Kap. 7: Wavelets. Die kontinuierliche Wavelet-Transformation (WT). Diskrete Wavelet-Transformation (DWT) 3. Sh Schnelle Wavelet-Transformation ltt ti (FWT) 4. JPEG000 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I
Wavelets - Grundsätzliches (Wellchen, kleine Welle) Wavelets sind wellenförmige, beschränkte Funktionen, welche außerhalb eines Intervalls verschwinden. Daraus kann eine Basis in L (R) aufgebaut werden. Aus einem Mutterwavelet ψ(t) wird eine ganze Familie von Wavelets durch Skalierung s und Verschiebung u abgeleitet: ψ () t u su, t s ψ = s Wavelets ψ L (R) erfüllen die sogenannte Zulässigkeitsbedingung: ψω ( ) 0 < cψ : = π dω < R ω Daraus ergibt sich die notwendige Bedingung, dass Wavelets mittelwertfrei sind: + ψ () tdt= 0 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I
Mexican-Hat-Wavelet ψ () t t d t / t / ( ) ψ () t = γ e = γ( t ) e dt mit: γ = /4 π 3 Zweite Ableitung des Gauss-Filters H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 3
Frequenz-Analyse Wavelet-Analyse Globale Basisfunktionen. Auflösung nur bzgl. Frequenz. en Geeignet zur Analyse stationärer ti Signale. Multiskalenauflösung bzgl. Ort und Frequenz. Geeignet zur Analyse von instationären Signalen. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 4
Die kontinuierliche Wavelettransformation Hintransformation (Funktion von Translation u und Skalierung s): ) Rücktransformation: f u s = f us, = f t s dt s t u W (, ), ψ () ψ ( ) + + ds f() t = f( u, s) ψ su, () t du C W s ψ 0 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 5
Eigenschaften der kontinuierlichen Wavelettransformation Die kontinuierliche Wavelet-Transformation ist hoch redundant und damit auch sehr aufwendig. Dies zeigt sich in der Tatsache, dass eine eindimensionale Funktion f(t) durch eine zweidimensionale Funktion Wf(u,s) dargestellt wird. Die Funktionenfamilie ψ s,u (t) ist bei kontinuierlicher Parametrisierung lediglich ein Erzeugendensystem und keine Basis in L (R). Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist eine Teilmenge B mit der Eigenschaft, dass jeder Vektor von V sich als Linearkombination aus B darstellen lässt (die Elemente von B spannen den Raum auf). H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 6
Diskrete Wavelet-Basen Eine Entwicklung nach Wavelet-Basen ist eine Möglichkeit der Zerlegung in Bezug auf den Ort und die Frequenz. Wavelet-Basen werden rekursiv abgeleitet. Sie sind damit selbstähnlich und erlauben eine Multiskalen-Analyse (MSA). Damit ist die Wavelet-Transformation im Gegensatz zur Fourier-Transformation (Basisfunktionen erstrecken sich global auf den gesamten Definitionsbereich) insbesondere zur Analyse instationärer Signale und Bilder geeignet. Für leistungsfähige Anwendungen von Wavelets ist eine niedrige Redundanz essentiell. Aus diesem Grunde sind Waveletfamilien, die eine orthogonale Basis bilden, von hohem Interesse. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 7
Die diskrete Wavelettransformation (DWT) Bei der diskreten Wavelettransformation wird die Redundanz und damit auch der Aufwand der kontinuierlichchen WT dadurch verringert, dass man sich auf eine Teilmenge der Wavelets durch eine diskrete Menge von Translationen und Skalierungen (Zweierpotenz-Schritte) reduziert (dyadische Wavelets). Man erhält eine orthogonale Basis, ausgehend von einem Mutterwavelet ψ 00 0,0 (t) : j t k j/ j j ψ jk, () t = ψ0,0 ψ0,0(t- k) j j = j k = 0,,,, H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 8
Haar-Wavelets H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 9
Haar-Wavelets φ () t 0,0 ψ = () 00 0,0 t ψ () t ψ (),0 t = ψ ( t) ψ () t =, ψ (t ) 0 t Das orthonormale und vollständige System der Haar-Wavelets φ0,0 (Skalierungsfunktion/Vater-Wavelet) + für 0 t < ψ ( t) = ψ 0,0( t) = Mutter-Wavelet für t < j/ j j ψ jk, () t = ψ (t- k) j k = 0,,,, H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 0
Haar-Wavelet-Transformation { ψ φ}, spannen den Raum [0, ) auf. Somit ergibt sich für jede jk, L T Funktion f( t) L [0, T) : Synthese f () t = ( wjk, ψ jk, ()) t + c0φ () t j k Analyse T l jk, =< ψ jk, >= ψ 0 jk, w f(), t () t f() t () t dt c 0 =< f(), t φ() t >= f () t φ () t dt T 0 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I
Alternativer ti Zugang zu den Haar-Wavelets Ableitung von dem System der Blockimpulse H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I
Orthonormale Blockimpulse b () t 4, b () t 4 4, 0 t orthonormal nicht vollständig b () t 4,3 b () t 4,4 i i k für k t k bki, ( t) = < < i =,,, k 0 sonst H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 3
Erweitertes System von Blockimpulsen l durch Mutiskalen-Vervollständigung Das System der Blockimpulse kann durch f () t 0,0 t Skalierung und Translation vervollständigt 0 werden. Bei der Erweiterung müssen die f () t, linear abhängigen Terme (gestrichelt) f t eliminiert werden., () f () t nicht orthonormal, vollständig f () t, für = < t < f () t i i,3 k k fki, ( t) 0 sonst f () t,4 i =,,, k = 0 0,,,, k H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 4
Haar-Wavelets durch Gram-Schmidt- Orthonormalisierung der erweiterten Blockimpulse φ () t 0,0 () 00 0,0 t ψ = ψ () t ψ (),0 t ψ ( t) 0 orthonormal und = vollständig t Das erweiterte System der linear unabhängigen Blockimpulse geht durch Gram-Schmidt-Orthonormalisierung auf die orthonormalen Haar-Wavelets über. Sie sind: ψ () t = + für 0 t <, ψ () t = ψ 0,0() t = für t < ψ (t ) j/ j j ψ jk, () t = ψ (t- k) j k = 0,,,, φ 0,0 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 5
Sh Schnelle Wavelet-Transformation ltt ti FWT Die DWT-Matrix ist i.a. nicht dünn besetzt. Somit haben wir die selbe Komplexitätsproblematik zu lösen, wie bei der diskreten Fouriertransformation. Wir lösen es ebenfalls durch Faktorisierung der DWT in ein Produkt von ld N dünn besetzter Matrizen unter Ausnutzung der Selbstähnlichkeit der Wavelets. Daraus resultiert ein Algorithmus von nur linearer Komplexität O(N). Dies ist die von Mallat and Daubechies definierte schnelle DWT => FWT. Die schnelle Wavelet-Transformation (engl. Fast Wavelet Transform, FWT) kann auch als ein Algorithmus definiert werden, der mit Hilfe der Theorie der Multiskalenanalyse die diskrete Wavelet-Transformation implementiert. Dabei wird das Bilden des inneren Produkts des Signals mit jedem Wavelet durch das sukzessive Zerteilen des Signals in Frequenzbänder ersetzt. Dadurch wird die Komplexität der Wavelet- Transformation von O(N log N) (vgl. schnelle Fourier-Transformation) auf O(N) reduziert. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 6
Sh Schnelle Haar-Wavelet-Transformation ti x x x x x x x x 0 3 4 5 6 7 ½ ½ Die Berechnugskomplexität ist linear! x x 0 x x x x x x 3 4 5 6 7 + + + + + + + + + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 HWT8 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a c (a-b)c b n N + N / + N /4+ + = N = ( N ) = O( N) i mit: N = n i= 0 a b c (a+b)c H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 7
Faktorisierung der Haar-Wavelet- Transformation HWT = HWT HWT HWT (3) () () 8 8 8 8 + + + + + + + + + + + + 0 0 0 0 = 0 0 0 0 HWT 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HWT (3) 8 + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HWT () 8 + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 HWT () 8 + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + 0 0 0 0 + + 0 0 0 0 0 0 0 0 + + = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 8
Wit Weitere Wavelet lt-bi Beispiele il Daubechies 6 Daubechies 8 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 9
Shannon Wavelets The Shannon s aperture function is: Shannon ψ jk, ( x ) = sinc ( x) sinc ( x). Theorem: Shannon ψ j,k ( x) { ψ Shannon j,k ( x ) : j, k Z } is an orthonormal lbasis of fl (R). H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 0
Filterklasse Skalierungs- Funktion φ Wavelets ψ Beschreibung Haar Einfachste Filterklasse, Mittelwert- t und Differenzfilter CloseToCoiflet Coiflet Frühe Waveletklasse, entwickelt von R.Coifman Daubechies nicht symmetrisch, streng orthogonal, strenger "compact support", selbstähnlich Johnston- Barnard Biorthogonal-Spline symmetrisch, werden aus Binomialkoeffizienten berechnet H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I
Zweidimensionale i Wavelets mit separierbarem Kern Zweidimensionale Waveletbasen können durch das kartesische Produkt eindimensionaler Waveletbasen erzeugt werden: ψ ( t, t ) = ψ ( t ) ψ ( t ) jk, j k H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 3
JPEG 000 Nachfolgestandard von JPEG Bessere Bildqualität, insbes. bei mittleren und hh hohen Kompressionsraten Wavelets (DWT) anstatt DCT (Die Wavelet-Transformation wird auf das ganze Bild angewendet und nicht nur auf Teilbilder der Größe 8 8, damit Wegfall der Block-Effekte) H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 4
Original JPEG 0,5 Bit/pixel MSE: 74 JPEG000 0,5 Bit/pixel MSE: 37,4 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 5
Original JPEG 0,3 Bit/pixel MSE: 50 JPEG000 0,3 Bit/pixel MSE: 73 H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 6