Vorlesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintersemester 2007/2008. Technische Mechanik

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Technische Mechanik 1. Einleitung 2. Statik des staen Köpes 2.1 Äquivalenz von Käfteguppen am staen Köpe 2.2 Käfte mit gemeinsamem Angiffspunkt 2.3 Ebene Käfteguppe am staen Köpe 2.4 Moment eine Kaft 2.5 Moment eines Käftepaaes 2.6 Räumliche Käfteguppe am staen Köpe 2.7 Zentalachse, Kaftschaube Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Äquivalenz von Käfteguppen am staen Köpe Äquivalenz von Käfteguppen: Käfteguppen nennen wi äquivalent, wenn sie am staen Köpe die gleichen Wikungen hevoufen Gleichgewichtssystem: Käfteguppe, die äquivalent zu Kaft Null ist Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Käfte mit gemeinsamem Angiffspunkt Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Käfte mit gemeinsamem Angiffspunkt können wie Vektoen addiet weden. Resultieende: Jede Guppe von Käften mit gemeinsamem Angiffspunkt kann auf 1 eine Einzelkaft eduziet weden, die gleich de Vektosumme (Resultieende) ist. n R 1 + 2 +... + n i i 1 2 n R R R R x y z 1x 1y 1z + + + 2x 2 y 2z +... + +... + +... + nx ny nz n i 1 i 1 n n i 1 ix iy iz Gleichgewichtsbedingung: Wenn die auf einen staen Köpe wikenden Käfte duch einen Punkt gehen und de Köpe im Gleichgewicht ist, so ist die Resultieende gleich Null. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Beispiel: Rolle auf schiefe Ebene (1) Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 β G α Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Beispiel: Rolle auf schiefe Ebene (2) eischneiden Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 S β G α N S N Gewichtskaft G ist eingepägte Kaft, Seilkaft S und Nomalkaft N sind Reaktionskäfte Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Beispiel: Rolle auf schiefe Ebene (3) Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 S β Lösungsidee: Wenn Rolle in Gleichgewicht, dann ist die Resultieende (Vektosumme de Gewichtskaft, Seilkaft und Nomalkaft) gleich Null, d.h. Käfte bilden ein geschlossenes Deieck. G α N S G Gegeben: N Göße und Richtung de Gewichtskaft G Richtung de Seilkaft S Richtung de Nomalkaft N Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Beispiel: Rolle auf schiefe Ebene (4) Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Sinussatz: S sinα sin G N ( 90 α + β ) sin( 90 β ) S N β G 90 α sin sin ( 90 α + β ) cos( α β ) ( 90 β ) cos β α S G sin cos α ( α β ) G β α N G cos cos β ( α β ) Kontolle: ü α 0 ist S 0 und N G, unabhängig von β (solange β 90 ). Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Beispiel: Rolle auf schiefe Ebene (5) Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 S β G i, x i, y 0 : 0 : N sinα + S cos β 0 N cosα + S sin β G 0 N α sinα cosα cos β N 0 sin β S G Lineaes Gleichungssystem fü die beiden Unbekannten S und N Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Ebene Käfteguppe am staen Köpe Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Ebene Käfteguppe: Wikungslinien alle Käfte liegen in eine Ebene Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008

Beispiel: Bücke in Hannove-Linden Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Veeinfachende Annahmen bei de Modellbildung: Bücke ist sta Gewichtskaft wikt in Schwepunkt Betachtung als ebene Stuktu, alle Käfte wiken in de Ebene estlage, Loslage Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Axiom de Linienflüchtigkeit eine Kaft Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 <> Die am staen Köpe von eine Kaft hevogeufene Wikung ändet sich nicht, wenn die Kaft entlang ihe Wikungslinie veschoben wid. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Zusammensetzung von 2 Käften, Wikungslinien schneiden sich <> Veschiebe die Käfte längs ihe Wikungslinie, so dass sie am Schnittpunkt de Wikungslinien angeifen asse die Käfte nach de Paallelogammegel zusammen Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Zusammensetzung von 2 Käften, Wikungslinien paallel R 1 R R 2 B B R 1 1 2 R 2 a 1 a 2 üge eine Gleichgewichtsguppe hinzu, deen Wikungslinie duch die Angiffspunkte de beiden Käfte veläuft asse die Käfte in den beiden Kaftangiffspunkten zu (Zwischen-) Resultieenden zusammen asse danach die beiden (Zwischen-) Resultieenden zu (Gesamt-) Resultieenden zusammen Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Zusammensetzung von 2 Käften: Wikungslinien paallel 1 2 Wenn die beiden Käfte den gleichen Richtungssinn haben, liegt die Wikungslinie de Resultieenden zwischen den Wikungslinien de beiden Käfte. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Zusammensetzung von 2 Käften: Wikungslinien paallel 2 1 Wenn die beiden Käfte entgegengesetzten Richtungssinn haben, liegt die Wikungslinie de Resultieenden aussehalb. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Zusammensetzung von 2 Käften: Wikungslinien paallel Was passiet, wenn die Käfte entgegengesetzt geichtet und gleich goß sind? 2 1 Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Zusammensetzung von 2 Käften: Sondefall Käftepaa Zwei gleich goße, entgegengesetzt geichtete Käfte mit unteschiedlichen Wikungslinien können nicht duch eine einzelne Kaft esetzt weden. Man spicht von einem Käftepaa mit dem Moment M a. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Käftepaa B a B a a a Ein Käftepaa kann duch ein andees, äquivalentes esetzt weden. Die Käfte können dabei beliebige Richtung haben. Das Podukt aus Kaft und Hebelam bleibt dabei ehalten. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Gleichgewichtsbedingung Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Die Zusammensetzung von Käften in de Ebene füht imme auf eine Resultieende ode ein Käftepaa. Eine Guppe von Käften steht an einem staen Köpe genau dann im Gleichgewicht, wenn sie äquivalent zu Kaft Null ist, d.h. wenn nach de Reduktion wede eine Resultieende, noch ein Käftepaa übig bleibt. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Beispiel: Köpe mit dei Kaftangiffspunkten Kaft gegeben: Göße und Richtung bekannt Kaft B gesucht, Wikungslinie bekannt Kaft C gesucht, Angiffspunkt bekannt Wikungslinien von und B schneiden sich, duch diesen Punkt muss auch die Wikungslinie von C velaufen, und damit ist die Wikungslinie von C bestimmt Göße de Käfte kann aus Kaftplan maßstäblich entnommen weden Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Beispiel: Bücke in Hannove Linden Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 B B V B H A Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Köpe mit vie Kaftangiffspunkten Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Kaft gegeben: Göße und Richtung bekannt Käfte B, D, E gesucht, Wikungslinie bekannt asse die Käfte jeweils paaweise zusammen Wikungslinie de Resultieenden aus B und veläuft duch P 1 Wikungslinie de Resultieenden aus D und E veläuft duch P 2 Wenn das System im Gleichgewicht ist, müssen die beiden Zwischen-Resultieenden die gleiche Wikunsglinie haben und entgegengesetzt gleich goß sein Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Kal Culmann * 10. Juli 1821 in Begzaben 9. Dezembe 1881 in Riesbach/Züich Culmann sche Geade (Gafik: http://www.kk.s.bw.schule.de/culmann/daten.htm) Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Moment eine Kaft A: beliebige Punkt auf de Wikungslinie de Kaft, P: beliebige Punkt Moment de Kaft bezüglich des Punktes P ( M P ) mit dem Otsvekto PA Das Moment ist unabhängig von de Wahl des Bezugspunktes A auf de Wikungslinie ( M P ) sinα a: Hebelam de Kaft bezüglich P (senkechte Abstand de Wikungslinie) a Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Moment von zwei Käften Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 ( ) ( PA + PA ) 1 1 2 2 ( ) ( PA 1 + PA ) PA ( ) 1 + 2 2 Die Summe de Momente ist gleich dem Moment de Resultieenden Das Moment eine Kaft ist gleich de Summe de Momente de Komponenten Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Moment eine Kaft: Komponentendastellung in x-y-ebene y y x x y x e e + + y A x A e y e x A + 0 ( ) ( ) ( ) z x A y A y y x x y A x A e y x e e e y e x M + + (0) M (0)

Moment eines Käftepaaes ( ) M P PA 2 1 ( ) M P ( ) ( ) + PA 1 1 ( ) PA1 PA2 1 Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 2 2 ( ) M P A 2 A 1 1 Das Moment eines Käftepaaes hängt nicht vom Bezugspunkt P ab. Am staen Köpe können Käftepaae beliebig veschoben weden. Das Moment eines Käftepaaes ist ein feie Vekto. M Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Vesetzungsmoment Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Räumliche Käfteguppe am staen Köpe Jede äumliche Käfteguppe (A i,, i 1,2, n) am staen Köpe kann auf eine Resultieende R n i 1 mit Angiffspunkt P und ein dazu gehöendes Käftepaa mit Moment M ( P ) eduziet weden. i n i 1 M ( P ) i i n i 1 PA i i Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Beispiel (Gafik: nach Hibbele) Bestimme die zu Kaft äquivalente Kaft im Punkt A und das dazu gehöende Vesetzungsmoment. R B R M cos θ e + sinθ y e z ( P ) n i 1 Achtung: Hie entspicht de Punkt A in de Zeichnung dem Bezugspunkt P in de allgemeinen omel, und de Angiffspunkt de Kaft ist B: AB a ex + b e y ( A) M AB ( a ex + b ey ) ( cosθ e y + sin θ ez ) b sin θ e a sin θ e + a cosθ e i n i 1 M ( P) i ( ) x y z n i 1 PA i i Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Dyname, Kaftwinde Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Die Reduktion eine Käfteguppe am staen Köpe füht auf eine Resultieende und ein dazu gehöendes Moment. Die Resultieende ist unabhängig von de Wahl des Bezugspunktes. Betag und Richtung des Momentes hängen von de Wahl des Bezugspunktes ab. A M (A) R ( A) Man bezeichnet das System ( R, M ) aus eine Kaft und einem Moment als Dyname ode Kaftwinde. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Zentalachse, Kaftschaube Idee: Wähle den Bezugspunkt P so, dass Resultieende und zugehöiges Moment die selbe Richtung haben. Daduch wid die sog. Zentalachse de Käfteguppe definiet. ( P) Man bezeichnet das System ( R, M ) aus eine Kaft und einem dazu paallelen Moment als Kaftschaube. Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Zusammenfassung (1) Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Käftesysteme sind äquivalent, wenn sie die gleichen Wikungen hevoufen. Käfte mit gemeinsamem Angiffspunkt addieen sich wie Vektoen. Ein Kaftsystem mit gemeinsamem Angiffspunkt (zentale Käfteguppe) ist im Gleichgewicht, wenn die Resultieende Null ist. Die am staen Köpe von eine Kaft hevogeufene Wikung ändet sich nicht, wenn die Kaft entlang ihe Wikungslinie veschoben wid. Die Zusammensetzung von Käften in de Ebene füht imme auf eine Resultieende ode ein Käftepaa. Eine Guppe von Käften steht an einem staen Köpe genau dann im Gleichgewicht, wenn sie äquivalent zu Kaft Null ist, d.h. wenn nach de Reduktion wede eine Resultieende, noch ein Käftepaa übig bleibt Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove

Zusammenfassung (2) Volesung Technische Mechanik 1 Statik, Wintesemeste 2007/2008 Ein Käftepaa besteht aus zwei gleich goßen, entgegengesetzt geichteten Käften, deen Wikungslinien paallel sind. Das Moment eines Käftepaaes hängt nicht vom Bezugspunkt P ab. Ein Käftepaa ist nicht an eine Wikungslinie gebunden. Am staen Köpe können Käftepaae beliebig veschoben weden. Das Moment eines Käftepaaes ist ein feie Vekto. Jede äumliche Käfteguppe am staen Köpe kann auf eine Resultieende mit Angiffspunkt P und ein dazu gehöendes Käftepaa eduziet weden. De Angiffspunkt de Resultieenden kann so gewählt weden, dass die esultieende Kaft und das zugehöige Moment die selbe Richtung haben (Zentalachse). Eine Käfteguppe ist im Gleichgewicht, wenn die esultieende Kaft und das dazu gehöige Moment bezüglich eines beliebigen Punktes veschwinden. Pof. D.-Ing. J. Wallaschek, Univesität Hannove