5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt In diesem Kpitel weden Methoden u exkten Lösung von Kontktpoblemen im Rhmen de "Hlbumnäheung" eläutet. Wi behndeln dbei usfühlich ds klssische Kontktpoblem des Nomlkontkts wischen eine sten Kugel und einem elstischen Hlbum, welches oft uch u Anlyse von kompliieteen Modellen hengeogen wid. Als vobeeitenden Schitt fssen wi einige Egebnisse de Elstiitätstheoie usmmen, die in de Kontktmechnik eine unmittelbe Anwendung finden. Wi betchten Defomtionen in einem elstischen Hlbum, die duch die n de Obefläche des Hlbumes wikenden vogegebenen Spnnungen veuscht weden. Die Beechnung de Defomtion in einem elstischen Köpe unte de Einwikung von Obeflächenkäften ( diekte Aufgbe de Elstiitätstheoie ) ist viel einfche ls die Lösung von Kontktpoblemen, d in den letteen wede die Spnnungsveteilung, noch ds Kontktgebiet nfänglich beknnt sind. Die klssischen Lösungen von Het fü einen nicht dhäsiven und von Johnson, Kendll und Robets fü einen dhäsiven Kontkt benuten die beknnten Lösungen de diekten Aufgben ls eine Voussetung u Konstuktion de Lösung eines Kontktpoblems. V. L. Popov, Kontktmechnik und Reibung, DOI.7/978-3-64-33-_5, Spinge-Velg Belin Heidelbeg
6 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt 5. Defomtion eines elstischen Hlbumes unte de Einwikung von Obeflächenkäften Wi betchten ein elstisches Medium, welches einen unendlich goßen Hlbum usfüllt, d.h. welches von eine Seite duch eine unendlich usgedehnte Ebene begent wid. Unte dem Einfluss von Käften, die n de feien Obefläche wiken, wid sich ds Medium defomieen. Wi legen die xy-ebene in die feie Obefläche des Mediums; dem usgefüllten Gebiet entspechen positive. Die Defomtion im gesmten Hlbum knn in nlytische Fom bestimmt und in Lehbüchen übe die Elstiitätstheoie gefunden weden. Wi fühen hie nu die Fomeln fü die Veschiebungen unte de Wikung eine entlng de -Achse geichteten, im Koodintenuspung ngeifenden Kft uf. F y x b Abb. 5. () Eine n de Obefläche eines elstischen Hlbumes ngeifende Kft; (b) Ein uf die Obefläche wikendes Kftsystem. Die Veschiebungen, die diese Kft hevouft, beechnen sich nch den folgenden Gleichungen: x x ux 3 F, (5.) E ( ) u y y 3 E ( ) y F, (5.) mit ( ) u 3 F, (5.3) E x y. Im Besondeen ehält mn hieus die Veschiebung de feien Obefläche des Mediums, indem mn sett: Siehe.B. L.D. Lndu, E.M. Lifschit. Elstiitätstheoie, (Lehbuch de Theoetischen Physik, Bnd 7), 7. übebeitete Auflge, Akdemie Velg, Belin 99, 8,9.
5. Defomtion eines el. Hlbumes unte de Einwikung von Obeflächenkäften 6 u u x y E E x F, (5.4) y F, (5.5) u F, (5.6) E mit x y. Bei meheen gleicheitig ngeifenden Käften (Abb. 5. b) weden wi Veschiebungen bekommen, die sich us de Summe de jeweiligen Lösung fü jede einelne Kft egeben. Wi weden im Weiteen im Rhmen de Hlbumnäheung beiten, bei de ngenommen wid, dss die Steigung de kontktieenden Obeflächen im Kontktgebiet und in de elevnten Umgebung viel kleine ls Eins sind, so dss die Obeflächen in este Näheung "eben" sind. Zw müssen dbei die Kontktbedingungen fü die beiden Obeflächen uch weitehin exkt vefolgt weden, die Zusmmenhänge wischen den Obeflächenkäften und Veschiebungen können be ls identisch mit denen in einem elstischen Hlbum ngesehen weden. Fü Kontktpobleme ohne Reibung ist im Rhmen de Hlbumnäheung nu die -Pojektion de Veschiebung (5.6) von Inteesse. Insbesondee bei eine kontinuielichen Veteilung pxy (, ) des Nomlduckes beechnet sich die Veschiebung de Obefläche duch dxdy u p( x, y) E, xx y y (5.7) mit E. (5.8) E Bevo wi um eigentlichen Kontktpoblem übegehen, wollen wi wei Hilfsufgben lösen. Wi nehmen n, dss in einem keisfömigen Gebiet mit dem R- / n p p eeugt wid. Gesucht dius eine Duckveteilung de Fom wid die vetikle Veschiebung de Obeflächenpunkte innehlb des keisfömigen benspuchten Gebietes.. Homogene Nomlveschiebung ( n / ). Ds benutte Koodintensystem ist in de Abb. 5. geeigt. Die Nomlspnnung sei nch dem Geset
6 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt p p / (5.9) veteilt. Fü die vetikle Veschiebung egibt sich (eine usfühliche Heleitung findet sich im Anhng A): p u,. (5.) E Die vetikle Veschiebung ist fü lle Punkte im Kontktgebiet gleich. Aus diesem Egebnis folgt unmittelb, wie sich die ngenommene Duckveteilung eeugen lässt: Sie entsteht beim Einduck duch einen sten ylindischen Stb. Die gesmte im Duckgebiet wikende Kft ist gleich F p () d p. (5.) Die Steifigkeit des Kontktes wid definiet ls Vehältnis de Kft u Veschiebung: c E (5.) Geschieben in de Fom A c E, (5.3) wobei A die Kontktfläche des sten Indentes ist, ist (5.) uch fü Indente mit nicht unden Queschnitten gültig. Die Konstnte ht imme die Gößenodnung : Runde Queschnitt: =, Deieckige Queschnitt: =,34 Qudtische Queschnitt: =, (5.4) b. Hetsche Duckveteilung ( n /). Fü die Duckveteilung de Fom p p / (5.5) egibt sich die vetikle Veschiebung (Anhng A) p u 4E. (5.6)
5. Hetsche Kontkttheoie 63 Fü die Gesmtkft folgt F p ()d p. (5.7) 3 Die Veschiebung de Obefläche innehlb und ußehlb des Duckgebietes ist in Abb. 5. geeigt..8 u d.6.4. 3 4 / Abb. 5. Obeflächenveschiebung u, die sich fü die Duckveteilung (5.5) egibt; d u () ist die Einducktiefe. 5. Hetsche Kontkttheoie In de Abb. 5.3 ist schemtisch ein Kontkt wischen eine sten Kugel und einem elstischen Hlbum geeigt. Die Veschiebung de Obeflächenpunkte im Kontktgebiet wischen eine uspünglich ebenen Obefläche und de sten Kugel mit Rdius R ist gleich u d R. (5.8) Wi hben gesehen (5.6), dss eine qudtische Veteilung de vetiklen Veschiebungen duch eine Duckveteilung de Fom (5.5) eeugt wid.
64 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt R d Abb. 5.3 Eine ste Kugel im Kontkt mit einem elstischen Hlbum. Vesuchen wi die Pmete und p so u wählen, dss diese Duckveteilung genu die Veschiebungen (5.8) veuscht: p d. (5.9) E 4 R und d müssen demnch die folgenden Fodeungen efüllen: pr E, d p E. (5.) Fü den Kontktdius folgt dus Rd (5.) und fü den mximlen Duck / d p E. (5.) R Einseten von (5.) und (5.) in (5.7) egibt fü die Nomlkft 4 3 / 3/ F ER d. (5.3) Mit (5.) und (5.3) knn uch de Duck im Zentum des Kontktgebietes und de Kontktdius ls Funktion de Nomlkft beechnet weden: p 6FE R 3 /3, 3FR 4E /3. (5.4) Wi bestimmen noch den Ausduck fü die potentielle Enegie U de elstischen Defomtion. Wegen F U / d ehlten wi fü U 8 5 / 5/ U E R d. (5.5)
5.3 Kontkt wischen wei elstischen Köpen mit gekümmten Obeflächen 65 5.3 Kontkt wischen wei elstischen Köpen mit gekümmten Obeflächen Die Egebnisse de Hetschen Theoie (5.), (5.), (5.3) knn mn mit geingen Modifiktionen uch in den unten ufgelisteten Fällen benuten. (A). Sind beide Köpe elstisch, so muss mn fü benuten E den folgenden Ausduck. (5.6) E E E E und E sind hie die Elstiitätsmoduln und und die Poisson-Zhlen beide Köpe. (B) Sind wei Kugeln mit den Rdien R und R im Kontkt (Abb. 5.4 ), so gelten die Gleichungen (5.), (5.), (5.3) weitehin mit dem Rdius R gemäß R R R. (5.7) Dies gilt uch dnn, wenn eine de Rdien negtiv ist (Abb. 5.4 b). De Kümmungsdius ist negtiv, wenn ds Kümmungsentum ußehlb des Mediums liegt. R -R R R b Abb. 5.4 Kontkt wischen wei Köpen mit gekümmten Obeflächen. (C) In einem Kontkt wischen einem elstischen Hlbum und einem sten Köpe mit den Huptkümmungsdien R und R (Abb. 5.5 ) egibt sich ein elliptisches Kontktgebiet. Fü die Hlbchsen gilt Rd, b R d. (5.8) Die Kontktfläche beechnet sich somit u A b Rd, (5.9) wobei
66 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt R RR (5.3) de effektive, Guß'sche Kümmungsdius de Obefläche ist. Diese Rdius ist uch in den ndeen Hetschen Beiehungen n Stelle von R u benuten. Die Duckveteilung wid duch gegeben. x y pxy (, ) p b (5.3) R R b b Abb. 5.5 Ein Köpe mit gekümmte Obefläche (Huptkümmungsdien R und R ) im Kontkt mit einem elstischem Hlbum. (D) Sind wei elstische Zylinde mit senkecht u einnde liegenden Achsen und den Rdien R und R im Kontkt (Abb. 5.6 ), so wid de Abstnd de Obeflächen beide Köpe im esten Moment (noch ohne Defomtion) gegeben duch x y hxy (, ) R R. (5.3) Ds entspicht genu dem Fll (C) eines Ellipsoids mit den Kümmungsdien R und R. Dementspechend gelten die Hetschen Reltionen mit R RR. (5.33) Bei gleichen Rdien R R R ist ds Kontktpoblem wischen wei Zylinden äquivlent um Kontktpoblem wischen eine Kugel mit dem Rdius R und einem elstischen Hlbum mit ebene Obefläche. Die Hetschen Beiehungen gelten umso genue, je nähe ds Vehältnis R/ R u ist. Abe uch fü R/ R gilt die Gleichung (5.3) mit eine Genuigkeit von,5%.
5.4 Kontkt wischen einem sten kegelfömigen Indente und dem el. Hlbum 67 y R R x R R L b Abb. 5.6 () Zwei gekeute elstische Zylinde im Kontkt; (b) Zwei Zylinde mit pllelen Achsen im Kontkt. (E) Im Flle eines Kontktes wischen wei Zylinden mit pllelen Achsen (Abb. 5.6 b) ist die Kft line popotionl u Einducktiefe (ws wi beeits im Kpitel gesehen hben): 4 F ELd (5.34) Inteessnt ist, dss de Kümmungsdius in diese Beiehung übehupt nicht escheint. Die hlbe Kontktbeite wid duch dieselbe Beiehung Rd, R R R (5.35) gegeben, wie im Kontkt wischen wei Kugeln. De mximle Duck ist gleich / E d E d E F p R LR /. (5.36) 5.4 Kontkt wischen einem sten kegelfömigen Indente und dem elstischen Hlbum Bei Indentieung eines elstischen Hlbumes duch einen sten kegelfömigen Indente (Abb. 5.7 ) sind die Einducktiefe und de Kontktdius duch die Beiehung 3 3 Sneddon I.N. The Reltion between Lod nd Penettion in the Axisymmetic Boussinesq Poblem fo Punch of Abity Pofile. - Int. J. Eng. Sci.,965, v. 3, pp. 47 57.
68 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt d tn (5.37) gegeben. Die Duckveteilung ht die Fom Ed p () ln. (5.38) Die Spnnung ht n de Spite des Kegels (im Zentum des Kontktgebietes) eine logithmische Singulität (Abb. 5.7 b). Die Gesmtkft beechnet sich u F N d E tn. (5.39) 6 d (- ) Ed p() 5 4 3 Abb. 5.7 () Kontkt wischen einem sten kegelfömigen Indente und dem elstischen Hlbum; (b) Duckveteilung im Nomlkontkt wischen einem sten kegelfömigen Indente und dem elstischen Hlbum. b..4.6 /.8 5.5 Innee Spnnungen beim Hetschen Kontkt Die Spnnungen unte Einwikung eine vetiklen Einelkft F im Koodintenuspung sind duch F x x 3 5 xx, (5.4) 3 3 ) F y y 3 5 yy, (5.4) 3 3 )
3 3F 5.5 Innee Spnnungen beim Hetschen Kontkt 69 5, (5.4) F xy xy xy 3, (5.43) 5 3 3F y y 5, (5.44) 3F x x 5 (5.45) bestimmt 4. Die Beechnung de Spnnungen bei beliebige Nomlduckveteilung p n de Obefläche gelingt duch Supeposition. Fü die Nomlspnnung in -Richtung egibt sich exemplisch ( x, y, ) xx y y wobei ( A) 3 3 p( x, y ) 5/ ( A) die Integtion übe ds duckbeufschlgte Gebiet meint. dxdy, (5.46) Fü die Hetsche Duckveteilung (5.5) weden im Folgenden einige Egebnisse geeigt. Abb. 5.8 eigt die Spnnungen uf de -Achse fü, 33. Die Schubspnnungen sind lle ; fü die Punkte uf de -Achse sind die Koodintenichtungen gleicheitig die Huptichtungen. Die nlytische Lösung fü die Komponenten des Spnnungstensos lutet 5 p, (5.47) xx yy p ctn. (5.48) Zudem ist die mximle Schubspnnung xx bgebildet. Mn kommt um Egebnis, dss die mximle Schubspnnung im Inneen liegt; fü,33 bei, 49. Abb. 5.9 eigt die Vegleichsspnnung 4 Hhn, H. G.: Elstiitätstheoie. Teubne, 985. 5 Johnson, K. L.: Contct mechnics. Cmbidge Univesity Pess, 6. Nchduck de. Auflge,.
7 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt 6 / V xx yy xx yy xy x y (5.49) nch de Gestltändeungsenegiehypothese in de,4,, p x -Ebene. -, xx p = yy p -,4 -,6 p -,8,5,5 Abb. 5.8 Spnnungen entlng de -Achse ( x y ) bei Hetsche Duckveteilung. V.5 - -.5 - -.5 x.5.5..5..5.3.35.4.45.5 V /p Abb. 5.9 Vegleichsspnnung V gemäß (5.49) bei Hetsche Duckveteilung (x--ebene).
Aufgben Aufgben 7 Aufgbe : Abuschäten ist de mximle Duck und die Göße des Kontktgebietes in einem Rd-Schiene-Kontkt. Die mximlen Lsten je Rd liegen bei 5 den Güteügen bei F N, de Rddius betägt c. R,5 m. Lösung: De Rd-Schiene-Kontkt knn in este Näheung ls Kontkt wischen wei Zylinden mit u einnde senkechten Achsen und ungefäh gleichen Kümmungsdien R betchtet weden. E ist somit äquivlent u einem Kontkt wischen eine elstischen Kugel mit dem Rdius R und einem elstischen Hlbum. De effektive Elstiitätsmodul betägt E E /( ), P. Fü den Duck p im Zentum des Kontktgebietes egibt sich nch (5.4) p, GP. De Kontktdius betägt 6,8 mm. Aufgbe : Zwei Zylinde us dem gleichen Mteil und mit gleichen Rdien R weden so in Kontkt gebcht, dss ihe Achsen einen Winkel von / 4 bilden (Abb. 5.). Zu bestimmen ist die Kft-Einducktiefe-Reltion. y x Abb. 5. Kontkt wischen wei gleichtigen Zylinden, deen Achsen einen Winkel von /4 bilden (Dufsicht). Lösung: Die Kontktebene nehmen wi ls hoiontl n. De Abstnd de Obefläche des esten Zylindes von diese Fläche (im esten Moment des Kontktes) ist gleich x R, die des weiten x y. De Abstnd wischen beiden 4R Flächen ist gleich x y x 3 h x xy y R 4R R 4 4.
7 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt Die Huptkümmungen beechnen sich ls Eigenwete diese qudtischen Fom us de Gleichung u, 3 4R 4R R 8R 4R 4R /. Die Huptkümmungsdien sind entspechend gleich R R R,. Fü den Guß schen Kümmungsdius egibt sich / R RR R. D die Stoffe beide Zylinde gleich sind, egibt sich us (5.6) E E ( ).. Die Kft-Einduck-Reltion (5.3) wid in diesem Fll u E 3 ( ) 7/4 / 3/ F R d. Aufgbe 3: Mn bestimme die Kontkteit, eine mit eine sten Wnd usmmenstoßenden elstischen Kugel (Rdius R) (Het, 88). Lösung: Die Annäheung de Kugel u Wnd b dem esten Kontkt beeichnen wi mit x. Die potentielle Enegie des Systems wid duch (5.5) gegeben mit d x und E nch (5.6). Wähend de Stoßeit bleibt die Enegie ehlten: 8 / 5/ mv mdx ER x dt 5 Die mximle Annäheung de Kugel und de Wnd x entspicht dem Zeitpunkt, u dem die Geschwindigkeit dx / dt veschwindet, und ist gleich x 5 mv 6 ER / Die Stoßdue (wähend de x von bis x nwächst und dnn wiede bis bnimmt) ist x dx x d,94x v v v 5/ 5/ x/ x /5...
Aufgben 73 Aufgbe 4: Mn bestimme den mximlen Kontktduck bei einem Zusmmenstoß wischen eine Kugel und eine Wnd. Lösung: Die mximle Annäheung x hben wi in de Aufgbe 3 beechnet. De mximle Duck p wid duch (5.) gegeben und ist gleich / 4 /5 /5 x 5 E mv 5 4 3 p E 6 4 E v R R wobei die Dichte des Mteils ist. Zum Beispiel bei einem Zusmmenstoß eine stählenen Kugel mit eine stählenen Wnd mit v m/s hätten wi (unte de Annhme eines ein elstischen Vehltens) /5 3 9 5 4 p 7,8 3, P 4., Aufgbe 5: Zu bestimmen ist die diffeentielle Kontktsteifigkeit F / d fü einen Kontkt wischen einem elstischen ottionssymmetischen Köpe und eine sten Ebene bei eine Kontktfläche A (Abb. 5.). F N N A Abb. 5. Kontkt wischen einem elstischen ottionssymmetischen Köpe und eine sten Ebene. N Lösung: Betchten wi einen unden Kontkt mit dem Rdius. Die Ändeung de Konfigution des Kontktes infolge eine infinitesiml kleinen Vegößeung de Indentieungstiefe um d knn mn in wei Schitten hebeifühen: Zunächst wid nu ds beeits bestehende Kontktgebiet st um d veschoben (Abb. 5. b). Dbei ändet sich die Nomlkft gemäß (5.) um F E d. Im weiten Schitt müssen die duch ste Indentieung usstehenden Rände ngehoben weden (Abb. 5. c). Die sich dduch egebende Ändeung de Nomlkft ist popotionl u Fläche, die ngehoben weden soll und u Höhe des usstehenden Mteils. Sie ist somit eine infinitesiml kleine Göße höhee Odnung und knn venchlässigt weden. Die diffeentielle Steifigkeit F c N d E
74 5 Rigoose Behndlung des Kontktpoblems Hetsche Kontkt hängt somit nu vom Kontktdius b, nicht be von de genuen Fom des ottionssymmetischen Köpes. Fü nicht ottionssymmetische Köpe gilt fü die diffeentielle Steifigkeit die Gleichung (5.3). b c Abb. 5. Zu Beechnung de diffeentiellen Steifigkeit. Aufgbe 6: Auf einem keisfömigen Gebiet mit dem Rdius wikt eine konstnte Nomlspnnung p. Zu bestimmen ist die Veschiebung des Gebietes im Zentum und m Rnde des Keises. Lösung: Mit Hilfe de Gleichung (5.7) ehlten wi fü die Veschiebung im Zentum des Keises p u () p d E E. Fü die Veschiebung m Rnde egibt sich ( ) p u ( ) p d ( )d. E E (Definition de Integtionsvible in diesem Fll siehe Abb. 5.3). De Winkel beechnet sich u csin. Somit ehlten wi p p 4p u ( ) csin d csin d E E E. R f Abb. 5.3 Zu Beechnung des Integls in de Aufgbe 6.
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