Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen un Proute von Dirichlet-Reihen Ausarbeitung zum Seminar Funtionentheorie Vortrag 16.04.2012 Gabriela Ansteeg
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen Einleitung Ziel ieses Vortrags ist es, ie analytische Theorie er Dirichlet-Reihen aus em vorherigen Vortrag fortzuführen. Dazu weren zunächst zahlentheoretische Funtionen eingeführt un grunlegene Eigenschaften erarbeitet, mit eren Hilfe sich anschließen Aussagen über Proute von Dirichlet-Reihen treffen lassen. 1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen 1.1 Definition zahlentheoretische / arithmetische Funtion. Eine zahlentheoretische oer arithmetische Funtion ist eine Abbilung f : N C. Die Menge aller zahlentheoretischen Funtionen bezeichnen wir mit A. 1.2 Beispiele. Beispiele zahlentheoretischer Funtionen sin [ ] a en : 1n 1, falls n 1, 0, falls n > 1. b i n : n für ein festes C, speziell in : i 0 n 1 für alle n N. c τn : N; n}, ie Teileranzahl von n N. σn :, ie Teilersumme von n N. N: n Definiert man für f, g A un α C ie Aition, Multipliation un salare Multipliation auf A puntweise, also urch f + gn : f n + gn, f gn : f n gn, α f n : α f n, für alle n N, so wir A zu einer C-Algebra. 1
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen Es wir sich als hilfreich erweisen, eine weitere Vernüpfung einzuführen: 1.3 Definition Faltung / Dirichlet-Faltung. Für f, g A efiniert man ie Faltung oer Dirichlet-Faltung f g A urch f gn : a,b N N: abn n n f a gb f g f gc, c n c n wobei n alle positiven Teiler von n bezeichnet. 1.4 Beispiele. a i in n n i i b i 1 in i 1 i n n 1 τn,.h. i i τ. n σn,.h. i 1 i σ. n c Allgemein ist ie Teilersumme vom Gewicht C gegeben urch n i in i i : σ n,.h. i i σ. n n Somit ist σ 1 σ un σ 0 τ. Weitere wichtige zahlentheoretische Funtionen beinhaltet ie folgene 1.5 Definition ϕ-funtion, µ-funtion, Λ-Funtion. a Die Eulersche phi-funtion ϕ A ist efiniert urch ϕn : N; 1 n, ggt, n 1}, n N. b Die Möbiussche my-funtion µ A ist efiniert urch µ1 : 1 un µn : 1, falls n p 1... p, p i P paarweise verschieen, 0, sonst, n > 1. c Die Mangoltsche Lamba-Funtion Λ A ist efiniert urch Λn : lnp, falls n p für ein p P, N, 0, sonst, n N. 2
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen Wir ommen nun zu einigen speziellen Dirichlet-Faltungen. 1.6 Satz. a Es gilt µ i e,.h. 1, falls n 1, µ en n 0, falls n > 1, für alle n N. b Es gilt ϕ i i 1,.h. ϕ n für alle n N. n c Es gilt µ i 1 ϕ,.h. µ n n ϕn für alle n N. Es gilt Λ i ln,.h. Λ lnn für alle n N. n Beweis. a Für n 1 gilt µ i1 µ 1 µ1 1 e1. 1 Für n > 1 sei n p ν 1 1... pν ie Primfatorzerlegung von n. Beachtet man, ass ie µ-funtion nur für quaratfreie natürliche Zahlen einen Wert ungleich Null liefert, erhält man µ in µ 1 1 + µ 1 + µp i1... p ij n n, j1 1 i 1 <...<i j 1 + j0 j1 j >1 1 i 1 <...<i j 1 i j 1 + j1 1 j j 1 j 1 j 1 + 1 0 en. 3
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen b Für n sei A : N; 1 n, ggt, n } Also ist A ϕ n. Zusammen mit r N; 1 r n, ggtr, n 1}. A 1,..., n}, A A für, n ergibt sich aher n 1,..., n} n n A A ϕ ϕ, n n n wobei im letzten Schritt ie Gleichheit er beien Mengen N; n} un n N; n} eingeht. c Mit er Definition von ϕ un e sowie mit Teil a ergibt sich ϕn a n 1 n 1 [ ] n 1 ggt, n ggt,n 1 µ eggt, n µ ggt,n, 1 n µ,,: 1 n,, n wobei für, n N ie Gleichheit er beien Mengen N; ggt, n} un N;, n} eingeht. Mit q erhält man schließlich ϕn µ q,: 1 q n, n µ n. n Für n 1 gilt Λ i1 Λ 1 Λ1 0 ln1. 1 Für n > 1 sei n p ν 1 1... pν ie Primfatorzerlegung von n. Für einen Teiler von n ist ie Λ-Funtion nur ungleich Null, wenn p β j j gilt, mit 1 j un 4
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen 1 β j ν j. Somit hat man Λ in Λ 1 n j1 ν j β j 1 Λp β j j j1 ν j β j 1 ν j lnp j lnp ν 1 1... pν lnn. j1 lnp j Wir schauen uns nun ie Strutur von A genauer an. 1.7 Lemma. A, +, ist ein Integritätsring mit Einselement e. Beweis. Gezeigt weren muss also, ass A, +, ein nullteilerfreier ommutativer Ring mit Einselement e ist. i A, ist ommutativ, enn nach Definition gilt für alle n N f gn a,b N N: abn f agb gc f g f n. c, N N: cn ii A, + ist urch ie puntweise efinierte Aition eine abelsche Gruppe. A, ist eine Halbgruppe, enn für f, g, h A gilt as Assoziativgesetz: f g hn f gahb a,b N N: abn a,b N N: abn c,,b N N: cbn c,l N N: cln c,l N N: cln c, N N: ca f cghb f c,b N N: bl f cg hl f cg hb ghb f g hn, für alle n N. 5
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen Die Distributivgesetze folgen ebenfalls aus en Definitionen. Mit er Nullfuntion als neutralem Element bzgl. + ist A, +, somit ein Ring. iii Wegen n f en f e f n, für alle n N, n un er Kommutativität von A, ist e as Einselement. iv Für ie Nullteilerfreiheit ist zu zeigen: f g 0 f 0 g 0 f, g A. Seien f, g A \ 0} un m : min N; f 0}, n : min N; g 0}. Damit erhält man f gmn f agb abmn a m, b n, abmn.h. f g 0. Also ist A, +, nullteilerfrei. f agb f mgn 0, 1.8 Lemma. e ist ie einzige Iempotente in A,.h. ie einzige Funtion f A \ 0}, ie f f f erfüllt. Beweis. Es gilt e 0 un e e1 ee 1 e en ee n en, n > 1, 1 e1e1 1 e1, n n e1 en + e e + en e1 0 }} n, }}} }}} 1<<n 0 0 0 0 also ist e eine Iempotente. Angenommen, f A \ 0}, f e, ist eine weitere Iempotente. Wegen 1 f f 1 f f f 1 f 1 f 1 1 6
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen muss f 1 0 oer f 1 1 gelten. 1. Fall: f 1 0. Wir zeigen per Inution nach n, ass ann schon f 0 gelten muss. IA Es gilt f 1 0. IV Für ein beliebiges, aber festes n N gelte f 0 für alle n. IS n n + 1 : f n + 1 f f n + 1 f 1 f n + 1 + }} 0 0. f f n+1 n+1, 1<<n+1 f }} 0 nach IV n + 1 n + 1 f + f n + 1 f 1 }} 0 Daraus folgt ie Behauptung mit em Prinzip er vollstänigen Inution. 2. Fall: f 1 1. Wir zeigen per Inution nach n, ass ann f n 0 für alle n > 1 gelten muss, also insgesamt f e. IA Für n 2 gilt woraus f 2 0 folgt. f 2 f f 2 f f 2 2 f 1 f 2, }} 1 2 f 1 f 2 + f 2 f 1 IV Für ein beliebiges, aber festes n > 1 gelte f 0 für alle 2 n. IS n n + 1 : f n + 1 f f n + 1 f f n+1 f 1 f n + 1 + n+1, 1<<n+1 2 f 1 f n + 1, }} 1 f }} 0 nach IV n + 1 n + 1 f + f n + 1 f 1 7
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen also f n + 1 0. Daraus folgt ie Behauptung mit em Prinzip er vollstänigen Inution. Der erste Fall liefert uns also ie Nullfuntion, welche nach Definition eine Iempotente ist, im zweiten Fall erhalten wir einen Wierspruch zur Annahme f e. Somit ist e ie einzige Iempotente in A. Wir ommen nun zu einer Beschreibung er Einheiten von A. 1.9 Lemma. Ein Element f A ist genau ann eine Einheit im Ring A, +,, wenn f 1 0. Das Inverse ist ann gegeben urch f 1 1 1 f 1, f 1 n 1 f 1 n, >1 f 1 wir auch als as Dirichlet-Inverse von f bezeichnet. f f 1 n, n N, n > 1. Beweis. Sei f A. Ist f eine Einheit, so gibt es ein g A, soass f g e gilt. Damit hat man 1 e1 f g1 f g 1 1 f 1g1,.h. f 1 0. Falls umgeehrt f 1 0 gilt, ann man f 1 A über reursiv efinieren. Damit ist 1 f f 1 1 f f 1 f 1 f 1 1 1 e1 1 un für n > 1 f f 1 n n Somit gilt f f 1 e. f n f 1 n f 1 f 1 1 + n, >1 f n f 1 n 0 en. Erinnerung: Eine Nicht-Einheit 0 f A \ A heißt irreuzibel, falls gilt: f g h mit g, h A g A h A. 8
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen Mit en bisherigen Resultaten erhalten wir einige Charaterisierungen irreuzibler zahlentheoretischer Funtionen. 1.10 Lemma. a Sei f A eine Einheit. Wenn es eine Primzahl p P gibt mit f p 0, so ist f irreuzibel. b Sei f A. Wenn gilt so ist f irreuzibel. f n 0 n p ν mit p P un ν N 0, c Die zahlentheoretische Funtion δ N efiniert urch 1, falls n N, δ N n 0, sonst, ist genau für N p P irreuzibel. Beweis. a Sei also f / A,.h. f 1 0 nach 1.9, un es existiere ein p P mit f p 0. Weiter seien g, h A mit f g h. Dann gilt 0 f 1 g h1 gh 1 1 g1h1, also folgt g1 0 oer h1 0. Ohne Einschränung sei g1 0. Damit gilt weiter p f p g hp gh p g1 hp + gph1 }} 0 gph1. Wegen f p 0 folgt h1 0, also h A. Somit ist f irreuzibel. b Seien g, h A mit f g h. Nach Voraussetzung an f ist 1 0 f 1 g h1 gh g1h1, 1 9
1 Grunlagen zahlentheoretischer Funtionen woraus g1 0 oer h1 0 folgt. Ohne Einschränung gelte g1 0. Zu zeigen bleibt also h1 0, enn ann folgt h A. Wir nehmen h1 0 an un wollen ies zum Wierspruch führen. Sei azu p P beliebig. Dann gilt 0 f p 2 g hp 2 p 2 gh g1 }} 0 p 2 hp 2 + gphp + gp 2 h1 gphp. }} 0 Daraus ergibt sich gp 0 oer hp 0 für jees beliebige p P. Seien nun p 1, p 2 un p 3 rei verschieene Primzahlen. Dann gelten also gp 1 0 hp 1 0, gp 2 0 hp 2 0, gp 3 0 hp 3 0. Somit gibt es zwei verschieene Primzahlen p, p p 1, p 2, p 3 }, soass gp 0 gp oer hp 0 hp erfüllt ist. In jeem Fall erhält man 0 f pp g hpp pp gh g1 hpp + gphp + gp hp }}}}}} 0 0 0 pp +gpp h1 0, }} 0 was en gewünschten Wierspruch liefert. Somit ist h1 0, also h A, un f aher irreuzibel. c δ N ist nach 1.9 genau für N 1 eine Einheit, a nur ann δ N 1 1 0 erfüllt ist. Betrachtet wir im Folgenen also N > 1. i Für N p P gilt δ p p 1 0 un somit ist δ p nach Teil a irreuzibel. ii Sei nun N p ν mit p P un ν > 1. Dann efiniere für n N ie zahlentheoretischen Funtionen gn 1, n p, 0, sonst, un hn 1, n p ν 1, 0, sonst. 10
2 Proute von Dirichlet-Reihen Wegen g1 h1 0 gilt g, h / A nach 1.9. Für n N un n gilt außerem stets n 1, n p ν p, g h 0, sonst. Da er Term gph p ν 1 nur für n p ν in n gh n auftaucht, gilt n 1, n p g hn ν, gh n 0, sonst. Es folgt δ N δ p ν N p ν. g h, mit g, h / A. Somit ist δ N nicht irreuzibel für iii Zuletzt sei N p ν 1 1... pν mit > 1 un p i P, ν i 1 für 1 i. Dazu efiniert man ie zahlentheoretischen Funtionen gn 1, n p ν 1 1, 0, sonst, un hn 1, n p ν 2 2... pν, 0, sonst. Dann folgt mit analoger Argumentation wie in ii, ass δ N g h gilt, wobei wieer g, h / A un somit δ N auch für N p ν 1 1... pν nicht irreuzibel ist. Insgesamt ist δ N also nur für N p P irreuzibel. 2 Proute von Dirichlet-Reihen Erinnerung: Die Riemannsche Zetafuntion ist efiniert urch ζs n s. Da wir noch mehrfach ie Konvergenzsabszisse er absoluten Konvergenz von ζs benötigen weren, halten wir ies urz fest in em folgenen 2.1 Lemma. Für i 1, also D i s ζs, gilt σ a σ a i 1. 11
2 Proute von Dirichlet-Reihen Beweis. An er Stelle s 0 ivergiert ie Zetafuntion, enn D i 0 ζ0 1. Für x 1 gilt Fx in 1 x, n x n x also hat man Fx Ox für x 1. Außerem gilt x 1 1 Fx, n x.h. Fx Ox. Mit [1] I 4.8 ist eshalb σ b infα R; Fx Ox α für x 1} 1, un wegen in in 1 für alle n N folgt σ a σ a i σ b i 1. Aus er Vorlesung ist beannt, ass sich Potenzreihen nicht holomorph über ihren Konvergenzreis hinaus auf größere Kreise fortsetzen lassen vgl. azu III 3.4 in [2]. Auch für Dirichlet-Reihen gilt eine entsprechene Aussage: 2.2 Satz Satz von Lanau. Sei f : N [0, eine relle, nicht-negative zahlentheoretische Funtion mit zugehöriger Dirichlet-Reihe un Konvergenzabszisse σ a f σ b f R. Dann hat ie Dirichlet-Reihe D f s eine hebbare Singularität an er Stelle s σ a,.h., es gibt einen Kreis um σ a, in en man D f s holomorph fortsetzen ann. Beweis. Ohne Einschränung ann man σ a 0 annehmen. Ist nämlich σ a s 0 R beliebig, so betrachtet man für f : f nn s 0 ie Reihe D f s f nn s0 n s f n n s+s0 D f s + s 0, also ist D f 0 f n n s 0 D f s 0. Wir führen en Beweis iniret: Angenommen, es gibt ein δ > 0, soass D f auf K δ 0 holomorph ist. Wegen σ a σ b 0 ist D f nach [1] I 4.4 c auf K 1 1 holomorph. Wählt man nun ε > 0 so, ass 1 + 2ε 1 + δ 2 vgl. Abb., so ist D f auf K 1+2ε 1 holomorph un besitzt ort somit eine Darstellung als onvergente Potenzreihe. 12
2 Proute von Dirichlet-Reihen Mit er Taylor-Entwiclung von D f um 1 un er Formel für ie -te Ableitung von D f aus [1] I 4.4 c erhält man D f ε 4.4 c D f 1! 0 0 0 1! 1 ε + 1! f n n 0 ε 1 f n n nε+1 lnn f nn 1 ε + 1 1 lnn f n 1 n ε + 1 lnn! f nn ε f n n f n n f nn ε. ε + 1 lnn! 0 expε + 1 lnn In obiger Rechnung arf ie Summationsreihenfolge vertauscht weren, a nach Voraussetzung an f alle auftretenen Terme in en Summen nicht negativ sin un somit absolute Konvergenz vorliegt vgl. II 3.1 in [2]. Die Konvergenz er Reihe f nn ε liefert nun en Wierspruch, enn es ist ε < 0, aber σ a σ b 0. 13
2 Proute von Dirichlet-Reihen Eine weitere Analogie zu en Potenzreihen liegt in er Darstellung er Koeffizienten als Integral. 2.3 Lemma. Sei f : N C eine zahlentheoretische Funtion un D f s f n n s ie zugehörige Dirichlet-Reihe mit Konvergenzabszisse σ a <. Dann gilt für alle N un σ > σ a Beweis. Für N un σ > σ a gilt 1 2T T T 1 f lim T 2T T T D f σ + it σ+it t 1 2T σ 2T σ 2T D f σ + it σ+it t. T T f n T n σ f n n σ+it T f n T n σ T it t n e it ln/n t, σ+it t wobei ie Vertauschbareit von Integration un Summation wegen er absolut gleichmäßigen Konvergenz von D f s auf s C; Res σ a + ε} für ε > 0 gegeben ist vgl. I 4.6 a in [1]. Für n ist anernfalls hat man x : n T T e it lnx t 1 i lnx eit lnx T T e it ln/n t 1, x > 0, also tt t T T T 1t 2T, 2 lnx 1 e it lnx e it lnx 2i 2 sint lnx. lnx 14
2 Proute von Dirichlet-Reihen Weiter mit gilt 1 2T T T D f σ + it σ+it t σ 2T f σ 2T + n f + σ 2T n f n n σ enn D f σ onvergiert absolut un für n gilt sint ln/n ln/n 1 ln1 + 1/. f n T n σ T e it ln/n t 2 sint ln/n ln/n T f, Ist nämlich n <, so gilt n 1 > 1 bzw. n 1, also n 1 + n 1 1 + 1. Daher ist ln/n ln1 + 1/ un somit sint ln/n ln/n 1 ln/n 1 ln1 + 1/. Für n > lassen sich wegen ln/n lnn/ lnn/ un n > 1 ieselben Abschätzungen wie oben mit vertauschten Rollen von un n vornehmen. Nun ommen wir zum Prout von Dirichlet-Reihen. 2.4 Lemma. Seien f, g : N C zahlentheoretische Funtionen mit en zugehörigen Dirichlet- Reihen D f s bzw. D g s un absoluten Konvergenzabszissen σ a f bzw. σ a g R. Dann gilt für alle s C mit er Eigenschaft Res > maxσ a f, σ a g} D f s D g s f gn n s D f g s. Ist f 1 0, so gilt mit em Dirichlet-Inversen f 1 D f s D f 1s 1 für alle s C mit Res > maxσ a f, σ a f 1 }. Beweis. Für s C mit Res > maxσ a f, σ a g} arf man wegen er absoluten Konvergenz 15
2 Proute von Dirichlet-Reihen beliebig umsortieren un erhält aher mit em Cauchy-Prout D f s D g s f m m s m1 m2 m2 m 1 m 1 gn n s f nn s gm nm n s f ngm n nm n s Nun setzt man : nm n. Wegen 1 n m 1 gilt nm n m 1. Zu jeem N gibt es aher nur enlich viele m N, genauer gilt 2 m + 1, soass sich als Prout er Form m nn schreiben lässt. Insbesonere gibt es auch nur enlich viele n N, ie iese Darstellung erfüllen. Somit liegt eine Umornung vor, un mit m n n gilt weiter m 1 f ngm n nm n s m2 1 n 1 D f g s. f n g n s f g s. Ist f 1 0, so ist f nach 1.9 invertierbar mit f f 1 e un man erhält ie zweite Aussage D f s D f 1s f f 1 n n s en n s 1 für s C mit Res > maxσ a f, σ a f 1 } 16
2 Proute von Dirichlet-Reihen Als pratische Anwenung von 2.4 erhalten wir as 2.5 Korollar. a Für s C mit Res > 1 gilt ζs 0 un 1 ζs µn n s. b Für s C mit Res > 2 gilt ϕn n s ζs 1. ζs c Für α C, s C mit Res > max1, Reα + 1} gilt σ α n n s ζs ζs α. Beweis. Wir haben bereits gesehen, ass ie Konvergenzabszisse σ a i er Riemannschen Zetafuntion 1 ist. Dies wir im Folgenen stets zur Anwenung von 2.4 benötigt. a Es ist µn 1 für alle n N un amit onvergiert ie Reihe µn n s n s n Res für alle s C mit Res > 1,.h. für D µ gilt σ a µ 1. Mit 2.4 erhält man für s C mit Res > 1 ζs µn n s 1.6 a in n s en n s 1. µn n s i µn n s Daraus folgt ζs 0 für s C mit Res > 1 un somit ie Behauptung. b Es ist ϕn n für alle n N un amit onvergiert ie Reihe ϕn n s n s+1 n Res 1 17
2 Proute von Dirichlet-Reihen für alle s C mit Res > 2,.h. für D ϕ gilt σ a ϕ 2. Auch hier wenet man 2.4 an un erhält für s C mit Res > 2 ζs ϕn n s 1.6 b in n s i 1 n n s ϕn n s n s+1 ζs 1. i ϕn n s Mit ζs 0 nach Teil a erhält man araus ie gewünschte Gleichheit. c Die Reihe iα n n s n s+α n Res Reα onvergiert für alle s C mit Res > Reα + 1,.h. für D iα gilt σ a i α Reα + 1. Mit 2.4 gilt ann für s C mit Res > max1, Reα + 1} ζs ζs α 1.4 c in n s σ α n n s. Als Korollar halten wir weitere Ientitäten fest. i α n n s i i α n n s 2.6 Korollar. Es sei ωn ie Anzahl er verschieenen Primteiler von n N. Für s C mit Res > 1 gilt a λn n s ζ2s ζs, b τn n s ζs 2, c 2ωn n s ζs2 ζ2s. Beweis. a Zunächst gilt nach Definition er Dirichlet-Faltung un mit Vorgriff auf ein späteres Resultat I 2.12 in [1] i λn λ in λ i n n λ I 2.12 Tλn, n 18
2 Proute von Dirichlet-Reihen mit er summatorischen Funtion von λ aus [1] I 2.17 a Tλn 1, n m 2 für ein m N, 0, sonst, n N. Weiter hat man λn 1 für alle n N un amit onvergiert ie Reihe λn n s n s n Res für alle s C mit Res > 1,.h. für D λ gilt σ a λ 1. Wegen σ a i 1 ist somit 2.4 anwenbar un man ann für s C mit Res > 1 folgene Umformungen vornehmen: ζs λnn s n s s 2.4 λnn Tλnn s m 2s ζ2s m1 i λnn s Tλm 2 m 2 s m1 Da nach 2.5 a ζs 0 für alle s C mit Res > 1 erfüllt ist, folgt araus ie Behauptung. Alternativer Beweis: Es ist λ 0 un wie oben gezeigt gilt σ a λ 1. Die Liouvillesche Funtion ist zuem nach [1] I 2.17 a streng multipliativ. Somit lässt sich as Euler- Prout er Dirichlet-Reihe D λ s bilen, welches für alle s C mit Res > 1 absolut onvergiert: λn n s [1] I 4.15 D λ s 1 + λ1 1 + l1 λp l p ls l0 λp l p ls l1 1 l p ls 1 l p ls l0 19
2 Proute von Dirichlet-Reihen l0 l0 p 2ls p 2l+1s l0 p 2s l p s l0 1 p s 1 p 2s 1 p 2s 1 p 2s 1 1 p s 1 p 2s l I 4.16 a ζ2s ζs, wobei auch hier ζs 0 wegen Res > 1 erfüllt ist. b Mit σ a i 1 gilt für alle s C mit Res > 1 ζs ζs n s s 2.4 n 1 p s 1 p 2s s 1.4 a i inn c Wir efinieren zunächst ie zahlentheoretische Funtion f : N C, f n 2 ωn. τnn s. Mit Aufgabe 4 aus Kapitel I 2 in [1] gilt 2 ωn τn. Mit en Umformungen aus Teil b erhält man aher 2 ωn n s 2 ωn n s i in n s τn n s n s n s, wobei er letzte Ausruc nach 2.4 für alle s C mit Res > 1 absolut onvergiert,.h. für D f gilt σ a f 1. Zusammen mit σ a i 1 ist 2.4 anwenbar un man ann mit er in Teil a verweneten Darstellung ζ2s n 2s Tλnn s für s C mit Res > 1 folgene Umformungen vornehmen: ζ2s 2 ωn n s Tλnn s 2 ωn s 2.4 n Tλ f nn s. 20
2 Proute von Dirichlet-Reihen Zeigt man nun noch, ass Tλ f τ gilt, so folgt mit er Ientität aus Teil b ζ2s 2 ωn n s Tλ f nn s s b τnn ζs 2. Mit ζ2s 0 wegen ζs 0 für s C mit Res > 1 erhält man schließlich ie Behauptung. Zur Gleichheit Tλ f τ: Da ie Liouvillesche Funtion nach [1] I 2.17 a multipliativ ist, ist mit [1] I 2.13 a auch ihre summatorische Funtion Tλ multipliativ. Für teilerfreme m, n N mit en Primfatorzerlegungen m p ν 1 1... pν bzw. n q η 1 1... qη l l, also p i q j, gilt weiter f mn 2 ωmn 2 +l 2 2 l 2 ωm 2 ωn f m f n,.h. f ist multipliativ. Mit [1] I 2.10 ist ann auch Tλ f multipliativ. τ i i ist als Dirichlet-Faltung zweier multipliativer Funtionen nach I 2.11 a un I 2.10 in [1] ebenfalls multipliativ. Somit genügt es, ie Gleichheit Tλ f τ nur für Primzahlpotenzen zu zeigen, enn eine multipliative Funtion g ist urch ie Werte gp ν mit p P un ν N bereits eineutig bestimmt. Ist nämlich n N \ 1} beliebig mit er Primfatorzerlegung n p ν 1 1... pν, also ggtpν 1 1... pν 1 1, pν 1, so folgt araus inutiv, ass gn gp ν 1 1... gpν gilt. Sei aher p P un ν N. Dann gilt Tλ f p ν Tλ 2 ωpν/ ν Tλp 2 ωpν p ν 0 ν 1 Tλp 2 ωpν + Tλ p ν 2 ω1 0 ν 1 Tλp 2 + Tλ p ν 0 [ ν 1 2 ] [ ν 1 [ ν 1 2 ] 0 Tλp 2 + Tλ p ν ] 2 + Tλ p ν + 1 2 + Tλ p ν 2 0 ν 1 2 + 1 2 + 0, ν ungerae, ν 1 2 + 1 2 + 1, ν gerae, ν 1 + 2, ν ungerae, ν 2 + 2 + 1, ν gerae, ν + 1 p ; 0 ν} N; p ν } τ p ν. 21
2 Proute von Dirichlet-Reihen Daraus folgt nun Tλ f n τn für alle n N. Alternativer Beweis: Wie oben gezeigt gilt σ a f 1 un f 0 ist multipliativ. Damit ann man I 4.15 aus [1] anwenen un erhält für alle s C mit Res > 1, 2 ωn n s D f s I 4.15 1 + 2 2 ω1 1 + 2 ωpl p ls l0 2 ωpl p ls l1 2 p ls l1 l0 1 + p s l 1 2 1 p s 1 p s 1 p s 2 1 p 2s 1 2 p ls 2 l0 2 1 p s 1 1 + p s 1 p s I 4.16 a ζs2 ζ2s, 1 p 2s 1 p s 2 wobei ζ2s 0 wegen Res > 1 erfüllt ist. Literatur [1] Aloys Krieg. Analytische Zahlentheorie. RWTH Aachen, 2009. [2] Aloys Krieg. Funtionentheorie I. RWTH Aachen, 2010. 22