Zusammenfassung: e und e Verteilungen Woche 4: Gemeinsame Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilung p() Wahrscheinlichkeitsdichte f () WBL 15/17, 11.05.2015 Alain Hauser <alain.hauser@bfh.ch> P(X = k ) [0, 1], k W P(X = ) = 0, R Berner Fachhochschule, Technik und Informatik Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 2 / 17 Zusammenfassung: e und e Verteilungen Zusammenfassung: e und e Verteilungen Kumulative Verteilungsfunktion F () 1 Kumulative Verteilungsfunktion F () 1 Erwartungswert Erwartungswert E[X ] = k 1 k P(X = k ) E[X ] = f () d F () = P(X = k ) F () = k : k f (u) du Varianz Varianz Var(X ) = k 1( k E(X )) 2 p( k ) Var(X ) = ( E(X )) 2 f () d Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 3 / 17 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 4 / 17
Lernziele Teil III Gemeinsame Verteilungen Sie können...... die gemeinsame Verteilung von zwei Zufallsvariablen angeben.... aus der gemeinsamen Verteilung zweier Zufallsvariablen deren Randverteilungen berechnen.... feststellen, ob zwei Zufallsvariablen unabhängig sind.... die Kovarianz und den Korrelationskoeffizient zweier Zufallsvariablen berechnen und interpretieren.... Erwartungswert und Varianz einer Linearkombination zweier Zufallsvariablen berechnen. Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 5 / 17 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 6 / 17 Gemeinsame Verteilung Diskrete gemeinsame Verteilungen Bisher haben wir immer die Verteilung einer einzelnen Zufallsvariablen betrachtet. In der Prais betrachten wir natürlich oft mehrere Grössen gleichzeitig Zwei (oder mehr) Zufallsvariablen lassen sich mit Hilfe ihrer gemeinsamen Verteilung beschreiben Situation: X : e Zufallsvariable mit Werten in W X = { 1, 2, 3,...} Y : e Zufallsvariable mit Werten in W Y = {y 1, y 2, y 3,...} Die gemeinsame kumulative Verteilungsfunktion von X und Y ist die Funktion F X,Y (, y) := P(X, Y y). Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und Y bezeichnet die Wahrscheinlichkeiten P(X =, Y = y), W X, y W Y. Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 7 / 17 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 8 / 17
Beispiel: gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung Randverteilungen Eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung zweier Zufallsvariablen kann als Tabelle angegeben werden Beispiel: parallelisierter Algorithmus läuft auf 2 Prozessorkernen Zufallsvariablen X und Y : isierte Last der beiden Kerne (1 = tiefe Last, 2 = mittlere Last, 3 = hohe Last) X /Y 1 2 3 1 0.31 2 1 8 3 0.09 1 Wie kann man die Verteilung in Worte fassen? Ist die Auslastung der Kerne z.b. gleichmässig? X und Y seien zwei e Zufallsvariablen mit Wertebereichen W X und W Y. (Randverteilung) Die Verteilung von X allein heisst Randverteilung; sie wird berechnet als P(X = ) = y W Y P(X =, Y = y) für beliebige W X. X und Y sind unabhängig wenn P(X =, Y = y) = P(X = ) P(Y = y) gilt für alle Werte und y, die X und Y annehmen können. Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 9 / 17 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 10 / 17 Bedingte Verteilungen X und Y seien zwei e Zufallsvariablen mit gemeinsamer Verteilung P(X =, Y = y). (Bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung) Die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von X gegeben Y = y ist P(X =, Y = y) P(X = Y = y) = P(Y = y) Stetige gemeinsame Verteilungen Sind X und Y zwei e Zufallsvariablen, besitzen sie eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte f X,Y (, y). Die Wahrscheinlichkeit, dass X in einem Intervall [a, b] und Y in einem Intervall [c, d] liegt, berechnet sich gemäss P(a X b, c Y d) = b d a c f X,Y (, y) dy d Die Randdichte von X erhält man durch Ausintegrieren über Y : f X () = f X,Y (, y) dy. Wie bei en Verteilungen kann man die bedingte Verteilung von X gegeben Y definieren; sie hat die Dichte f X Y =y () = f X,Y (, y) f Y (y) Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 11 / 17 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 12 / 17
Kontur-Plot Eine gemeinsame Dichte lässt sich mit einem Kontur-Plot visualisieren: eine Art Plot von Höhenkurven der Dichte Höhenkurve hier: Linie aller Punkte, wo die gemeinsame Dichte einen bestimmten Wert hat y 2 1 0 1 2 2 2 1 0 1 2 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 13 / 17 4 6 Kovarianz und Korrelationskoeffizient X und Y seien zwei (e oder e) Zufallsvariablen. Die Kovarianz von X und Y ist definiert als [ (X ) ( ) ] Cov(X, Y ) := E E(X ) Y E(Y ). Ihr Korrelationskoeffizient ist ρ XY = Eigenschaften: Cov(X, Y ) Var(X ) Var(Y ). Falls X und Y unabhängig sind, ist Cov(X, Y ) = 0 und ρ XY = 0 (die andere Richtung ist i.a. falsch!!) 1 ρ XY 1 ρ XY = ±1 falls Y deterministisch linear von X abhängt (Beispiel: X = Temperatur in C, Y = Temperatur in F ) Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 14 / 17 Korrelation: Beispiele Unabhängigkeit und Kausalität ρ XY = 0.5 ρ XY = 0 ρ XY = 0.5 Verbreitete Fehlvorstellungen: Unkorreliertheit impliziert Unabhängigkeit Abhängigkeit impliziert Kausalität ρ XY = 0.7 ρ XY = 0.9 ρ XY = 0.95 0.05 5 0.05 5 Mehr dazu: Kapitel deskriptive Statistik, nächste Vorlesung. (Quelle: https://kcd.com/552/) Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 15 / 17 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 16 / 17
Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz X und Y seien (e oder e) Zufallsvariablen, a R eine reelle Zahl. E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) Falls X und Y unabhängig sind, gilt E(X Y ) = E(X ) E(Y ) E(a X ) = a E(X ) Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) + 2 Cov(X, Y ) Folge: falls X und Y unabhängig sind, gilt Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) Var(a X ) = a 2 Var(X ) Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 17 / 17