KAPITEL 8. Interpolation

KAPITEL 8. Interpolation 8.2 Lagrange-Interpolationsaufgabe für Polynome Wir beschränken uns auf die Lagrange-Interpolation mit Polynomen. Der Raum der Polynome vom Grad n: Stützstellen: Π n = { n j=0 a j x j a 0,..., a n R } x 0 < x 1 <... < x n Aufgabe 8.2 (Lagrange-Polynominterpolation). Finde zu Daten f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x n ) ein Polynom P n Π n mit P n (x j ) = f(x j ), j = 0,1,..., n. Dahmen-Reusken Kapitel 8 1

8.2.1 Existenz-Eindeutigkeit Lagrange-Polynominterpolation Satz 8.3. Das Lagrange-Interpolationsproblem ist stets eindeutig lösbar, d.h., zu beliebigen Daten f(x 0 ), f(x 1 ),..., f(x n ) existiert ein eindeutiges Polynom P n Π n mit P n (x j ) = f(x j ), j = 0,..., n. Insbesondere läßt sich P n (x) explizit in der Form darstellen, wobei P n (x) = l jn (x) = n j=0 f(x j )l jn (x) n k=0 k j x x k x j x k die sogenannten Lagrange-Fundamentalpolynome sind. Dahmen-Reusken Kapitel 8 2

Das eindeutige Lagrange-Interpolationspolynom P n Π n der Funktion f an den Stützstellen x 0,..., x n wird mit bezeichnet. P n =: P(f x 0,..., x n ) Die Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms werden wir des öfteren in folgender Form verwenden: Für jedes Polynom Q Π n und beliebige Stützstellen x 0 < < x n gilt P(Q x 0,..., x n ) = Q, da sich ja Q insbesondere selbst interpoliert und wegen der Eindeutigkeit damit gleich dem Interpolationspolynom sein muß. Dahmen-Reusken Kapitel 8 3

Für den Fall äquidistanter Stützstellen x j = x 0 + jh, j = 0,1,..., n ˆl jn (t) := l jn (x 0 + th) = = n k=0 k j n k=0 k j x 0 + th (x 0 + kh) x 0 + jh (x 0 + kh) (t k) (j k) = ( 1)n j j!(n j)! n k=0 k j (t k). 1.2 1 j=1 0.8 j=2 j=3 0.6 0.4 j=0 j=4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Dahmen-Reusken Kapitel 8 4

Auswertung des Interpolationspolynoms an einer oder wenigen Stel Ausgangspunkt: die Darstellung der interpolierenden Geraden als Konvexkombination der beiden Punkte P(f x 0, x 1 )(x) = x x 0 x 1 x 0 f(x 1 ) + x 1 x x 1 x 0 f(x 0 ). Verallgemeinerung hiervon: Lemma 8.6 (Aitken). Man hat P(f x 0,..., x n )(x) = x x 0 x n x 0 P(f x 1,..., x n )(x) + x n x x n x 0 P(f x 0,..., x n 1 )(x), d.h., die Interpolierende an den Stellen x 0,..., x n ist eine Konvexkombination der Interpolierenden niedrigeren Grades an den Teilmengen {x 1,..., x n } und {x 0,..., x n 1 } der Gesamtstützstellenmenge. Dahmen-Reusken Kapitel 8 5

Die Identität führt auf das folgende rekursive Schema. Setze für festes x d.h. speziell Lemma 8.6 besagt dann P i,k = P(f x i k,..., x i )(x), 0 k i n, P n,n = P(f x 0,..., x n )(x), P i,0 = P(f x i )(x) = f(x i ). P i,k = x x i k x i x i k P i,k 1 + x i x x i x i k P i 1,k 1 = P i,k 1 + x x i x i x i k (P i,k 1 P i 1,k 1 ). Dahmen-Reusken Kapitel 8 6

Neville-Aitken-Schema: P i,0 P i,1 P i,2 x 0 f(x 0 ) x 1 f(x 1 ) P 1,1 x 2 f(x 2 ) P 2,1 P 2,2 x 3 f(x 3 ) P 3,1 P 3,2........ x n f(x n ) P n,1 P n,2 P n,n Beispiel 8.7. Sei n = 2, x = 0.5, f(0) = 1, f(1) = 4, f(2) = 2. Aus (8.12) folgt: also P(f 0,1,2)(0.5) = 3 1 8. P 1,1 = 4 + 0.5 (4 1) = 2.5 1 P 2,1 = 2 + 1.5 (2 4) = 5 1 P 2,2 = 5 + 1.5 2 (5 2.5) = 31 8 Dahmen-Reusken Kapitel 8 7

8.2.3 Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der Potenzfor Klassische monomiale Basis 1, x,..., x n : P(f x 0,..., x n )(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... a n x n Beispiel 8.9. Bei drei äquidistanten Stützstellen x 0 = h, x 1 = 0, x 2 = h erhält man z.b. folgende Darstellung für P 2 = P(f h,0, h) mit Hilfe der monomialen Basis 1, x, x 2 des Raumes Π 2 P 2 (x) = f(0) + f(h) f( h) 2h x + f(h) 2f(0) + f( h) 2h 2 x 2. Dahmen-Reusken Kapitel 8 8

Die Bedingungen P(f x 0,..., x n )(x i ) = f(x i ), i = 0,..., n, führen auf das Gleichungssystem a 0 V n. = a n f(x 0 ). f(x n ) zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten a i. Hierbei ist V n die Vandermonde-Matrix V n = Die Kondition des Problems f(x 0 ). Vn 1 f(x n ) 1 x 0 x 2 0 xn 0 1 x 1 x 2 1 xn 1. 1 x n x 2 n xn n f(x 0 ). f(x n ) =. a 0. a n wird durch die Konditionszahl V n Vn 1 der Matrix V n beschrieben. Dahmen-Reusken Kapitel 8 9

Beispiel 8.10. Sei h = 1/n und x i = 1 + ih, i = 0,1,..., n. Für diese Stützstellenverteilung hat die Vandermonde-Matrix eine Konditionszahl bzgl. der 2-Norm wie in der unteren Tabelle dargestellt: n 4 6 8 10 κ 2 (V n ) 4.1e+4 2.0e+7 1.1e+10 6.5e+12 Das Problem f(x 0 ). Vn 1 f(x n ) f(x 0 ). f(x n ) = a 0. a n ist (sehr) schlecht konditioniert. Dahmen-Reusken Kapitel 8 10

Bemerkung 8.11. Horner-Schema Sei p Π n ein Polynom, das in der Potenzform vorliegt, d.h., p(x) = a 0 + a 1 x +... + a n x n mit bekannten Koeffizienten a 0,..., a n. Es gilt p(x) = a 0 + x ( a 1 + x ( a 2 +... + x(a n 1 + xa n ) )). Algorithmus 8.12 (Horner-Schema). Setze b n = a n, für k = n 1, n 2,...,0 berechne b k = a k + xb k+1 Dann ist p(x) = b 0. Eine effiziente Methode zur Auswertung eines Polynoms in der Potenzform. Dahmen-Reusken Kapitel 8 11

8.2.4 Newtonsche Interpolationsformel Lemma 8.13. Für die Lagrange-Interpolationspolynome P n 1 = P(f x 0,..., x n 1 ) Π n 1 und P n = P(f x 0,..., x n ) Π n gilt P n (x) = P n 1 (x) + δ n (x x 0 )...(x x n 1 ) mit δ n = f(x n ) P n 1 (x n ) (x n x 0 )...(x n x n 1 ) R. Der Koeffizient δ n hängt offensichtlich von f und von den Stützstellen x i ab. Man schreibt daher auch δ n =: [x 0,..., x n ]f. Dahmen-Reusken Kapitel 8 12

Folgende Beobachtung wird später hilfreich sein. Bemerkung 8.14. [x 0,..., x n ]f ist offensichtlich der führende Koeffizient des Interpolationspolynoms P(f x 0,..., x n )(x), d.h. der Koeffizient der Potenz x n. Wendet man dieselbe Argumentation auf P n 1 (x) = P(f x 0,..., x n 1 )(x) an, so ergibt sich induktiv die Newtonsche Interpolationsformel: P(f x 0,..., x n )(x) =[x 0 ]f + (x x 0 )[x 0, x 1 ]f + (x x 0 )(x x 1 )[x 0, x 1, x 2 ]f +... + (x x 0 ) (x x n 1 )[x 0,..., x n ]f. Dahmen-Reusken Kapitel 8 13

Lemma 8.16. Seien wieder die x i paarweise verschieden. Dann gilt [x 0,..., x n ]f = [x 1,..., x n ]f [x 0,..., x n 1 ]f x n x 0. [x i ]f [x i, x i+1 ]f [x i, x i+1, x i+2 ]f [x i, x i+1, x i+2, x i+3 ]f x 0 [x 0 ]f > [x 0, x 1 ]f x 1 [x 1 ]f > [x 0, x 1, x 2 ]f > [x 1, x 2 ]f > [x 0, x 1, x 2, x 3 ]f x 2 [x 2 ]f > [x 1, x 2, x 3 ]f. > [x 2, x 3 ]f. x 3 [x 3 ]f... Dahmen-Reusken Kapitel 8 14

Beispiel 8.18. Sei x 0 = 0, x 1 = 0.2, x 2 = 0.4, x 3 = 0.6 und f(x i ) = cos(x i ) für i = 0,...,3. Man bestimme P(f x 0, x 1, x 2, x 3 ). 0 1.0000 > 0.0995 0.2 0.9801 > 0.4888 > 0.2950 > 0.0480 0.4 0.9211 > 0.4600 > 0.4790 0.6 0.8253 P(cos x 0,0.2,0.4)(x) = 1.000 0.100x 0.489x(x 0.2), P(cos x 0,0.2,0.4,0.6)(x) = P(cos x 0,0.2,0.4)(x) + 0.048x(x 0.2)(x 0.4) = 1.000 0.100x 0.489x(x 0.2) + 0.048x(x 0.2)(x 0.4). Dahmen-Reusken Kapitel 8 15

Es gelten folgende Eigenschaften: Satz 8.21. (i) [x 0,..., x n ]f ist eine symmetrische Funktion der Stützstellen, d.h. hängt nicht von der Reihenfolge der Stützstellen ab (konkret gilt zum Beispiel [x 0, x 1, x 2 ]f = [x 1, x 0, x 2 ]f). (iii) Für Q Π k 1 gilt [x 0,..., x k ]Q = 0. (iv) Für die Newton-Basispolynome ω k gilt [x 0,..., x k ]ω j = δ jk, für j, k = 0,..., n. (v) Sei a := min 0 i n x i, b := max 0 i n x i, I := [a, b] und f C n (I). Dann existiert ein ξ I, so daß [x 0,..., x n ]f = f(n) (ξ). n! Dahmen-Reusken Kapitel 8 16

8.2.5 Restglieddarstellung - Fehleranalyse Satz 8.22. Seien x 0,..., x n paarweise verschiedene Stützstellen, a := min{x 0,..., x n }, b := max{x 0,..., x n } und x R. Sei I := [min{a, x}, max{b, x}]. Für f C n+1 (I) existiert ξ I, so daß f(x) P(f x 0,..., x n )(x) = (x x 0 ) (x x n ) f(n+1) (ξ) (n + 1)! gilt. Insbesondere gilt max x [a,b] max x [a,b] f(x) P(f x 0,..., x n )(x) n j=0 x [a,b] (x x j ) max f (n+1) (x) (n + 1)!. Dahmen-Reusken Kapitel 8 17

Beispiel 8.24. Lineare Interpolation von f(x) = log(1 + x) an x 0 = 0 und x 1 = 1 ergibt Da max x [0,1] x(1 x) = 1 4 x(x 1) f(x) P(f 0,1)(x) = 2(1 + ξ) 2. und ξ 0, folgt f(x) P(f 0,1)(x) 1 8. Quadratische Interpolation an den Punkten 0, 1 2 und 1 ergibt Da folgt f(x) P(f 0, 1 2,1)(x) = 2 x(x 1 2 )(x 1) (1 + ξ) 3. 3! max x [0,1] x(x 1 2 )(x 1) = 3 36, f(x) P(f 0, 1 2,1)(x) 1 36 3. Dahmen-Reusken Kapitel 8 18

(1) Erhöhung des Polynomgrades bzw. der Stützstellenanzahl M n+1 (f) := max x [a,b] f (n+1) (x) (n + 1)! und ω n+1 (x) := n j=0 (x x j ). Fehlerschranke: f(x) P(f x 0,..., x n )(x) ω n+1 (x) M n+1 (f) für x [a, b] und x j [a, b], j = 0,1,2,..., n. Dahmen-Reusken Kapitel 8 19

Verhalten der Funktion ω n+1 bei äquidistanten Stützstellen. Beispiel: x j = 1 + j n, j = 0,..., n für n = 3,7,11. Gezeigt wird 2 2n+1 ω n+1. 2 n=7 n=3 0 2 4 6 n=11 8 10 12 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Dahmen-Reusken Kapitel 8 20

Bemerkung 8.25. Das Verhalten der Funktion ω n+1 kann für eine andere Wahl der Stützstellen wesentlich besser sein. Es ist zum Beispiel bekannt, daß die Nullstellen der sogenannten Tschebyscheff-Polynome wesentlich günstigere Stützstellen liefern. Für diese Nullstellen gibt es explizite Formeln, z.b. für das Intervall [1,2] hat man die Formel x j = 1 1 2 + 1 2 cos ( 2j + 1 2n + 2 π ), j = 0,1,..., n. Dahmen-Reusken Kapitel 8 21

Verhalten der Funktion ω n+1 bei Tschebyscheff-Stützstellen. Gezeigt wird 2 2n+1 ω n+1. 1 0.8 0.6 n=3 n=7 0.4 0.2 0 0.2 n=11 0.4 0.6 0.8 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 Dahmen-Reusken Kapitel 8 22

(2) Fester Grad Sei a := min {x 0,..., x n }, b := max {x 0,..., x n }, n fest. h := b a stelle man sich als veränderbar vor. Falls x I := [a, b] liegt, erhält man sofort die grobe Abschätzung ω n+1 (x) h n+1, und somit f P(f x 0,..., x n ) L (I) hn+1 (n + 1)! f(n+1) L (I), Der Fehler wird also kleiner, wenn die Stützstellen gemäß h zusammenrücken. Dies ist der Effekt, der in den meisten Anwendungen benutzt wird. Dahmen-Reusken Kapitel 8 23

Beispiel 8.26. Wir betrachten lineare Interpolation der Funktion f(x) = log(1 + x), diesmal an x 0 = 0 und x 1 = h. Dies ergibt Da und ξ 0, folgt x(x h) f(x) P(f 0, h)(x) = 2(1 + ξ) 2. h2 max x(x h) = x [0,h] 4, f(x) P(f 0, h)(x) h2, für x [0, h]. 8 Der Verfahrensfehler strebt also mit der Ordnung 2 gegen 0. Dahmen-Reusken Kapitel 8 24

Grundidee: 8.2.6 Numerische Differentiation P(f x 0,..., x n ) (n) (x) = n![x 0,..., x n ]f f (n) (x), Speziell erhält man bei äquidistanten Stützstellen x j = x 0 + jh, f (x) [x 0, x 1 ]f = f(x 1) f(x 0 ) (x [x 0, x 1 ]) (1) h f (x) 2![x 0, x 1, x 2 ]f = f(x 2) 2f(x 1 ) + f(x 0 ) h 2 (x [x 0, x 2 ]). (2) Mit Hilfe der Taylor-Entwicklung ergibt sich für x 0 = x 1 2 h, x 1 = x + 1 2h in (1) f (x) = f(x + 1 2 h) f(x 1 2 h) h h2 24 f (ξ) (zentrale Differenzen), für x 0 = x h, x 1 = x, x 2 = x + h in (2) f (x) = f(x + h) 2f(x) + f(x h) h 2 h2 12 f(4) (ξ). Dahmen-Reusken Kapitel 8 25

Auslöschung bei numerischer Differentiation h := Fehler in den Daten: f(x + h) 2f(x) + f(x h) h 2. h := f(x + h) 2 f(x) + f(x h) h 2. Wegen Datenfehler ( f(y) f(y) ǫ) h h = 1 h 2 ( f(x + h) f(x + h) ) 2 ( f(x) f(x) ) + ( f(x + h) f(x + h) ) 4ǫ h 2. h f (x) h h h + f (x) 4ǫh 2 + ch 2 Dahmen-Reusken Kapitel 8 26

Offensichtlich wird die Schranke für h = 4 4ǫ/c minimal. Bei ǫ = 10 9 läßt sich also h 10 2 wählen. Kleineres h bringt nur eine Verschlechterung. 4ǫh 2 + ch 2 ch 2 (Diskretisierungsfehler) 0 4 4ǫ c 4ǫh 2 (Rundungsfehler) h Merke: Man sollte stets dafür sorgen, daß Rundungsfehler einen kleineren Einfluß haben als Diskretisierungsfehler. Dahmen-Reusken Kapitel 8 27

Beispiel 8.27. Aufgabe: Annäherung der zweiten Ableitung von f(x) = sin x + 3x 2 an der Stelle x = 0.6 mit dem Differenzenquotienten h = f(x + h) 2f(x) + f(x h) h 2. Wir rechnen auf einer Maschine mit eps 10 16, also erwartet man, daß für h 10 4 der Gesamtfehler minimal ist. Die Tabelle bestätigt dies: h h h f (x) 10 2 5.4353622319 4.71e-06 10 3 5.4353575738 4.72e-08 10 4 5.4353575196 6.98e-09 10 5 5.4353566092 9.17e-07 10 6 5.4352078394 1.50e-04 10 7 5.4400928207 4.74e-03 Dahmen-Reusken Kapitel 8 28

8.2.7 Hermite-Interpolation Zu definiere für j = 0,1,..., n: x 0 x 1... x n µ j (f) := f (l j) (x j ), l j = max{r x j = x j r }. Beispiel 8.28. Sei x 0 = 0, x 1 = x 2 = x 3 = 1 2, x 4 = 1. Dann hat man l 0 = 0, l 1 = 0, l 2 = 1, l 3 = 3, l 4 = 0, und µ 0 (f) = f(0), µ 1 (f) = f ( 1), µ2 (f) = f ( 1), µ3 (f) = f ( 1 2 2 2 µ 4 (f) = f(1). ), Dahmen-Reusken Kapitel 8 29

Das allgemeine Hermite-Interpolationsproblem mit Polynomen (HIP) läßt sich nun folgendermaßen beschreiben: Aufgabe 8.29 (Hermite-Interpolation). Sei f C k ([a, b]) und µ j wie oben mit x j [a, b] und l j k für alle j. Man bestimme P n Π n, so daß µ j (P n ) = µ j (f), j = 0,1,..., n. Diese Aufgabe ist eindeutig lösbar: Satz 8.30. Die Interpolationsaufgabe (8.29) hat eine eindeutige Lösung. Dahmen-Reusken Kapitel 8 30

Die Lagrange-Interpolation ist ein Spezialfall der Hermite-Interpolation, der sich für paarweise verschiedene Stützstellen ergibt, da dann µ i (f) = f(x i ), i = 0,..., n, gerade die Punktauswertungen sind. Ein zweiter interessanter Spezialfall ergibt sich, wenn alle Stützstellen zusammenfallen: x 0 = = x n = µ i (f) = f (i) (x 0 ), i = 0,..., n. In diesem Fall können wir das Interpolationspolynom direkt angeben, nämlich das Taylor-Polynom P n (x) = n j=0 f (j) (x 0 ) (x x 0) j. j! Dahmen-Reusken Kapitel 8 31

Bestimmung des Hermite-Interpolationspolynoms Definition 8.31. Wir bezeichnen für beliebige reelle Stützstellen x i, wieder mit [x i,..., x k ]f den jeweils führenden Koeffizienten des entsprechenden Hermite-Interpolationspolynoms P(f x 0,..., x k ) Π k. Folgerung 8.32. Für x 0 = = x k gilt [x 0,..., x k ]f = f(k) (x 0 ). k! Wir können nun Lemma 8.16 erweitern. Lemma 8.33. Gegeben seien x 0,..., x k R. Dann gilt für x i, x j aus der Menge {x 0,..., x k } [x 0,..., x k ]f = [x 0,...,x i 1,x i+1,...,x k ]f [x 0,...,x j 1,x j+1,...,x k ]f x j x i, falls x i x j, f (k) (x 0 ) k!, falls x 0 = = x k, Dahmen-Reusken Kapitel 8 32

Beispiel 8.35. Sei x 0 = 0, x 1 = x 2 = x 3 = 1 2, x 4 = 1. Man bestimme P 4 Π 4, so daß P 4 (0) = 1, P 4 ( 1 2 ) = 11 2, P 4 (1 2 ) = 1 2, P 4 (1 2 ) = 0, P 4(1) = 2 1 2 Dividierte Differenzen (die fettgedruckten Einträge sind die Daten): 0 1 > 1 1 1 1 > 1 2 2 > 1 > 2 2 1 1 1 > 0 > 4 2 2 > 1 > 6 2 1 1 1 > 3 2 2 > 2 1 2 1 2 Das gesuchte Hermite-Interpolationspolynom ist P 4 (x) = 1 + x x(x 1 2 ) + 2x(x 1 2 )2 + 4x(x 1 2 )3. Dahmen-Reusken Kapitel 8 33

Verfahrensfehler Wie vorher beim Spezialfall der Lagrange-Interpolation stellt sich die Frage nach Abschätzungen für den Interpolationsfehler. Dazu folgendes Resultat: Bemerkung 8.36. Die Fehlerdarstellung und -abschätzung aus Satz 8.22 bleibt unverändert gültig. D. h., die Aussage von Satz 8.22 gilt auch für beliebige, nicht notwendigerweise paarweise verschiedene Stützstellen x i, i = 0,..., n. Dahmen-Reusken Kapitel 8 34

8.3 Grenzen der Polynominterpolation Die Funktion f(x) = 1 1 + x 2 ist auf ganz R beliebig oft differenzierbar. Dennoch zeigt sich, daß die Folge der Interpolationspolynome für P n (x) = P(f x 0,..., x n )(x) x j = 5 + 10j, j = 0,..., n, n auf [ 5,5] divergiert. Dahmen-Reusken Kapitel 8 35

2.5 2 n=15 1.5 1 0.5 n=6 0 n=9 0.5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Dahmen-Reusken Kapitel 8 36

Fazit: Als Mittel, über immer mehr Stützstellen immer bessere Approximationen zu gewinnen, taugt die Polynominterpolation im allgemeinen nicht. Eine geeignete Alternative bietet das folgende Vorgehen: Im Interpolationsintervall [a, b] wird eine Approximation der Funktion f konstruiert, die stückweise polynomial ist. Dies ist der Grundgedanke der sogenannten Splinefunktionen. Dahmen-Reusken Kapitel 8 37

8.4 Beispiel einer Splineinterpolation Splinefunktionen bilden ein flexibles und effizientes Hilfsmittel, um größere Datenmengen zu interpolieren oder zu approximieren. Seien Stützstellen und a = x 0 < x 1 <... < x n = b f j, j = 0,1,..., n, die entsprechenden Daten an diesen Stützstellen. Der Raum der kubischen Splines ist: S n 3 := { g C 2 ([a, b]) g [xi,x i+1 ] Π 3, i = 0,1,..., n 1 }. Es gilt dim S n 3 = n + 3. Zur Lösung des Interpolationsproblems wird S S n 3 gesucht, so daß S(x j ) = f j, j = 0,..., n. Dahmen-Reusken Kapitel 8 38

Aufgabe 8.37. Finde zu den Daten f 0, f 1,..., f n eine Funktion S S3 n, so daß S(x j ) = f j, j = 0,1,..., n, S (a) = S (b) = 0. Lemma 8.38. Sei g eine beliebige Funktion aus C 2 ([a, b]) mit g(x j ) = f j, j = 0,1,..., n und g (a) = g (b) = 0. Für die eindeutige Lösung S der Aufgabe 8.37 gilt b a S (x) 2 dx b a g (x) 2 dx. Diese Eigenschaft bedeutet, daß der kubische Spline S unter allen Funktionen g C 2 ([a, b]), die dieselben Interpolationsforderungen erfüllen näherungsweise die mittlere quadratische Krümmung minimiert. Dahmen-Reusken Kapitel 8 39

Methode zur Berechnung der gesuchten Lösung S Allgemeine effiziente Methoden zur Berechnung von Splineinterpolationen werden in Kapitel 9 diskutiert. Wichtig dabei ist die Wahl einer geeigneten Basis der sogenannten B-Splines. Wir betrachten eine für das Einführungsbeispiel geeignete einfache Methode. Äquidistante Stützstellen: x j+1 x j = h, j = 0,1,..., n 1. Bezeichnungen und m j := S (x j ), j = 0,1,..., n, I j := [x j, x j+1 ], j = 0,1,..., n 1. Dahmen-Reusken Kapitel 8 40

Wegen S Ij Π 3 ergibt sich, daß S I j linear ist und daß S I (x) = (x j+1 x)m j + (x x j )m j+1. (1) j h Zweifache Integration zusammen mit den Forderungen ergibt S(x j ) = f j, S(x j+1 ) = f j+1 (2) S Ij (x) = (x j+1 x) 3 m j + (x x j ) 3 m j+1 6h + (x j+1 x)f j + (x x j )f j+1 h 1 6 h[(x j+1 x)m j + (x x j )m j+1 ]. Dahmen-Reusken Kapitel 8 41

Für dieses stückweise Polynom S gilt S Ij Π 3, S C([a, b]), S I j (x j+1 ) = m j+1 = S I j+1 (x j+1 ). Die Stetigkeit folgt aus den Interpolationsbedingungen in (2). Die Stetigkeit der zweiten Ableitung folgt aus (1). Man muß nun die noch unbekannten Größen m j so wählen, daß die erste Ableitung von S in den Stützstellen x j stetig ist. Es soll also S I j 1 (x j ) = S I j (x j ), j = 1,..., n 1, gelten. Man erhält daraus die Bedingungen m j 1 + 4m j + m j+1 = 6 h 2(f j 1 2f j + f j+1 ), j = 1,2,..., n 1. Dahmen-Reusken Kapitel 8 42

Es gilt m 0 = m n = 0. Insgesamt ergibt sich das lineare Gleichungssystem 4 1 1 4... 0.................. 0...... 1 1 4 m 1 m 2... m n 1 = 6 h 2 f 0 2f 1 + f 2 f 1 2f 2 + f 3... f n 2 2f n 1 + f n. Dahmen-Reusken Kapitel 8 43

Beispiel 8.40. Daten: i 0 1 2 3 4 5 6 7 x i 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x i ) 2.5 2.0 0.5 0.5 1.5 1.0 1.125 0.0 Für die Splineinterpolation S S3 7 mit den Endbedingungen S (3) = S (10) = 0 wird das zugehörige System 4 1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 1 4 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 = 6 1 1.5 1 1.5 0.625 1.25 gelöst. Dahmen-Reusken Kapitel 8 44

Das Lagrange-Interpolationspolynom vom Grad 7 P 7 = P(f 3,4,5,6,7,8,9,10) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 3 4 5 6 7 8 9 10 Dahmen-Reusken Kapitel 8 45

Die Splineinterpolation S S 7 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 3 4 5 6 7 8 9 10 Dahmen-Reusken Kapitel 8 46

Fehler bei der kubischen Splineinterpolation Bemerkung 8.41. Bezeichnet h := max i=0,...,n 1 x i+1 x i den maximalen Knotenabstand, kann man die Abschätzung f S L ([a,b]) Ch4 f (4) L ([a,b]) für eine von h und f unabhängige Konstante C zeigen. Höhere Genauigkeit gewinnt man also durch Verringerung der Schrittweite bwz. Erhöhung der Knotenzahl. Dahmen-Reusken Kapitel 8 47