E. S. Philippow / W. G. Büntig Analyse nichtlinearer dynamischer Systeme der Elektrotechnik Einführung in die numerische Untersuchung einfacher Systeme Mit 198 Bildern und 27 Tabellen Carl Hanser Verlag München Wien
Vll Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 1 Vorbereitende Arbeiten - Entwicklung und Normierung der Modellgleichung.... 5 1.1 Die Entwicklung der Modellgleichung 5 1.2 Normierung der Modellgleichung 5 1.3 Häufig auftretende Modellgleichungstypen 6 1.3.1 Autonome Systeme 6 1.3.1.1 Die van der Polsche Differentialgleichung 6 1.3.1.2 Die Rayleighsche Differentialgleichung. 8 1.3.1.3 Die modifizierte van der Polsche Differentialgleichung 9 1.3.2 Heteronome Systeme - Die Duffingsche Differentialgleichung 9 1.3.3 Weitere häufig vorkommende Typen von Modellgleichungen 12 2 Analyse dynamischer Systeme 13 2.1 Theoretische Grundlagen 13 2.2 Das Integrationsverfahren 15 2.2.1 Die Deltamethode - Grundlagen 15 2.2.2 Die Deltamethode - automatische Schrittweitensteuerung 18 2.2.3 Die Anwendung der Deltamethode auf Differentialgleichungen höherer Ordnung 20
VÜi Inhaltsverzeichnis 2.2.3.1 Anwendung der Delta-Methode auf Differentialgleichungen dritter Ordnung 20 2.2.3.2 Anwendung der Methode auf Differentialgleichungen beliebiger Ordnung.. 22 2.2.4 Testbeispiel für die Deltamethode 24 3 Möglichkeiten der Darstellung der Lösung 27 3.1 Darstellung in der Zeitebene 27 3.2 Darstellung im Zustandsraum 27 3.3 Darstellung in der Phasenebene 28 3.3.1 Phasenporträts autonomer Systeme 28 3.3.2 Phasenporträts heteronomer Systeme 30 3.4 Die Mappingebene 31 3.4.1 Positives Mapping 34 3.4.2 Inverses oder negatives Mapping 34 3.5 Topologische Strukturen in der Mappingebene.... 34 3.5.1 Der Fixpunkt 34 3.5.2 Subharmonische Fixpunkte 35 4 Harmonische Analyse - Fouriertransformation 37 4.1 Das Schemaverfahren 39 4.2 Die schnelle Fouriertransformation 42 4.2.1 Grundlagen 42 4.2.2 Prinzip der schnellen Fouriertransformation für N = 8 44 4.3 Die Spektralanalyse nichtperiodischer Funktionen.. 48 5 Dynamische Analyse nichtlinearer Systeme 51 5.1 Systeme zweiter Ordnung 51 5.1.1 Allgemeine Grundlagen 51 5.1.2 Singulare Punkte autonomer Systeme 51 5.1.3 Grenzzyklen 54 5.1.4 Stabilität periodischer Lösungen 55
Inhaltsverzeichnis IX 5.1.4.1 Zusammenfassung 62 5.1.4.2 Klassifikation der Fixpunkte 63 5.1.4.3 Abschätzung der Stabilität - Beispiele. 63 5.1.5 Die Fixpunktsuche 65 5.1.5.1 Analytische Methoden - Grundwellenansatz 65 5.1.5.2 Numerische Methoden 70 5.1.6 Ermittlung der Alpha- und Omega- Invarianzkurven 77 5.1.7 Weitere topologische Strukturen 80 5.1.7.1 Doppelt asymptotische Punkte.... 80 5.1.7.2 Geschlossene Invarianzkurven - Quasiperiodische Lösungen 82 5.1.8 Bifurkation 83 5.1.8.1 Die D-Bifurkation (+1 Bifurkation).. 82 5.1.8.2 Die quasiperiodische Bifurkation... 85 5.1.8.3 Die I-Bifurkation (- 1 Bifurkation)... 86 5.1.8.4 Die gewöhnliche Hopfbifurkation... 86 5.1.8.5 Die verallgemeinerte Hopfbifurkation.. 87 5.1.8.6 Mechanismus der Entstehung einer quasiperiodischen Lösung 87 5.1.9 Der seltsame Attraktor 88 5.1.10 Die Fixpunktverfolgung 89 Systeme dritter Ordnung 91 5.2.1 Die Modellgleichung 91 5.2.2 Die Stabilität der periodischen Lösungen... 91 5.2.3 Berechnung der Eigenvektoren 94 5.2.4 Invarianzkurven und Invarianzfiächen 95 Systeme höherer Ordnung 97 5.3.1 Die Modellgleichung 97 5.3.2 Die Stabilität der periodischen Lösungen... 98 5.3.3 Numerische Verfahren zur Lösung der Eigenwertaufgabe 100 5.3.3.1 Direkte Verfahren 100 5.3.3.2 Iterative Verfahren 101
X Inhaltsverzeichnis 6 Dynamische Analyse einfacher Systeme der Elektrotechnik. 103 6.1 Der nichtlineare parallele Ferroresonanzkreis 103 6.1.1 Die Entwicklung der Modellgleichung 104 6.1.2 Normierung der Kennlinie 105 6.1.3 Normierung der Differentialgleichung 106 6.1.4 Analytische Auswertung der Modellgleichung 2. Ordnung 108 6.1.5 Numerische Auswertung der Modellgleichung 2. Ordnung 110 6.1.6 Vergleich der Modellgleichungen 2. und 3. Ordnung 110 6.1.7 Übersicht über größere Variationsbereiche der Amplitude der Aussteuerung 111 6.1.7.1 Der Bereich der Mehrdeutigkeit.... 111 6.1.7.2 Das Stabilitätsverhalten der Fixpunkte. 121 6.2 Der nichtlineare Reihenferroresonanzkreis 130 6.2.1 Normierung der Modellgleichung 130 6.2.2 Übersicht über das Verhalten des Systems... 132 6.3 Der nicht lineare Reihenferroresonanzkreis mit asymmetrischer Magnetisierungskennlinie 135 6.3.1 Einleitung 135 6.3.2 Die gesteuerte Induktivität - Normierung der Kennlinie 136 6.3.3 Die Ausbildung der einfachen und der mehrfachen Mehrdeutigkeit 138 6.3.4 Die Modellgleichung des Systems 139 6.3.5 Normierung der Modellgleichung 141 6.3.6 Die Parameter der Modellgleichung 144 6.3.7 Analytische Voruntersuchung des Systemverhaltens - Grundwellenansatz 144 6.3.8 Numerische Analyse 147 7 Anwendung der dynamischen Analyse bei der Synthese von elektrotechnischen Systemen mit vorgegebenem Verhalten 153 7.1 Grundlagen 153
Inhaltsverzeichnis XI 7.2 Die Synthese autonomer Systeme f 54 7.2.1 Der exakt sinusförmige Oszillator 154 7.2.1.1 Bestimmung der Rückstellfunktion.. 155 7.2.1.2 Bestimmung der Dämpfungsfunktion.. 156 7.2.1.3 Weitere Varianten der Modellgleichung. 157 7.2.1.4 Numerische Analyse der entwickelten Modellgleichungen 158 7.2.1.5 Schaltungssynthese 163 7.3 Synthese heteronomer Systeme - Subharmonisch reagierende Systeme 166 7.3.1 Entwicklung der Modellgleichung 167 7.3.1.1 Die Entwicklung des mathematischen Modells 167 7.3.1.2 Die Gestaltung der Terme der Modellgleichung 168 7.3.2 Das zweifach subharmonisch reagierende System 171 7.3.2.1 Die Netzwerksynthese 173 7.3.2.2 Die numerische Analyse 175 7.3.2.3 Ergebnisse der numerischen Analyse.. 190 7.3.3 Das dreifach subharmonisch reagierende System 191 7.3.3.1 Die Modellgleichung 191 7.3.3.2 Untersuchung der Rolle des Parameters Epsilon zur Wichtung des Dämpfungsfaktors 191 7.3.3.3 Das Verhalten im Fall b ungleich B.. 203 7.3.3.4 Wichtung des Koppeltermes 223 7.3.3.5 Die Schaltungssynthese 231 7.4 Untersuchung des Verhaltens parametrischer Systeme mit zweifach subharmonischer Reaktion 234 7.4.1 Mathematische Synthese der Modellgleichung. 234 7.4.2 Die Schaltungssynthese 236 7.4.3 Die numerische Analyse der entwickelten Modellgleichung 238 Literatur 257 Namen- und Sachverzeichnis 263