y(t) ϑ 4. Lagrange-Formalsmus 4.0 Enführung Abbldung 4.1: Das sphärsche Pendel mt bewegtem Aufhängepunkt. R F mg Zel st es, enen enfachen Zugang zu komplzerten mechanschen Systemen zu entwckeln. Nach ener etwas komplzerten Herletung wrd sch der Lagrange- Formalsmus als sehr enfach n der Anwendung zegen. Zudem erlaubt er, enge tefere Zusammenhänge mt Symmetreüberlegungen aufzuzegen. 4.1 Zwangsbedngungen In physkalschen Problemen snd uns häufg ncht nur Kräfte, de auf Telchen oder Körper wrken, gegeben, sondern auch Bedngungen, de deren Bahn erfüllen müssen; dese Bedngungen reduzert de Zahl der Frehetsgrade des Systems: En System mt f Frehetsgraden besteht aus N Telchen, deren möglche Konfguratonen x ( x 1... x N ) zur Zet t durch f unabängge Lagekoordnaten q (q 1... q f ) ( generalserte Koordnaten) beschrebbar snd ( Defnton von Frehetsgraden): x x (q 1... q f, t) ( 1... N). (4.1) De Komponenten der x snd ncht unabhängg vonenander, de generalserten Koordnaten q aber schon. Man kann sagen, dass de Zwangsbedngungen de Bewegung behndern bzw. enschränken. Bespel 1: Sphärsches Pendel Sphärsches Pendel mt fester Sellänge R und mt vorgegebenem beweglchen Aufhängepunkt y(t) (sehe Abb. 4.1). x(t) y(t) + R e(t), wobe e(t) über de Enhetskugel vareren kann, auf der man z.b. de Polarkoordnaten ϑ und ϕ als Lagekoordnaten benutzen kann (f ). (Notaton: e steht für enen Enhetsvektor.) Bespel : Geführte Bewegung Telchen m Schwerefeld auf ener festen Bahn (Achterbahn, sehe Abb. 4.). De Bewegung st festgelegt durch zwe Zwangsbedngungen y 0; f(x, z) 0. Also blebt nur en Frehetsgrad übrg (f 1). De Zwangsbedngungen üben auf das Telchen sogenannte Zwangskäfte aus, de für de Enhaltung der Zwangsbedngungen sorgen. Wr verfolgen jetzt das Zel, dese ncht explzt bekannten Zwangskräfte aus den Bewegungsglechungen zu elmneren. Vrtuelle Verschebungen Vrtuelle Verschebungen (auch vrtuelle Verrückungen genannt) zur Zet t snd klene Änderungen der Koordnaten, de mt den Zwangsbedngungen verenbar snd. Bem sphärschen Pendel wäre des ene Auslenkung der Wnkel (be konstantem r R): (r, ϑ, ϕ) (r, ϑ + δϑ, ϕ + δϕ). Be der Achterbahn wäre des ene Änderung der Koordnaten (x, y, z) mt Abbldung 4.: De Achterbahn st mathematsch äquvalent zum geführten Fall auf ener Schene. (x, 0, z) (x + δx, 0, z + δz) 1
mt f(x, z) 0, und f(x + δx, z + δz) 0. Es st klar, dass m letzteren Falle de vrtuellen Verschebungen δx und δz ncht vonenander unabhängg sen können. Per Defnton snd jedoch de generalserten Koordnaten (q 1... q f ) vonenander unabhängg (Frehetsgrade). Damt st jede Verschebung der Form δ x f 1 x (q, t) q δq (4.) für alle {δq } ene zulässge vrtuelle Verschebung. De Bezechnung vrtuell besagt her, dass dese Verschebung ncht durch de Dynamk (Bewegungsglechungen) verursacht wrd, sondern momentan (mt δt 0) als Gedankenexperment gescheht. In anderen Worten, de δ x müssen mt dem tatsächlchen Ablauf der Bewegung nchts zu tun haben. Zwangskräfte De vrtuelle Arbet st durch δa F δ x F x q δq ( ) x F δq (4.3) q }{{} Q gegeben, wobe F de augenblcklche Kraft auf das Telchen st. De Q N 1 F x q snd de generalserten Kräfte. Da de generalserten Koordnaten ncht notwendg de Dmenson Länge haben, haben de zugehörgen generalserten Kräfte ncht mmer de Dmenson der Kraft; allerdngs glt mmer [Q q ] [Energe], d.h. das Produkt aus generalserter Koordnate und zugehörger Kraft hat de Dmenson Energe. Zwangskräfte snd per Defnton Kräfte, de kene vrtuelle Arbet lesten, da vrtuelle Verschebungen n Rchtung ener Zwangskraft per Defnton ncht möglch snd. In Bespel 1 st de Fadenspannung ene Zwangskraft, n Bespel de Kräfte, de das Telchen auf der vorgegebenen Bahn halten. Zwangskräfte können á pror ncht angegeben werden, da se als Reaktonskräfte auf de Bewegung des Systems entstehen. Es st daher wchtg, Bewegungsglechungen für Systeme mt Zwangsbedngungen zu fnden, n denen 3 de Zwangskräfte gar ncht erst vorkommen. Solche Bewegungsglechungen snd de Lagrange-Glechungen für den Fall von Potentalkräften bzw. de d Alembert schen Glechungen m allgemenen Fall. 4. Das d Alembertsche Prnzp Zu jedem Zetpunkt t wrkt auf das Telchen de Kraft F, de sch aus F K + Z der Zwangskraft Z und der dynamschen Kraft K zusammensetzt. Nur de dynamsche Kraft trägt zur Bewegung (Beschleungung) des Telchens be. Zel st es, de Zwangskräfte aus den Newton schen Bewegungsglechungen p F K + Z zu elmneren. Herfür benutzen wr das Prnzp der vrtuellen Arbet, das besagt, dass Z δ x 0 ( 1... N), d.h. de Zwangskräfte verrchten kene Arbet. Infolgedessen enthält de vrtuelle Arbet (Gl. (4.3)) δa ( K + Z ) δ x K δ x kene Zwangskräfte, was wr m folgenden verwenden werden. Q δq Wr gehen von den Newton schen Bewegungsglechungen aus und multplzeren se mt zulässgen vrtuellen Verschebungen δ x. Wr erhalten so das d Alembert sche Prnzp ( ) p F δ x 0, (4.4) das wr nun auf verallgemenerte Koordnaten transformeren wollen. Generalserte Koordnaten Zel st es, aus Gl. (4.4) enen Ausdruck der Form g (q, q, t) δq 0 (4.5) 4
zu erhalten. Da alle δq zulässge vrtuelle Verschebungen snd (z.b. auch δq 1 0, δq β 0 für β... f), muss dann jeder enzelne Summand n Gl. (4.5) verschwnden und aus Gl. (4.5) könnten wr dann sofort folgern g (q, q, t) 0 ( 1,... f). (4.6) Des wären dann de gewünschten f unabhänggen Bewegungsglechungen für unsere f Frehetsgrade. Für de Transformaton auf generalserte Koordnaten verwenden wr δa F δ x Q δq (Defnton der verallgemenerten Kräfte Q ) und p δ x p x δq ( ) x p δq. q q Das d Alembert sche Prnzp Gl. (4.4) wrd somt zu ( ) p x Q δq 0. (4.7) q Heraus könnten wr sofort de Bewegungsglechungen p x Q 0 ( 1... f) (4.8) q ablesen. Deses Ergebns befredgt uns jedoch noch ncht und n der Tat kann man de Bewegungsglechungen auf ene schönere Form brngen. Man kann zegen (kommt glech), dass p x d T T (4.9) q dt q q st, wobe T m x T(q, q, t) de knetsche Energe (n generalserten Koordnaten) st. Damt werden Gl. (4.8) zu den d Alembertschen Glechungen d T T Q 0 dt q q ( 1... f). (4.10) 5 Dese Bewegungsglechungen snd nun schon sehr vel nützlcher, da es häufg lecht st, de knetsche Energe n generalserten Koordnaten anzugeben. Es blebt Gl. (4.9) herzuleten. Wr setzen dabe voraus, dass de Transformatonen x x (q ) stetge partelle Abletungen bs zur zweten Ordnung bestzen. Wr begnnen mt der rechten Sete und verwenden T m x : d T T ( ) d m x x m x x dt q q dt q q Wr verwenden nun und x x q q und erhalten somt d T T dt q q wegen d x dt q also Gl. (4.9) mt p m x. 4.3 Lagrange-Funkton d x x dt d q dt f β1 x x q x q β + x q β t ( ) x m x + x x q q m x x, q De d Alembert schen Glechungen (4.10) gelten allgemen, auch für Kräfte, de ken Potental haben. Für den Fall von Potentalkräften, Q V q ( 1... f), (4.11) können wr de Lagrange-Funkton L(q, q, t) T(q, q, t) V(q, t) defneren, und de d Alembert schen Glechungen werden dann zu den Lagrange- Glechungen: Dazu ergänzen wr m ersten Term von Gl. (4.10) en V, das ja be Potentalkräften ncht von q abhängt, und fnden mt Gl. (4.11) d (T V) (T V) 0, dt q q 6
und damt de Lagrange-Glechungen d L L 0 ( 1... f). (4.1) dt q q Jedes System, das n deser Wese durch ene Lagrange-Funkton beschreben werden kann, heßt en Lagrange sches System. Verallgemenerter Impuls De Lagrange-Glechungen (4.1) legen nahe, dass es snnvoll st, zu jeder verallgemenerten Koordnate q enen verallgemenerten Impuls p va p L(q, q, t) q zu defneren, denn dann kann man de Lagrange-Glechungen n der Form ṗ L q schreben. Der verallgemenerte Impuls p heßt auch (zu q ) konjugerter Impuls. Natürlch snd de Lagrange-Glechungen be Wegfall von Zwangsbedngungen mt den Newton schen Glechungen dentsch. Bespel: Sphärsches Pendel Sphärsches Pendel (Aufhängepunkt fest) m Schwerefeld. De beden generalserten Koordnaten snd ϕ und ϑ, de Lagrange-Funkton L(ϕ, ϑ; ϕ, ϑ) 1 mr ( ϑ + ϕ sn ϑ ) mgr cos ϑ kann man unter Verwendung der Transformatonsglechungen x R cos ϕ sn ϑ, y R sn ϕ sn ϑ, z R cos ϑ aus L m (ẋ + ẏ + ż ) mgz herleten. De beden Lagrange-Glechungen lauten demnach d L dt ϕ L ϕ 0, Bespel: Geladenes Telchen d L L dt ϑ ϑ 0. Für en geladenes Telchen (mt Ladung e) n enem äußeren elektrschen und magnetschen Feld snd de Kräfte kene Potentalkräfte. Trotzdem gbt es ene Lagrange-Funkton: L( x, x, t) 1 ( m x e φ( x, t) 1 ) x A( x, t). (4.13) c Dabe snd φ( x, t) und A( x, t) de elektromagnetschen Potentale und B rot A; E gradφ 1 A c t de Komponenten des elektromagnetschen Feldes. (Bemerkung: De Möglchket E und B so darzustellen wrd durch de beden homogenen Maxwell-Glechungen dv B 0 und rot E + 1 c B t 0 gegeben, sehe Elektrodynamk.) De zu Gl. (4.13) gehörenden Lagrange-Glechungen lauten (k 1,, 3) d ( mẋ k + e ) dt c A k mẍ k + e A k + e A k ẋ c t c x oder e φ x k + e c ( mẍ k e φ 1 ) A k x k c t }{{} E k ẋ A x k, + e ( A ẋ A ) k, c x k x }{{} ( x B)k was genau der Lorentz-Kraft (sehe Kap. 1.4) entsprcht. Allgemene Vorgehenswese bem Lagrange-Formalsmus Be der Beschrebung enes mechanschen Systems mthlfe des Lagrange- Formalsmus können wr n der Regel folgendermaßen vorgehen: 1. Zwangsbedngungen formuleren (oft enfach n kartesschen Koordnaten).. Generalserte Koordnaten festlegen (d.h. Transformatonsglechungen von generalserten zu kartesschen Koordnaten bestmmen). 3. Lagrangefunkton L T(q, q, t) V(q, t) aufstellen. 4. Lagrangeglechungen aufstellen und lösen. 5. Auf anschaulche Koordnaten zurücktransformeren und nterpreteren. 7 8
y r(t) ϕ ω t Bespel: Massenpunkt auf roterender Stange m x Abbldung 4.3: En Massenpunkt st beweglch an ener Stange befestgt, de mt Wnkelgeschwndgket ω um de z-achse rotert. En Massenpunkt bewege sch radal auf ener roterenden Stange, x r(t) cos ωt, y r(t) sn ωt, z 0, n Abwesenhet enes externen Potentals (sehe Fg. 4.3). De knetsche Energe schrebt sch n der generalserten Koordnaten r als T m (ẋ + ẏ + ż ) m ṙ (cos ωt + sn ωt) + m r ω (( sn ωt) + (cos ωt) ) und de Lagrange-Funkton somt als De Lagrange-Glechungen lauten mt der Lösung L(ṙ, r) T m ṙ + m r ω. d L dt ṙ L r m r mω r 0, r ω r, r(t) a 1 e ωt + a e ωt. Wr fnden also enen exponentellen Verlauf. Frage: We müssen de Anfangsbedngungen gewählt werden, damt der Massenpunkt ncht nach außen geschleudert wrd? 4.4 Prnzp der klensten Wrkung Als Wrkung I defnert man de zetlch ntegrerte Lagrange-Funkton I[q] t () t L(q(t), q(t), t) dt. (4.14) De Wrkung st en Funktonal von q q(t), da für jede Bahnkurve (physkalsch oder ncht) I[q] enen anderen Wert hat. En Funktonal st ene Abbldung, de ener gegebenen Funkton q(t) ene Zahl zuordnet. Man betrachte nun alle de Bahnkurven q(t), de festen Randbedngungen genügen, das heßt für de q(t ) q und q(t () ) q (), für feste q und q () glt. Man schrebt Gl. (4.14) dann auch symbolsch n der Form I[q] L(q(t), q(t), t) dt, wobe de Integralgrenzen de festen Randbedngungen andeuten sollen. Wr können nun den Lagrange-Formalsmus aus der folgenden Forderung ableten: Hamlton sches Extremalprnzp Postulat: Enem mechanschen System mt f Frehetsgraden q {q 1,..., q f } se ene C -Funkton L(q, q, t) der Varablen q und q sowe der Zet t, de Lagrangefunkton, zugeordnet. Weter se ene physkalsche Bahnkurve (d.h. ene Lösung der Bewegungsglechungen) gegeben: φ(t) {φ 1 (t),..., φ f (t)}, t 1 t t, de de Randbedngungen φ(t 1 ) a und φ(t ) b erfüllt. Dese Bahnkurve macht de Wrkung I[q] t () t dt L(q(t), q(t), t) extremal. Das Prnzp der klensten Wrkung (Hamlton sches Extremalprnzp) besagt also, dass unter allen möglchen Bahnkurven q(t) de physkalsch realserte dejenge st, de de Wrkung I[q] mnmert (extremal macht). Herbe st als physkalsche Bahnkurve dejenge defnert, de de Lagrange-Glechungen erfüllt. Für den Bewes st de Varatonsrechnung nötg, da man allgemen mt δi[q] de Varaton enes Funktonals bezechnet, also de Abletung von I[q] nach 9 10
{q,...,q f } () Wr verwenden nun de Bezechnungen p L q 0 dt ( L q δq + p t δq und δq q λ λ0 ), q(t) q(t,λ) q 1 Abbldung 4.4: Varaton der Bahn m Raum der verallgemenerten Koordnaten. der Bahnkurve q(t). Das Hamlton sche Extremalprnzp besagt nun, dass δi[q(t)] 0 (4.15) st. Da man ncht gut nach q(t) dfferenzeren kann, betrachtet man n der Varatonsrechnung ene en-parametrge Schar von Bahnkurven, q(t, λ) wobe man de funktonale Abhänggket vom Parameter λ zu desem Zetpunkt offen lässt, um jede möglche Bahnkurve mt q(t, λ) (q 1 (t, λ),..., q f (t, λ) beschreben zu können. O.B.d.A. können wr jedoch annehmen, dass de physkalsche Bahn für λ 0 realsert wrd. Damt wrd das Hamlton sche Prnzp (Gl. (4.15)) zu δi[q(t)] 0 d I[q(t, λ)] 0, (4.16) dλ λ0 ener enfachen Rechenaufgabe m Dfferenzeren bezüglch enes Parameters λ. Varaton Wr führen de Varaton nun aus. 0 d L(q(t, λ), q (t, λ), t) dt dλ t dt λ0 ( L q q λ + L ) q. q t λ λ0 11 und ntegreren den zweten Summanden partell, um de Zetabletung von δq loszuwerden. Wr erhalten 0 p δq () + dt ( L d ) q dt p δq (4.17) Nun verschwndet wegen der festen Randbedngungen de Varaton der Bahn an Anfangs/End-Punkt: δq (t (j) ) d dλ q (t (j), λ) d dλ q(j) 0 (j 1, ). λ0 λ0 Damt wrd der erste Term auf der rechten Sete von Gl. (4.17) zu Null. Wr erhalten also 0 dt ( L d ) q dt p δq Ferner bemerken wr, dass wr bsher belebge Varatonen δq (t) der Bahn zugelassen haben, de mt den Randbedngungen konsstent snd. Insbesondere könnten wr z.b. δq 1 (t) δ(t t 0 ) und δq β (t) 0 für β... f wählen (mt t < t 0 < t () belebg und δ(t t 0 ) der Drac schen Delta-Funkton). Somt st klar, dass de Klammer auf der rechten Sete von Gl. (4.17) für alle Zeten t und alle 1... f separat verschwnden muss. Also erfüllt de Extremalbahn de Euler-Lagrange-Glechungen d L L 0 dt q q ( 1... f), de mt den Lagrange-Glechungen (4.1) dentsch snd. Äquvalenz-Transformatonen Aus dem Hamlton schen Prnzp folgt unmttelbar, dass zwe Lagrange-Funktonen L und L äquvalent snd, falls L L d F(q, t) dt 1
st, denn n desem Fall unterscheden sch de zugehörgen Wrkungen I[q] I [q] d F(q, t)dt F(q, t) dt () const. nur durch ene Konstante, da de t () und de q () q(t () ) fest snd. Dann snd hre Varatonen δi[q] δi [q] δ(const.) 0 glech. Nach dem Hamlton schen Prnzp Gl. (4.15) führen somt äquvalente Lagrange-Funktonen auf dentsche Bewegungsglechungen. Bespel: Echtransformaton Als Bespel betrachten wr de Lagrange-Funkton für en Telchen n enem elektromagnetschen Feld. Das Vektorpotental A und das skalare Potental φ snd ncht endeutg bestmmt, da ene Echtransformaton A A + gradχ; φ φ 1 χ c t de Felder E und B ncht ändert (χ χ( x, t) belebg). Da ene Echtransformaton de physkalschen elektromagnetschen Felder E und B ncht ändert, müssen de Lagrange-Funktonen vor und nach der Echtransformaton äquvalent sen: ( ) χ t + x gradχ L L + e L + e c c wegen dχ dt χ d x x t + χ t d.h. de Lagrangefunkton wrd um en totales Zetdfferental ener Funkton von q und t geändert. Also st de Lagrangefunkton kene Messgröße, da se ncht endeutg st. 4.5 Erhaltungssätze Falls ene Koordnate q β n L ncht vorkommt, so st der dazugehörge verallgemenerte Impuls p β L q β erhalten, denn nach den Lagrange-Glechungen st dann d dt p β d L L 0. (4.18) dt q β q β 13 dχ dt q β heßt dann ene zyklsche Koordnate. Jede zyklsche Koordnate führt zu enem Erhaltungssatz; es st also günstg, de generalserten Koordnaten so zu wählen, dass möglchst vele zyklsch snd. Bespel: Ebene Zentralkraft Zum Bespel st L m (ṙ + r ϕ ) V(r) de Lagrange-Funkton n Polarkoordnaten für das ebene Zentralkraftproblem. Da ϕ n L ncht vorkommt, st p ϕ L ϕ m r ϕ (4.19) erhalten: p ϕ st der Drehmpuls. De Voraussetzung, dass L ncht von q β abhängt, glt aber nur n passend gewählten Lagekoordnaten. Im obgen Bespel st etwa de Drehmpulserhaltung n kartesschen Koordnaten (x, y, z 0) ncht evdent, da dann de Lagrange-Funkton L m (ẋ + ẏ ) V( x + y ) sowohl von x we von y abhängt. Trotzdem sollte es möglch sen, de Drehmpulserhaltung auch n desem Fall zu erhalten. Des st mttels Symmetreüberlegungen möglch, we m folgenden gezegt werden wrd. Bespel: Symmetretransformaton Falls de Lagrange-Funkton nvarant unter ener Schar von Transformatonen { φ λ qβ q : β + λ (4.0) q q für β st, dann st L offenschtlch von q β unabhängg (0 L/ λ 0 L/ q β ) und somt nach Gl. (4.18) p β erhalten. De Abbldung Gl (4.0) können wr nun verallgemenern. Flüsse und Vektorfelder Wr kommen jetzt auf den Satz von Noether zurück, mt dem man de dversen Erhaltungssätze unter enem gemensamen Prnzp zusammenfassen kann. Dazu verwenden wr de Methode der Flüsse φ λ, de ene sehr allgemene Methode zur Untersuchung von Symmetreegenschaften ener Lagrangefunkton darstellt. 14
Wr defneren als enen Fluss ene en-parametrge Schar φ λ von Abbldungen des Konfguratonsraums auf sch selbst q φ λ (q), q(λ) φ λ (q) (n Komponenten: q φ λ (q)) falls se de Egenschaften (Gruppenegenschaften) haben: φ 0 Identtät; φ λ φ µ φ λ+µ. (4.1) Jeder Fluss hat en erzeugendes Vektorfeld (Geschwndgketsfeld ener Strömung) v(q) d dλ φλ (q). (4.) λ0 Se nun q(t) ene Kurve m Konfguratonsraum. Der Fluss φ λ bldet de Kurve q(t) auf φ λ( q(t) ) ab. Wr nennen den Fluss φ λ ene kontnuerlche Symmetre ener Lagrangefunkton L(q, q, t), falls ( L φ λ( q(t) ), t φλ( q(t) ) ), t L ( q(t), q(t), t ). für alle λ R und für jede Kurve t q(t) R f. Satz von Noether Falls ene Lagrange-Funkton L enes autonomen (abgeschlossenen) Systems unter enem Fluss φ λ nvarant st, d.h. falls φ λ ene kontnuerlche Symmetre von L st, dann st erhalten, d.h. p, v(q) p v (q) (4.3) d p, v(q) 0. (4.4) dt In anderen Worten, zu jeder kontnuerlchen Symmetre gehört ene Erhaltungsgröße. Bewes: Wr bemerken, dass sch q unter dem Fluss φ λ we q φ λ (q) d dt φλ (q) 15 transformert. Nach Voraussetzung st L nvarant, also 0 d dλ L(φλ (q), φ λ (q)) [ L dφ λ q λ0 dλ + L d φ ] λ q dλ λ0 [( ) d L dφ λ dt q dλ + L d dφ λ ] d L dφ λ q dt dλ λ0 dt q }{{} }{{} dλ p v d p v (q). dt λ0 In der Umformung haben wr de Euler-Lagrange-Glechungen verwendet; der Satz von Noether Gl. (4.4) glt also nur auf der physkalschen Bahn, d.h. wenn q(t) ene Lösung der Bewegungsglechungen st. Bespel: Ebene Zentralkraft De Lagrange-Funkton vom ebenen Zentralkraftproblem st n kartesschen Koordnaten L m (ẋ + ẏ ) V( x + y ). L st nvarant unter dem Fluss φ λ (x, y) (φ λ x(x, y), φ λ y(x, y)) der Rotatonen um de z-achse um den Wnkel λ, gegeben durch ( ) ( ) ( ) ( ) φ λ x(x, y) x cos λ + y sn λ cos λ sn λ x φ λ. y(x, y)) x sn λ + y cos λ sn λ cos λ y Das Integral der Bewegung Gl. 4.3 st dann (mt x, y): p v (q) L d q dλ φλ (q) mẋ (+y) +mẏ ( x). }{{}}{{} λ0 v y v x (4.5) In anderen Worten: Der Drehmpuls m(xẏ yẋ) st erhalten. Das wussten wr schon von Gl. (4.19), doch der Satz von Noether erlaubt es uns, de Erhaltungssätze n belebgen Koordnatensystemen herzuleten und de wchtge Verbndung mt den damt verbundenen Symmetren aufzudecken. Bespel: N-Telchen-System De Lagrange-Funkton von enem autonomen N-Telchen-System N 1 L m x V( x 1... x N ) 1 16
st nvarant unter dem Fluss der Translatonen entlang ener belebgen Rchtung e: φ λ : x x + λ e. Dann st mt v e der Schwerpunktmpuls entlang der e Rchtung, p v m x e, erhalten. 4.6 Infntesmale Erzeugende En klener Exkurs (wchtg für de Quantenmechank). Für enen (nfntesmal) klenen Wnkel λ wrd de Matrx (Gl. (4.5)) für Drehungen um de z-achse zu φ λ x (x, y) φ λ y (x, y) φ λ z (x, y) λ π x y λ 0 x λ y 0 0 0 z 1 λ 0 λ 1 0 0 0 1 x y, z wobe wr de nvarante Koordnate z z mtgenommen und cos λ 1 λ / sowe sn λ λ λ 3 /6 verwendet haben. Wr defneren nun 1 λ 0 1 0 0 0 1 0 λ 1 0 0 1 0 + λ 1 0 0 1 + λ J z. 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Man bezechnet de antsymmetrsche Matrx J z als nfntesmale Erzeugende für Drehungen um de z-achse (n der Quantenmechank wrd J z der Drehmpulsoperator (Operator Matrx) sen). Exponentaldarstellung Wegen der Gruppenegenschaft Gl. (4.1) von enparametrgen Flüssen kann man ene Drehung um enen Wnkel λ durch Hnterenanderschalten von N Drehungen um den Wnkel λ λ/n errechen. Für große N erhalten wr φ λ lm (1 + λ J z)(1 + λ J z )... (1 + λ J z ) x N }{{} lm N ( 1 + λ N J z 17 N Terme ) N x e λj z x, wobe de Exponentalfunkton ener Matrx durch hre Taylorrehe e λj z n λn n! Jn z defnert st. Allgemene Drehungen Man kann dese Formel verallgemenern (ohne Bewes). Nehmen wr an, wr wollen um ene Achse e ene Drehung um den Wnkel ϕ durchführen. Man kann nun zegen, dass dese Drehung durch ϕ x e J x gegeben st mt x (x, y, z), ϕ ϕ e und den Erzeugenden 0 0 0 0 0 1 0 1 0 J x 0 0 1 ; Jy 0 0 0 ; Jz 1 0 0. 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Insbesondere erfüllt de Transformaton R(t) x e t ω J x de Glechung R TṘ x }{{} R T R ( ω J) x ω x, 1 sehe Kap. 1.8 (beachte de andere Defnton (Vorzechen) von ω n Kap. 1.8). Mt J fassen wr symbolsch de dre Erzeugenden J x, J y und J z (selbst Matrzen) zu enem Vektor zusammen. 4.7 Energeerhaltung Aus den Lagrange-Glechungen folgt dl dt L t + ( L q + L ) q q q L t + d dt L t + p q. Falls also de Varable t n L ncht explzt vorkommt, so st L t 0 p q L (ṗ q + p q ) erhalten. Man kann desen Erhaltungssatz auch mt dem Satz von Noether n Zusammenhang brngen, ndem man mt t q 0 de Zet als zusätzlche Varable betrachtet und de Invaranz der Lagrange-Funkton unter Translatonen n der 18
Zet betrachtet. Falls also de Lagrange-Funkton von der Wahl des Zetnullpunktes unabhängg st, dann st de verallgemenerte Energe p q L erhalten. Bespel Wr betrachten ene Lagrange-Funkton der Form L T(q, q) V(q) 1 g β (q) q q β V(q), β wobe de knetsche Energe also ene homogene, quadratsche Form n q 1... q f st (allgemener Fall). Also st p q T q T, q und unsere Erhaltungsgröße st de Gesamtenerge: p q L T (T V) T + V Bespel Für en Telchen n enem statschen äußeren elektromagnetschen Feld Gl. (4.13) st p q L m x + eφ( x) de erhaltene Gesamtenerge. Fragen: Warum kommt n der Gesamtenerge das Magnetfeld B, bzw. das Vektorpotental A ncht vor? We lautet der generalserte Impuls p L? x 4.8 10 Erhaltungsgrößen des abgeschlossenen konservatven Systems Für en abgeschlossenes System, dessen Kräfte en Potental bestzen und das unter Galletransformatonen nvarant st, hatten wr 10 Erhaltungsgrößen notert (Kap. 1.7). Jetzt snd wr n der Lage, dese Erhaltungsgrößen auf de 10 kontnuerlchen Parameter der Gallegruppe zurückzuführen und damt formal herzuleten. Wegen der Gallenvaranz hat de Lagrangefunkton enes solchen Systems de Form N m L( x 1,..., }{{ x N} ; x 1,..., x N ) V( x 1,..., x N ) T V, x 1 19 mt V(R x 1 + b,..., R x N + b) V( x 1,..., x N ) R SO(3), b R. De Impulse snd dann p L m x a) Zettranslatonen führen, we berets besprochen, zur Erhaltung der Energe E T + V. b) Räumlche Translatonen: L st nvarant unter der gemensamen Translaton φ λ ( x 1,..., x N ) ( x 1 + λ b,..., x N + λ b) Das zugehörge Vektorfeld st v(x) ( b,..., b). De zugehörge Erhaltungsgröße st N p, v(x) m x b P b 1 Da b belebg st, st der Gesamtmpuls P erhalten. c) Drehungen: L st nvarant unter Drehungen φ λ ( x 1,..., x N ) (R( e, λ) x 1,..., R( e, λ) x N ) wobe R( e, λ) de Drehung um enen Wnkel λ um de Achse e st. Das zugehörge Vektorfeld st v( x 1,..., x N ) ( e x 1,..., e x N ), und de Erhaltungsgröße st daher p, v(x) N 1 x m x ( e x ) e N m x x }{{} L 1 e L Da e belebg gewählt werden kann, bedeutet das de Erhaltung des Gesamtdrehmpulses L. d) Invaranz des Systems unter spezellen Galletransformatonen, de de Translaton n en mt glechförmger Geschwndgket v bewegtes Koordnatensystem beschreben. Das entsprcht der Schar φ λ ( x 1,..., x N ) ( x 1 + λ vt,..., x N + λ vt) 0 τ λ (t) t
Das zugehörge Vektorfeld st v( x 1,..., x N ) ( vt,..., vt), Man hat her den allgemeneren Fall, dass de transformerte Lagrangefunkton sch von der ursprünglchen um de totale Zetabletung von F(x, t, λ) N ( λ x v + λ v t ) 1 unterschedet. Man erhält dann als Erhaltungsgröße (Detals sehe z.b. [Goldsten]) das Schwerpunktntegral N 1 m x vt N 1 m x v ( MX Pt ) v Es glt übrgens auch umgekehrt, dass jeder Erhaltungsgröße zu ener kontnuerlchen Symmetre führt. 4.9 Prnzp von Euler-Maupertus Das Prnzp von Hamlton besagte, dass de Varaton der Wrkung I[q(t)] L dt für de physkalsche Bahn q(t) verschwndet. Dabe waren für de Varaton nur solche Bahnen zugelassen, für de be festen Anfangs- und Endzeten t, t () de Endpunkte der Bahn, q q(t ) und q () q(t () ) fest vorgegeben waren. Varaton der Endzeten Wr wollen nun de Klasse der zugelassenen Bahnen verallgemenern: Der Anfangs/Endpunkt der Bahn, q 1 und q sollen mmer noch fest vorgegeben sen, doch dem System wrd jetzt erlaubt, zu ener belebgen Zet t zu starten und zu ener belebgen Zet t () anzukommen. Damt st t t (λ) und t () t () (λ) für ene belebge Bahn q(t, λ). Wr betrachten de Varaton der Endpunkte t (j) dt(j) (λ), δq (j) dq (t (j), λ), (j 1, ) dλ dλ λ0 λ0 q (j) d dλ q (t (j) (λ), λ) δq (j) + q t (j). (4.6) λ0 Das (j) n q (j) deutet her de Abhänggket von den Anfangs- und Endzeten an. Wr berechnen nun, analog zu Gl. (4.17), de Varaton der Wrkung I[q]: δ L dt d t ()(λ) dt L ( q(t, λ), q(t, λ) ) dλ t (λ) t () t () dt d t dt [ λ0 dt ( L t q λ q + L q q λ dt ( L d t q dt δq + d ( L dt q t () ( ) L δq q L q δq (j) + L t (j) ] () [ p q (j) ( ] () [ E t (j) δ ] () + [L t (j) [ p q L) t (j) ] () E dt, ) ] () + [L t (j) ) ] () )δq + [L t (j) p δq (j) + L t (j) ] () wobe wr Gl. (4.6) verwendet haben, mt der Annahme, dass de Gesamtenerge E p q L erhalten st, und dass de Endpunkte der Bahn fest snd, also [ ] () q 0. Mt E T + V fnden wr 0 δ (L + E) dt δ (T V + T + V) dt δ T dt. (4.7) Deses Zwschenergebns wrd jetzt nützlcher, wenn man de Geometre der Bahnkurve ns Spel brngt. Metrscher Tensor Wr nehmen nun an, dass de knetsche Energe ene postv defnte quadratsche Form st, T 1 g β (q) q q β mt T(q, q) > 0, q, q. β Im Konfguratonsraum defneren wr durch das Bogenelement ds mt ds β g β (q)dq dq β (4.8) 1
ene (Remannsche) Metrk. Im R 3 st das Bogenelement n kartesschen Koordnaten durch ds dx + dy + dz gegeben und der metrsche Tensor st g β δ β (mt, β x, y, z). Im R st das Bogenelement n ebenen Polarkoordnaten ( durch ) ds dr + r dφ gegeben und der metrsche Tensor st g 1 0 0 r (mt q (r, φ)). Zweck der Parametrserung nach der Bogenlänge st, de Zet als Kurvenparameter m Konfguratonsraum zu ersetzen. Geometre der Bahnkurve De Bogenlänge ener Kurve q(t) st durch ( ) ds g β (q) dq dq β dt dt dt β (4.9) bestmmt. Also haben wr ds g β (q) q q β dt T dt (E V(q)) dt. (4.30) β Es glt also allgemen: Für ene Bewegung zu fester Energe E bestmmt de geometrsche Gestalt der Bahnkurve m Konfguratonsraum va Gl. (4.30) auch den zetlchen Durchlauf, denn dt ds/ (E V(q)) (Vergleche auch Kap..). De geometrsche Gestalt der Bahn lässt sch aus enem Varatonsprnzp gewnnen, dem Prnzp von Euler-Maupertus: δ E V(q) ds 0, (4.31) wobe wr Glechungen (4.7) und (4.30) verwendet haben (denn T dt Tds (E V)ds). De Varaton st herbe be festen Endpunkten der Bahn m Konfguratonsraum auszuführen. Deses Varatonsprnzp wrd manchmal auch als Jacob-Prnzp bezechnet. Anmerkung: In Gl. (4.31) kommt de Zet ncht mehr vor und ds st durch Gl. (4.8) als Funkton der dq gegeben. De Varaton betrfft also nur noch den räumlchen Verlauf der Bahn m Konfguratonsraum. Alternatv kann man her s auch als Kurvenparameter auffassen, also q q (s) betrachten, wobe s n der Metrk (Gl. (4.8)) de Länge der Kurve q(s) st. Bespel: Geodätsche Lnen Für V(q) 0 st δ ds 0, d.h. de Bahnen zu jeder Energe E snd durch de kürzeste Verbndung (geodätsche Lnen n der Metrk Gl. (4.8)) zwschen den beden Punkten q und q () gegeben. In anderen Worten, das System sucht sch de kürzeste Konfguratonslaufbahn. De Bewegung fndet also auf Geraden (m freen Raum) oder Großkresen (auf ener Kugel) statt. Fermatsches Prnzp De Lagrange-Funkton für en Telchen m enem Potental V( x) st L m x V( x). De Metrk Gl. (4.8) st dann (bs auf unwesentlche Zahlenfaktoren) de gewöhnlche eukldsche Metrk m R 3 und das Varatonsprnzp lautet δ E V( x) }{{} n( x) ds 0. (4.3) Fasst man n( x) als Brechungsndex enes optsch nhomogenen Medums auf, so st des das Fermatsche Prnzp für de Lchtstrahlen (das Prnzp des klensten Lchtwegs). De Analoge wrd plausbel, wenn man bedenkt, dass de optsche Weglänge durch L opt n( x)ds C gegeben st; mt der Identfkaton n( x) E V( x) bedeutet de Varaton, dass wr mt δl opt 0 enen extremalen Lchtweg suchen. Interessant st das, wel wr jetzt de Methode der Euler-Lagrange-Glechungen auf en Problem der Optk übertragen können. Strahlenglechungen Um de Varaton von Gl. (4.3) ausführen zu können, müssen wr noch ene klene Schwergket überwnden, de darn besteht, dass das Integral (... )ds kene festen Grenzen hat, da ja de geometrsche Länge der Bahn á pror ncht festgelegt st. 3 4
Wr führen nun enen Bahnparameter τ en, so dass de Bahn q (τ) de Randbedngungen q (j) q(τ (j) ) (j 1, ), für feste τ (j) erfüllt. Nach Gl. (4.8) wrd dann das Bahnelement wegen ds d x (g β δ β ) zu ds x dτ ( d dτ ). Damt wrd Gl. (4.3) zu δ τ ( ) τ ( 1) n( x) x }{{} dτ 0. L( x, x) De Dfferentalglechungen für de gesuchten Extremalkurven snd nun nchts anderes als de Lagrange-Glechungen zur Lagrange-Funkton L( x, x), d.h. d ( ) n x dτ ẋ ( ) n x k x 0 (k 1,, 3), k oder d dτ ( n ẋk x ) x n 0 (k 1,, 3). (4.33) x k Man kann verfzeren, dass Gl. (4.33), für n( x) E V( x), zu den Newton schen Glechungen mẍ k x k V( x) äquvalent st. Führen wr weder 1 d de Kurvenlänge s als Kurvenparameter en, so erhalten wr mt ( ) d x n d grad n 0. ds ds Des st de Strahlenglechung der geometrschen Optk. Übergang zur Quantenmechank x dτ d ds Also gbt es ene formale Analoge zwschen der Mechank enes Massenpunktes n enem Potental V( x) und der geometrschen Optk (Lchtwellen) n enem Medum mt dem Brechungsndex n( x) E V( x). Dese Analoge kann man als Ausgangspunkt für de Wellenmechank von Schrödnger benutzen, n der de Massenpunkte zu Materewellen werden (sehe de Quantenmechank). 4.10 Varaton mt Nebenbedngungen Klassfkaton der Zwangsbedngungen 1) Holonome Zwangsbedngungen Darunter versteht man Verknüpfungen der Koordnaten (und eventuell der Zet) der Form g r ( x 1,..., x N, t) 0 r 1,,..., R für en System von N Telchen mt R Zwangsbedngungen. De kartesschen Koordnaten x ( x 1,..., x N ) R 3N blden zur Zet t ene glatte f-dmensonale Fläche m R 3N, wobe f 3N R de Zahl der Frehetsgrade st. Bespele snd der starre Körper, für dessen Massen n festen Abständen ( x x j ) c j 0 glt; oder das Telchen, das sch entlang ener Kurve oder Fläche bewegen muss. Be explzter Zetabhänggket der g r (d.h. g r / t 0) sprcht man von rheonomen Zwangsbedngungen (Bespel Telchen m Aufzug), be Abwesenhet der Zetabhänggket (d.h. g r / t 0 r 1,..., R) von skleronomen Zwangsbedngungen. ) Ncht-holonome Zwangsbedngungen a) Zwangsbedngungen snd durch Unglechungen gegeben Bespele snd Telchen n ener Box; oder en Telchen, das von ener Kugel herabrutscht und sch von der Oberfläche lösen kann. b) Zwangsbedngungen snd dfferentell gegeben und ncht ntegrerbar (stellen kene totale Abletung dar). Se snd also von der Form 3N f rm dx m + f t dt 0, r 1,,..., R (4.34) m1 Ncht ntegrerbar heßt, dass es kene Funkton F r gbt mt F r x m f rm m 1,..., 3N, F r t f rt (sonst könnte man de holonome Zwangsbedngung F r ( x 1,..., x N, t) const gewnnen). Deser Fall von dfferentellen Zwangsbedngungen ergbt sch z.b. aus Zwangsbedngungen, de de Telchengeschwndgketen enthalten. En Bespel st das auf ener Ebene rollende Rad. De m Folgenden behandelte Methode der Lagrangeschen Multplkatoren wrd vor allem für den Fall b) engeführt, egnet sch aber auch für den Fall 1), da man holonome Zwangsbedngungen durch Dfferenzeren auch n der Form von Gl. (4.34) darstellen kann. 5 6
De Lagrange-Glechungen (4.1) gelten n den generalserten Koordnaten (q 1... q f ). In deser Darstellung snd für en N-Telchen-System alle r 1,..., R Zwangsbedngungen der Form g r ( x 1... x N ) 0, (r 1,..., R) von vornheren berückschtgt worden. De Anzahl der Frehetsgrade st f 3N R. Häufg st es jedoch wünschenswert, de Bewegungsglechungen n der ursprünglchen Koordnaten x { x 1,..., x N } zu formuleren, also m x K + Z, ( 1... N), (4.35) zu lösen, wobe wr de Kraft we n Kap. 4. aufgetelt haben: K : dynamsche Kraft, Z : Zwangskraft. Be dem Versuch Gl. (4.35) zu lösen seht man sch der Schwergket gegenüber, dass de Zwangskraft als Reaktonskraft á pror ncht bekannt st. Dese Schwergket lässt sch beheben, da man de Rchtung, wenn auch ncht de Stärke der Zwangskräfte á pror berechnen kann. Dazu bemerken wr () De Zwangsbedngungen g r ( x 1... x N ), (r 1... R) (4.36) defneren m R 3N Flächen F r. De erlaubten Bahnen legen n der Schnttmenge aller R Flächen, sehe Abbldung 4.5. () Wr zerlegen de Zwangskräfte n R Komponenten, Z R Z (r). r1 De Komponenten Z (r) snd dabe senkrecht auf den jewelgen Flächen F r, da se kene Arbet lesten. () Für belebge erlaubte Varatonen der Bahn δ x glt N g 0 δg r ( x... r x N ) δ x. x Also st der Gradent 1 x g r ( x 1... x N ) F r 7 Abbldung 4.5: Illustraton von zwe Zwangsbedngungen. senkrecht auf der Fläche F r. Bespel: Ene Bewegung enes Telchen n der xy-ebene st durch de Zwangsbedngung g( x) z 0 charaktersert, und der Gradent g z e z st dann senkrecht zur xy-ebene. Lagrange-Parameter Wr fnden also, dass Z R r1 λ r (t) x g r ( x 1... x N ), (4.37) wobe wr mt den λ r (t) (unbekannte) Proportonaltätskonstanten engeführt haben, den sogenannten Lagrange-Parametern oder Lagrange-Multplkatoren. Damt haben wr ene Möglchket gefunden Gl. (4.35) zu lösen. Man geht folgendermaßen vor: 1) Löse de Glechung m x K + R r1 λ r für belebge Lagrange-Parameter λ r. ) Setze dann de so erhaltenen Lösungen x g r ( x 1... x N ), ( 1... N) (4.38) x (t, λ 1... λ R ), ( 1... N) n Gl. (4.36) en und bestmme aus den heraus resulterenden R Glechungen de Werte für de Lagrange-Parameter λ r (t). Bespel: Schefe Ebene Wr betrachten de schefe Ebene mt Stegungswnkel. 8
z Nun haben wr den Lagrange-Parameter bestmmt, λ gm cos, mg x und können desen Wert n de allgemene Lösung ensetzen, also x(t) g λ gm cos cos sn t, Es glt Abbldung 4.6: Massenpunkt auf der schefen Ebene. sn / cos tan z/x, das heßt wr haben de Zwangsbedngung Für den Gradent glt g(x, z) x sn z cos 0. g ( ) g ( ) x sn. g cos z Mt dem Potental V gmz werden de Euler-Lagrange-Glechungen (4.38) (ẍ ) ( ) ( ) 0 sn m + λ z gm cos De Lösung st mẍ λ sn, m z λ cos gm. x(t, λ) λ sn m t + ẋ(0) t + x(0), λ cos + gm z(t, λ) t + ż(0) t + z(0). m Wr setzen nun enfachhetshalber x(0) 0 ẋ(0), z(0) 0 ż(0) und setzen de Lösung n de Zwangsbedngung en. Wr erhalten x sn z cos λ sn m t sn + λ cos + gm m λ gm cos m t + m t 0. 9 t cos z(t) g λ gm cos ( cos + 1) t }{{}. sn Damt fnden wr für de Zwangskraft ( ) gm sn cos Z λ g gm cos. Varatonsprnzp De Glechung (4.38) lässt sch aus enem Varatonsprnzp ableten: δ dt L ( x 1... x N, x 1... x N ) 0, mt ener verallgemenerten Lagrange-Funkton L L( x 1... x N, x 1... x N ) R λ r g r ( x 1... x N ), (4.39) denn de dazugehörgen Euler-Lagrange-Glechungen lauten d L L, dt x x r1 d L dt x L x }{{} K R g r λ r, x r1 }{{} Z und snd also mt Gl. (4.38) dentsch. De Varaton der verallgemenerten Lagrange-Funkton Gl. (4.39) bewrkt, dass der zwete Term mnmert wrd, sodass Erfüllung der Zwangsbedngungen g r ( x 1... x N ) 0 erzwungen wrd. Das st ene sehr allgemene Methode, um Nebenbedngungen n Varatonsprobleme enzubauen. 30
y(x) Abbldung 4.7: De durchhängende Kette m Schwerefeld. 4.11 Wetere Anwendungen der Varatonsrechnung Das Hamlton sche Extremalprnzp Gl. (4.15) st nur ene physkalsche Anwendung ener allgemenen mathematschen Methode, der Varatonsrechnung. Be der Varatonsrechnung geht es darum, ene Funkton y(x) (y 1 (x)... y N (x)) zu fnden, de en bestmmtes Funktonal I[y] x 0 dx F(y, y, x) unter Berückschtgung bestmmter Nebenbedngungen (Zwangsbedngungen) ds g r (y, y ) 0, (r 1... R) mnmert. Aus den vorhergehenden Betrachtungen wssen wr, dass herfür das Funktonal ( ) I [y] x 0 dx F(y, y, x) r λ r g r (y, y ) dx dy x 0 dx F (y, y, x) mnmal sen muss. De dazugehörgen Euler-Lagrange-Glechungen lauten mt (x t, y q, y q) we mmer d F dx y Bespel: Durchhängende Kette F y 0, ( 1... N). (4.40) Wr betrachten ene durchängende Kette mt der festen Gesamtlänge L. De Kette se fest aufgehängt und wrd m Schwerefeld ene Form y(x) annehmen, de de potentelle Energe, V x o dx gµ y(x) 1 + (y ) (4.41) 31 mnmert. Herbe st µ de Masse der Kette pro Längenenhet. Gl. (4.41) erhalten wr aus V ds gµ, ds dx + dy dx (1 + dy ). x o dx De Nebenbedngung der festen Länge st durch L x o ds x o dx 1 + (y ) gegeben. Im folgenden werden wr o.b.d.a. de Enheten gµ 1 verwenden. Wr müssen also das Funktonal mnmeren. I [y] Verallgemenerte Energe x 0 dx F (y, y, x), F (y λ) 1 + (y ) Wr können das Mnmum von I [y] va der Euler-Lagrange-Glechungen (4.40) fnden oder wr können bemerken, dass das F(y, y, x) F(y, y ) ncht von x t abhängt und somt nach Kap. 4.7 de verallgemenerte Energe erhalten st: Es glt also und damt für q(t) glt : L L(q, q) q L q L erhalten, für y(x) glt : F F (y, y ) y F y F y F y (y λ) 1 + (y ) erhalten. (y λ) (y ) + 1 1 1 + (y ) (y λ) 1 + (y ) a, y λ 1 + (y ) a, wobe a ene Konstante st. Dese Dfferentalglechung kann man nach y auflösen und ntegreren. Man erhält für de Form der Kette ( x ) y(x) λ + a cosh a + b, 3
wobe de Integratonskonstanten a und b, sowe der Lagrange-Parameter λ durch y(x 0 ) y 0, y(x 1 ) y 1, L festgelegt snd. Mt der Wahl x o dx 1 + (y ) (x 0, y 0 ) ( 1, 0), (x 1, y 1 ) (1, 0) erhält man b 0, Damt hat de Lösung de Form λ a cosh ( ) 1. a ( ( ) x 1 y(x) a cosh a cosh a) a ( x, y (x) snh. a) De Nebenbedngung wrd zu L also 1 1 dx 1 + (y ) 1 1 dx L a snh ( 1 + snh x ) a ( ) 1 a. 1 1 ( x dx cosh, a) Dese Glechung hat kene (!) Lösung für L < und zwe Lösungen für L >, ene Lösung entsprcht der nach unten hängenden Kette, de andere (maxmale potentelle Energe) dem optmalen Torbogen. 33