Einfühung in die Physik I Dynmik des Mssenpunkts (4) O. von de Lühe und U. Lndgf Gvittion Die Gvittionswechselwikung ist eine de fundmentlen Käfte in de Physik m 1 m Sie wikt zwischen zwei Mssen m 1 und m, die sich im Abstnd voneinnde befinden, nziehend Gefunden im Jhe 1665 von Si Isc Newton F m1 m G Univeselle Gvittionskonstnte G G 6.67 10 11 [N m kg - ] Zentlkft Dynmik des Mssenpunkts 4 1
1. 10 8 Gvittionskft 1.10 9 1 kg 1 kg Kft F [N] 1.10 10 1.10 11 1. 10 1 1.10 13 0.1 1 10 100 Abstnd [m] Dynmik des Mssenpunkts 4 3 Gvittionsbeschleunigung de Ede Köpe umkeisen die Ede uf nnähend keisfömigen Bhnen (Keisbewegung) Die in einem konstnten Abstnd vom Edmittelpunkt usgeübte Schwekft bewikt eine konstnte Beschleunigung G, welche von de Zentipetlbeschleunigung Z genu ufgehoben wid Die Beschleunigung nimmt mit zunehmenden Abstnd b Objekt Obefläche Abstnd [km] 6.370 Peiode [s] 5.063 G Keisfequenz [s -1 ] Z ω 1.4 10-3 Beschleunigung [m s - ] 9.81 Geosttionäe Stellit 4.160 86.400 (1 Tg) 7.7 10-5 0.3 Edmond 384.400.360.000 (7 Tge).66 10-6 0.0073 Dynmik des Mssenpunkts 4 4
100 Gvittionsbeschleunigung de Ede 10 Edobefläche Beschleunigung [m s^-] 1 0.1 0.01 Geosttionäe Stellit Mond 1. 10 3 1. 10 3 1. 10 4 1. 10 5 1. 10 6 Abstnd vom Edmittelpunkt [km] Dynmik des Mssenpunkts 4 5 Eigenschften de Gvittion Nch bisheigen Ekenntnissen gilt ds 1/ Abstndsgesetz übe einen Beeich von wenigen Meten bis zu kosmischen Distnzen Die Newton sche Theoie de Gvittion ist 1916 von Albet Einstein im Rhmen de llgemeinen Reltivitätstheoie eheblich eweitet woden geinge Abhängigkeit von Reltivgeschwindigkeit und Rottion in Extemfällen Es sind keine Stoffe beknnt, die Gvittion bschimen können Die Gvittion ist die schwächste de physiklischen Fundmentlkäfte Die elektosttische Anziehung zwischen Potonen und Elektonen ist 10 40 göße ls ihe Schwekft Die Gvittion wikt be usschließlich nziehend (keine negtiven Mssen) und knn dhe nicht neutlisiet weden Die Gvittion ist dhe die stäkste Kft, die übe kosmische Distnzen wikt Dynmik des Mssenpunkts 4 6 3
Gvittionsfeld und Potentil Eine Msse m gibt Anlss zu einem Gvittionskftfeld, welches mit eine Pobemsse m p untesucht weden knn Fp mp Feldstäke g des Gvittionsfeldes Wegen des Äquivlenzpinzips (täge Msse schwee Msse) ist die Feldstäke unbhängig vom Pobeköpe g m m p Dynmik des Mssenpunkts 4 7 Gvittionsfeld und Potentil Ds Gvittionsfeld eine Punktmsse ist konsevtiv es gibt ein Potentil Fü seh goße Entfenungen wid ds Potentil konstnt Veeinbung: Nullpunkt de potentiellen Enegie eine Pobemsse m p ist im Unendlichen Kft wid im Unendlichen Null Potentielle Enegie ist fü endliche Abstände negtiv Potentil ϕ() Feldstäken E ϕ F g pot () () F( ) d mp d mp E ϕ ( ) pot ( ) () () Dynmik des Mssenpunkts 4 8 4
Gezeiten Punktmssen sind eine Idelisieung, ele Mssenveteilungen usgedehnt Gvittionsfeld wid dduch komplexe, be imme konsevtiv es gibt imme ein Potentil Ausgedehnte Köpe efhen in einem Gvittionsfeld Gezeitenkäfte Gez G m Mond ( ± ) E 1 G m M Mond M 1 1 ± G m Mond E G mmond E 1 1 3 m Dynmik des Mssenpunkts 4 M m M M 9 M Gethsen Physik 1 E M 1 enbhnen Die Bewegung zweie Mssen im gemeinsmen Gvittionsfeld knn mthemtisch geschlossen beschieben weden ( Zweiköpepoblem ) Ds beste Beispiel fü ein Zweiköpepoblem stellt de Umluf eines en um die Sonne d. Dbei knn de Einfluss de Schwekft ndee en zunächst venchlässigt weden Johnnes Keple (1571-1630) ht mithilfe umfngeiche Beobchtungen von Tycho Bhe die dei Kepleschen Gesetze (1609 und 1619), welche die Dynmik de en umfssend bescheiben Isc Newton fomuliete späte (1687) die Axiome de Mechnik und ds Gvittionsgesetz, welche eine Vellgemeineung de kepleschen Gesetze dstellen Dynmik des Mssenpunkts 4 10 5
enbhnen 1. Keplesches Gesetz: Die en bewegen sich uf Ellipsen. Die Sonne befindet sich in einem de Bennpunkte.. Keplesches Gesetz: Die Vebindungslinie Sonne- übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Keplesches Gesetz: Die Qudte de Umlufzeiten veschiedene en vehlten sich wie die Kuben ihe goßen Bhnchsen. Ds. Keplesche Gesetz ist eine diekte Folge de Ehltung des Dehimpulses Ds 1. und 3. Keplesche Gesetz folgen us de Eigenschft de Gvittion, eine Zentlkft mit einem 1/ Abstndsgesetz zu sein Dynmik des Mssenpunkts 4 11 enbhnen Ellipsen Ellipsen Goße Hlbchse, kleine Hlbchse b Abstnd Mittelpunkt-Bennpunkt e Exzentizität ε Wähle den Bennpunkt, in dem sich die Sonne befindet, ls Uspung des Koodintensystems Die Bewegung findet in eine Ebene sttt, die senkecht zum Dehimpulsvekto steht Dstellung in Polkoodinten (,ϕ), welche dem Poblem besse ngepsst sind ( 1 ε cosϕ ) e b e ε + ϕ b b e (Definition) Dynmik des Mssenpunkts 4 1 6
enbhnen. Keplesches Gesetz Ot des en: ϕ Geschwindigkeit v & des en: v vϕ & ϕ ϕ v Dehimpulsbetg: L m v m & ϕ konstnt ϕ In de Zeit Δt von de Vebindungslinie übestichene Fläche (Δt klein) t+δt 1 A m v dt t A 1 L konstnt Δt 1 m v Δt 1 L Δt Dynmik des Mssenpunkts 4 13 enbhnen Mn knn zeigen, dss Lösungen fü die Bewegungen im Gvittionsfeld (eine Punktmsse) Kegelschnitte sind p 1+ ecosϕ Allgemeine Zusmmenhng zwischen und ϕ p At de Bhn: Keis: e 0, p Ellipse: 0 < e < 1, p b / Pbel: e 1, p bestimmt Öffnung Hypebel: e > 1, p b / b Pbel Hypebel Dynmik des Mssenpunkts 4 14 7
enbhnen Gesmtenegie E (kinetische plus potentielle Enegie) bleibt ehlten Potentielle Enegie ist imme negtiv Gesmtenegie E < 0: Keisbhnen (hohe Dehimpuls) Elliptische Bhnen Bhnen sind geschlossen en, Monde Gesmtenegie E 0 Pbelbhnen Kometen Gesmtenegie E > 0 Hypebelbhnen Kometen E > 0 E 0 E < 0 E E Kin + E Pot 0 m EPot G Dynmik des Mssenpunkts 4 15 enbhnen 3. Keplesches Gesetz Die Bhnen de en sind in gute Näheung Keisbhnen Exzentizität ε 0.05 fü lle en uße Meku Gvittionsbeschleunigung unbhängig von enmssen lle kleine ls 0.001 m Sonne Gvittionsbeschleunigung G und Zentipetlbeschleunigung Z sind gleich goß Ds Vehältnis von Qudt de Umlufzeit T und de ditten Potenz des Rdius de enbhn hängt nu von konstnten Gößen b G Z m G ω 4π G m Sonne Sonne π T T 3 π T m G Sonne konstnt Dynmik des Mssenpunkts 4 16 8
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