Funktionen mehrerer Variabler

Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler

Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung 3 Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 2

Beispiele Darstellung Schnitte Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen hängen häufig von mehreren Variablen ab. Z. B. Temperatur hängt von der Stelle im Raum ab: T = T (, y, z), oder Temperatur hängt von der Stelle im Raum und von der Zeit ab: T = T (, y, z, t). Darstellung durch eine Tabelle (Messwerte): 0 1 0 1 10 y 0 0 1 4 2 z 0 0 1 4 4 T 20,9 20,8 21 21,7 21,5 T = T (, y, z). Anhand der Tabelle kann man etwa eine Wärmequelle ermitteln. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 3

Beispiel: Landschaft Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(, y). Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte für die graphische Darstellung. Es entspricht: ( y) z der Graph der Funktion h(, y) einem Punkt auf der Landkarte, der Höhe über NN, der Erdoberfläche. Man spricht auch von einem Funktionsgebirge. Bei dieser Sprechweise ist aber zu beachten: Der Graph der Funktion ist nur die Oberfläche des Gebirges. Wir werden daher auch die Bezeichnung Gebirgsfläche gebrauchen. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 4

Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable zwei Variablen f () oder y = f () (, y) f (, y) oder z = f (, y) D(f ) IR; Darstellung auf einer Achse: Achse. D(f ) IR 2 ; Darstellung in einer Ebene: (, y) Ebene y y = f () z z = f (, y) Graph: mehrere Punkte, i. Allg. eine Kurve f () f (, y) y (, y) Graph: Punkte über der (, y) Ebene, i. Allg. eine Fläche im Raum Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

z Kegel Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Kegel im Schrägbild: Darstellung über Schnittkurven Von besonderer Bedeutung sind die Schnitte von Ebenen parallel zur (, y)- Ebene mit dem Funktionsgebirge. Man erhält die sogenannten Höhenlinien. Deren Projektion auf die (, y)-ebene nennt man Isoquanten. y z 6 5 4 3 2 1 0 4 Isoquanten 2 0 y z=f(,y) 2 4 4 2 0 2 4 Höhenlinie,y Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 6

Partielle Ableitung I Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung y z = f (, y) z y = y 0 Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Veränderlichen. Diese Funktion einer Variablen wird mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht. Wenn dieser Grenzwert eistiert, spricht man von der partiellen Ableitung f ( 0, y 0 ). f auch: = f ( 0, y 0 ) (0,y 0 ) f ( 0 + h, y 0 ) f ( 0, y 0 ) lim = f ( 0, y 0 ) h 0 h Graphisch: Steigung des Graphen von z = f (, y 0 ) im Punkt ( 0, f ( 0, y 0 )). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 7

Partielle Ableitung II Analog: Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung f ( 0, y 0 + h) f ( 0, y 0 ) lim = f y ( 0, y 0 ) = f h 0 h y Graphisch: Steigung des Graphen von z = f ( 0, y) im Punkt (y 0, f ( 0, y 0 )). (0,y 0 ) Die Ausdrücke f (, y), f y (, y) heißen partielle Ableitungen oder auch Ableitungsfunktionen (vgl. Ableitung an der Stelle 0 : f ( 0 ) und Ableitungsfunktion f ()). Die Schreibweise f soll andeuten, dass f nicht nur von der Variablen abhängt, sondern noch von mehr Variablen. Beim Berechnen der partiellen Ableitungen sind die üblichen Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel usw.) zu beachten! Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 8

Partielle Ableitung (Beispiel) Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung (f () g()) = f () g() + f () g () Ableitungsregeln in IR 1 : ( ) f () = f () g() f () g () g() g 2 () (f (g())) = f (g()) g () f (, y) = ey 2 sin( y) 1 + 2 + y 2 2 f (, y) = ey cos( y) y (1 + 2 + y 2 ) 2 e y 2 sin( y) (1 + 2 + y 2 ) 2 [ ] e y 2 2y sin( y) + e y 2 cos( y) (1 + 2 + y 2 ) f y (, y) = (1 + 2 + y 2 ) 2...... 2y e y 2 sin( y) (1 + 2 + y 2 ) 2 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 9

Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f (, y), f y (, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach bzw. y partiell differenziert werden. f = 2 f 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f nach. Analog erhält man f y, f yy, f,... Problem: Ergibt sich bei f y und f y dasselbe? Man kann zeigen, dass dies bei den in der Prais auftretenden Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz). f (, y) = sin( y) f (, y) = sin( y) + y cos( y) f y (, y) = 2 cos( y) f y (, y) = 2 cos( y) 2 y sin( y) = f y (, y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

Tangente; Linearisierung Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung f () f ( 0 ) + f ( 0 ) ( 0 ) }{{} Tangentengleichung Eigenschaften: 1 Der Punkt ( 0 f ( 0 )) liegt auf der Geraden. y 2 Die Steigung der Geraden stimmt mit der Ableitung der Funktion im Punkt 0 überein. y f ( 0 ) 0 = f ( 0 ) f ( 0 ) y = f () 0 t Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 11

; Linearisierung Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung f (, y) f ( 0, y 0 ) + f ( 0, y 0 ) ( 0 ) + f y ( 0, y 0 ) (y y 0 ) = z }{{} z Bedingungen: 1 Der Punkt ( 0 y 0 f ( 0, y 0 )) liegt auf der Ebene. 2 Die beiden partiellen Ableitungen von Fläche und Ebene stimmen im Punkt ( 0 y 0 ) überein. y z = f (, y) E t ( 0 y 0 ) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 12

Totales Differenzial Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung f = f ( 0 +d, y 0 +dy) f ( 0, y 0 ) f ( 0, y 0 ) d + }{{ f y ( 0, y 0 ) dy } df Der Funktionszuwachs f wird z durch die Veränderung des Wertes auf der z = f (, y) approimiert (Linearisierung). Dieser Zuwachs ergibt sich durch Multiplikation der Veränderung f y dy E t f df d bzw. dy mit den partiellen f d Ableitungen f ( 0, y 0 ) bzw. y 0 + dy y f y ( 0, y 0 ). df = f d + f y dy df bzw. dz heißt totales Differenzial der Funktion f (, y). y 0 0 0 + d Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 13

Richtungsableitung Funktionsbegriff dz = f ( 0, y 0 ) d + f y ( 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf = ( f f y ) ( a1 a 2 ) cos ϕ Gilt a = 1, so stellt dz die Steigung auf der in Richtung a dar. Diese ( ) fällt( maimal ) aus, wenn f a1 f y a 2 Richtung des stärksten Anstiegs! y Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 y 0 + a 2 = ( f a 2 y0 f y z ) ( a1 a 2 a dz a 1 ) f a 1 0 0 + a 1 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 14

Richtungsableitung, Gradientenvektor dz = f ( 0, y 0 ) d + f y ( 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Man nennt den Vektor der partiellen Ableitungen auch Gradientenvektor: ( ) f grad f = f = f y Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 = ( f f y z ) ( a1 a 2 dz ) f a 1 Richtungsableitung: ( ) a f = f a f y a y y 0 + a 2 a 2 a a 1 Anstieg in Richtung a auf E t y0 0 0 + a 1 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 15

Partielle Ableitungen Totales Differenzial, Richtungsableitung, Richtungsableitung; Beispiel (1 1) f (, y) = 6 2 + 2y 2 7 f (, y) = 1 6 2 +2y 2 f y (, y) = f = ( f f y ) 7 2y 6 2 +2y 2 2 7 = ( 1 7 2 7 ) Richtungsableitung parallel ( zur ) 1. Winkelhalbierenden: a = 1 1 2 1 f a = f a = 1 7 2 ( 1 2 7 ) ( ) 1 1 = 1 14 z ( 0 y 0 ) E t a f z 7 = 1 7 ( 1) +... 2 7 (y 1) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16 y

Fehlerrechnung; absolut Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h : V = f (r, h) = π r 2 h Der Radius r = 10 cm werde um dr = 0.2 cm und die Höhe h = 12 cm werde um dh = 0.5 cm verändert. Zur Berechnung des Differenzials bestimmen wir die Ableitungen im Punkt (10, 12). f r (r, h) = 2πrh f r (10, 12) = 240π f h (r, h) = πr 2 f h (10, 12) = 100π Damit erhält man für das totale Differenzial: V dv = f r (10, 12) dr+f h (10, 12) dh = 240π 0.2+100π 0.5 = 98π Für den eakten Zuwachs V errechnen wir: V = f (10.2, 12.5) f (10, 12) = 1300.5π 1200π = 100.5π Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 17

Fehlerrechnung; relativ Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. (partielle) df f (, y) Elastizitäten: = f (, y) d + f y (, y) dy f (, y) = f (, y) f (, y) ε f, (, y) = f (, y) f (, y) d + y f y (, y) dy f (, y) y Beispiel: z = f (, y) = c α y β mit c IR; α, β > 0. Differenzial: dz = c (α α 1 y β d + β α y β 1 dy ). ε f, = f (, y) f (, y) ; ε f,y (, y) = y f y (, y) f (, y) = cαα 1 y β y fy (, y) c α y β = α ; ε f,y = = cβα y β 1 y f (, y) c α y β dz z = α d + β dy y Nimmt um a % und y um b % zu, so wächst die Produktionsmenge z um ungefähr (α a + β b) %. = β Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 18

Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f (, y) = 0, f y (, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Etremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei ( 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Etremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f ( 0, y 0 ) f yy ( 0, y 0 ) (f y ( 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt f ( 0, y 0 ) f yy ( 0, y 0 ) (f y ( 0, y 0 )) 2 > 0 lokales Etremum Ist dabei f ( 0, y 0 ) > 0 lokales Minimum f ( 0, y 0 ) < 0 lokales Maimum 1 Bei Funktionen einer Variablen war f ( 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Etremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen; Beispiel f (, y) = ln( + 1) 1 10 ( y)2 1 5 y f (, y) = 1 + 1 1 5 ( y) f y (, y) = 1 5 ( y) 1 5 1 + 1 1 5 ( y) = 0 (1) 1 5 ( y) 1 5 = 0 (2) (1) und (2) : 1 + 1 1 5 = 0 = 4 ; in (2) : y = 3 Ableitung Ausdruck bei (4, 3) f (, y) = 1 ( + 1) 2 1 5 f yy (, y) = 1 5 f y (, y) = 1 5 6 25 1 5 (4, 3) = f (4, 3) f yy (4, 3) (f y (4, 3)) 2 = 1 5 Es ist also (4, 3) > 0, d. h., es liegt eine Etremum vor. Wegen f = 25 6 < 0 ist (4, 3) eine Maimumstelle. Das Maimum beträgt f (4, 3) = ln 5 7 10 0.91 ( 25 6 ) ( 1 ) 5 ( 15 ) 2 = 1 125 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 20

Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen; Zusammenstellung 1 Variable 2 Variablen Funktion f () f (, y) Ableitungen erster Ordnung f () f (, y), f y (, y) Kandidaten für f f ( E ) = 0 ( E, y E ) = 0 Etremstellen f y ( E, y E ) = 0 Ableitungen zweiter Ordnung f () f (, y), f yy (, y), f y (, y) Entscheidungskriterium (f y ( E, y E )) f ( ( E ) E, y E ) = f ( E, y E ) f yy ( E, y E ) Maimum f ( E ) < 0 ( E, y E ) > 0 und f ( E, y E ) < 0 Minimum f ( E ) > 0 ( E, y E ) > 0 und f ( E, y E ) > 0 Sattelpunkt ( E, y E ) < 0 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 21

Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Bei vielen werden Etremwerte einer Funktion f (, y) nicht unter allen Stellen (, y) des Definitionsgebiets gesucht, sondern es ist zusätzlich eine Nebenbedingung zu erfüllen. Bei der Veranschaulichung einer Funktion f (, y) als Gebirgsfläche bedeutet das: Die Nebenbedingung beschreibt eine Gebirgsstraße. Es ist nicht der Berggipfel gesucht, sondern der höchste Punkt der Straße. Bei der Suche nach Etrema unter Nebenbedingungen gibt es zunächst die Möglichkeit, die Nebenbedingung nach einer Variablen aufzulösen und dann in die Zielfunktion einzusetzen (Eliminationsmethode). Daneben gibt es auch noch eine etwas allgemeinere Strategie (Lagrange-Methode), die vor allem leicht auf den Fall von mehr als zwei Variablen übertragbar ist. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 22

Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen; Beispiel Zylindrische Dose mit vorgegebenem Volumen, Oberfläche soll minimal sein. Oberfläche: O = 2πr 2 + 2πr h = f (r, h), Nebenbedingung: πr 2 h = V 0 = festes Volumen. Auflösen nach einer Variablen: h = V 0 πr 2 Dies in die f (r, h) einsetzen ergibt eine Funktion von einer Variablen: O = 2πr 2 + 2πr V 0 πr 2 = 2πr 2 + 2V 0 r = O(r) G do = 2π 2r 2V 0! dr r 2 = 0 4πr = 2V 0 r 2 r = 3 V0 2π d 2 O dr 2 = 4π + 4V 0 r 3 > 0 : r = 3 V0 2π, h = V 0 πr 2 = 3 4V0 π lokales Minimum bei: h r h G U Umfang U Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 23

Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen; Lagrange Lagranges Multiplikatormethode: Die Funktion z = f (, y) soll maimal (minimal) werden unter Einhaltung einer Nebenbedingung g(, y) = 0. Man bildet damit eine neue Funktion ( Lagrange-Funktion ) F (, y, λ) = f (, y) + λg(, y) (Funktion von drei Variablen). Notwendige Bedingung für ein relatives Etremum der Funktion F (, y, λ) ist F = 0 : f (, y) + λg (, y) = 0, F y = 0 : f y (, y) + λg y (, y) = 0, F λ = 0 : g(, y) = 0 Nebenbedingung! Plausibilitätsprüfung für Etrema! Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 24

Fehlerrechnung Lokale Etrema ohne Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen Lokale Etrema mit Nebenbedingungen; Lagrange, Beispiel O = 2π r 2 + 2π r h = f (r, h) ; π r 2 h V 0 = g(r, h) = 0 F (r, h, λ) = f (r, h) + λ g(r, h) = 2π r 2 + 2π r h + λ ( π r 2 h V 0 )! F r = 4π r + 2π h + λ 2π r h = 0 (1) F h = 2π r + λ π r 2! = 0 (2) λ = 2 r (2a) F λ = π r 2! h V 0 = 0 (3) (2a) in (1) : 4π r + 2π h 4π h = 0 h = 2r (1a) (1a) in (3): π r 2 2r = V 0 r = 3 V0 2π, h = 2 3 V0 2π = 3 4V0 π Nebenstehend die Gebirgsfläche und der Etrempunkt auf der Gebirgsstraße für V 0 = π. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 25