Bruchrechnung Übersicht über wichtige und häufig benötigte mathematische Operationen Addition/Subtraktion von (ungleichnamigen) Brüchen: Brüche erweitern, sodass die Nenner gleichnamig sind, indem Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden. (Subtraktion erfolgt analog) 1 2 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 3 6 4 6 7 6 Multiplikation: Es werden immer echte bzw. unechte Brüche benötigt; gemischte Zahlen müssen zunächst umgewandelt werden. Danach kann entweder Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert werden oder es kann zuerst gekürzt werden, bevor multipliziert wird. Die Multiplikation 3 kann so nicht durchgeführt werden, da der erste Faktor eine gemischte Zahl ist. Daher muss diese zunächst in einen unechten Bruch umgewandelt werden: 3 3 3 43 15 4 4 4 Anschließend ist die Multiplikation möglich: 15 4 1 9 5 4 1 3 5 12 (hier wurde zunächst über Kreuz um 3 gekürzt) Division: Mit dem Kehrwert (Zähler und Nenner vertauschen) des Divisors (Zahl durch die geteilt wird) multiplizieren. Dann analoges Vorgehen wie oben. 9 2 3 2 9 2 2 3 3 Das Kürzen in Summen und Differenzen ist strengstens verboten! 2 5 2 4 Dieser Ausdruck kann nicht weiter vereinfacht werden. Binomische Formeln 1. Binomische Formel: 2 2. Binomische Formel: 2 3. Binomische Formel: Kirsten Johannemann, M.Sc. 1
Auflösen von Quadratischen Gleichungen Mitternachtsformel: 0, 4 2 Zu lösen ist folgende Aufgabe: 3 690 6 6 4 3 9 2 3 6 6 4 3 9 2 3 3 1 pq Formel: 0, 2 2 Gleiche Aufgabenstellung wie bei Mitternachtsformel. Zunächst muss allerdings der Faktor vor ² verschwinden, indem die ganze Gleichung durch die entsprechende Zahl geteilt wird: 3 690 230 2 2 2 2 33 2 2 2 2 3 1 Quadratische Ergänzung: Gleiches Beispiel (nur nicht in Nullform ): 3 69 3 2 9 3 2 9 (Koeffizient von ausklammern) (es wird quadratisch ergänzt ; und gleiche Zahl) 2 (Umformung) 3 1 31,1 4 (Anwendung der 2. Binomischen Formel; da 2 ) (Umformung) (Wurzelziehen) 3 und 1 Kirsten Johannemann, M.Sc. 2
Minusklammern Beim Auflösen von Klammern, bei denen ein Minus voran steht, müssen alle Vorzeichen innerhalb der Klammer geändert werden. Beispiele: 5 15 2 5 15 2 3 5 2 33 10 15 Potenzgesetze 1 Exponent ist 0 Exponent ist 1 Bei Steht Bei der Multiplikation von Potenzen mit der gleichen Basis () werden die Exponenten addiert. der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten werden die Basen miteinander multipliziert. Beim Potenzieren von Potenzen werden alle Exponenten miteinander multipliziert. Bei einem negativen Exponenten wird die gesamte Potenz in den Nenner geschrieben der negative Exponent im Nenner, wird der Ausdruck in den Zähler geholt. Transformierung einer Wurzel in Potenzschreibweise. Steht an der Wurzel keine Zahl, dann ist immer die quadratische Wurzel gemeint (2). Die Potenzgesetzte gelten nur bei einer multiplikativen Verknüpfung aller Ausdrücke (bzw. wenn eine Division vorliegt). Stehen die Argumente durch Addition oder Subtraktion miteinander in Verbindung gelten die Regeln nicht! Kirsten Johannemann, M.Sc. 3
Ableitungsregeln Funktion Ableitung Erklärung oder Beachten Sie die unterschiedliche Schreibweise: Die ursprüngliche Funktion wird nach der Variablen abgeleitet. Bei der zweiten Schreibweise ist der Bruchstrich nicht mit einer Division zu verwechseln (es wird nicht geteilt!). Gelesen wird der Ausdruck als d f von x nach d x. 0 Eine Konstante fällt beim Ableiten weg. Konstanten bleiben bei multiplikativer Verknüpfung mit der abgeleiteten Variablen erhalten. Der Exponent wird als Faktor hinzugefügt, während der eigentliche Exponent um 1 reduziert wird. 1 Hier gilt die selbe Regel wie oben, die Ableitung ist 1. Summenregel (analog bei Differenz) 2 31 6 3 Beispiel der Summenregel Produktregel 2 2 1 1 2 1 2 4 2 14 8 6 81 Beispiel der Produktregel Quotientenregel Kirsten Johannemann, M.Sc. 4
Funktion Ableitung Erklärung 2 5 3 2 2 5 3 2 5 5 3² Beispiel der Quotientenregel (Achtung: Beim Vereinfachen die Minusklammer beachten) Kettenregel ( innere mal äußere Ableitung ) 2 3 5 2 Anwendung der Kettenregel; Innere Ableitung (innerhalb der Klammer), äußere Ableitung, 1 0,5, 1 2 1 ² Ableitung einer Wurzelfunktion unter Beachtung der ober erläuterten Potenzgesetze. Ableitung einer Funktion mit Variable im Nenner ln 1 Ableitung der ln Funktion (Logarithmus mit Basis e), 1. 2.,, Partielle Ableitungen werden verwendet, wenn die Funktion von mehr als einer Variablen abhängt. Der erste Ausdruck wird gelesen als del f (von x und y) nach del x. Das bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion nach x abgeleitet wird. (Analog beim 2. Ausdruck.),,, Bei der partiellen Ableitung wird immer nach einer Variablen abgeleitet und die andere wird als konstant angenommen. Kirsten Johannemann, M.Sc. 5