Mit DVD. Ulrich Gabbert Ingo Raecke. Technische Mechanik. für Wirtschaftsingenieure. 7., aktualisierte Auflage

Ulrich Gabbert Ingo Raecke Mit DVD Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 7., aktualisierte Auflage

Gabbert/Raecke Technische Mechanik fürwirtschaftsingenieure

Ulrich Gabbert /Ingo Raecke Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure 7., aktualisierte Auflage Mit 30 Abbildungen, 6 Tabellen, 83 Beispielen sowie einer DVD achbu chbuchverlagchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

Autoren: Prof. Dr.-Ing.habil.Dr. h.c.ulrich Gabbert Dr.-Ing. Ingo Raecke Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Institut für Mechanik, Lehrstuhl NumerischeMechanik Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detailliertebibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. ISBN 978-3-446-43253-6 E-Book-ISBN 978-3-446-43595-7 Alle in diesem Buch enthaltenen Programme, Verfahren und Bilder wurden nach bestem Wissen erstellt und mit Sorgfalt getestet. Dennoch sind ehler nicht ganz auszuschließen. Aus diesem Grund ist das im vorliegenden Buch enthaltene Programm-Material mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Autor und Verlag übernehmen infolgedessen keine Verantwortung und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner orm (otokopie,mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden. achbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 203 Carl Hanser Verlag München www.hanser-fachbuch.de Lektorat: Dipl.-Phys. Jochen Horn Herstellung: Katrin Wulst Druck und Bindung: riedrich Pustet KG, Regensburg PrintedinGermany

Vorwort Die Lehrveranstaltung Technische Mechanik gehört zu den unverzichtbaren Grundlagenfächern eines jeden Ingenieurstudiums an Universitäten und an achhochschulen. Die Technische Mechanik basiert auf wenigen akzeptierten physikalischen Grundgesetzen sowie einer Vielzahl von experimentell abgesicherten Annahmen, durch die aus einer realen technischen Problemstellung ein mechanisches Idealsystem ein Modell gebildet wird, das erst die Lösung des technischen Problems ermöglicht. Verletzt man aus Unkenntnis den oft engen Gültigkeitsbereich dieser Annahmen, so hat die Lösung meist nur noch wenig mit dem realen Ausgangsproblem zu tun, was in der Praxis zu schweren Havarien und Unglücksfällen mit hohen menschlichen und materiellen Verlusten führen kann. Beispiele dafür gibt es leider mehrals genug. Daher müssen Ingenieure über ein gesichertes Basiswissen, die notwendigen Orientierungsgrundlagen und eine zuverlässige Denkfähigkeit verfügen, die es ihnen erst ermöglichen, richtige Entscheidungen treffen zu können Entscheidungen, die häufig mit der Verantwortung für die Sicherheit und die Zuverlässigkeit von Ingenieurprodukten verknüpft sind und von denen häufig genug auch die Umsätze und die Gewinne des Unternehmens in entscheidendem Maße abhängig sind. Deshalb sollten gerade Wirtschaftsingenieure über eine besondere Kompetenz in der Beurteilung technischer Lösungen verfügen. Der Inhalt des vorliegenden Lehrbuchs orientiert sich an dieser Zielrichtung und entspricht vom Umfang her einer zweisemestrigen Lehrveranstaltung mit einem Gesamtstundenumfang von 8 Semesterwochenstunden (2 Stunden Vorlesung und 2 Stunden Übung pro Woche), wie sie heute üblicherweise an Universitäten und achhochschulen für den Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen angeboten wird. Die von uns vorgenommene Stoffauswahl erhält den Gesamtzusammenhang der Technischen Mechanik und umfasst die auch für alle anderen Ingenieurstudiengänge im Grundstudium üblichen drei Gebiete Statik, estigkeitslehre und Dynamik, allerdings in einemreduzierten Umfang.Die beigefügte DVD enthältden Buchinhalt Siehe dazu auch Denkschrift zur Didaktikder Mechanik, erarbeitet von einemausschussder Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (GAMM) unter Leitung von E. Stein, Deutsches Komitee für Mechanik, April 999

6 Vorwort in orm einer PowerPoint-Präsentation, in der die Lehrinhalte Schritt für Schritt entwickelt werden, wobei über das Buch hinausgehende farbige Darstellungen, Animationen und 24 Videos den Lernprozess unterstützen. In dem Buch werden 83 Beispiele vorgerechnet, da nach unseren Erfahrungen Beispiele wesentlich zum Verständnis undzum aktiven Anwenden desvermittelten Wissensbeitragen. Das Buch ist, wie bereits der Titel verdeutlicht, für die Studierenden des Studienganges Wirtschaftsingenieurwesen an Universitäten und an achhochschulen geschrieben worden. Es ist aber natürlich auch geeignet für alle anderen Ingenieurstudiengänge, wie Maschinenbau, Verfahrenstechnik, Elektrotechnik, Energietechnik, Logistik, Berufsschullehrer für Technik, Chemieingenieurwesen, Sport und Technik, Medizintechnik, Biomechanik u. a. Die freundliche Aufnahme, die das Buch gefunden hat, machte eine weitere Auflage erforderlich. Die vorliegende siebente Auflage ist inhaltlich mit der sechsten Auflage identisch. Die PowerPoint-Dateien auf der DVD zur 7. Auflage wurden überarbeitet. Damit erscheinen jetzt auch für aktuelle PowerPoint-Programmversionen (getestet bis PowerPoint 200) die aktuellen Seitenzahlen wieder richtig und die Navigationen zwischen den Dateien funktionieren ebenfalls wie vorgesehen.ausführliche Hinweise zur Navigation befinden sich in der Datei Hinweise.doc auf der DVD. Die Autoren bedanken sich bei all denen, die zur Verbesserung des Buches und zur Beseitigung von Schreibfehlern und anderen kleinen Mängeln beigetragen haben. Unser besonderer Dank gilt Dr.-Ing. Harald Berger, Dr.-Ing. Joachim Grochla und Dr.-Ing. Heinz Köppe für ihre wertvollen Hinweise zur inhaltlichen Verbesserung des Buches.Dem Verlag sei für seine stetigenbemühungen um dieses Buch gedankt. Magdeburg,im Januar 203 Ulrich Gabbert, Ingo Raecke

Inhaltsverzeichnis Statik.... Grundlagen..... Starrer Körper.....2 Kraft... 2..3 Wechselwirkungsprinzip... 4..4 Schnittprinzip... 4..5 Reaktionskräfteund eingeprägtekräfte... 5..6 Gleichgewicht... 5..7 Äquivalenz vonkräften... 6.2 ZentralesebenesKraftsystem... 6.2. Resultierende... 6.2.2 Gleichgewicht vonkräften... 2.2.3 Lagerungsbedingungen... 2.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem... 24.3. Ermittlung derresultierendenzweierparalleler Kräfte... 24.3.2 Moment... 26.3.3 Versetzungsmoment... 27.3.4 RechnerischeErmittlung der Resultierenden (Lösungskonzept)... 28.3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten...29.3.6 Bindungen, reiheitsgrad und statischebestimmtheit einer starren Scheibe... 3.4 EbeneTragwerke...33.4. Grundbegriffe... 33.4.2 Lagerung starrer Scheiben... 34.4.3 Streckenlasten... 37.4.3. Definition vonstreckenlasten... 37.4.3.2 Ermittlung der Resultierenden einer Streckenlast... 38.4.4 Beispiele... 40.5 Scheibenverbindungen... 42.5. Ermittlung derstatischen Bestimmtheit... 42.5.2 Dreigelenkträger... 44.5.3 Gerberträger... 48.5.4 Ebene achwerke... 50

8 Inhaltsverzeichnis.5.4. Überprüfung der statischen Bestimmtheit von achwerken...5.5.4.2 Arten von achwerken...52.5.4.3 Berechnungsmethoden für achwerke...53.6 Schnittgrößen in ebenen Trägern undträgersystemen...58.6. Definition der Schnittgrößen...58.6.2 Berechnung undgrafische Darstellungder Schnittgrößen...6.6.3 Differentielle Beziehungen...65.6.4 Anwendungen...67.7 Zentrales räumlicheskraftsystem...76.7. Ermittlung derresultierenden...76.7.2 Gleichgewicht einer zentralenräumlichen Kräftegruppe...77.8 Allgemeines räumliches Kraftsystem...79.8. Zusammensetzung von Kräftenund Momenten...8.8.2 Gleichgewichtsbedingungen fürkräfte und Momente...82.8.3 Räumlich gestützter Körper...83.8.4 Schnittgrößen am räumlich belasteten Balken...86.9 Haftung und Gleitreibung...89.9. Haftung (Zustand der Ruhe)...89.9.2 Gleitreibung (Zustand der Bewegung)...94.9.3 Seilhaftung und Seilreibung...95.9.3. Seilhaftung...96.9.3.2 Seilreibung...98.0 Schwerpunkt...99.0. Massenschwerpunkt...99.0.2 Volumenschwerpunkt...00.0.3 lächenschwerpunkt ebenerlächen...00.0.4 LinienschwerpunktebenerLinien...02.0.5 Schwerpunktzusammengesetzter Gebilde...02.0.6 Anmerkungenzur Berechnung vonschwerpunkten...03. lächenmomente 2. Grades...03.. Definition derlächenmomente2.grades...03..2 Satzvon STEINER...05..3 lächenmomente 2. Grades einfacher Querschnittsflächen...07..4 Hauptflächenmomente...08..5 lächenmomente 2. Grades zusammengesetzterlächen...2 2 estigkeitslehre... 5 2. Grundlagen derestigkeitslehre...5 2.. Einleitung...5 2..2 Spannungszustand...2

Inhaltsverzeichnis 9 2..3 Deformationszustand...23 2..4 Elastizitätsgesetze(Materialgesetze)...25 2..4. Elastizitätsgesetz fürdie Dehnung...26 2..4.2 Elastizitätsgesetz fürdie Gleitung...29 2..4.3 Verallgemeinertes HOOKEschesGesetz...30 2.2 Zugund Druck...3 2.2. Spannungen und Verformungen von Stabsystemen...3 2.2.. Berechnung der Spannungen...3 2.2..2 Berechnung derverformungen...33 2.2.2 lächenpressung...4 2.3 Biegung...45 2.3. Voraussetzungenund Annahmen...45 2.3.2 Spannungen beigerader Biegung...46 2.3.3 Verformungen bei gerader Biegung...5 2.3.4 SchiefeBiegung...64 2.4 Querkraftschub...67 2.4. Schubspannungen infolge Querkraftbelastung...68 2.4.2 Abschätzung der Verformungen infolgequerkraftschub...7 2.5 Torsion...75 2.5. Torsionvon Stäben mitkreis-und Kreisringquerschnitten...75 2.5.. Annahmen undvoraussetzungen...75 2.5..2 Berechnung der Torsionsspannung...76 2.5..3 Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel ϕ)...78 2.5.2 Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte...83 2.6 Scherbeanspruchung...86 2.7 Zusammengesetzte Beanspruchung...89 2.7. Überlagerung gleichartigerspannungen...90 2.7.2 Mehrachsige Spannungszustände...9 2.7.3 Spannungshypothesen...97 2.8 Stabilität...203 2.8. Einführung...203 2.8.2 Ein einfaches Stabilitätsproblem...205 2.8.3 EULER-älle...207 3 Dynamik... 23 3. Kinematik des Punktes...24 3.. Definitionen...24 3..2 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in kartesischen Koordinaten...25 3..3 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Bahnkoordinaten...26

0 Inhaltsverzeichnis 3..4 Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten...28 3..5 Bewegung aufeiner Kreisbahn...220 3..6 Grundaufgaben derkinematik...22 3.2 Kinematik der ebenen Bewegung des starrenkörpers...226 3.2. Grundlagen...226 3.2.2 Momentanpol...227 3.2.3 Kinematik von Systemen aus Punktmassen und starrenkörpern...232 3.3 Kinetikderebenen Bewegung vonpunktmassen und starrenkörpern...236 3.3. D ALEMBERTsches Prinzip für Punktmassen...236 3.3.2 Ebene Bewegungen von starren Körpern...242 3.3.3 Aufstellung von Bewegungsgleichungen...250 3.4 Energiebetrachtungen...256 3.4. Arbeit, Energie, Leistung...256 3.4.. Arbeit...256 3.4..2 Potentielle Energie...258 3.4..3 Energieerhaltungssatz...260 3.4..4 Leistung...266 3.4..5 Kinetische Energie für die ebene Bewegung eines starren Körpers..268 3.4.2 Verallgemeinerung desenergiesatzes...27 3.4.3 LAGRANGEscheBewegungsgleichungen 2. Art...274 3.5 Schwingungen...28 3.5. Einführung...28 3.5.2 reie ungedämpfte Schwingungen mit einem reiheitsgrad...285 3.5.3 reiegedämpfte Schwingungen miteinemreiheitsgrad...294 3.5.4 Erzwungene Schwingungen miteinem reiheitsgrad...30 3.5.5 Systeme mit mehreren (n)reiheitsgraden...305 3.5.5. Einführung...305 3.5.5.2 Aufstellen der Bewegungsgleichungen...305 Hinweise zur DVD zum Buch... 33 Verzeichnis der Videos aufder DVDzum Buch... 35 Literatur... 36 Sachwortverzeichnis... 37

Statik Wasist Technische Mechanik? Die Mechanik ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf Körper. Sie ist ein Teilgebiet der Physik. Die Technische Mechanik wendet physikalische Gesetze auf technische Probleme an und entwickelt dabei grundlegende Methoden und Berechnungswege, um das mechanische Verhalten von realen technischen Systemen untersuchen, beschreiben undbeurteilen zu können. Die Technische Mechanik unterteilt man nach der Beschaffenheit der betrachten Körper in die Mechanik fester, flüssiger und gasförmiger Körper. Das vorliegende Buch behandelt ausschließlich die Technische Mechanik fester Körper (estkörpermechanik). Dieses Gebiet wird üblicherweise weiter unterteilt in Statik estigkeitslehre und Dynamik Diese Unterteilung liegtauch dem vorliegenden Buch zu Grunde. DieStatik genauer diestatik fester Körper der wir uns im Kapitel zuwenden, ist die Lehre von der Wirkung von Kräften auf starre Körper im Gleichgewichtszustand. Die Beanspruchung der betrachteten Körper wird dabei als zeitlich unveränderlich vorausgesetzt. Es ist das Ziel der Statik, Bedingungen (Gleichgewichtsbedingungen) für die angreifenden Kräfte zu formulieren, unter denen ein Körper oder ein Körpersystem in Ruhe bleibt.. Grundlagen.. Starrer Körper Von einem starren Körper sprechen wir dann, wenn der Abstand zwischen zwei Punkten auf dem Körper bei beliebigen Belastungen unverändert bleibt. In der Statik vernachlässigen wir also die Verformung eines Körpers unter der Wirkung von Kräften.

2 Statik Ein starrer Körper ist die Idealvorstellung eines Körpers, der unter Krafteinwirkung keine Verformung erfährt. Natürlich ist ein realer Körper niemals ein starrer Körper. Das Modell eines starren Körpers ist aber in vielen ällen eine für technische Bauteile und Konstruktionen zweckmäßige Annahme. Diese Annahme muss aber unbedingt kritisch überprüft werden, um die Gültigkeit derdaraus folgenden Berechnungsergebnissesicherzustellen. Die Annahme ist zulässig, wenn die Verformungen infolge der Einwirkung von äußeren Kräften so gering sind, so dass die Lageänderung der angreifenden Kräfte im Rahmen der Rechengenauigkeit vernachlässigt werden kann. Jeder reale Körper unter der Wirkung von äußeren Belastungen, der sich in Ruhe d. h. im Gleichgewicht befindet, kann gedanklich in einen starren Körper verwandelt werden (Erstarrungsprinzip)...2 Kraft Der zentrale Begriff der Statik ist die Kraft. Als Urbilder der Kraft können die Gewichtskraft und die Muskelkraft angesehen werden. Die Muskelkraft kann erfahrungsgemäß an einem Körper im Schwerefeld der Erde Gleichgewicht herstellen. Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn er in Ruhe ist bzw. nicht beschleunigt wird. Der Kraftbegriff in der Statik kann daher folgendermaßen definiert werden. Jede physikalische Größe, die sich mit dergewichtskraftins Gleichgewicht setzen lässt, ist eine Kraft. Aus der Erfahrung ist auch bekannt, dass eine Kraft in der Lage ist, eine ruhende Masse in Bewegung zu versetzen oder den Bewegungszustand von Körpern zu ändern. Mit derartigen ragen befassen wir uns im Kapitel 3Dynamik. Die Wirkung von Kräften auf Körper führt zu Deformationen an diesen Körpern, deren Berechnung Gegenstand des Kapitels 2estigkeitslehre ist. Weitere Beispiele für Kräfte sind: magnetische und elektrische Kräfte, Druckkräfte von lüssigkeiten und Gasen,Windkräfte, ederkräfte usw. Kräfte sind Vektoren und daher durch die Größen Betrag Richtung Richtungssinnund Angriffspunkt

. Grundlagen 3 bestimmt. Zur Kennzeichnung von Vektoren in ormeln wird das entsprechende Symbol mit einem Vektorpfeil versehen. Der Kraftvektor wirdüblicherweise durch (von force) gekennzeichnet. Der Betrag des Kraftvektors wird durch = dargestellt (eventuell wird miteinem Index versehen, der den Angriffspunkt und/oder die Richtung kennzeichnet). ür die maßstäbliche zeichnerische Vektorlänge e Darstellung der Kraft benötigt man die Richtung (auch als Wirkungslinie WL bezeichnet) des Kraftvektors, den Angriffspunkt AP der Kraft, und die AP Vektorlänge e. Die Pfeilspitze legt den WL Richtungssinn auf der Wirkungslinie WL fest (Bild.). Um den Betrag von als Bild. Zeichnerische Darstellung eines Vektors Vektorlänge e darstellen zu können, muss man einen Maßstabsfaktor m festlegen. Mit dem Maßstabsfaktor ergibt sich die zeichnerischevektorlänge e zu N e = mit in N und m in m mm Die Einheiten der Kraft (gesetzlich verbindlich)lauten: N = kg m s 2 kn=000 N (alt: kp=9,8n) In dem vorliegenden Buch verzichten wir auf die Erläuterung von grafischen Verfahren zu Ermittlung von Kräften. Unsere Skizzen sind daher nicht streng maßstäblich und dienen im Wesentlichen der prinzipiellen Darstellung von Kräften. Das Pfeilbild einer Kraft gibt die Lage, die Richtung und den Richtungssinn an undwirddurch dieangabedes Betrages und des Richtungswinkels α ergänzt (siehe Bild.2). α Bild.2 Skizze eines Kraftvektors In der Mechanik unterscheiden wir räumlich verteilte Kräfte (z. B. Gewichtskraft, elektrische und magnetische Kräfte), flächenhaft verteilte Kräfte(z. B. Druckkräfte von lüssigkeiten und Gasen) sowie Einzelkräfte

4 Statik Eine Einzelkraft ist ein idealisierter Grenzfall. Sie kann z. B. durch eine Seilkraft veranschaulicht werden, bei der der Angriffsbereich eine sehr kleine Querschnittsfläche des Seiles ist. Eine Einzelkraft kann am starren Körper als ein linienflüchtiger Vektor angenommen werden. Es gilt der folgende Satz (wichtiges Axiom der Statik der starren Körper): An einem starren Körper kann eine Einzelkraftbeliebig entlang ihrerwirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung auf den starren Körper ändert. Video 2..3 Wechselwirkungsprinzip Das Wechselwirkungsprinzip geht auf NEWTON (687) zurück, der die Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung postulierte. Zu jeder Kraft gehörtauf der gleichen Wirkungslinie eine Gegenkraft von gleichem Betrag aber mit entgegengesetztem Richtungssinn. G G Eine Kraft tritt also niemals allein auf, sondern es gehört zu jeder Kraft eine gleich große Gegenkraft M Erdmittelpunkt (siehe Bild.3). Das gilt beispielsweise auch für Kräfte, Bild.3 Wechselwirkungsprinzip die an Körpern wirken, die sich nicht berühren (z. B. Gravitationskräfte zwischen Himmelskörpern, magnetische Kräfte)...4 Schnittprinzip Ein Körper kann mittels eines gedachten Schnittes von seiner Umgebung befreit werden.die dadurch verlorengegangene gegenseitige Beeinflussung zwischen Körper und Umgebung muss danach durch geeignet gewählte Kräfte ersetzt werden, die den ursprünglichen Ruhezustand (oderbewegungszustand, siehe Kapitel 3Dynamik)des Körpers wieder herstellen. Durch dieses grundlegende Prinzip wird es möglich, innere Kräfte eines technischen Systems sichtbar und damit berechenbar zu machen. Im Bild.4 wurde beispielsweise der Körper aus Bild.3 von seiner Unterlage befreit und die Wirkung der Unterlage auf den Körper sowie die Wirkung des Körpers auf seine Unterlage durch die Kraft N ersetzt. ISAAC NEWTON (643 727), englischer Mathematiker, Physiker und Astronom

. Grundlagen 5..5 Reaktionskräfte und eingeprägte Kräfte Durch Lagerungen oder Abstützungen kann ein starrer Körper erfahrungsgemäß in seiner Lage fixiert werden der Körper ist dann anseine Lage gebunden. Kräfte, die bei der Anwendung des Schnittprinzips die Wirkung der Lager oder der Stützen ersetzen,nenntman Reaktionskräfte (oderauchbindungskräfte). DerAngriffspunkt und die Wirkungslinie einer Reaktionskraft werden durch die von der zugehörigen Bindung verhinderten Bewegung des Körpers bestimmt (vgl. Kapitel.4.2). Alle Kräfte, die nicht durch starre Bindungen (Lagerungen, Abstützungen) bedingt sind,heißen eingeprägtekräfte...6 Gleichgewicht Das Gleichgewichtsprinzip der Statik sagt aus, dass ein starrer Körper dann im Gleichgewicht ist, wenn er sich im Zustand der Ruhe (oder der gleichförmigen Bewegung) befindet. In diesem Sinne wurde der Begriff schon in den vorhergehenden Kapiteln gebraucht. Wenn wir einen starren Körper aus der Umgebung freischneiden, alle Bindungen durch Reaktionskräfte ersetzen und auch die eingeprägten Kräfte antragen, liegt ein geometrisch bekannter Körper unter der Wirkung von Kräften vor. Wenn die Kräfteden Zustand der Ruheoder der gleichförmigen Bewegung nicht verändern, befindet sich der Körper im Gleichgewicht. Der einfachste all einer Gleichgewichtsgruppe von Kräften liegt offensichtlich vor,wennein Körper unter der Wirkung von nur zwei Kräften steht (Bild.4). Dann herrscht Gleichgewicht, wenn diebeiden Kräfte. die gleiche Größe (gleichen Betrag) haben, 2. entgegengesetzt zueinandergerichtet sind und 3. auf der gleichen Wirkungslinie liegen. Diese durch die Erfahrung bestätigte Erkenntnis kann auf die Wirkung von beliebig vielenkräften verallgemeinert werden(siehe Kapitel.2). G N (Normalkraft) N Bild.4 Schnittprinzip und Gleichgewicht

6 Statik..7 Äquivalenz von Kräften Der Begriff Gleichgewicht soll noch durch den dualen Begriff Äquivalenz ergänzt werden. Eine Gruppe von Kräften nennt man äquivalent (mechanisch gleichwertig) zu einer zweiten Gruppe von Kräften, wenn beide für sich an demselben starren Körperdiegleiche mechanischewirkung hervorrufen. ür einen starren Körper sind unendlich viele Kräftegruppen denkbar, die zu einer gegebenenkräftegruppe äquivalent sind. So sind beispielsweise zwei nach Betrag und Richtungssinn gleiche Kräfte auf der gleichen Wirkungslinie mit unterschiedlichem Angriffspunkt am starren Körper äquivalent. Aus dem Gleichgewichts- bzw. Äquivalenzprinzip werden wir in den folgenden Kapiteln mathematische Gleichgewichts- bzw. Äquivalenzbedingungen ableiten, aus denen wir unbekannte Kräfte berechnenkönnen..2 Zentrales ebenes Kraftsystem Eine Gruppe von Kräften, die an einem starren Körperangreift und in einer Ebene liegt, heißt zentrales ebenes Kraftsystem, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden..2. Resultierende Eine Gruppe von Kräften (, 2,, n )lässt sich durch eine äquivalente Kraft, die so genannte Resultierende R,ersetzen. Die Resultierende ist denkräften (, 2,, n ) äquivalent. GrafischeLösung 2 Wir betrachten zunächst nur zwei Kräfte und 2.Das Bild.5 a) zeigt den Lageplan, der die Angriffspunkte, die Lage der Wirkungslinien und die Richtung der beiden Kräfte zeigt. Der Lageplan wird üblicherweise unter Verwendung eines Längenmaßstabes gezeichnet, in den die Winkel der Wirkungslinien korrekt 2 DieAnwendunggrafischer Methoden dient nachfolgendvorwiegend zurveranschaulichung.die Lösung von Aufgaben erfolgtstets analytisch.

.2 Zentrales ebenes Kraftsystem 7 eingetragen werden. Im Kräfteplan (Bild.5 b) werden Betrag und Richtung der Kräfte unter Nutzung eineskraftmaßstabes gezeichnet,wobei hier die Lageder Kräfte nichtmehr erfasstwerden kann. Parallelogrammsatz: 3 Zwei Kräfte lassen sich im Kräfteplan grafisch zu einer Resultierenden zusammenfassen, die nach Größe und Richtung durch die Diagonale in einem Parallelogramm bestimmt wird, dessen Seiten von den beiden (maßstäblich gezeichneten) Kräften aufgespannt werden. WL2 AP2 2 R WLR 2 R R 2 AP WL a) Lageplan b) Kräfteplan (mit Kräfteparallelogramm) c) Krafteck Bild.5 Lageplan,Kräfteplan, Krafteck Der Parallelogrammsatz der Statik entspricht mathematischdem Additionsgesetz von Vektoren, das wir nachfolgend für die analytische Ermittlung der Resultierenden benutzen werden. Das Bild.5b) zeigt den Kräfteplan mit dem Kräfteparallelogramm. Das Krafteck in Bild.5 c) ist eine Vereinfachung des Kräfteparallelogramms, bei dem die Reihenfolge der Kräfte beliebig ist. Nach der beschriebenen grafischen Ermittlung der Resultierendenim Kräfteplan wird diese auf der resultierenden Wirkungslinie (WLR) in den Lageplan eingezeichnet. Eine Umkehrung der Aufgabe, d. h. die Zerlegung einer Kraft in beliebig viele Komponenten ist nicht möglich. Eine Kraft kann in der Ebene eindeutig nur in zweikomponenten zerlegtwerden! 3 DerParallelogrammsatz istein Axiom, dasweder bewiesennochauf einfachere Aussagen zurückgeführt werden kann.seine Richtigkeit hat sich dadurch bestätigt,dass alle olgerungen aus diesem Axiom zu widerspruchsfreien, mit der Praxis übereinstimmenden Ergebnissen geführt haben.

8 Statik Analytische Lösung 4 Wie bereits erwähnt, können auf Kräfte die Regeln der Vektorrechnung angewandt werden. ür die Zusammensetzung von n Kräften zu einer Resultierenden gilt folglich: R n = = i = + + + i 2 i n (.) In Komponentenschreibweise bezogen auf ein (x,y)-koordinatensystem (Bild.6)gilt für die Resultierenden in x-richtung Rx undiny-richtung Ry 5 n Rx = ix i= n Ry = iy i= (.2) Sind diekräfte i mit ihren Beträgen i und den Winkeln α i (Winkel zwischen der positiven x-achse und den Kräften i im mathematisch positiven Sinn, d. h. für die Lage des Koordinatensystems in Bild.6 im Gegenuhrzeigersinn) gegeben, so kann man die Kräfte in ihre Komponenten inrichtung der x-achse und der y-achse zerlegen und erhält n Rx = i cosαi i= n Ry = i sinα i (.3) i= y WL iy = i sinα i α i i ix = i cosα i Bild.6 Komponenten einer Kraft Video 3 x Hinweis: Verwendet man die oben angegebene Definition für die Winkel α i (Winkel zwischen der positiven x-achse und den Kräften i im mathematisch positivensinn),sowirdingleichung (.3) das richtige Vorzeichen der Kraftkomponenten automatisch über die Winkelfunktionen berücksichtigt. ür die Resultierende ergibt sich dann R 2 Rx = + 2 Ry (.4) 4 DieAnwendunggrafischer Methoden dient nachfolgendvorwiegend zur Veranschaulichung.Die Lösung von Aufgaben erfolgtstets analytisch. 5 Kraftkomponenten werden mitunterauchnach derrichtung, in der sie liegen, indiziert. Zum Beispiel H für eine horizontal liegende Kraftkomponente und V für eine vertikal liegende Kraftkomponente. Nachteil:Es muss eine eindeutige estlegung getroffen werden,wann soindizierte Kraftkomponenten positiv sind.

.2 Zentrales ebenes Kraftsystem 9 Die Lageder Resultierenden wirddurch den Winkel α R bestimmt,der sich aus Ry tan α R = (.5) Rx ergibt. Da für α R noch zwei Quadranten möglich sind, bildet man für die Eindeutigkeit des Richtungssinns noch Ry sin α R = (.6) R Beispiel. ResultierendezweierKräfte ür die im Lageplan des Bildes.7 dargestellten zwei Kräfte und 2 soll die Resultierende ermitteltwerden. Wir wollen hier zunächst die Berechnung der Resultierenden nach den oben angegebenen allgemeinen Gleichungen vornehmen, um dann als weitere Möglichkeit die Berechnung vorzustellen, wie sie für praktische Belange meist zweckmäßiger ist. R α 2 =60 2 =400 N y α R Bild.7 Resultierende zweier Kräfte =200 N α =30 Video 4 x Berechnungmit den Gleichungen(.3) (.6) Da die Winkel zur Beschreibung der Lage der Kräfte im (x,y)-koordinatensystem nach obiger Definition bekannt sind, folgen unmittelbar aus Gleichung (.3) die Komponenten der resultierendenkraft zu bzw. Rx Rx Ry Ry = n 2 = = i cosαi = cosα + 2 cosα 2 = = i= ( 73,2 375,9) N = 202,7N n 2 = = i sinαi = sinα + 2 sinα 2 = i= ( 00+ 36,8) N = 236,8N ( 200 cos30 + 400 cos60 ) ( 200 sin30 + 400 sin60 ) Der Betrag der Resultierenden ergibtsich aus Gleichung (.4) N N 2 2 R = Rx + Ry = 2 2 ( 202,7 ) + 236,8 N = 3,7N

20 Statik undfürdenwinkel derresultierendeninbezugaufdas (x,y)-koordinatensystem erhalten wir aus Gleichung (.5) Ry 236, 8 N tanα R = = =,68 zwei Lösungen für α R 202, 7 N Rx α α R, R, 2 = 49, 43 = 80 + α ür die Eindeutigkeitdes Winkelsberechnen wir nochmit Gleichung (.6) R, = 30, 57 Ry 236,8 N sin α R = = = 0,7597 zwei weiterelösungenfür α R 37, N R α α R,3 R,4 = 49,43 = 80 α R,3 = 30,57 Der gesuchte Winkel α R muss die beiden Gleichungen(.5) und (.6) erfüllen. Das trifft nur für den Winkel von 30,57 zu.damit hat dieresultierende denrichtungswinkel =30,57 α R Die Resultierende kann jetzt auf einer Wirkungslinie durch den Schnittpunkt der beiden Wirkungslinien von und 2 mit dem Richtungswinkel α R eingezeichnet werden (siehe Bild.7). Weitere Berechnungsmöglichkeit: Die 2. Berechnungsmöglichkeit beruht darauf, dass zunächst nur die Beträge der Kraftkomponenten in der Regel aus Winkeln zwischen 0und π/2 zu einer der Koordinatenachsen berechnet werden. Das richtige Vorzeichen der Kraftkomponenten für das Aufschreiben der Gleichung (.2) muss dann aus der Anschauung gewonnen werden. ür dieses Beispiel erhalten wir (vgl. Kraftzerlegung inbild.8): Rx Ry = = H V + 2H 2V = cosα = sinα + 2 2 sin β = cosβ = 2 =400 N ( 73, 2 375, 9) N =, ( 00+ 36,8) N = 236,8N 202 7 N Wie man sieht, erhält man die gleichen Komponenten für die Resultierende. Die Rechnung wird dann wie oben fortgesetzt. Bei der Berechnung des Richtungswinkels α R kann man sich auf die Gleichung (.5) beschränken, wenn der richtige Winkel von den zwei möglichenwiederum aus der Anschauung (Beurteilung der Vorzeichenvon Rx und Ry )gewonnen wird. Da in diesem Beispiel Rx negativ und Ry positiv ist, kann die Resultierende nur β 2H y β =70 V 2V α =200 N α =30 Bild.8 Komponenten von und 2 H x

.2 Zentrales ebenes Kraftsystem 2 unter dem Winkel von α R =30,57 verlaufen. Die andere Lösung aus Gleichung (.5) mit α R = 49,43 würde bedeuten, dass Rx positiv und Ry negativ sein müssten (Kraft genau entgegengesetzt zu R ), was hier nicht der all ist..2.2 Gleichgewicht von Kräften Das Kraftgleichgewicht ist, wie wir bereits im Kapitel..6 festgestellt haben, die Bedingung für die Ruhe bzw. für die gleichförmige Bewegung eines Systems. Eine zentrale ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende gleich null ist. AnalytischeLösung Wir fordern, dass die Summe aller Kräfte in zwei beliebigen Richtungen meist nutzen wir dazu die x-richtung (Index x) und die y-richtung (Index y) oder die horizontale Richtung (Index H) und die vertikale Richtung (Index V) und schreiben = 0 bzw. = 0 oder symbolisch: : (.7) Rx RH = 0 bzw. = 0 oder symbolisch: : (.8) Ry RV Da das Gleichgewicht injeder beliebigen Richtung aufgeschrieben werden kann, gibt es unendlich viele Gleichgewichtsbedingungen. Da vondiesen jedoch nurzwei linear unabhängig sind, können nur zwei Unbekannte berechnet werden. Weitere Gleichgewichtsbedingungen können gegebenenfalls zur Kontrolle benutzt werden..2.3 Lagerungsbedingungen 6 Seile, Stäbe und reibungsfreie Auflagen sind wichtige technische Realisierungen der Lagerung von starren Körpern. Wenn wir einen starren Körper mit Hilfe des Schnittprinzips von seinenlagerungen befreien, werdendie Lagerkräfte sichtbar. Seile und Stäbe Seile und Stäbe können nur Kräfte in Längsrichtung aufnehmen. Wir führen einen Schnitt durch das Seil oder den Stab und tragen eine Zugkraft (Zugkräfte sind dann 6 WeitereLagerungsbedingungen werdenimkapitel.4.2 behandelt.

22 Statik nach dieser estlegung immer positive Kräfte) an das Schnittufer in Längsrichtung an (siehe Bild.9). Seil Stab 2 Seil S S2 Stab 2 Stab Stab S Bild.9 Lagerungdurch Seile undstäbe Hinweis: Ein Seilkannnur Zugkräfte übertragen! Ein Stab, der am Körper und an einem estpunkt gelenkig befestigt ist, kann sowohl Zug- als auch Druckkräfte übertragen. Wenn wir in der Rechnung für die Stabkraft ein negatives Vorzeichen erhalten, d. h. S <0,wird der Stab auf Druck beansprucht. Reibungsfreie (ideal glatte) BerührungzwischenKörperundUnterlage Beispiele für diese Lagerungsvariante sind die Lagerung einer Kugel in einer starren Rinne (siehe Bild.0) bzw. die Lagerung eines starren Körpers auf einer glatten KanteoderSchneide. Durch einen Schnitt wird der Körper von der Unterlage befreit und üblicherweise eine Druckkraft N normal (senkrecht) zur gemeinsamen Tangentialebene von Körperund Unterlage angetragen.wenn die Berechnung der Lagerkraft das Ergebnis N <0liefert, bedeutet das ein Abheben des Körpers von der Unterlage. R R NA NB A G B NA A G NB B Bild.0 Reibungsfreie Berührungzwischen Körperund Unterlage

.2 Zentrales ebenes Kraftsystem 23 Wir erkennen daran, dass das Vorzeichen einer Kraft von der Definition der positiven Kraftrichtung abhängt. Natürlich ist bei einer korrekten Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen das Ergebnis unabhängig von der gewählten positiven Kraftrichtung. Beispiel.2 Berechnung der Stabkräfte einesstabzweischlages Video 5 Wir wollen die Stabkräfte in einem so genannten Stabzweischlag berechnen (siehe Bild. a). Die beiden Stäbe und 2sind aneinem Ende gelenkig miteinander verbunden (z. B. durch ein Scharnier) und an dem anderen Ende jeweils durch ein Gelenk an einer starren Wandfixiert. Der Stabzweischlag wird durch einekraft belastet. Gegeben: Gesucht:, α, β Stabkräfte S und S2 S2 S2 cosβ β Stab 2 β S2 sinβ Stab α S α S sinα S cosα a) b) Schnittskizze c) Komponentenzerlegung Bild. Berechnung derstabkräfte eines Stabzweischlages Zur Lösung schneiden wir das Verbindungsgelenk frei und tragen an den beiden Schnittstellen der Stäbe die Stabkräfte an (siehe Bild. b). Wir erhalten ein zentrales ebenes Kraftsystem, das sich im Gleichgewicht befinden muss. Die Gleichgewichtsbedingungen (.7) und (.8) liefern (vergleiche Bild. c) : S sinα + S 2 sin β + = 0 () : cosα + 2 cosβ = 0 (2) S S Das sind zwei Gleichungen für die beiden Unbekannte S und S2.Aus der Gleichung (2) folgt cosα S2 = S (3) cosβ Einsetzenindie Gleichung () liefert: cosα sin β sinα + S + cosβ S = 0

24 Statik sinα cosβ cosα sin β S = cosβ Mitdem Additionstheorem sinα cos β cosαsin β = sin( α β) S cosβ = (4) sin ( α β) ergibt sich daraus Einsetzenvon Gleichung (4) in Gleichung (2) liefert S cosα 2 = (5) sin ( α β) Damitsinddie Stabkräftebekannt. Diskussion der Lösung ür α = β liegen die Stäbe auf einer Geraden. Aus den Gleichungen (4) und (5) ergeben sich dann rechnerisch unendlich große Stabkräfte. Dieser Widerspruch resultiert hier aus der Modellannahme eines starren Körpers. Lässt man die Verformbarkeit der Stäbe zu, dann stelltsich im Gleichgewichtszustand ein kleiner Winkel zwischenden Stäben ein,was zu endlich großen Stabkräften führt, die allerdings sehr groß sind und zur Zerstörung der Konstruktion führen können..3 Allgemeines ebenes Kraftsystem Ein allgemeines ebenes Kraftsystem ist eine Gruppe von Kräften mit beliebigen Wirkungslinien (WL), die sich nicht alle in einem Punkt schneiden. Wir suchen nach den Bedingungen für das Gleichgewicht einer solchen beliebigen Kräftegruppe an einem starren Körper. Als Vorbetrachtung wollen wir nachfolgend zunächst die Resultierende zweier paralleler Kräfte ermitteln..3. Ermittlung der Resultierenden zweier paralleler Kräfte In Bild.2 a) habenwir zwei parallelekräfte und 2 an einem Körper angetragen. Wir wollen eine grafische Lösungsmöglichkeit diskutieren und ergänzen dazu die beiden Kräfte um eine Gleichgewichtsgruppe von zweihilfskräften H.Anschließend bilden wir grafisch mit dem Parallelogrammsatz die Resultierenden und 2 und danach die Resultierende R dieser beidenkräfte (siehe Bild.2 b).

.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem 25 * R 2 2 * 2 * 2 R H H H H * a) Lageplan b) Kräfteplan Bild.2 Resultierendezweierparalleler Kräfte Wir haben hier die Resultierende und deren Lage (Wirkungslinie) mit einem Kunstgriff ermittelt, indem wir des Kraftsystems durch zwei sich gegenseitig aufhebende Hilfskräfte H auf der gleichen Wirkungslinie 7 ergänzt haben. Wir wollen jetzt den all betrachten, dass 2 den gleichen Betrag wie hat, aber auf einerparallelenwirkungslinie entgegengesetzt zu gerichtetist (Bild.3). Die beiden Kräfte bilden ein so genanntes Kräftepaar. Ein Kräftepaar ist eine Kräftegruppe aus zwei gleichgroßen entgegengesetzt gerichtetenkräften aufparallelen Wirkungslinien. *=*. H H α l* 2 l 2 = 2 *=* R =0 (Krafteck ist geschlossen!) a) Lageplan b) Kräfteplan Bild.3 Parallele entgegengesetztgerichtete Kräfte mitgleichem Betrag (Kräftepaar) Wegen = 2 folgt = 2 und mit l = l sinα und = sinα ergibt sich l = l.esergeben sich also zwei neue entgegengesetzt gleiche Kräfte auf parallelen Wirkungslinien mit exakt dem gleichen Produkt von Kraft Abstand wie 7 Die Ergänzungzweier sich gegenseitigaufhebender Kräfte kannauf beliebigen Wirkungslinien,die nicht parallel zu und 2 seindürfen, vorgenommenwerden. Allerdingsist eine Lage der Wirkungslinien für die zu ergänzenden Kräfte senkrecht zu und 2 zu empfehlen.

26 Statik das der Ausgangskräftemit dem Abstand l.offenbar ist bei Wirkung eines Kräftepaares auf einen starren Körperdas Produkt aus Abstand und Kraft, das wir als Moment bezeichnen, eine adäquate mechanische Größe..3.2 Moment Ein Kräftepaar kann nicht durch eine resultierende Kraft ersetzt werden! Ein Kräftepaarliefert ein Moment! Als Maß für die Wirkung eines Kräftepaares(siehe Bild.4)dient seinmoment M = l mit der Einheit: Nm (N cm, kn m). (.9) Die Wirkung eines Momentes auf einen starren Körper besteht in dem Bestreben, ihn um eine Achse senkrecht zu der vom Kräftepaar gebildeten Ebene zu drehen (z.b. Lenkrad, Schraubendreher). Daraus folgt auch die symbolische Darstellung durch einen den Drehsinn symbolisierenden gekrümmten Pfeil (in der Regel für ebene Probleme) bzw. durch einen Doppelpfeil (bei allgemeiner Lage der Drehachse). Kräftepaar in x-y-ebene (Zeichenebene) Kräftepaar liegt allgemein im Raum (in der grauen läche) y l z. Drehachse z. Drehachse z x Symbolische Darstellung des Momentes M:. M y l. x M bzw. M Bild.4 Kräftepaar und Moment mit symbolischer Darstellung Das Moment M ist wie die Kraft ein Vektor, was symbolisch durch M ausgedrückt wird. Der Momentenvektor M steht senkrecht auf der durch die beiden Kräfte des Kräftepaares aufgespannten Ebene (Bild.4). Liegt das Kräftepaar, welches das Moment bildet,in der Zeichenebene, so steht der Momentenvektorsenkrecht auf der Zeichenebene.

.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem 27 Bei ebenen Problemen ist zur Kennzeichnung des Drehsinns der gekrümmte Pfeil ausreichend. ür allgemeine Lagen des Momentenvektors wird zweckmäßig die Darstellung als Doppelpfeilgewählt, wobei für die Zuordnungder Doppelpfeilrichtung, die den Drehsinn um die Drehachse festlegt, die rechte Hand- Regel(Rechtsschraube)benutztwird (Bild.5). Satz: Das Moment am starren Körper ist ein freier Vektor. Bild.5 Der Momentenvektor kannalso amstarren Körper, im Unterschied zum Kraftvektor, auch senkrecht zu seiner Wirkungslinie verschoben werden ohne dass sich seine Wirkung auf denstarrenkörper verändert! Video 2.3.3 Versetzungsmoment Was passiert, wenn wir eine Kraft am starrenkörper auf eine parallelewirkungslinie versetzen? Video 6 WL 2 WL WL 2 WL WL 2 WL M = l l l l Bild.6 Versetzungsmoment beim parallelen Versetzen einer Kraft Wir betrachten zur Klärung dieser rage einen Körper mit den beiden parallelen Wirkungslinien WL undwl 2 im Abstand l unter der Wirkung einer Kraft auf der Wirkungslinie WL (siehe Bild.6). Wir tragenjetzt auf der Wirkungslinie WL 2 zwei gleich große, sich gegenseitig aufhebende Kräfte an. Damit ergibtsich ein Kräftepaar mit dem Abstand l, das durch ein Moment M = l das so genannte Versetzungsmoment ersetztwerden kann. Wenn wir eine Kraft parallel zu ihrer Wirkungslinie verschieben, müssen wir das Versetzungsmoment berücksichtigen. Als statisches Moment einer Kraft bezüglich eines beliebigen Punktes A bezeichnen wir das Versetzungsmoment M A,das beim Versetzen der Kraft auf eine A M A = l. l WL Bild.7 Statisches Moment einer Kraft bezüglich A

28 Statik parallele, durch A verlaufende Wirkungslinie entsteht (siehe Bild.7)..3.4 Rechnerische Ermittlungder Resultierenden(Lösungskonzept) ür die Ermittlung der resultierenden Wirkung einer beliebigen Anzahl von Kräften an einem starren Körper bezüglich eines Punktes A versetzen wir sämtliche Kräfte durch Parallelverschiebung in den Punkt A und ermitteln das resultierende Versetzungsmoment. Die Kräfte können dann, wie beim zentralen Kraftsystem gezeigt, zu einer Resultierenden R zusammengefasst werden (siehe Gleichungen (.3) und (.4)). ür das resultierende Momentergibtsich (vergleiche Bild.8) M RA = n i= M ia = n ( iy xi ix yi) i= y y i A M RA iy x i ix i Bild.8 Bildung des resultierenden Momentes x (.0) Wir wollen die Berechnungan einem Beispiel betrachten. Beispiel.3 Ermittlung der Resultierenden eines ebenen Kräftesystems An einem starren Körper greifen drei Kräfte an (Bild.9). Wir suchendie Größe und die Richtung der Resultierenden R undderenlage, die durch den Abstand x charakterisiert ist. A R α RV 2 Gegeben:, a Gesucht: R sowie RH und RV, α, x RH x a Zuerst berechnen wir mit den Gleichungen (.2) und (.4) die Größe der Resultierenden R. Bild.9 Berechnung der Resultierenden : : RH RV = 2 = + = 2 R = 2 RH + 2 RV = 8 2 = 2 2 Aus Gleichung (.5) folgt der Richtungswinkel α zu: RV 2 tanα = tan α = = α = 45 2 RH

.3 Allgemeines ebenes Kraftsystem 29 Wir ermitteln jetzt das Versetzungsmoment der Kräfte bezogen auf den Punkt A und erhalten A : M RA = a Die vertikale Komponente RV der Resultierenden muss bezogen auf den Punkt A das gleiche Moment hervorrufen (die Wirkungslinie von RH geht direkt durch A und liefert daher kein Versetzungsmoment). Daraus folgt RV x = M RA M x = RA RV x = a 2 a = 2 Die Wirkungslinie der Resultierenden schneidet die Horizontale durch den Punkt A im Abstand von 0,5a..3.5 Gleichgewicht von Kräften und Momenten Satz: Eine allgemeine ebene Kräftegruppe ist im Gleichgewicht, wenndie resultierende Kraft R und das resultierendemoment M R gleich null sind. Damit lauten die Gleichgewichtsbedingungen am ebenen starren Körper mit A als Bezugspunktfür dasmomentengleichgewicht: n : = 0 : A : i= n i= n i= ix iy M ia (.) = 0 (.2) = 0 (.3) Diese Bedingungen müssen für jede Kraftrichtung und jeden beliebigen Punkt A erfüllt sein. Es gibt daher unendlich viele Gleichgewichtsbedingungen. Da im ebenen all von diesen jedoch nur drei linear unabhängig sind, können nur drei Unbekannte berechnet werden. Davon dürfen allerdings nur zwei Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte formuliert werden (z. B. die beiden Kraftgleichgewichtsbedingungen in horizontaler und in vertikaler Richtung). Alle weiteren Kraftgleichgewichtsbedingungen (z. B. bezogen auf andere Richtungen) sind Linearkombinationen der ersten beiden Gleichungen und können daher bestenfalls für Kontrollrechnungen benutzt werden. Gleichgewichtsbedingungen für die Momente lassen sich für beliebig viele