Wirtscaftswissenscaftlices Prüfungssekretariat Diplomprüfung Finanzmarktökonometrie: Zeitreienanalyse Sommersemester 2010 Dr. Martin Becker Name, Vorname: Matrikelnummer: B i t t e b e a c t e n S i e F o l g e n d e s: 1. Kleben Sie bitte Ir Namensscild auf die dafür vorgeseene Markierung auf dem Deckblatt des Klausurefts! 2. Screiben Sie Iren Namen und Ire Matrikelnummer an den dafür vorgeseenen Stellen auf das Deckblatt der Aufgabensammlung (diese Seite)! 3. Legen Sie einen Lictbildausweis an Irem Platz aus. 4. Die Klausur bestet aus 6 Aufgaben mit insgesamt 120 = 21 + 20 + 17 + 28 + 18 + 16 Punkten. Prüfen Sie die Vollständigkeit Ires Exemplares nac; spätere Reklamationen können nict berücksictigt werden. 5. Die Reienfolge der Bearbeitung der Aufgaben kann beliebig gewält werden. 6. Beginnen Sie für jede Aufgabe eine neue Seite. 7. Die Benutzung von zwei beidseitig bescriebenen bzw. vier einseitig bescriebenen DIN A4-Blättern sowie Tascenrecnern ist erlaubt. 8. Aufgabe 1 ist in der Aufgabensammlung zu bearbeiten. Die Aufgabensammlung ist daer zusammen mit dem Klausureft abzugeben! 1
Aufgabe 1 (21 Punkte) Markieren Sie jeweils mit einem Kreuz pro Aussage im betreffenden Kästcen, ob die unten steenden Aussagen war oder falsc sind. Rictige Antworten geben +3 Punkte, falsce Antworten 1 Punkt, nict bearbeitete Aussagen 0 Punkte. Die Aufgabe wird insgesamt mit mindestens 0 Punkten bewertet! war falsc 1. Die ACF eines AR(1)-Prozesses X t = φx t 1 + ε t (φ 0) klingt exponentiell ab und ist für negative Koeffizienten φ alternierend. 2. Die ACF zum Lag 1 eines MA(1)-Prozesses X t = θε t 1 + ε t nimmt für θ = 1 ir Maximum und für θ = 1 ir Minimum an. 3. Jeder AR(p)-Prozess ist mittelwertergodisc. 4. Jeder AR(1)-Prozess ist ein Martingal. 5. Bei q-korrelierten Prozessen ist die PACF ab dem Lag q + 1 gleic 0. 6. Ein Random Walk mit Startwert x und Drift α ist ein ARIMA(0, 1, 0)- Prozess. 7. Es sei X = (X t ) t Z ein nict deterministiscer scwac stationärer Prozess. Der Woldsce Zerlegungssatz liefert eine Zerlegung von X in eine rein nict-deterministisce Komponente U und eine deterministisce Komponente V mit X t = U t + V t und Cov(U s, V t ) 0 s, t Z. 2
Aufgabe 2 (12 + 8 = 20 Punkte) a) Es sei ein MA-Prozess gegeben, dessen ACVF γ X () in Abängigkeit von folgende Werte annimmt: γ X (1) = 2 γ X (2) = 1 γ X (3) = 1 γ X () = 0 4 i) Welce Ordnung at der bescriebene MA-Prozess? (Begründung!) ii) Nemen Sie an, dass σε 2 = 2 gilt. Geben Sie die Parametervektoren zu den beiden möglicen MA-Prozessen an, die (für σε 2 = 2) zu der oben angegebenen ACVF-Struktur füren. b) Ist der folgende ARMA(2,2)-Prozess kausal bezieungsweise invertierbar bezüglic ε? X t = 2X t 1 + X t 2 + ε t + 1 2 ε t 1 + 3 4 ε t 2 3
Aufgabe 3 (6 + 4 + 7 = 17 Punkte) a) Wie lässt sic die Ordnung reiner AR(p)- und MA(q)-Prozesse mit Hilfe der ACF bezieungsweise PACF bestimmen? Wie veralten sic ACF und PACF bei einem ARMA(p, q)- Prozess? b) Im Folgenden sind zu Pfaden von zwei stocastiscen Prozessen jeweils die empirisce ACF sowie PACF dargestellt. Um welcen Prozess könnte es sic jeweils andeln und wie könnte die zugeörige Ordnung lauten? Prozess 1 ACF PACF ρ^x() Emp. ACF α^x() Emp. PACF 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 Prozess 2 ACF PACF ρ^x() Emp. ACF α^x() Emp. PACF 0 5 10 15 20 25 5 10 15 20 25 c) Für einen beobacteten Pfad der Länge n = 300 eines stocastiscen Prozesses X liegen folgende Werte für die Autokorrelationskoeffizienten bis zum Lag 4 vor: 0 1 2 3 4 ρ X () 1-0.07277-0.00068-0.02252-0.01077 4
Füren sie einen Ljung-Box-Test zum maximalen Lag m = 4 und zum Signifikanzniveau α = 0.05 durc. Was testet der Ljung-Box-Test und zu welcer Entsceidung kommt er in diesem Fall? Worin besteen die Untersciede zum Box-Pierce- bzw. McLeod-Li-Test? Hinweis: Für die Entsceidung steen Inen die folgenden 95%-Quantile der χ 2 (k)-verteilung zur Verfügung k 1 2 3 4 5 6 7 χ 2 k;0.95 3.8415 5.9915 7.8147 9.4877 11.0705 12.5916 14.0671 5
Aufgabe 4 (4 + 8 + 4 + 4 + 8 = 28 Punkte) a) Nennen Sie kurz möglicst viele Stylized Facts von Finanzmarktdaten. b) Aus den Sclusskursen der IBM-Aktie inneralb des Zeitraums 2006-07-01 bis 2010-06-30 (n=1006 Beobactungen) wurden die resultierenden Zeitreien der Log-Preise (IBMlogpr) sowie der Log-Renditen (IBMlogrend) berecnet. i) Welce Bezieung bestet zwiscen der Zeitreie der Log-Preise und der der Log- Renditen? ii) Die beiden folgenden Plots zeigen die empirisce ACF der Log-Preise bezieungsweise der Log-Renditen IBM Logpreise (IBMlogpr) IBM Logrenditen (IBMlogrend) ρ^x() Emp. ACF ρ^x() Emp. ACF 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 Sollte man bei den Log-Preisen von einer integrierten Zeitreie ausgeen? Hierzu wurde zusätzlic mit R ein (Augmented) Dickey-Fuller-Test auf IBMlogpr durcgefürt: Augmented Dickey-Fuller Test data: IBMlogpr Dickey-Fuller = -2.2889, Lag order = 10, p-value = 0.456 alternative ypotesis: stationary Begründen Sie Ire Antwort mit Hilfe der Plots der empiriscen ACF und ergänzend mit dem Ergebnis des ADF-Tests. c) Zusätzlic wurde nun die Zeitreie der Beträge der Log-Renditen (absibmlogrend) berecnet. Mit Hilfe der Software R wurden Ljung-Box-Tests sowol für IBMlogrend als auc für absibmlogrend durcgefürt: Box-Ljung test data: IBMlogrend X-squared = 1.4735, df = 1, p-value = 0.2248 Box-Ljung test data: absibmlogrend X-squared = 66.3015, df = 1, p-value = 3.331e-16 6
Welce typiscen Eigenscaften von Finanzzeitreien werden durc diese Ergebnisse bekräftigt? d) Weiter wurde ein Ljung-Box-Test für die Zeitreie der quadrierten Log-Renditen (qibmlogrend) durcgefürt. Box-Ljung test data: qibmlogrend X-squared = 38.1977, df = 1, p-value = 6.393e-10 Kann auf Grundlage des Testergebnisses davon ausgegangen werden, dass ARCH-Effekte in der Zeitreie der Log-Renditen vorliegen? (Begründung!) e) Scließlic wurde mit R ein GARCH-Modell an IBMlogrend angepasst: Call: garc(x = IBMlogrend, order = c(1, 1), trace = FALSE) Model: GARCH(1,1) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -4.13637-0.52787 0.04623 0.63897 5.25582 Coefficient(s): Estimate Std. Error t value Pr(> t ) a0 6.175e-06 1.498e-06 4.121 3.77e-05 *** a1 1.142e-01 1.854e-02 6.161 7.23e-10 *** b1 8.636e-01 2.055e-02 42.018 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Diagnostic Tests: Box-Ljung test data: Squared.Residuals X-squared = 0.0976, df = 1, p-value = 0.7547 i) Welce Ordnung at das gescätzte Modell? ii) Geben Sie das gescätzte Modell an. Ist die Varianz endlic? (Begründung!) iii) Nemen Sie kurz Stellung zu dem Ergebnis des Ljung-Box-Tests im Output. 7
Aufgabe 5 (6 + 2 + 6 + 4 = 18 Punkte) Es sei der Prozess Z t gegeben durc Z t = x + at + t ε n + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 (t 1), n=1 wobei ε t ein Weißes Rauscen und a, θ 1, θ 2 R ist mit a 0. a) Berecnen Sie die Differenzen Z t (für t 2) und 2 Z t (für t 3). (Hinweis: Z t := Z t Z t 1, 2 Z t := ( (Z t ))) b) Welce Prozesse Z t und 2 Z t entsteen durc die Differenzenbildung? c) Es sei nun θ 1 = θ 2 = 1. Berecnen Sie die Werte der ACVF und ACF von Z t bis zum Lag = 4. d) Sei nun θ 2 = 0. Für welce θ 1 > 0 ist dann die erste Differenz Z t von Z t invertierbar bzgl. ε? 8
Aufgabe 6 (4 + 12 = 16 Punkte) Sind X und Y stocastisc unabängige ARMA(p X, q X )-bzw. ARMA(p Y, q Y )-Prozesse, so ist X + Y ein ARMA(p, q)-prozess mit p p X + p Y und q max(p X + q Y, p Y + q X ). a) Zeigen Sie mit Hilfe dieser Aussage, dass i) die Summe zweier MA-Prozesse MA(q 1 ) und MA(q 2 ) (q 1, q 2 0) wieder zu einem MA(q)-Prozess fürt. Welce Bedingung gilt für die Ordnung q des entsteenden Prozesses? ii) die Summe zweier AR-Prozesse AR(p 1 ) und AR(p 2 ) (p 1, p 2 0) zu einem ARMA(p, q)- Prozess fürt. Welce Bedingungen sind ier an die Ordnungen p und q gestellt? b) Es seien für φ < 1 die beiden AR(1)-Prozesse X t und Y t gegeben durc X t = φx t 1 + ε t, Y t = φy t 1 + ν t, wobei ε t und ν t voneinander unabängige Weiße Rauscen sind mit gleicer Varianz σ 2. Betracten Sie nun den Prozess Z t := X t + Y t. i) Zeigen Sie, dass Z t φ 2 Z t 2 = Q t gilt mit Q t := ε t + φε t 1 + ν t φν t 1. ii) Weisen Sie nac, dass es sic bei Q t um ein Weißes Rauscen andelt. iii) Können Sie die Aussage aus Aufgabenteil a) ii) am Beispiel von Z t verifizieren? Von welcem Typ ist der Prozess Z t genauer? 9
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