Lehr- und Übungsbuch Mathematik für Informatiker Lineare Algebra und Anwendungen Bearbeitet von Wolfgang Preuß, Günter Wenisch 1. Auflage 1996. Buch. 328 S. Hardcover ISBN 978 3 446 18702 3 Format (B x L): 17,2 x 23,5 cm Gewicht: 686 g schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.
Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung: Was ist Lineare Algebra?........................ 11 0.1 Drei typische Beispiele....................................... 11 0.1.1 Gegeneinander verschobene Koordinatensysteme und die Normalparabel 11 0.1.2 Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Normalparabel... 12 0.1.3 Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Lösungskurven von Differentialgleichungen....................................... 14 0.2 Kommentar zu den Beispielen und Ausblick....................... 16 1 Grundbegriffe Mengen, Abbildungen, Vektoren................ 17 1.1 Mengen................................................... 17 1.1.1 Darstellung von Mengen...................................... 17 1.1.2 Mengenverknüpfungen....................................... 18 1.1.3 Spezielle Mengen, Zahlbereiche................................ 20 Aufgaben 1.1 bis 1.7......................................... 20 1.2 Relationen und Abbildungen................................... 21 1.2.1 Beispiele für Relationen...................................... 21 1.2.2 Äquivalenzrelationen......................................... 21 1.2.3 Abbildungen und einige Eigenschaften........................... 22 1.2.4 Bijektive Abbildungen........................................ 24 Aufgaben 1.8 bis 1.14........................................ 25 1.3 Vektoren im anschaulichen Raum............................... 26 1.3.1 Darstellung und charakteristische Rechenoperationen................ 26 1.3.2 Punkte, Geraden und Ebenen in Vektordarstellung................... 29 1.3.3 Berechnung von Abständen, Längen und Winkeln................... 34 1.3.4 Volumina und senkrechte Vektoren.............................. 37 Aufgaben 1.15 bis 1.21....................................... 39 2 Körper................................................ 41 2.1 Reelle Zahlen und Vektorräume................................. 41 2.2 Definition eines Körpers...................................... 41 2.2.1 Algebraische Axiome der reellen Zahlen.......................... 41 2.2.2 Einfache Folgerungen aus den Axiomen.......................... 43 2.2.3 Verallgemeinerung: Axiome eines Körpers........................ 44 Aufgaben 2.1 bis 2.4......................................... 45 2.3 Körper mit den Rechenoperationen der reellen Zahlen................ 46 2.3.1 Untersuchung der bekannten Zahlbereiche N, Z, Q.................. 46 2.3.2 Körper zwischen Q und R................................... 47 Aufgaben 2.5 und 2.6........................................ 48 2.4 Die komplexen Zahlen als Körpererweiterung von R................. 48 2.4.1 Einige Bemerkungen zur Verwendung komplexer Zahlen.............. 48 2.4.2 Körpereigenschaften von C.................................... 49 2.4.3 Algebraische Struktur der Einheitswurzeln......................... 51 Aufgaben 2.7 bis 2.11........................................ 53
Inhaltsverzeichnis 7 2.5 Restklassen als Beispiele für endliche Körper...................... 54 2.5.1 Beispiele und Gegenbeispiele für Körpereigenschaften bei Restklassen... 54 2.5.2 Lösen von Gleichungen in Restklassenkörpern...................... 56 2.5.3 Beispiel eines endlichen Körpers, der nicht aus Restklassen besteht...... 57 Aufgaben 2.12 bis 2.20....................................... 58 3 Vektorräume............................................ 60 3.1 Allgemeine Vektorräume...................................... 60 Aufgaben 3.1 bis 3.6......................................... 63 3.2 Der n-dimensionale Vektorraum R n.............................. 64 Aufgaben 3.7 bis 3.12........................................ 66 3.3 Lineare Unabhängigkeit....................................... 66 Aufgaben 3.13 bis 3.20....................................... 70 3.4 Der Austauschsatz von Steinitz................................. 71 Aufgabe 3.21............................................... 73 3.5 Basis von Vektorräumen...................................... 73 Aufgaben 3.22 bis 3.28....................................... 75 3.6 Lösungsraum von linearen Gleichungssystemen..................... 75 Aufgaben 3.29 bis 3.31....................................... 78 4 Lineare Abbildungen...................................... 79 4.1 Einleitung................................................. 79 Aufgaben 4.1 und 4.2........................................ 81 4.2 Definition und Eigenschaften linearer Abbildungen.................. 82 4.2.1 Definition und einfache Schlußfolgerungen........................ 82 4.2.2 Der Vektorraum L(V,W)...................................... 83 Aufgaben 4.3 bis 4.8......................................... 87 4.3 Standardbeispiele linearer Abbildungen........................... 88 4.3.1 Veranschaulichungsmethode................................... 88 4.3.2 Streckungen S : V V....................................... 89 4.3.3 Diagonalisierbare Abbildungen D : V V........................ 90 4.3.4 Scherungen T : V V....................................... 92 4.3.5 Projektionen P : V V...................................... 95 4.3.6 Orthogonale Projektionen, Spiegelungen und Drehungen.............. 97 Aufgaben 4.9 bis 4.12........................................ 102 4.4 Der Homomorphiesatz und Folgerungen daraus..................... 104 4.4.1 Der Homomorphiesatz........................................ 104 4.4.2 Folgerungen aus dem Homomorphiesatz.......................... 105 Aufgaben 4.13 und 4.14....................................... 106 4.5 Matrizen.................................................. 107 4.5.1 Die Matrix einer linearen Abbildung bezüglich zweier Basen........... 107 Aufgaben 4.15 bis 4.18....................................... 110 4.6 Der Isomorphismus L(V,W) K m n............................. 111 4.6.1 Verknüpfung linearer Abbildungen und Matrixmultiplikation........... 111 4.6.2 Der spezielle Isomorphismus L(V,V) K m m...................... 112 4.6.3 Die Transformationsformel für Basiswechsel....................... 113 Aufgaben 4.19 bis 4.21....................................... 114
8 Inhaltsverzeichnis 4.7 Linearformen.............................................. 115 4.7.1 Der Dualraum eines Vektorraums............................... 115 Aufgaben 4.22 und 4.23....................................... 117 5 Unitäre Räume.......................................... 119 5.1 Das Skalarprodukt........................................... 119 Aufgaben 5.1 bis 5.4......................................... 121 5.2 Die Schwarzsche Ungleichung.................................. 122 Aufgaben 5.5 bis 5.7......................................... 123 5.3 Winkel, Orthonormierung..................................... 124 Aufgaben 5.8 bis 5.17........................................ 131 5.4 Das Abstandsproblem........................................ 133 Aufgaben 5.18 bis 5.21....................................... 140 5.5 Semibilinearformen und adjungierte Abbildungen................... 140 Aufgaben 5.22 bis 5.27....................................... 145 6 Eigenwerte............................................. 147 6.1 Vorbemerkung.............................................. 147 6.1.1 Zur Bedeutung der beiden Hauptresultate.......................... 147 Aufgaben 6.1 bis 6.8......................................... 152 6.2 Invariante Unterräume, Eigenwerte und Eigenvektoren............... 155 6.2.1 Definition und Eigenschaften invarianter Unterräume................ 155 6.2.2 Zerlegung in invariante Unterräume.............................. 156 6.2.3 Eigenwerte und Eigenvektoren................................. 158 Aufgaben 6.9 bis 6.17........................................ 159 6.3 Das charakteristische Polynom................................. 161 6.3.1 Vorbemerkung über Determinanten.............................. 161 6.3.2 Eigenwerte und charakteristisches Polynom........................ 163 Aufgaben 6.18 bis 6.21....................................... 170 6.4 Das erste Hauptresultat....................................... 171 6.4.1 Formulierung von Hauptresultat 1............................... 171 6.4.2 Bemerkungen zu Hauptresultat 1................................ 172 Aufgaben 6.22 bis 6.24....................................... 177 6.5 Eigenwerte normaler, hermitescher und unitärer Abbildungen.......... 177 6.5.1 Vorbemerkung.............................................. 177 6.5.2 Normale, hermitesche und unitäre Abbildungen..................... 178 6.5.3 Untersuchung normaler Abbildungen Φ L(V,V) und Hauptresultat 2............................................. 179 6.5.4 Folgerungen für hermitesche und unitäre Abbildungen................ 181 Aufgaben 6.25 bis 6.28....................................... 182 7 Algebraische Strukturen................................... 183 7.1 Vorbemerkung zu algebraischen Strukturen........................ 183 7.2 Gruppen.................................................. 184 7.2.1 Gruppen und Körper......................................... 184 7.2.2 Beispiele für Gruppen........................................ 185 7.2.3 Isomorphe Gruppen.......................................... 188 7.2.4 Einfache Eigenschaften von Gruppen............................. 190 7.2.5 Untergruppen.............................................. 191
Inhaltsverzeichnis 9 7.2.6 Ordnung von Elementen und Untergruppen........................ 194 Aufgaben 7.1 bis 7.10........................................ 196 7.3 Ringe.................................................... 197 7.3.1 Ringe Definition und Beispiele................................ 197 7.3.2 Polynomringe.............................................. 198 7.3.3 Invertierbare und nicht invertierbare Elemente...................... 200 7.3.4 Der Euklidische Algorithmus................................... 202 7.3.5 Einsetzungen in Polynome..................................... 205 Aufgaben 7.11 bis 7.20....................................... 207 8 Lineare Optimierung...................................... 208 8.1 Lineare Programme.......................................... 208 Aufgaben 8.1 bis 8.5......................................... 216 8.2 Der Simplexalgorithmus...................................... 217 Aufgaben 8.6 bis 8.10........................................ 230 8.3 Dualität................................................... 231 Aufgaben 8.11 bis 8.14....................................... 237 9 Graphentheorie.......................................... 239 9.1 Grundbegriffe ungerichteter Graphen, spezielle Graphen.............. 239 Aufgaben 9.1 bis 9.6......................................... 245 9.2 Planare Graphen, chromatische Zahl............................. 246 Aufgaben 9.7 bis 9.12........................................ 250 9.3 Kürzeste Wege............................................. 251 Aufgaben 9.13 bis 9.16....................................... 253 9.4 Steinerbäume, Minimalgerüste, Greedy-Algorithmus................. 255 Aufgabe 9.17............................................... 259 9.5 Paarungen in paaren Graphen, Ungarischer Algorithmus.............. 259 Aufgaben 9.18 bis 9.21....................................... 267 10 Kryptologie............................................. 269 10.1 Tauschchiffren.............................................. 269 Aufgaben 10.1 bis 10.6....................................... 276 10.2 Lineare Schieberegister....................................... 276 Aufgaben 10.7 bis 10.11...................................... 282 10.3 Schwer interpretierbare Funktionen, RSA-Algorithmus............... 282 Aufgaben 10.12 bis 10.17..................................... 290 Lösungen..................................................... 291 Literaturverzeichnis............................................. 325 Sachwortverzeichnis............................................. 326