die Komponenten des Vektors der Winkelgeschwindigkeit liefern. Da das Auflösen der letten beiden Dgln. nach & ϑ bw. ψ& jeweils u cos ϕ im Nenner führt und so Division durch Null eintritt bietet sich eine Integration in impliiter Form mittels DASSL-Code an. Die Anfangswerte des Dgl.-Systems sind ϕ ( ) ϑ( ) = ϑ ψ ( ) = ( ) + ψ& () = ( ) = ψ& sin. = y ϑ (8) Die ermittelten Lösungen waren jedoch numerisch instabil. Besonders deutlich ist dies am Verlauf ϑ ( ψ ) für ψ & und ψ & ablesbar wo ϑ = ϑ bleiben sollte. Deshalb werden im folgenden die numerisch stabilen Dgln. (4) (6) für die Simulation benutt.
3 räession Die Charakteristika der räession sind: ϑ = const. ψ& = const. und & ϕ = const. so dass & ϑ = gilt und aus (4) die quadratische Gleichung (9) für = ψ& mit & ϕ und ϑ = ϑ folgt. ( B A) ϑ A + mgs = Sie besitt für einen Drall ( ) cos (9) A mgs B A die reellen Lösungen = A m A 4mgs( B A) ( B A) () Eine Doppelwurel liegt für 4mgs( B A) = Kreisel ( = ) A vor. Der kräftefreie s besitt nur eine räessionsgeschwindigkeit für das positive * Voreichen d. h. = und für gilt * A ( B A) * = = mgs. () ( B A) A Ausgehend von den Winkelgeschwindigkeiten und des Kreisels während der räession lässt sich der ugehörige Neigungswinkel ϑ über das Gleichgewicht von Schwere- Zentrifugal- und Coriolismoment um den Fipunkt F ermitteln. Es genügt als Element von Rotationskörpern einen mit Masse belegten Kreis u betrachten der im Abstand s um die Figurenachse rotiert. Während das Schwere- und das Zentrifugalmoment M S M Z nach außen wirken versucht das Coriolismoment M C den Kreisel nach innen u drehen. Die Corioliskräfte der oberen Kreishälfte eigen nach innen die der unteren Hälfte nach außen. Ein Gleichgewicht kann sich einstellen wenn Kreisel und räession die gleiche Drehrichtung haben wie. B. die Linksdrehung in Bild. Die quadratische Gleichung (9) folgt wiederum aus der Summe der Momente (): ( B A) sinϑ und M A sin. M S = mgs sinϑ M Z = C = ϑ () Das Zentrifugal- und Coriolismoment erhält man durch Integration über den Kreis mit dem Winkel als Integrationsvariable; Symmetrien verbessern die Übersichtlichkeit. Das Schweremoment des Massenmittelpunktes ist von Bild ablesbar. Liegen der Vektor der Winkelgeschwindigkeit ψ& und die Figurenachse in einer Ebene so eigt in der räession der Vektor d L = M d S t infolge des Schweremoments
M = mgssinϑ S senkrecht in die Ebene hinein (Bild ) d. h. der Kreisel weicht vor dem Moment M S horiontal nach hinten aus [4]. Die Winkelgeschwindigkeit ψ& erhält man mittels der Horiontalkomponente L H des Drehimpulses (& ϕ + ψ& cos ϑ) sinϑ Bψ& sinϑ L = A (3) H aus dem Verhältnis d ψ = dl / L H. Für die arameter & ϕ ϑ = ϑ ψ& folgt damit erneut (9) ur Bestimmung der räessionsgeschwindigkeiten. Die Bedingung L H = von (3) liefert die Winkelgeschwindigkeit () der räession des kräftefreien Kreisels. 4 Simulationen Simulationssystem ist das block- und gleichungsorientierte ACSL. Die Lösungen der arameterstudie werden als ostscript-dateien ereugt in CorelDraw importiert und als Vektorgrafiken im Format Windows-Metadatei (WMF) eportiert. Integrationsmethode ist das schrittweitengesteuerte Verfahren Runge-Kutta-Fehlberg 5/6. Dargestellt werden die Abweichungen ε( ψ ) = ϑ( ψ ) ϑ des Neigungswinkels ϑ () t vom Neigungswinkel ϑ des räessionskegels für Anfangswerte ψ & ( t = ) = ψ&. Wir erhalten für ψ& = spite (Bild ) für < ψ & < wellige Nutationen ε () t (Bild 3) im Falle < ψ& < Schleifenbahnen ε () t (Bild 5) und für ψ & > wiederum wellige Nutationsbögen ε () t (Bild 7). Die folgenden arameter haben Werte aus [] und gelten für einen kegelförmigen Kreisel von Höhe und Radius H = R = cm : A mgs = 4 π = 49 5s ϑ = und = 55 s B B 4 Glg. () einuführen: A m B = A mgs A 4 B B B A B. Diese Größen sind unächst in Für die beiden räessionen folgen Winkelgeschwindigkeiten von = 335s und * = 49 5s. Die Winkelgeschwindigkeit der Doppelwurel beträgt = 8s. Um die Trägheitsmomente A und B des Kegels u ermitteln kann man mit einem gleichmäßig durch Masse belegten Kreisring beginnen geht dann ur Kreisscheibe über um schließlich den Stapel infinitesimal dünner Scheiben mit linear von der Höhe abhängigen Radien um Kegel u integrieren. Das entspricht dem Dreifachintegral über die unabhängigen Variablen Winkel ϕ Radius r und Höhe h. (4)
3 A = mr 3 B m( R + 4H ) Für das Verhältnis beider Trägheitsmomente gilt dann = (5) B H = + (6) A R so dass bei Gleichheit R = H unabhängig von der Dichte der Wert A / B = 4 folgt. Der Massenmittelpunkt befindet sich bei s = 3 / 4H und das Verhältnis nimmt für mgs 5gH = (7) B R + 4H R = H =. m den obigen Zahlenwert von g / R = 49 5s an. Auf den folgenden Bildern sind charakteristische Funktionen ε( ψ ) ε = dargestellt: Bild : Mit Spiten ψ& = Bild 3: Mit Wellen ψ& = s - Bild 4: räession ψ& = 33466 Bild 5: Mit Schleifen ψ& = s = s 5
- Bild 6: räession ψ& = 49598 Bild 7: Mit Wellen ψ& = s 55 = s Die Bilder 4 und 6 der beiden räessionen eigen für die berechneten keine Abweichungen ε( ψ ) = ϑ( ψ ) ϑ des Neigungswinkels ϑ () t vom Anfangswinkel ϑ in der gewählten Darstellungsgenauigkeit von E-3 pro Einheit. Die räessionen bilden einen Meridian wenn man die Bewegung der Figurenachse auf die Oberfläche einer Kugel mit dem Mittelpunkt im Fipunkt F abbildet. Beim aufrechten Kreisel genügt dafür die obere Kugelhälfte. Den Grenfall des schnelllaufenden Kreisels hätte man für * >> [5]. Bei sehr schnell laufenden Kreiseln liegen die begrenenden Breitenkreise der Nutationen um so enger beieinander je größer die Eigendrehung des Kreisels ist. Man hat sie deshalb als pseudoreguläre räession beeichnet im Unterschied ur regulären räession mit gan bestimmten Anfangsbedingungen ϑ und ψ&. Ein Geschwindigkeitssprung Δψ& = ψ& ur Zeit t = t als Anstoß für Nutationen aus der räession heraus erfordert einen Drehstoß M ˆ = J ( ϑ )Δψ& um die Vertikale [6]. Das Trägheitsmoment J ( ϑ) kann für Neigungswinkel < ϑ < π / Werte A < J ( ϑ ) < B annehmen: J ϑ = B A sin ϑ + (8) ( ) ( ) A Integration des Terms Mˆ J ( ϑ ) δ ( t t ) in (6) (4) führt ur Heaviside-Funktion θ ( t t ): t () t dt + + Δψ& ( t t ) ψ & = f θ t (& ϕ ψ& cos ) B & ϑψ& + A + ϑ & ϑ mit f ( t) = (9) Bsinϑ ( ψϑ & & sinϑ f () t ) dt + Δψ& ( t t ) & ϕ = θ () Ausgehend von der langsamen räession - = 33466 s ψ& und dem Sprung Δψ& = 66543s nach ψ ( t ) 5 (Zustandsereignis) resultiert als Wert womit wiederum die Schleifenbahn von Bild 5 entstehen sollte (Bild 8). ψ& = 5 s
Bild 8: Mit Schleifen Δψ& = 66543 s Bild 9: Sprung Δ & ϕ = Δψ& 5 Schlussbetrachtung Der schwere symmetrische Kreisel lässt sich als Anfangswertaufgabe auch vollständig analytisch behandeln [ 5] was auf elliptische Integrale führt. Basis sind die Dgln. (7) im körperfesten System die numerisch jedoch nur impliit lösbar sind. In [] werden kleine Nutationsbewegungen untersucht. Dadurch ist es möglich die Zeitfunktionen der Euler- Winkel durch elementare einfach u übersehende Ausdrücke aus Sinus- Cosinus- und eitlinearen Funktionen u beschreiben. Für die Simulation sind die numerisch stabilen Bewegungsgleichungen (4)-(6) in raumfesten Koordinaten besser geeignet. Aus der räession heraus löst ein scharf konentrierter Drehstoß (Deltafunktion) um die Vertikale der sprunghaft um Δ ψ& ändert ebenfalls Nutationen aus. Es springt jedoch auch ϕ& (Bild 9) so dass die wohldefinierten Anfangswerte nicht mehr bestehen. 6 Literatur [] Grammel R..: Der Kreisel Seine Theorie und seine Anwendungen. Berlin Göttingen Heidelberg: Springer-Verlag 95. [] Rüdiger D. und G. Kämmel: Schwere symmetrische Kreisel kleiner Nutation. Archive of Applied Mechanics Volume 3 Number 6 (4) S. 437-44.. [3] Speckhart W. and L. Green: A Guide to Using CSM The Continuous System Modeling rogram. Englewood Cliffs New Jersey: rentice-hall Inc. 976. [4] Recknagel A.: HYSIK Mechanik. Berlin: VEB Verlag Technik 979. [5] Magnus K.: KREISEL Theorie und Anwendungen. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag 97. [6] Joos G.: Lehrbuch der Theoretischen hysik. Auflage. Leipig: Akademische Verlagsanstalt Geest & ortig 959.