Computersimulationen in der Astronomie

Computersimulationen in der Astronomie Fabian Heimann Universität Göttingen, Fabian.Heimann@stud.uni-goettingen.de Astronomisches Sommerlager 2013

Inhaltsverzeichnis 1 Differentialgleichungen 3 1.1 Beispiele..................................... 4 1.1.1 Kondensatorentladung......................... 4 1.1.2 schräger Wurf.............................. 4 1.2 Theorie..................................... 5 1.3 Numerische Lösungsverfahren......................... 6 1.3.1 Euler-Verfahren............................. 6 1.3.2 Midpoint-Verfahren........................... 7 1.3.3 Runge-Kutta-Verfahren......................... 7 1.4 Differentialgleichungen zweiter Ordnung................... 8 2 Himmelsmechanik 9 2.1 Newtonsches Gravitationsgesetz........................ 9 2.2 Erhaltungsgrößen................................ 9 2.3 Sonnensystem.................................. 10 2

1 Differentialgleichungen Differentialgleichungen sind grob gesagt Gleichungen, bei denen die Ableitung y einer Größe y von y selber abhängt. Wir können also schreiben y = f(t, y). Differentialgleichungen spielen bei vielen physikalischen Prozessen eine wichtige Rolle. Ein Beispiel ist die Entladung eines Kondensators über einen Widerstand. Hier hängt der fließende Strom direkt von der Ladung des Kondensators ab (der Strom ist dabei die Änderung der Ladung). Weitere Beispiele folgen. Als Lösung der Differentialgleichung bezeichnet man eine Funktion y(t), die die Bedingung y = f(t, y) erfüllt. Oft ist zusätzlich zu der Differentialgleichung, die das Verhalten eines physikalischen Systems beschreibt, ein Anfangswert y 0 der Größe y zum Zeitpunkt t 0 gegeben. Dann spricht man von einem Anfangswertproblem. Eine weitere Fragestellung in Bezug auf Differentialgleichungen sind sog. Randwertprobleme. Dort ist zusätzlich zu einem Anfangswert ein Endwert gegeben. Dies erfordert andere Lösungsverfahren. Im Folgenden betrachten wir aber vor allem Anfangswertprobleme. Tauchen neben der ersten Ableitung von y auch höhere Ableitungen auf, spricht man von einer Differentialgleichung höherer Ordnung. So lässt sich z.b. eine Differentialgleichung zweiter Ordnung schreiben als y = f(t, y, y ) usw. Wie wir später sehen werden, lassen sich Differentialgleichungen belieb hoher Ordnun auf ein System aus Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen, was bei der Suche nach Lösungen hilft. Zum Lösen einer gegebenen Differentialgleichung gibt es verschiedene Ansätze. Zuerst kann man mit einigen analytischen Überlegungen versuchen, eine explizite Funktion y(t) als Lösung zu finden. Das ist jedoch nur bei relativ einfachen Differentialgleichungen möglich. Auf solche analytischen Verfahren wollen wir im ersten Abschnitt kurz eingehen. Für viele wichtige physikalische Differentialgleichungen existiert allerdings keine analytische Lösung. Hier ist es möglich, eine Lösung y(t) näherungsweise am Computer zu bestimmen. Darum soll es hier vor allem gehen. Es existierten verschiedene Verfahren, die verschieden genaue Ergebnisse liefern. Alle diese Verfahren diskretisieren die Lösung y(t) entlang der Zeitachse; berechnen also Näherungswerte y(t 0 ), y(t 1 ), y(t 2 ),.... Bei jedem numerischen Ansatz entstehen numerische Fehler. Dabei gilt: Je größer der Rechenaufwand, desto kleiner der Fehler. Ziel ist es, eine Näherungslösung zu finden, bei der die Fehler ausreichend klein für die jeweilige Anwendung ist. Ein wichtiges Thema für numerische Verfahren ist also immer auch die Fehlerabschätzung. 3

U C R 1.1 Beispiele Abbildung 1.1: Schaltskizze zur Kondensatorentladung Beginnen wir zur Motivation des Kapitels mit einigen einfachen Beispielen für Differentialgleichungen. 1.1.1 Kondensatorentladung Betrachten wir den in Abb. 1.1 dargestellten Schaltkreis. Anfangs ist der Kippschalter auf der oberen Position. Dann wird der Kondensator mit der Ladung Q = C U aufgeladen. Nun wird der Schalter umgelegt. Dann fließt durch den Widerstand ein Strom, der von der Spannung am Kondensator abhängt: I = U. Zu berücksichtigen ist dabei, dass sowohl R I als auch U von t abhängen, Die Spannung am Kondensator hängt von der momentanen Ladung ab nach der Formel, die wir oben bereits benutzt haben: U = Q, I = Q. Nun C R C ist der elektrische Strom I gerade als Änderung der Ladung Q definiert. Zusammen mit einem negativen Vorzeichen (wenn ein Strom fließt, wird die Ladung weniger; nicht mehr) erhalten wir eine Differentialgleichung, die die Kondensatorentladung beschreibt: Q = 1 Q. (1.1) R C Für ein Anfangswertproblem ist neben R und C natürlich auch eine Anfangsladung Q 0 gegeben. 1.1.2 schräger Wurf Im nächsten Beispiel wollen wir die Bahn eines Balles berechnen, der unter Vernachlässigung der Luftreibung im Zweidimensionalen fliegt. (siehe Abb. 1.2) Um nun die Bahn sinnvoll zu beschreiben, teilen wir sie auf und betrachten die x- und die y-komponente seperat. Der Ball habe die Anfangsgeschwindigkeit v 0 unter dem Winkel α zur x-achse. Dann ist v x (t 0 ) = v 0 cos α und v y (t 0 ) = v 0 sin α. 4

y v 0 α x Abbildung 1.2: Skizze zum schrägen Wurf Schräger Wurf ohne Luftreibung Zuerst vernachlässigen wir die Luftreibung. Dann findet auf der x-achse eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit statt, da keine Kraft auf den Ball in diese Richtung wirkt. Es gilt also v x (t) = v x (t 0 ), x(t) = t v x (t 0 ). Auf der y-achse greift die Gravitationskraft F = mg an, daraus resultiert eine Beschleunigung von g. Durch einfaches Integrieren folgt v y (t) = v y (t 0 ) tg, y(t) = v y (t 0 ) t t2 g. Dies ist im eigentlichen Sinne keine Differentialgleichung; wir können sie 2 jedoch durch eine Funktion f = konst. darstellen. Schräger Wurf mit Luftreibung Mit Luftreibung erhalten wir eine wirkliche Differentialgleichung. Zusätzlich zu der Gravitation wirkt eine Reibungskraft. Wir modellieren sie nach Newton-Reibung; d.h. F = F G C v v. Daraus wird nun eine Differentialgleichung, wenn wir F = m a, v = ṙ, a = r einsetzen: m r = F G C ṙ ṙ. Diese Differentialgleichung ist mit einigem Aufwand sogar noch analytisch zu lösen. 1.2 Theorie Zum analytischen Lösen von Differentialgleichungen gibt es verschiedene Ansätze. Der wichtigste ist die Separation der Variablen. Dieses Verfahren soll hier kurz dargestellt werden. Gegeben sei ein Anfangswertproblem y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0. Dann funktioniert das Verfahren der Separation der Variablen wie folgt (1) Schreibe für y den Differenzenquotienten dy dt. (2) Bringe alle Terme mit x - einschließlich dx - auf eine Seite der Gleichung und alle Terme mit y auf die andere. (3) Es soll links im Zähler dy und rechts im Zähler dx stehen. (4) Setze vor beide Seiten der Gleichung ein Integralzeichen und integriere. Forme dann nach y um. (5) Berechne die Integrationskonstante aus dem Anfangswert. Das wird am Einfachsten anhand eines Beispieles klar: Sei f(t, y) = t y 2 + t, y(0) = 1 gegeben. 5

(1) dy dt = t y2 + t (2) & (3) dy 1+y 2 = t dt (4) dy 1+y 2 = t dt arctan y = 1 2 t2 + C y = tan [ 1 2 t2 + C ] (3) y(0) = 1 arctan 1 = C = π 4 Mit dem Verfahren der Trennung der Variablen ist es z.b. auch möglich, unsere Differentialgleichung für die Kondensatorentladung zu lösen. Löse die oben aufgestellte Differentialgleichung der Kondensatorentladung analytisch! 1.3 Numerische Lösungsverfahren Neben den analytischen Verfahren, die bei komplizierten Differentialgleichungen oft nicht mehr funktionieren, gibt es numerische Verfahren zum Lösen von Differentialgleichungen. 1.3.1 Euler-Verfahren Das einfachste dieser Verfahren in das sog. Euler-Verfahren. Das zugrunde liegende Prinzip ist einfach: Über ein diskretes Zeitintervall wird die Ableitung unserer Größe als konstant angenommen. Wie bereits erwähnt, berechnen wir die Funktion y(t) für verschiedene Stützstellen. Den Abstand zwischen zwei benachbarten Stützstellen wählen wir konstant und bezeichnen ihn mit h. Dann ist Nun berechnen wir die y i -Werte rekursiv t i = t 0 + i h, y i = y(t i ) (i = 0, 1, 2,... ). y i+1 = y i + h f(t i, y i ). (1.2) Dies entspricht der Integration über eine Konstante. Der Fehler, der durch diese Näherung entsteht, ist natürlich relativ groß. Er wird aber umso kleiner, je kleiner die Schrittweite ist. Für das Euler-Verfahren gilt: Der Fehler geht schneller gegen 0 als h. Man spricht dann von einem Verfahren erster Ordnung. 6

Implementiere das Euler-Verfahren, um die Differentialgleichung der Kondensatorentladung numerisch zu lösen. Betrachte dazu die Größen R = 1 kω, C = 1 µf, Q 0 = 50 C und das Zeitintervall 0 bis 30 s. Verwende zuerst eine Schrittweite von 10 s und rechne von Hand. Senke dann die Schrittweite und vergleich die Ergebnisse jeweils mit der analytischen Lösung. Trage den maximalen Fehler gegen h auf. 1.3.2 Midpoint-Verfahren Ein Problem beim Euler-Verfahren ist, dass als Näherung der Ableitung der Funktion auf dem ganzen Intervall der Funktionswert in der Intervallmitte genommen wird. Durch diese Asymmetrie entstehen Fehler. Wesentlich besser wäre es, einen Punkt in der Intervallmitte zu wählen, also f(t i + h, y(t 2 i + h)) zu berechnen. Problem dabei ist, dass y(t 2 i + h )) nicht 2 bekannt ist. Wir können es aber mit dem gleichen Prinzip wie beim Euler-Verfahren annähern. So erhalten wir folgende Gleichungen k = y i + h 2 f(t i, y i ), (1.3a) y i+1 = y i + h f(t i + h, k). (1.3b) 2 Dabei wird k für jeden Zeitschritt neu berechnet. Das Midpoint-Verfahren ist von der Ordnung 2; der Fehler fällt also schneller als h 2. 1.3.3 Runge-Kutta-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren sind eigentlich eine Klasse von Verfahren. Das midpoint Verfahren zählt bereits dazu. Mit Runge-Kutta-Verfahren ist oft das klassische Runge-Kutta- Verfahren 4. Ordnung gemeint. Es folgt folgender Idee: An 4 Stützstellen innerhalb des Intervalles wird ein Näherungswert der Ableitung berechnet. Als erstes nehmen wir wieder den Punkt am Intervallanfang: k 1 = f(t i, y i ) (1.4a) Die zweite Stützstelle liegt in der Intervallmitte. Den Wert dort berechen wir wie beim Midpoint-Verfahren. k 2 = f(t i + h 2, y i + k 1 h 2 ) (1.4b) Als dritte Stützstelle berechnen wir den Wert für die Intervallmitte mithilfe von k 2 : k 3 = f(t i + h 2, y i + k 2 h 2 ) (1.4c) Die dritte Stützstelle liegt am Ende des Intervalles und wird mithilfe von k 3 berechnet: k 4 = f(t i + h, y i + k 3 h) (1.4d) 7

Nun bilden wir einen gewichteten Mittelwert und erhalten unseren neuen Funktionswert y i+1 = y i + h 6 [k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ]. (1.4e) Dieses klassiche Runge-Kutta-Verfahren ist von der Ordnung 4. Der Fehler fällt also mit h 4. Implementiere das klassische Runge-Kutta-Verfahren, um den schrägen Wurf zuerst ohne Luftreibung zu simulieren. Vergleiche das Ergebnis mit der analytischen Lösung und untersuche das Verhalten bei verschiedenen Schrittweiten h. Implementiere dann den schrägen Wurf mit Luftreibung. Betrachte den Fall v 0 = 250 m/s, C = 0.01 und finde den Abschusswinkel, unter dem die Wurfweite maximal ist. 1.4 Differentialgleichungen zweiter Ordnung Oft liegen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vor, die numerisch gelöst werden sollen. Dazu kann man im Prinzip auch ein Verfahren erster Ordnung verwenden; muss die Gleichung aber leicht umstellen. Wir behandeln dies beispielhaft für die Bewegungsgleichung eines Teilchens. Die Position bezeichnen wir mit r, die Geschwindigkeit, also die erste Ableitung, mit v und die zweite Ableitung mit a. Dann führen wir einen Vektor w ein, in dem alle Zustandsgrößen des Teilchens stehen, also Position und Geschwindigkeit jeweils mit allen Komponenten; also z.b. w = (r x, r y, v x, v y ) T. Die Ableitung dieses Vektors w ist dann genau w = (v x, v y, a x, a y ). Damit haben wir eine Differentialgleichung erster Ordnung, die äquivalent zu dem Problem zweiter Ordnung ist. Dafür können wir dann die oben beschriebenen Verfahren verwenden. 8

2 Himmelsmechanik Die Himmelsmechanik soll die erste wichtige Anwendung der Theorie über die numerische Lösung von Differentialgleichungen sein. Wir betrachten als Anfangsszenario ein System aus Erde ud Mond, um danach das komplette Sonnensystem zu simulieren. 2.1 Newtonsches Gravitationsgesetz Als Erstes wollen wir dazu eine geeignete Differentialgleichung aufstellen. Diese erhalten wir aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz. Gegeben sei folgendes System aus Himmelkörpern in S: Die Position eines Körpers s S sei r s, seine Geschwindigkeit ṙ s, seine Beschleunigung r s und seine Masse m s. Dann gibt das Newtonsche Gravitationsgesetz ein System aus Differentialgleichungen, die die Bewegung der Planeten beschreiben kann: r s = G m u u S u s r u r s r u r s. (2.1) 3 Um dieses System von Differentialgleichungen korrekt zu implementieren, bietet es sich wiederum an, einen Vektor w zu definieren, indem alle Zustandsgrößen des Systems auftauchen; also alle Geschwindigkeiten und Positionen der Körper. 2.2 Erhaltungsgrößen Ein Vorteil bei der Himmelsmechanik besteht darin, dass man mit verschiedenen Erhaltungsgrößen die Genauigkeit der numerischen Simulation ohne größeren Aufwand beurteilen kann. Dazu betrachten wir Energie und Drehimpuls Energie Die Energie des Systems setzt sich zusammen aus kinetischer und potentieller Energie aller Körper. Die kinetische Energie eines Körpers ergibt sich als E kins = 1 2 m s r s. (2.2) Für die potentielle Energie zwischen zwei Körpern s und u gilt E pots,u = G ms m u r s r u. (2.3) Die Gesamtenergie des Systems ergibt sich dann als Summe über alle diese Teilenergien. 9

Drehimpuls Der Drehimpuls eines Körpers s ist L s = m s r s ṙ s. (2.4) Bilden wir hiervon die Summe über alle Körper, erhalten wir ebenfalls eine Konstante. Simuliere ein System aus Erde und Sonne mithilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes. Verwende dazu das Runge-Kutta-Verfahren und das Euler- Verfahren und vergleiche die Ergebnisse. Berechne zur Kontrolle der Genauigkeit jeweils den Energie- und Drehimpulsfehler. Verwende als Startdaten den normalen Abstand zwischen Erde und Sonne und ihre Massen. Wie groß ist die Umlaufdauer des Mondes? 2.3 Sonnensystem Das Sonnensystem lässt sich im Prinzip genau so simulieren wie das Zweikörpersystem aus Erde und Sonne. Die Startdaten dazu erhält man z.b. aus dem NASA HORIZONS System: http://ssd.jpl.nasa.gov/horizons.cgi. Simuliere das Sonnensystem mit dem Runge-Kutta-Verfahren. Verwende zur Kontrolle der Genauigkeit die Drehimpulserhaltung. Wie ändert sich der Fehler abhängig von der Schrittweite h? 10