Das negative Zweierkomplementzahlensystem Ines Junold 23. Februar 2010 1
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Das konventionelle Zweierkomplement 4 2.1 Definition....................................... 4 2.2 Addition und Subtraktion.............................. 4 2.3 Multiplikation..................................... 4 3 Das negative Zweierkomplementsystem 5 3.1 Definition....................................... 5 3.2 Addition und Subtraktion.............................. 5 3.3 Multiplikation..................................... 6 3.3.1 Booth-Verfahren............................... 6 3.3.2 Baugh-Wooly-Verfahren.......................... 8 4 Zusammenfassung 10 5 Literaturverzeichnis 11 2
1 Einleitung Das Zweierkomplement wird bei gebrochenen Festkommazahlen zur Implementierung der digitalen Signalverarbeitung auf VLSI-Chips verwendet. Allerdings wird bei der digitalen Signalverarbeitung häufig der Wert 1 benötigt. Das Problem hierbei ist jedoch, dass im konventionellen Zweierkomplement diese Zahl nicht dargestellt werden kann. Dies führt zu dem Problem, dass 1 1 das Resultat +1 ergibt, welches nicht als gebrochene Zweierkomplementzahl dargestellt werden kann. Es bedeutet auch, dass der Absolutwert von 1 nicht dargestellt werden kann. Aus diesem Grund entwickelte Swartzlander (vgl. Swartzlander 2007) das sogenannte negative Zweierkomplement (Abb. 1). Seit 1990 unterrichtet er an der Universität von Texas in Austin als Professor für Elektrotechnik und Computer Engineering. Er besitzt einen Abschluss in Elektrotechnik an der Purdue Universität, der Universität von Colorado und der Universität von Kalifornien. Bei seiner Forschung liegt der Schwerpunkt auf einem anwendungsspezifischen Prozessordesign mit einer Hochgeschwindigkeitscomputerarithmetik. 1 Abbildung 1: Earl E. Swartzlander, jr. 1 vgl.http://www.reviews.com/masthead/masthead_editors.cfm?editor=swartz 3
2 Das konventionelle Zweierkomplement 2.1 Definition Durch das konventionelle Zweierkomplement besteht die Möglichkeit, auch negative Zahlen im Dualsystem darstellen zu können. Der Wertebereich liegt in (2 n 1 ),..., 0,..., 2 n 1 1, wobei n der Anzahl der Bits entspricht. Stehen beispielsweise 8 Bit zur Verfügung, dann erstreckt sich der Zahlenbereich von 128 (10) bis +127 (10). Darstellung und Umwandlung der Binärzahlen in das konventionelle Zweierkomplement sind sehr einfach zu implementieren. Zuerst muss ein Vorzeichenbit festgelegt werden. Handelt es sich bei der umzuwandelnden Zahl x um eine positive, so wird das Vorzeichenbit auf 0 gesetzt. Ist es jedoch negativ, also x < 0, so werden alle Bits invertiert bzw. gekippt. Danach muss nur noch der Wert der Quantisierungsstufe 2 k addiert werden. Die Quantisierungsstufe wird auch als Least Significant Bit (LSB) bezeichnet. Am Beispiel der Zahl 2.25 10 wird die Umwandlung nun gezeigt. 2.25 10 = 010.01 2 Umwandlung vom Dezimal- ins Binärzahlensystem [010.01] 2 = 101.10 2 Invertierung der einzelnen Bitstellen 2 2 = 0.25 10 = 0.01 2 Berechnung der Quantisierungsstufe 101.10 2 + 000.01 2 = 101.11 2 Addieren der Quantisierungsstufe 2.2 Addition und Subtraktion Bei Addition und Subtraktion muss keine Fallunterscheidung vorgenommen werden, da die Subtraktion auf die Addition zurückgeführt werden kann. S = A B = A + ( B) Die Summe S = (s n 1, s n 2,..., s 0 ) besteht aus den zwei Summanden A = (a n 1, a n 2,..., a 0 ) und B= (b n 1, b n 2,..., b 0 ). Somit ergibt sich die folgende Bildungsvorschrift: s i = a i b i c i Die Variable c i bezeichnet den Übertrag an der Stelle i. Die Bildungsvorschrift hierfür lautet: c i+1 = (a i b i ) (a i c i ) (b i c i ), wobei c 0 = 0 Der entsprechende Schaltkreis, ein Volladdierer, ist in Abbildung 2 dargestellt. 2.3 Multiplikation Im Gegensatz zur Addition und Subtraktion muss bei der Multiplikation eine Erweiterung des Wertebereichs vorgenommen werden, da das Ergebnis meist nicht im Wertebereich der Faktoren liegt. Die Stellenanzahl wird dabei verdoppelt und der Wert des Most Significant Bit (MSB) entsprechend oft vor den ersten Faktor gesetzt. Somit ist die neue Stellenanzahl bei einem Faktor mit n Bit Stellen 2n. Hierfür eignet sich ein Serienoder Parallelmultiplizierer. Die Funktionsweise der verschiedenen Multiplizierer wird im Kapitel 3.2 Rechenoperationen dargestellt. 4
Abbildung 2: Volladdierer 3 Das negative Zweierkomplementsystem 3.1 Definition Das negative Zweierkomplement ist im Grunde genommen nur eine Spiegelung des bekannten und in Kapitel 2 beschriebenen konventionellen Zweierkomplements. Aus Abbildung 3 geht hervor, dass die Umwandlung ins negative Zweierkomplement über das Invertieren aller Bits außer dem Vorzeichenbit möglich ist. Die resultierenden Zahlen sind der Größe nach geordnet (zum Beispiel die Kleinste ist 0000, die Größte 1111 und die Zwischenwerte sind intuitiv geordnet). Die Schwierigkeit besteht darin, die n 1 Bits für jede Zahl zu kippen. Eine Alternative zum Invertieren ist nur das Vorzeichenbit zu invertieren. Dann sind die Zahlen invers der Größe nach geordnet. Nach dem Vergleich ist das Ergebnis invertiert (zum Beispiel wenn der Vergleich A > B ergibt, ist das korrekte Ergebnis A < B). Das negative Zweierkomplement einer Zahl kann durch die nachfolgende Formel berechnet werden. R = r n 1 n 2 r i 2 i n+1 i=0 Die umzuwandelnde, gebrochene n Bit lange Zahl besitzt das Vorzeichenbit r n 1, wobei R die gegebene Zahl im negativen Zweierkomplement beschreibt. Dies soll am folgenden Beispiel gezeigt werden. Die zu berechnende Zahl sei 5 8. R = 1 (0 2 0 (4+1) + 1 2 1 (4+1) 1 2 2 (4+1) ) R = 1 1 2 2 + 1 2 3 R = 1 0, 25 + 0, 125 R = 1 0, 375 R = 5 8 3.2 Addition und Subtraktion Die Rechenoperationen Addition und Subtraktion sind im negativen Zweierkomplement gleich den Rechenregeln im konventionellen Zweierkomplement. Darum soll ein Beispiel für die Addition genügen. 5
Abbildung 3: Vergleich vom negativen Zweierkomplement mit dem konventionellen Zweierkomplement 1 2 + 3 8 1. 1 0 0 + 1. 1 0 1 = 1. 0 0 1 = 7 8 Auch die Subtraktion kann - wie beim konventionellen Zweierkomplement - auf die Addition zurückgeführt werden. Nur muss auch hier der Divisor negiert werden. Dies geschieht äquivalent zum konventionellen Zweierkomplement am Beispiel von 1 4. 0.25 10 = 1.110 2 Umwandlung vom Dezimal- ins Binärzahlensystem [1.110] 2 = 0.001 2 Invertierung der einzelnen Bitstellen 0.001 2 + 0.001 2 = 0.010 2 1 am LSB addieren 3.3 Multiplikation Es gibt zwei Arten von gebräuchlichen Multiplikatoren, die sequenziellen und die parallelen Multiplikatoren. Für beide Versionen kann man die Implementierung im negativen Zweierkomplement zeigen. 3.3.1 Booth-Verfahren Die sequenzielle Multiplikation ist im Allgemeinen im Booth-Verfahren (oder im modifizierten Booth-Verfahren) realisiert. Diese werden durch Sequenzen von Additionen, Subtraktionen und Shift- Operationen verwirklicht. Da bereits äquivalente Operationen für Addition und Subtraktion gezeigt wurden, ist das negative Zweierkomplement mit Booth-Verfahren ähnlich dem konventionellen Booth-Verfahren. Der einzige Unterschied sind die vertauschten Additions- und Subtraktionsoperationen. 6
Multiplikator Bits konventionelle Zweierkomplement Bemerkung 00 P = P laufende Folge von Nullen 01 P = P + B Ende einer Folge von Einsen 10 P = P B Anfang einer Folge von Einsen 11 P = P laufende Folge von Einsen Operationen des Booth-Verfahrens im konventionellen Zweierkomplement Multiplikator Bits negative Zweierkomplement Bemerkung 00 P = P laufende Folge von Nullen 01 P = P B Ende einer Folge von Einsen 10 P = P + B Anfang einer Folge von Einsen 11 P = P laufende Folge von Einsen Operationen des Booth-Verfahrens im negativen Zweierkomplement Dies wird am folgenden Beispiel deutlich. Zunächst werden die Operationen anhand der Zweiersequenzen bestimmt: A B = 3 4 5 8 = 1.010 1.0110 1.0110 Addieren und Shift 1.0110 No-OP und Shift 1.0110 Subtrahieren und Shift 1.0110 Addieren (und Shift) Danach müssen die einzelnen Arbeitsschritte des Multiplikators betrachtet werden. Mit Hilfe der einzelnen Additions-, Subtraktions- und Shift-Operationen wird aus dem Multiplikand und dem Multiplikator das Produkt errechnet: Initialisierung P = 0 0.000 10: ADD A 1.010 1.010 Shift P 1.1010 11: No-OP 1.1010 Shift P 1.11010 01: SUB A 0.110 0.10010 Shift P 0.010010 10: ADD A 1.010 No-Shift 1.100010 Dies soll als Nachweis der sequentiellen Multiplikation im negativen Zweierkomplements genügen. 7
3.3.2 Baugh-Wooly-Verfahren Die parallelen Multiplizierer hingegen werden durch eine die modifizierte Variante des Baugh-Wooly-Verfahrens. Es werden dabei Regeln zur Vereinfachung des Multiplikationsschemas angewandt 2. Daraus ergibt sich folgendes Bild: Zweierkomplement Baugh- Wooly- Multiplizierer A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0 B 5 B 4 B 3 B 2 B 1 B 0 A 5 B 0 A 4 B 0 A 3 B 0 A 2 B 0 A 1 B 0 A 0 B 0 A 5 B 1 A 4 B 1 A 3 B 1 A 2 B 1 A 1 B 1 A 0 B 1 A 5 B 2 A 4 B 2 A 3 B 2 A 2 B 2 A 1 B 2 A 0 B 2 A 5 B 3 A 4 B 3 A 3 B 3 A 2 B 3 A 1 B 3 A 0 B 3 A 5 B 4 A 4 B 4 A 3 B 4 A 2 B 4 A 1 B 4 A 0 B 4 A 5 B 5 A 4 B 5 A 3 B 5 A 2 B 5 A 1 B 5 A 0 B 5 P 10 P 9 P 8 P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 Änlich wie bei den Seriellen Multiplizierern wird die Umwandlung in das negative Zweierkomplement nur durch eine Vertauschung der Vorzeichen erreicht. Der daraus resultierende Multiplizier sieht dann folgendermaßen aus: Negatives Zweierkomplement Baugh- Wooly- Multiplizierer A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0 B 5 B 4 B 3 B 2 B 1 B 0 A 5 B 0 A 4 B 0 A 3 B 0 A 2 B 0 A 1 B 0 A 0 B 0 A 5 B 1 A 4 B 1 A 3 B 1 A 2 B 1 A 1 B 1 A 0 B 1 A 5 B 2 A 4 B 2 A 3 B 2 A 2 B 2 A 1 B 2 A 0 B 2 A 5 B 3 A 4 B 3 A 3 B 3 A 2 B 3 A 1 B 3 A 0 B 3 A 5 B 4 A 4 B 4 A 3 B 4 A 2 B 4 A 1 B 4 A 0 B 4 A 5 B 5 A 4 B 5 A 3 B 5 A 2 B 5 A 1 B 5 A 0 B 5 P 10 P 9 P 8 P 7 P 6 P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 P 0 2 vgl. http://www2.informatik.uni-jena.de/~nez/rechnerarithmetik_5/folien/ Rechnerarithmetik.2008.16.handout.pdf S. 18ff. 8
Anhand eines 4 Bit Multiplizierers kann man die Funktionalität verdeutlichen: 3 4 1. 0 1 0 5 8 1. 0 1 1 1. 1 0 1 1. 1 0 1 0. 1 1 1 0. 0 1 0. 1 1 1 1 15 32 = 1. 1 0 0 0 1 0 4 Zusammenfassung Im Kapitel»Einleitung«wurde beschrieben, dass besonders in der digitalen Signalverarbeitung der Wert 1 benötigt wird. Swartzlander (vgl. Swartzlander 2007) stellt diese Zahl durch sein negatives Zweierkomplement zur Verfügung, jedoch ist in diesem Zahlensystem der Wert 1 nicht verfügbar. Dies würde bedeuten, dass jedes Mal, wenn in einer Rechnung der Wert 1 oder 1 benötigt wird, die erforderlichen Zahlen in das jeweilige Zahlensystem umgewandelt werden müssen. Und somit ist das negative Zweierkomplement nur dann sinnvoll, wenn die 1 häufiger benötigt wird als die 1. 9
5 Literaturverzeichnis 1. Swartzlander, E.: The Negative Two?s Complement Number System. Austin 2007 2. Zehendner, E.: Rechnerarithmetik. Jena 2008 3. http://wapedia.mobi/de/zweierkomplement 10