29.04.2011
Inhaltsverzeichnis 1 Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm 2
Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Vektornorm Eine definiert auf einem Vektorraum eine Längenfunktion. Eine Vektornorm auf dem R n ist eine Funktion f(x) : R n R die folgende Eigenschaften hat: f (x) 0 x R n (f (x) = 0 x = 0) f (αx) = α f (x) α R, x R n f (x + y) f (x) + f (y) x, y R n
Vektornorm Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Die p-en stellen eine der wichtige Klasse von en dar. x p = ( x 1 p +... + x n p ) 1 p
Vektornorm Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm x 1 = x 1 +... + x n x 2 = ( x 1 2 +... + x n 2 ) 1 2 x = max{ x i : 1 i n}
Eigenschaften von Vektornormen Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Höldersche Ungleichung x T y x p y q 1 p + 1 q = 1 Außerdem sind alle en auf dem R n äquivalent, d.h für alle en α und β existieren c 1, c 2 R sodass c 1 x α x β c 2 x α
Eigenschaften von Vektornormen Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Äquivalenz der 1,2 und x 2 x 1 n x 2 x x 2 n x x x 1 n x
Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Matrixnorm Bei der Definiton von Matrixnormen werden die selben Eigenschaften gefordert wie bei Vektornormen. f (A) 0 A R m n (f (A) = 0 A = 0) f (αa) = α f (A) α R, A R m n f (A + B) f (A) + f (B) A, B R m n
Matrixnorm Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Am häufigsten verwendeten en: m n A F = a ij 2 i=1 j=1 Ax p A p = sup x 0 x p
Matrixnorm Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Für die p- gilt vereinfacht: ( ) A p = sup x p A x p x 0 = max x p=1 Ax p
Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Multiplikative Eigenschaft: AB A B Ein einfaches Gegenbeispiel: A = max a ij ( ( ( 2 2 > 1 1 1 1 2 2) 1 1) 1 1)
Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm A 2 A F n A 2 max i,j a ij A 2 mn max a ij i.j A 1 = max m i=1 a ij 1 j n A = max n i=1 a ij 1 j m 1 n A A 2 m A 1 m A 1 A 2 n A 1
Vektornorm Eigenschaften von Vektornormen Matrixnorm Veränderung von A 1 in Abhängigkeit von Veränderung in A Sei F R n n und F p < 1, dann ist E n F invertierbar und es gilt: (E n F ) 1 = k=0 F k mit (E n F ) 1 1 p 1 F p
Was beudeutet Kondition? Anwort: Der Begriff Kondition beschreibt in der Numerischen Mathematik, wie fehlerhafte Daten sich auf die Lösung eines Problems auswirken.
Berechnungen an einem Computer werden in der Regel von Rundungsfehlern beeinflusst. Der Grund dafür ist, dass ein Computer nur eine Teilmenge der reelen Zahlen gespeichert hat. Diese Teilmenge nennt man := F
Die Menge F ist durch die vier Parameter (β, t, L, U) gekennzeichnet: Die Basis β, die Genauigkeit t und einem Intervall [L.U] Die Menge F der Gleitkommzahlen enthält jedes x welche die Gestalt x = ±.d 1 d 2...d t β e 0 d i < β, d 1 0, L e U
Für jedes x F gilt : m x M wobei m = β L 1 und M = β U (1 β t ) Ein häufig verwendeter Wert für (β, t, L, U) ist (2, 56, 64, 64)
Um mit rechnen und Aussagen über die Rundungsfehler treffen zu können wird eine Menge G = {x R : m x M} und eine Funktion fl : G F definiert: fl(x) = {das nächste c F } Für fl(x) gilt hierbei: mit fl(x) = x(1 + ɛ) u = 1 2 β1 t ɛ u
Für a op b G gilt : fl(a op b) = (a op b)(1 + ɛ) ɛ u Daraus ergibt sich : fl(a op b) (a op b) a op b u a op b 0
Ziel: fl(x t y) x t y abschätzen. Sei dazu s p = fl ( p k=1 x ky k ) Dann ist s 1 = x 1 y 1 (1 + δ 1 ) mit δ 1 u s p = fl(s p 1 + fl(x p y p )) = (s p 1 + x p y p (1 + δ p ))(1 + ɛ p ) δ p, ɛ p u
fl(x t y) = s n = mit (1 + γ k ) = (1 + δ k ) somit gilt mit der Annahme ɛ 1 = 0: n x k y k (1 + γ k ) k=1 n (1 + ɛ j ) j=k fl(x t y) x t y n x k y k γ k k=1
Lemma: (1 + α) = n k=1 (1 + α k) mit α k u und nu 0.01 dann folgt α 1.01nu Wendet man das Lemma auf die Abschätzung an ergibt sich: fl(x t y) x t y 1.01nu x t y
Notation: [fl(a)] ij = fl(a ij ) = a ij (1 + ɛ ij ) ɛ ij u Für A und B R m n gilt: B = A b ij = a ij 1 i m, 1 j n B A b ij a ij 1 i m, 1 j n
Seien A und B Gleitkommamatrizen und α eine Gleitkommazahl dann gilt : fl(αa) = αa + E E u αa fl(a + B) = (A + B) + E E u A + B
Forward and Backward Fehleranalyse : ( ) ( ) a11 a A = 12 b11 b B = 12 0 a 22 0 b 22 Es sei fl(ab) = ( ) a11 b 11 (1 + ɛ 1 ) (a 11 b 12 (1 + ɛ 2 ) + a 12 b 22 (1 + ɛ 3 ))(1 + ɛ 4 ) 0 a 22 b 22 (1 + ɛ 5 )
Weiter sei und dann gilt B = A = ( ) a11 a 12 (1 + ɛ 3 )(1 + ɛ 4 ) 0 a 22 (1 + ɛ 5 ) ( ) b11 (1 + ɛ 1 ) b 12 (1 + ɛ 2 )(1 + ɛ 4 ) 0 b 22 fl(ab) = A B
Abschließend eine Stellungnahme von James H. Wilkinson zur Fehleranlyse: There is still a tendency to attach too much importance to the precise error bounds obtained by an à priori error analysis. In my opinion, the bound itself is usually the least important part of it. The main important object of such an analysis is to expose the potential instabilities, if any, of an algorithm so that hopefully from the insight thus obtained one might be led to improved algorithms.
Quellen Matrix Computation, Gene H. Golub und Charles F. Van Loan, 1989 Modern Error Analysis, J.H. Wilkinson, 1971
Danke für eure Aufmerksamkeit!