I. Mechanik Die Lehre von den Bewegungen und den Kräften I.1 Kinematik Die Lehre von den Bewegungen Physik für Mediziner 1
Mechanik I: Bewegung in einer Dimension Idealisierung: Massenpunkt ( Punktmasse) punktförmiges Objekt mit Masse m Zunächst Betrachtung der Bewegung ohne Diskussion ihrer Ursache: Kinematik Beschreibung der Bewegung des Massepunkts durch Weg-Zeit Funktion x(t) in einer Dimension: Beispiel im Experiment: Luftkissenbahn: Ausschaltung der Reibung x(t) Δx Luftkissenbahn: gleichförmige Bewegung Δt t in gleichgroßen Zeitintervallen werden gleichgroße Strecken zurückgelegt: gleichförmige Bewegung; Weg-Zeit-Funktion ist eine Gerade Physik für Mediziner t
Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit Durchschnittsgeschwindigkeit Gesamtstrecke Gesamtzeit v Δ x Δ t Wir verwenden das Symbol v ( velocity) für die Geschwindigkeit Die Einheit der Geschwindigkeit ergibt sich aus den Basiseinheiten entsprechend: [v] [x] / [t] > Meter/Sekunde Umrechnung von Einheiten Michael Schumacher fährt kurz vor Erreichen des Ziels mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 360 km/h. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit in SI-Einheiten? 360 km h 1000 m 360 60 60s 1000m 360 3600s m 100 s Physik für Mediziner 3
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für gleichförmige Bewegung v Δ x Δ t 10m 1s m 10 s Geschwindigkeit (m/s) Zeit (s) Physik für Mediziner 4
Beschreibung von Bewegungen Fußgänger geht mit konstanter Geschwindigkeit auf rote Ampel zu. Nach der Rot-Phase setzt der Fußgänger seinen Weg mit der gleichen Geschwindigkeit fort Weg-Zeit-Diagramm Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm 180m v 3min 180m 3 60s 180m 180s m 1 s Physik für Mediziner 5
Beispiele für Geschwindigkeiten Physik für Mediziner 6
Momentangeschwindigkeit als Vektor Momentangeschwindigkeit: gegeben durch den Differentialquotienten des Weges nach der Zeit: v lim Δt 0 Δx Δt Das Zeitintervall Δt und damit auch die zurückgelegte Strecke Δx werden immer kleiner gemacht. Physik für Mediziner 7 dx dt Luftkissenbahn: mittlere und momentane Geschwindigkeit Die Geschwindigkeit hat nicht nur einen Betrag sondern auch eine Richtung; d.h. die Geschwindigkeit ist ein Vektor; ein Vektor ist charakterisiert durch seine Länge und seine Richtung im Raum z-achse vvektor: v rer v x,v y, v z r v z r y-achse Betrag: v v v x + v y + v z r r r v x v v e; e 1 x-achse Einheitsvektor e r gibt Richtung im Raum an
Bahnverlauf und Momentangeschwindigkeit r () t Die Bewegung eines Körpers lässt sich vollständig durch den Bahnverlauf als Funktion der Zeit beschreiben. r Ortsvektor: ( t) { x( t),y( t),z( t)} gibt den Ort des Massenpunkts zu jedem Zeitpunkt an. Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 1 am Ort A erhält man, wenn man das Zeitintervall Δt immer kleiner macht, in dem man t r an t r 1heranrückt und damit auch an Die Momentangeschwindigkeit ist ein Vektor tangential zur Trajektorie (Bahnkurve) und zeigt in Bewegungsrichtung. Physik für Mediziner 8
Beschleunigung Eine Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit ändert, heißt beschleunigt Analog zur Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit ist die Durchschnittsbeschleunigung: Änderung der Momentangeschwindigkeit Durchschnittsbeschleunigung r Zeitintervall r Δ v a Δ t Wir verwenden das Symbol a ( acceleration) für die Beschleunigung Die Einheit der Beschleunigung ergibt sich aus den Basiseinheiten entsprechend: [a] [v] / [t] > Meter/Sekunde / Sekunde m/s Analog zur Momentangeschwindigkeit können wir die Momentanbeschleunigung für eine lineare Bewegung entlang der x-achse definieren: a () t lim Δt 0 Physik für Mediziner 9 Δ v Δ t dv dt d dt dx dt d x dt ( t)
Gleichförmig beschleunigte Bewegung: freier Fall Einfachstes Beispiel für Bewegung mit konstanter Beschleunigung Erdbeschleunigung g 9,81 m/s Alle Körper erfahren in der Nähe der Erd- Oberfläche die Erdbeschleunigung; scheinbarer Widerspruch zur Beobachtung manche Materialien fallen schneller als andere freier Fall in Luft und Vakuum Galilei (1564-164) Einfluss des Luftwiderstandes Ergebnis: im Vakuum werden alle Körper unabhängig von ihrer Masse oder Zusammensetzung gleich beschleunigt Physik für Mediziner 10 Pisa
Gleichförmig beschleunigte Bewegung freier Fall Direkte Vermessung der Flugbahn eines Objekts mit Kamera und Rechner in Echtzeit Beschleunigung-Zeit- Diagramm Geschwindigkeit-Zeit- Diagramm Weg-Zeit- Diagramm Luftschiene: gleichförmig beschleunigte Bewegung 1 Für x 0 0 und v 0 0: x() t a t bei Ver-4-Fachung des Wegs doppelte Zeit Physik für Mediziner 11
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung konstante Beschleunigung a Geschwindigkeit wächst proportional mit der Zeit Weg wächst proportional zum Quadrat der Zeit Anfangsbedingungen Zur Zeit t0 hat der Körper eine Geschwindigkeit v 0 und befindet sich am Ort x 0 a const v(t) a t + v 0 Beschleunigungs-Zeit- Beziehung. Geschwindigkeits-Zeit- Beziehung x(t) ½ a t + v 0 t+x 0 Weg-Zeit-Beziehung Physik für Mediziner 1
Mathematischer Exkurs Kennen wir die Weg-Zeit-Beziehung, so ergibt sich daraus die Geschwindigkeits Zeit-Beziehung als erste Ableitung und die Beschleunigungs Zeit-Beziehung als zweite Ableitung Differenzieren von f(t) df f (t) const 0; dt df f (t) t 1; dt df f(t) t t; dt v d dt d dt d dt allgemein: f(t) Weg-Zeit-Beziehung () t ( x() t ) x + v t + a 1 0 0 t (n 1) Physik für Mediziner 13 d dt t n d dt df dt n t d 1 dt ( x ) + ( v t) + a 0 0 t 1 0 + v0 + a t v0 + a t Geschwindigkeits-Zeit-Beziehung d d d v() t v0 + a t ( v0 ) + ( a t) 0 + a a dt dt dt Beschleunigungs-Zeit-Beziehung ( ) ( )
Rechen-Beispiel zum freien Fall Eine Münze wird von einem Hochhaus aus 40.50 m Höhe geworfen Wie lange dauert es, bis die Münze auf dem Boden auftrifft? Anfangsbedingungen: x(t0) 40.50 m; v(t0) 0; x 1 x Auflösen nach t : t ; g () t g t t x g t 40,50m m 9,81 s 49,0s 7,0s Wie schnell ist die Münze beim Auftreffen auf dem Boden? m m v(t) g t; t 7 s; v(t 7s) 9,81 7 s 68,7 s s Resultat: Werfen Sie keine Münze aus einem Hochhaus; das Ergebnis könnte unangenehm sein!! Physik für Mediziner 14
Bewegungen in mehreren Dimensionen Um Bewegungsvorgänge in oder 3 Dimensionen zu beschreiben, reicht die Angabe einer Zahl zur Charakterisierung von Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung offensichtlich nicht aus Im Gegensatz hierzu kann man die Masse eines Objekts auch in drei Dimensionen durch eine einzige Zahl angeben Wir unterscheiden daher in der Physik skalare Größen, die wie z.b. die Masse durch Angabe einer Zahl (und Maßeinheit) definiert sind; vektorielle Größen, die zusätzlich eine Richtungsinformation enthalten Ein Vektor ist charakterisiert durch seine Länge und seine Richtung im Raum z.b. Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung Mathematisch kann dies z.b. durch Angabe von 3 Komponenten in einem kartesischen r Koordinatensystem geschehen: z.b. Ortsvektor: { x,y, z} r Geschwindigkeitsvektor: v v,v, v { } x Physik für Mediziner 15 y z
Rechenregeln für Vektoren Ein Vektor ist nur durch Länge und Richtung bestimmt Alle diese Vektoren sind identisch! Zwei Vektoren werden addiert, indem man die Komponenten der beiden Vektoren addiert Beispiel: r v 1 r v m m m 3, 7,1 s s s m m m 4,8, 19 s s s r r m m m + v 1,1, s s s v1 Physik für Mediziner 16
Addition: Geometrische Bedeutung der Vektoraddition r a + b r Verschieben von b r an die Spitze von a r Subtraktion: r a b r r r b b Richtungsumkehr Physik für Mediziner 17
Addition von Geschwindigkeiten Geschwindigkeiten addieren sich wie Vektoren Fluss v r s v r 1 v r B v r s Boot v r s Boot möchte mit Geschwindigkeit v r 1 den Fluss überqueren, wird jedoch von Strömungsgeschwindigkeit v r abgetrieben Boot vollführt Bewegung rmit Richtung r r und Betrag der Gesamtgeschwindigkeit vb v1 + vs Ermittlung zeichnerisch: v r s an Spitze von v r 1 anlegen; Vektoren dürfen verschoben werden, wenn man die Richtung beibehält!! Überlagerung gleichförmiger Bewegungen Physik für Mediziner 18 s
Wurfbewegungen Wie weit schießt unser Geschütz?? Physik für Mediziner 19
Wurfbewegungen (in Dimensionen) Wird ein Körper auf der Erdoberfläche in eine bestimmte Richtung geworfen, so überlagert sich diese Bewegung mit der Fallbewegung; y Anfangsgeschwindigkeit des Pfeils v r 0 (Abwurfwinkel θ) : v0y v0 sin θ r θ v P { v 0x, v 0y } { v0 cos θ,v 0 sinθ} x v0x v0 cos θ v g t; v 0 r 0, Fallbewegung: freier Fall in y-richtung: { gt} Fy Fx Überlagerung der Bewegungen: die Bewegungen in beiden Dimensionen (x-, y- Richtung) addieren sich unabhängig: - horizontal (entlang x-achse): gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit: v cosθ v0x 0 - vertikal (entlang y-achse): Überlagerung von gleichförmiger Bewegung v0y v0 sinθ mit gleichmäßig beschleunigter Bewegung: v y g t mit g 9,81 m/s: r r r v + v v,v g t v cos θ,v sinθ g t { } { } v P F 0x 0y 0 0 Physik für Mediziner 0 v r 0 v F v r v r F
Wurfparabel Luftreibung und Erdrotation vernachlässigt!! Ergebnis der Überlagerung: Wurfparabel Wurfparabel: Wasserstrahl Wurfbeginn bei tt 0 maximale Höhe bei t t 1 Wurf-Ende bei t t gesuchte Größen: - Flugzeit t - maximale Flughöhe h - Flugweite d - optimaler Abwurfwinkel Physik für Mediziner 1
Beschleunigung: a y -g a x 0 Berechnung der Wurfparabel Anfangsgeschwindigkeit: v 0x v 0 cos θ; v 0y v 0 sin θ keine Beschleunigung in x-richtung: v x (t) v 0x v 0 cos θ konstant Die y-komponente der Geschwindigkeit ist zeitabhängig: v y (t) v 0y -gt der Ort des Objekts ändert sich entsprechend: x(t) v 0x t; y(t) v 0y t ½ gt die Flugzeit t finden wir, indem wir y(t)0 setzen und nach t auflösen: t v 0y /g die Reichweite ist dann d v 0x t v 0x v 0y /g der Zeitpunkt t 1 der maximalen Höhe ergibt sich aus der Bedingung v y (t)0: t 1 v 0y /g die maximale Höhe h ist dann h y(t 1 ) ½ v 0y /g Physik für Mediziner
Allgemeine Gleichung für die Wurfparabel Wir gehen aus von den zeitabhängigen Beziehungen x(t) v 0x t y(t) v 0y t ½ gt Wir eliminieren t und erhalten eine Beziehung zwischen y und x y v v 0y 0x x 1 v g 0x x Physik für Mediziner 3
Optimaler Abwurfwinkel für maximale Reichweite d x max v 0x v 0y /g v 0x v 0 cosθ v 0y v 0 sinθ d v 0 /g cos θ sin θ Winkelfunktionstheorem: cosθ sinθ sin θ d v 0 /g sin θ Wurfparabel: Wasserstrahl: verschiedene θ maximale Reichweite für sin θ 1; d.h. θ 90 0 optimaler Abflugwinkel: θ 45 0 Physik für Mediziner 4
Überlagerung unabhängiger Bewegungen: der Bärenschuss der Bär fällt gleichzeitig mit dem Pfeil Unabhängige Überlagerung der horizontalen Pfeilbewegung mit konstanter Geschwindigkeit der vertikalen Pfeilbewegung (freier Fall) Bärenschuss Resultat: zielt der Pfeil vor dem Abschuss auf den Bär, so wird er in jedem Fall getroffen die Pfeilspannung entscheidet nur darüber, in welcher Höhe der Treffer erfolgt Physik für Mediziner 5
Kreisbewegung Der Punkt r 0 im Ortsraum kann durch die kartesischen Koordinaten (x 0,y 0 ) oder durch die Polarkoordinaten (r 0,ϕ 0 ) beschrieben werden. r 0 : Länge (Betrag) des Ortvektors r 0 ϕ 0 :Winkel zwischen Ortsvektor und x-achse Umrechnung zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten: x r cos r r x + y 0 0 φ0 0 r0 sin φ0 0 0 0 y0 tanφ 0 y x 0 0 ; φ 0 y arctan x 0 0 Physik für Mediziner 6
Zusammenhang: Kreisbewegung trigonometrische Funktion Einheitskreis mit Radius r1 und Umfang π Winkel: Bogenmaß: ϕ in Bruchteilen von π Grad: 0 ϕ 360 0 Die Kreisbewegung ist äquivalent einer zeitlichen harmonischen Schwingung Kreisbewegung: Projektion Physik für Mediziner 7
Kreisbewegung Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω: dφ ω ; φ ω t dt Erinnerung: lineare Bewegung: s v t Der Betrag der Geschwindigkeit ist gegeben durch v ω r Die Richtung der Geschwindigkeit ist nicht konstant. Der Geschwindigkeits- Vektor ist immer tangential zur Kreis- Bahn. Es muss eine Beschleunigung senkrecht zur Geschwindigkeits- Richtung geben, also radial: Der Wert der Radialbeschleunigung ist: v ar ω r r Physik für Mediziner 8
Harmonische Bewegung Harmonische Bewegung als periodische Bewegung in einer Dimension x(t) A sin π Amplitude A Periodendauer: T t T Federpendel mit Videocom Physik für Mediziner 9
Zusammenfasung Bewegungen lassen sich beschreiben durch Angabe von Ortsvektor: r r r dr Geschwindigkeitsvektor: v dt r r r dv d und Beschleunigungsvektor: a dt dt Lineare Bewegung (eindimensional) gleichförmig: x(t) x 0 + v 0 t beschleunigt: x(t) x 0 + v 0 t + ½a t v(t) v 0 + a t Kreisbewegung: φ ω t v ω r v ar r ω r Komplizierte Bewegungsvorgänge lassen sich als Überlagerung unabhängiger Bewegungen entlang der Koordinatenachsen darstellen (Superpositionsprinzip) Beispiele: Wurfparabel, Bärenschuss, Kreisbewegung Physik für Mediziner 30