Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 1 2 - Konvergenz Limes Definition 2.1 (Folgenkonvergenz) Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen, wenn es zu jeder positiven Zahl ein gibt, so dass gilt: Die Zahl heißt dann Grenzwert oder Limes der Folge. Wir schreiben: oder für sagen strebt/ i Wir nennen Folgen, die gegen 0 konvergieren Nullfolgen Eine Folge, die nicht konvergiert, nennen wir divergent. Vielen Studenten erscheint die Definition der Folgenkonvergenz auf den ersten Blick übermäßig kryptisch. Sie betrachten oft nur den kompletten mathematischen Ausdruck auf einmal lassen sich dabei von den vielen Zeichen Variablen einschüchtern. Es hilft, Schritt für Schritt vorzugehen den kompletten Ausdruck auszuformulieren: Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen einen bestimmten Wert aus dem komplexen Zahlenbereich, wenn man zu jeder positiven Zahl ein, welches eine natürliche Zahl darstellt, findet, für dass folgende Beziehung gilt: Der Betrag aus der Differenz zwischen dem ten Folgenglied (das ist allgemeine Abbildung der Folge) dem Grenzwert ist kleiner als dieses. Diese Aussage muss für alle größer gelten. Man sucht also ein positives, bei dem der Abstand zwischen Grenzwert Folgenglieder ab einem gewissen, also ab einem gewissen Folgenglied immer kleiner als dieses ist. heißt dabei Fehlerschranke, weil es den Bereich angibt, in dem ab einem bestimmten Folgenglied sich sämtliche andere Glieder befinden müssen. Der Grenzwert befindet sich in genau dieser Fehlerschranke man sagt, sollten die beschriebenen Bedingungen erfüllt sein, dass die Folgen gegen diesen Wert konvergiert. nennt man in diesem Fall auch Limes der Folge es gelten die bei beschriebenen lim-notationen. Konvergiert die Folge gegen 0, so wird sie Nullfolge genannt konvergiert sie gar nicht, so heißt sie divergente Folge. Nach einem langen Text ein kleines Schaubild zur Verdeutlichung für eine reelle Folge (analog kann man das natürlich auch auf der Gaus`schen Zahlenebene zeigen): Der rote Punkt ist unser Grenzwert die geschweiften Klammern die Fehlerschranke um. Es befinden sich zwar einige Folgenglieder außerhalb der geschweiften Klammern, jedoch ist dies irrelevant. Wichtig ist nur, dass ab einem gewissen alle nachfolgenden Glieder innerhalb der Fehlerschranke vorkommen, was in diesem Fall angenommen wird. Bemerkung 2.1 (Veranschaulichung von ) Gibt man eine Fehlerschranke vor, dann sind alle Folgenglieder nach der Nummer weniger als vom Grenzwert entfernt. Im Allgemeinen gilt: Je kleiner vorgegeben wurde, umso größer muss die Nummer sein. Die Bemerkung fasst das zusammen, was dem vorhergehenden Text dem Schaubild erklärt wurde. Als kleiner Zusatz wird eine Beziehung zwischen dargestellt. Diese gilt zwar im Allgemeinen, aber es kann durchaus Ausnahmen geben. Die Überlegung ist folgende: Wählt man eine möglichst geringe Fehlerschranke, so müssen die Ausschläge innerhalb der Folge immer geringer ausfallen, was eine Gültigkeit für sämtliche folgenden Glieder immer unwahrscheinlich macht. Dadurch verschiebt sich das immer weiter
Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 2 Glieder immer unwahrscheinlich macht. Dadurch verschiebt sich das steigt kleiner werdendem. immer weiter Beispiel 2.1 Gegeben sei eine konstante Folge Behauptung: konstante Folgen sind konvergent Beweis: Sei beliebig, dann gilt für : Behauptung: Beweis: Sei beliebig, dann gilt für : In diesen Beispielen sind wir auf "raten" angewiesen. Man berechnet am Besten die Fehlerschranke lässt das zunächst unbekannt. Hat man die Fehlerschranke berechnet, so lässt sich ein passendes abschätzen. Alternativ kann ein erraten werden, um dann zu beweisen, dass die Reihe konvergiert. Satz 2.2 (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Sei eine konvergente Folge, dann ist der Grenzwert eindeutig. Hat man erstmal einen Grenzwert gefen, so weiß man gleichzeitig, dass es keinen zweiten geben kann. Diese Aussage sollte eigentlich logisch anmuten, da die Folge gegen einen bestimmten Punkt konvergiert nicht gegen zwei. Dennoch darf der Beweis auch hier nicht fehlen: Beweis 2.2 (Eindeutigkeit des Grenzwertes) Sei Sei auch beliebig, dann gibt es ein Außerdem gibt es ein Wähle nun }, dann gilt Zunächst haben wir die Existenz zweier Grenzwerte für eine einzige Folge angenommen. Für beide Grenzwerte haben wir die Definition zu Rate gezogen diese jeweils
Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 3 Für beide Grenzwerte haben wir die Definition zu Rate gezogen diese jeweils eingesetzt. Daraufhin betrachteten wir das größere, der beiden, da wir die Grenzwerte einander vergleichen konnten, schließlich gilt die Konvergenz erst ab dem größten der beiden. Die weitere Rechnung wird genau wie bei der Betrachtung der einzelnen Grenzwerte fortgeführt, woraufhin wir feststellen, dass die Fehlerschranke negativ sein müsste, um diese Bedingung zu erfüllen, woraus folgt, dass die Grenzwerte identisch sind. Wir wollen nun eine weitere Eigenschaft von konvergenten Folgen betrachten: Satz 2.3 (Beschränktheit von konvergenten Folgen) Jede konvergente Folge ist beschränkt Beschränktheit für konvergente Folgen ist, wie wir noch sehen werden ein wichtiges Kriterium, welches uns noch in diversen Beweisen begegnen wird. Doch zunächst muss dieses Satz bewiesen werden. Beweis 2.3 (Beschränktheit von konvergenten Folgen) zu zeigen: Sei hierzu die konvergente Folge, dann gibt es für alle insbesondere für ein Definiere nun dann gilt Um Beschränktheit zu beweisen, müssen wir zeigen, dass es einen Wert k gibt, der die Folge (bzw. ihren Betrag) eingrenzt. Je nachdem ob die Folge reell oder komplex ist, stellt dieses k Intervallgrenzen oder einen Kreis dar. Wir nehmen zunächst die Grvorraussetzung für den Satz an: Es existiert eine konvergente Folge, die gegen einen Wert konvergiert. Wir nehmen uns fortan die Definition der Konvergenz zur Hilfe (2.1 i + Erklärung) lösen die Ungleichung für tels einiger algebraischer Umformungen (s. Kapitel 1.7 Ungleichungen Betrag). [???] Um den Grenzwert komplizierterer Folgen zu bestimmen ist es hilfreich, den Grenzwert der geometrischen Folge zu kennen, da diese sich oftmals auf einfachere Folgen bzw. im speziellen auf die geometrische Folge zurückführen lassen. Bemerkung 2.4 (Grenzwert der geometrischen Folge) divergent, wenn Steigt der Exponent ist die Basis kleiner als 1, so sinkt das Ergebnis steigendem Exponenten, da die Multiplikation zweier Zahlen kleiner 0 immer eine noch kleinere Zahl gibt. Lässt man n gegen unendlich laufen, so wird diese Multiplikation unendlich oft durchgeführt das Ergebnis geht so gegen 0. Ist die Basis eins, so ändert auch das Steigungsverhalten des Exponenten nichts, das Ergebnis bleibt immer 1. Ist der Betrag der Basis größer 1, so wird die Zahl durch unendliche Multiplikation immer größer, weswegen die Folge divergiert. Die geometrische Folge ist eine wichtige Grfolge, jedoch reicht sie alleine meist nicht
Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 4 Die geometrische Folge ist eine wichtige Grfolge, jedoch reicht sie alleine meist nicht aus, um spezielle Grenzwerte zu bestimmen. Die Tatsache, dass sich Folgen ihren Grenzwerten rechnen lässt, wie nachfolgend gezeigt wird, liefert uns hierbei das nötige Rüstzeug für die Grenzwertbestimmung. Satz 2.5 (Rechenegeln für konvergente Folgen) Seien komplexe Folgen, dann gilt: i Seien weiter komplexe Folgen, dann gilt: v) v Ist beschränkt, so ist eine Nullfolge Gilt, so ist auch eine Nullfolge Beweis 2.5 (Rechenegeln für konvergente Folgen) Fall 1: Fall 2: Sei beliebig, dann, so dass gilt: Sei beliebig, dann, i z. z., also v) beschränkt, d. h. d. h. also
Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 5 also v, d. h.