Vektorrechug Ro Hrich, 2003
Eiführug Ihlt Defiitio Betrg Sklrmultipliktio Nullvektor Gegevektor Eiheitsvektor Additio Sutrktio Gesetze
Defiitio Ei Vektor ist eie Mege vo Pfeile, die gleichlg (kogruet), zueider prllel ud gleichgerichtet sid. Ei eizeler Pfeil us dieser Mege heißt Repräsett des Vektors. Folglich ist eie Vektormege (ud somit uch die Azhl ihrer Repräsette) uedlich groß. = AB B A Der Vektor, der vo Pukt A ch Pukt B führt, wird mit Vektor AB ezeichet, woei A de Afgs- ud B de Edpukt drstellt. Für eie Vektor eutzt m häufig kleie Buchste mit üergesetztem Pfeil (hier: ).
Betrg Der Betrg eies Vektors etspricht der Läge des zugehörige Pfeils. Er ist somit eie ichtegtive reelle Zhl. A B + AB = = V {} 0
Sklrmultipliktio Wird ei Vektor, desse Betrg größer 0 ist, mit eier reelle Zhl r multipliziert, so etsteht ei euer Vektor, welcher geu r-ml so lg ist wie Vektor. We r positiv ist, zeichet sich Vektor durch diesele Richtug wie Vektor us, soste verhält sich seie Richtug Vektor etgegegesetzt. Weiterhi ist Vektor prllel zu Vektor. r = r = r = = r = r r,,, V = r
Nullvektor Ei Nullvektor ist ei Vektor mit dem Betrg 0 ud uestimmter Richtug. o o = AA = AA = 0 Wird ei Vektor mit 0 skliert, so ergit sich immer ei Nullvektor. 0 = o Wird ei Nullvektor mit eier reelle Zhl r skliert, so ergit sich wieder ei Nullvektor. r o= o r
Eiheitsvektor Eiheitsvektore sid Vektore mit dem Betrg 1. Ei Vektor skliert mit dem Kehrwert seies Betrges ergit immer de zugehörige Eiheitsvektor. 1 = 1 1 1 = 1 = 1 V V \ o = 1 {} 1 = 1
Gegevektor Gegevektore sid Vektore mit gleichem Betrg ud etgegegesetzter Richtug. Der zu eiem Vektor zugehörige Gegevektor etspricht der Sklierug vo Vektor mit -1. = = AB = 1 = BA = 1 =, V \ o {}
Additio Vektore werde mit eider ddiert, idem jeweils der Edpukt eies Vektors mit dem Afgspukt des folgede Vektors verkettet wird. Der Summe-vektor etspricht u dem Vektor zwische Afgspukt des erste ud Edpukt des letzte Vektors. A 1 A 2 1 2 5 A 5 A 4 4 5 = 1+ 2 + 3+ 4 3 A 3 = = + + + + 1 i 1 2 i= 1 = AA 1 2 + AA 2 3 + + A 1A = AA 1 + ( ) = AB + BA = o + o=,, + 1 V i
Sutrktio Vektore werde mit eider sutrhiert, idem der Gegevektor des zu sutrhierede Vektors ddiert wird. ( ) + 1 = 1+ i i= 2 2 3 = 1 2 1 = 1+ 2 + + 3 2, + 1 iv = + ( ) 3 1 2 ( ) ( )
Gesetze Kommuttivgesetz (Additio): + = +, V c = + c = + Assozitivgesetz (Additio): ( + ) + c= + ( + c) c,, V + d = + + c ( ) c + c d = + + c ( ) c
Kommuttivgesetz (Multipliktio): r = r V r r r = r r = r Assozitivgesetz (Multipliktio): = r( s ) = ( rs), V rs, r r s s r s s = r ( s) = ( r s)
Distriutivgesetze: r+ s = r + s V r s ( ), r r + s s = r + s ( ) r r s s = r + s r + = r + r V r ( ), + c = r ( + ) r r r c = r + r r
Vektore im Rum Ihlt Kompoetedrstellug Betrg Sklrmultipliktio Additio ud Sutrktio Ortsvektor eies Pukts Vektor durch zwei Pukte Sklrprodukt Awedug des Sklrprodukts
Kompoetedrstellug Ist { ij ; } eie i Origo egiede Bsis für die Vektore eier Eee ud lässt sich ei Vektor i der Form = i+ j drstelle, so ezeichet m die Fktore ij ;. Diese ud ls Koordite des Vektors ezüglich der Bsis { } Koordite werde mit Hilfe eier eispltige ud zweizeilige Mtri drgestellt:. Die Ausdrücke i ud j werde ls Kompoete vo Vektor ezeichet. Weiterhi gilt die Kompoetedrstellug uch für Vektore i - dimesiole Räume. Im Allgemeie werde Vektore für eie Bsis gewählt, i = j = 1 i; j = 90. Sie ildet somit die folgede Eigeschfte ufweise: ( ) ei vo Origo usgehedes orthoormiertes Koorditesstem (Rechtssstem).
Ailduge zur Kompoetedrstellug im zwei- ud drei-dimesiole Rum: = i+ j z = k+ l+ m z j o i k m o l z
Kompoetedrstellug für zwei-, drei- ud -dimesiole Rum: i j = + = k l m = + + z = c c v c v c v c v 1 = i i = 1 1+ 2 2 + + = i= 1 c V i, jv \ o V k, l, mv \ o cv v V \ o { } { } { } i 2 2 3 3,,,,, c z i z c
Betrg Der Betrg eies Vektor k mit Hilfe des pthgoreische Lehrstz erechet werde. j o i 2 2 2 2 2 1 2 1 z z i i c c c c = = = + = = + + = =
Sklrmultipliktio Ei Vektor wird mit eier reelle Zhl skliert, idem jede Kompoete des Vektors mit diesem Sklr multipliziert wird. j o i r r r r = r i+ r j = r r r = r k+ r l+ r m= r r rc r c z 1 = rci vi = i= 1 rc V V cv r 2 3 z
Zwei Vektore sid geu d lier hägig, we sich der eie Vektor durch die Multipliktio mit eiem Sklr üer de dere Vektor usdrücke lässt. Lier uhägig sid zwei Vektore geu d, we der gete Fll icht zu trifft: ud (, V ) sid lier hägig es eistiert ei r mit r =, V sid lier uhägig r für jedes r ud ( ) = r, V r r = r = r ; = r = 2 lier hägig lier uhägig d = rc c, dv r d d d z = = l.. c c c 3 z f = re e, f V r e1 e = = l.. f f 1
Additio ud Sutrktio Vektore werde miteider ddiert/sutrhiert, idem die Kompoete der eizele Vektore miteider ddiert/sutrhiert werde. j o i i c k j+ j i k k+ k c = + = + + + = + i+ + j ( ) ( ) i j i j ( ) ( ) + = = + + = =
1 1 z z d e d e d e d e f g f g f g ± ± = ± ± ± = ± ± ± ± = ± Additio ud Sutrktio für zwei-, drei- ud -dimesiole Rum: 2 3,,,, c V de V f g V
Ortsvektor eies Pukts Der Ortsvektor eies Pukts P ist derjeige, welcher durch Origo (Afgspukt) ud de Pukt selst (Edpukt) verläuft. j o i ( ; ) P = OP = i + j = OP k l m = = + + z = c 1 c= OPc = ci vi = i= 1 c z
Vektor durch zwei Pukte Der Vektor, durch zwei Pukte verläuft, ergit sich us dem Differezvektor der Ortsvektore der eide Pukte. j o OP1 i ( ; ) P 1 1 1 P ; OP2 ( ) 2 2 2 = PP 1 2= OP2 OP1 = i+ j c ( ) ( ) 2 1 2 1 = = = 4 3 2 1 PP 3 4 4 3 2 1 z4 z 3 1 1 P6 P5 = PP 5 6 = P6 P5
Sklrprodukt Aus dem Sklrprodukt zweier Vektore ergit sich immer eie reelle Zhl: r cos ; = =, V \ i o r ( ( )) { } Ds Sklrprodukt ist, geometrisch iterpretiert, der Flächeihlt des Rechtecks mit der Seite = ud der Läge der sekrechte Projektio vo uf : cos( ) i= cos( ) cos( )
Stehe zwei Vektore ud sekrecht zueider, so ist ( ) ( ) somit uch ds Sklrprodukt = 0. i = 0 cos = cos 90 = 0 ud Ei Vektor wird mit Hilfe des Sklrprodukts qudriert: = = = ( ) ( i cos 0 ) 2 2 Recheregel des Sklrprodukts: Kommuttivgesetz: i = i
Gemischtes Assozitivgesetz: r = r = r ( i ) i( ) i( ) Distriutivgesetz: i + c = i+ ic ( ) Ds Sklrprodukt k uch üer Kompoete usgerechet werde: i = ( ) ( ) i+ ji i+ j = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) iii iij jii jij = +
Sklrprodukt für zwei-, drei- ud -dimesiole Rum: r1 = i = i = + c d r2 = cid = c i d = c d + c d + c d c d z z z z e1 f1 r3 = ei f = i = e1 f1+ + e f e f, V \ o c, dv \ o e, f V \ o r, r, r { } { } { } 2 3 1 2 3
Awedug des Sklrprodukts Mit dem Sklrprodukt k der Wikel zwische zwei Vektore estimmt werde: i = cos = + 2 ( ) + = rc cos cd cd 1 rc cos i i =, V \ o cd, V \ o {} {}
Mit Hilfe des Sklrprodukts ist es möglich de Betrg vo Vektore zu erreche: i = = = + ( ) ( ) ( ) 2 ( cos 0 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z z 2 2 2 2 1 1 V \ o V \ o cv \ o {} {} {} 2 3 2 = = + = i = + 2 2 = = + + = i = + + 2 2 c = c = c + + c c = cic = c + + c
Gerdegleichuge Ihlt Puktrichtugsgleichug Zweipuktegleichug Lgeeziehuge
Puktrichtugsgleichug Eie Gerde g, welche durch eie Trägerpukt P verläuft ud durch eie Richtugsvektor estimmt wird, k wie folgt eschriee werde: g = OP+ t OPV V o t :, \{ } P( ; ) g j o OP i
Puktrichtugsgleichug für zwei-, drei- ud -dimesiole Rum: 1 P 1 1 = OP + t = + t, OP V P 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 P 2 2 = OP + t = P + t, OP V P 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2z 2z 2z 3 P 1 3 1 3 1 3 = OP3+ t 3 = + t 3, OP3V 3 P 3 3 V \ o V \ o V \ o t { } { } { } 1 2 2 3 3
Zweipuktegleichug Eie Gerde g, welche durch eie Trägerpukt P ud zwei weitere Pukte verläuft, k wie folgt eschriee werde: g: = OP+ tpp, OPV PP V \ o t 1 2 1 2 { } P( ; ) OP j o OP 1 i ( ; ) P 1 1 1 PP 1 2 OP 2 ( ; ) P 2 2 2 g
Zweipuktegleichug für zwei-, drei- ud -dimesiole Rum: P 1 P 1 1 P1, 2 1 = OP + t P P = + t OP V 1 2 1 P 1 P 1 P 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 P P 2 2 P 2 2 1 2 = OP2 + t P2 P 1 2 2 2 = P 2 + tp 2 P 2 2, OP V 1 2 P z 2 P z 2 P 2 2 z 1z 1 1 21 1 3 3 32 3 1 2 2 3 3 P3 P3 P3 3 = OP3 + t P3P 1 3 t 2 = + 3, OP3V P P P P P V \ o P P V \ o P P V \ o t { } { } { } 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 2
Lgeeziehuge Zwei Gerde g ud h liege prllel zu eider, we die Richtugsvektore der Gerde lier hägig sid: OP 1 g h g: 1 = OP1+ t h: 2 = OP2 + r = s j o i OP 2 1 2, OP1, OP2 V, V \ o trs,, {}
Zwei Gerde efide sich i eier Eee, we die eide Richtugsvektore ud der Differezvektor der eide Trägerpukte komplr sid: z k i o j t ( ; ) P 1 1 1 PP 1 2 r g P ; ( ) 2 2 2 h g: 1 = OP1+ s h: 2 = OP2 + k PP 1 2= t + r PP,, Komp. 1 2 1 2, OPOP 1, 2V, V \ o {} sktr,,,
Zwei Gerde i eier Eee liege für drei- ud -dimesiole Rum: PP = t + r 1 1 1 1 1 2 P 1 1 1 P = t + r 1 1 1 P 1z 1z 1z P = t + r 1 1 1 P = t + r 1 1 1 P = t + r 1 1 1 z z z PP = t + r 2 2 2 2 1 2 P 2 2 2 1 1 1 = t + r P 2 2 2 P = t + r 2 2 2 1 1 1 P = t + r 2 2 2 PP,, V \ o PP,, V \ o tr, 1 2 1 2 { } { } 1 1 1 1 3 2 2 2 2
Gerde, welche komplr ud lier uhägig sid, scheide sich i geu eiem Pukt. Es git llerdigs uch Gerde, die deckugsgleich (Richtugsvektore sid d lier hägig) sid ud somit uedlich viele Schittpukte he: ( ; ) P s s s OP 1 OP2 OP s j o i g h g: 1 = OP1+ t h: 2 = OP2 + r OPs = 1 = 2 OP = OP + t = OP + r s 1 2, OP1, OP2 V, V \ o tr, 1 2 {}
Schittpukt zweier Gerde für zwei-, drei- ud -dimesiole Rum: OP = OP + t = OP + r 1 1 1 1 1 s 1 2 P 1 s 1 1 = + t P 1s 1 1 P 1 1 2 = + r P 1 2 1 P3 + t 11 3 = P 1 3 + r 21 31 P1 + t 1 = P 1 + r 2 1 P1 + t 1 = P 1 + r 2 1 P3 + t 1 3 = P3 + r 2 3 OP { } 1, OP1, OP 1 V 2 2 1, 1V 2 \ o OP2, OP2, OP s s 1 2 V 2 3, V \ o OP, OP, OP V, V \ o t, r {} {} 2 2 3 3 3 3 3 3 OP = OP + t = OP + r s 1 2 2 2 2 2 2 s 1 2 P + t = P + r 2 2 2 2 1 2 P + t = P + r 2 2 2 2 1 2 P2 + t 1z 2 = P z 2 + r 2z 2z OP = OP + t = OP + r 3 3 3 3 3 s 1 2
Zwei Gerde werde d ls Widschief ezeichet, we die eide Richtugsvektore (lier uhägig) ud der Differezvektor der Trägerpukte icht komplr sid: g: 1 = OP1+ t h: = OP + r 2 2 s l.u. PP t + r,, PP icht Komp. 1 2 1 2, OPOP, V PP,, V \ o str,, 1 2 1 2 1 2 { }