Übungen zur Vorlesung Physkalsche Chee 1 B. Sc.) Lösungsorschlag zu Blatt Prof. Dr. Norbert Happ Jens Träger Soerseester 7. 4. 7 Aufgabe 1 a) Aus den tabellerten Werten ergbt sch folgendes Dagra. Btte beachten Se, dass de gegebene Vertelung nur aus dskreten Werten besteht. De durchgezogene Lne würde nur be ener quas)stetgen Vertelung gelten und soll her nur der besseren Anschaulchket denen. 5 5 N / 1 1 5 1 5 1 4 5 6 7 / s -1 b) ) De wahrschenlchste a häufgsten orkoende) Geschwndgket st = ax = /s. Des kann drekt aus der Wertetabelle abgelesen werden. Das Lesen deses Lösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 1 on 5
) De ttlere Geschwndgket st: N = = N = 1 5 + + 5 + 4 + 5 1 + 6 5 + 7 ) 1 /s 1 1 = 9 /s ) De Wurzel aus de ttleren Geschwndgketsquadrat st: = N = = N 1 5 + + 5 + 4 + 5 1 + 6 5 + 7 ) 1 /s = 65 /s 1 1 Aufgabe De Maxwell sche Geschwndgketsertelung oder auch Maxwell-Boltzann-Vertelung st ene Wahrschenlchketsertelung der statstschen Physk und spelt n der Therodynak, spezell der knetschen Gastheore, ene wchtge Rolle. Se beschrebt de Vertelung der Telchengeschwndgketen n ene dealen Gas. Se wurde 186 on Jaes Clerk Maxwell und Ludwg Boltzann abgeletet. Se lautet: ) ) f) e M e M RT π πrt Hnwes: R = k N L In ene dealen Gas bewegen sch ncht alle Gastelchen t der glechen Geschwndgket, sondern statstsch ertelt t erschedenen Geschwndgketen. Es wrd herbe kene Raurchtung beorzugt, de Bewegungsrchtung st also ren zufällg Brown sche Molekularbewegung). De erenfachende Voraussetzung enes dealen Gases nnerhalb der Maxwell schen Geschwndgketsertelung führt zu Abwechungen, falls an dese auf reale Gase anwendet. De Approxaton der Maxwell sche Geschwndgketsertelung auf reale Gase st herbe uso besser, je schwächer der reale Charakter des Gases st. I Falle enes nedrgen Druckes und ener hohen Teperatur st de Abwechung für de esten Betrachtungen ernachlässgbar gerng. Mt stegender Teperatur T nt de durchschnttlche Geschwndgket zu und de Vertelung wrd glechzetg breter. Mt stegender Telchenasse hngegen nt de durchschnttlche Geschwndgket ab und de Geschwndgketsertelung wrd glechzet schaler. Anders als n de enfachen Bespel on Aufgabe 1 kann an n realstschen Fällen daon ausgehen, dass de Geschwndgketsertelung praktsch kontnuerlch st. De Suen werden daher durch Integrale ersetzt. Das Lesen deses Lösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete on 5
a) De wahrschenlchste Geschwndgket st de Geschwndgket a Maxu der Vertelungsfunkton. Wr erhalten daher durch Dfferenzeren on f) nach und Nullsetzen der ersten Abletung. d f) d π π ) [ e + ) e ) De Nullstellen der Funkton ergeben sch also aus 1 = : Mnu f) = ) = / = ± ) ] e Da nur der Betrag releant st, folgt als Endergebns = ) = b) Zur Berechnung der ttleren Geschwndgket gehen wr Prnzp we n Aufgabe 1 or. Wr ultplzeren jede Geschwndgket t der Anzahl der Moleküle, auf de deser Wert zutrfft und adderen dese Produkte. Wr ersetzten nur de Sue durch en Integral, da de Geschwndgketsertelung quas kontnuerlch st. Der Antel der Moleküle t ener Geschwndgket Berech + d st f) d. Multplkaton t der Geschwndgket ergbt also f) d. U de ttlere Geschwndgket zu erhalten üssen wr also folgendes Integral lösen. = f) d = ) 4π e d π π Zu lösen des Integrals erwetern wr t ) ) 4 π Durch Substtuton on x e x dx. Deses Integral hat den Wert 1. ) e ) d ) ) e = x erhalten wr en Integral der For d = π 8 π = ) πm ) 4 1 c) De Berechnung des ttleren Geschwndgketsquadrats erläut analog zu Aufgabentel b). Wr üssen jetzt nur über das Produkt f) d ntegreren. Das Lesen deses Lösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete on 5
= f) d = ) 4π 4 e d π π Zu lösen des Integrals erwetern wr t ) ) 5 π Durch Substtuton on ) 4 e ) d x 4 e x dx. Deses Integral hat den Wert 8 π. ) ) 4 e = x erhalten wr en Integral der For d = ) ) 4 π π 8 = RT M Nun üssen wr nur noch de Wurzel aus de Ergebns zehen und erhalten: RT = = M De Wurzel aus de ttleren Geschwndgketsquadrat st drekt proportonal zur Quadratwurzel der Teperatur sofern de Masse der Telchen konstant blebt). Daher glt unter der Annahe ener konstanten Molasse): Ene Verdopplung der Teperatur auf der Keln-Skala führt zu ener Erhöhung der quadratsch gettelten Geschwndgket u den Faktor. Aus ene Verglech der Ergebnsse ersehen wr, dass er glt < < bzw. : : = 8 : : 1, 41 : 1, 6 : 1, 7 π Aufgabe a) = πm ) MH ) = 1, 79 g /ol =, 158 g /ol = 8 8,1447 J/olK K = 1775 π,158 /s g/ol ) MCl ) = 5, 45 g /ol = 7, 96 g /ol = 8 8,1447 J/olK K = 99 π 7,96 /s g/ol b) Cl = πm Cl = 1775 /s T = πm Cl Cl ) 8R = π 7,96 g/ol 1775 /s = 1551 K 8 8,1447 J/olK Das Lesen deses Lösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 4 on 5
Aufgabe 4 Telchenzahldchte 1 N 1 N = n V = p RT = a) Maxwell sche ttlere free Weglänge λ M = 1 Pa 8, 1447 J /olk K = 4, 1 1 5 ol/l =, 41 1 19 1/L 1 1 Nπσ = 1 4, 1 1 5 ol 6, 14 1 ol 1 π 4 1 1 ) = 8, 6 1 5 = 8, 6 µ b) Zahl der Zusaenstöße, de en Argonato pro Zetenhet erfährt RT RT π 1 Z A = 4 1 Nπσ M A π = 4 1 Nσ M A = 4 4, 1 1 5 ol 6, 14 1 ol 1 4 1 1 ) 1 8, 1447 J /olk K π 9, 94 1 kg /ol = 4, 95 1 6 s 1 c) Zahl der Zusaenstöße pro Zet- und Voluenenhet RT RT π 1 Z AA = 1 N πσ M A π = 1 N σ M A ) 4, 1 1 5 ol 6, 14 1 ol 1 = 4 1 1 ) 1 8, 1447 J /olk K π 9, 94 1 kg /ol = 5, 97 1 8 s 1 = 5, 97 1 5 s 1 L 1 Das Lesen deses Lösungsblatts ersetzt ncht den regeläßgen Besuch der Übungsgruppen! Sete 5 on 5