.. Schätze vo Vertrauesitervalle..1. Schwakugsitervall Beispiel: X = Betrag vo Geldüberweisuge, ormalverteilt, µ = 5000, = 1000 Zufallsstichprobe mit = 100, Schätzer für µ: X X Gesucht: Itervall, i dem mit 95%iger Sicherheit liegt II. 30
..1. Schwakugsitervall Allgemeier: X ~ N(µ, ²) ud Wahrscheilichkeit gegebe. Schätzer für µ, X ~ ² N( µ, ) de Aufgabe: d so bestimme, dass x =... P( µ d X µ + d ) = 1 II. 31
..1. Schwakugsitervall Lösug: Stadardisierug: X µ Z = ~ N(0;1) (Warum so??) d X µ d P < = 1 II. 3
..1. Schwakugsitervall P( z < ( X µ ) z) = 1 P X µ z = 1 (z = d ) Also: z als 1-/-Quatil i Tafel bei 1-/ ablese: da : d = z1 / P( µ d X µ + d) = 1... Greze des Schwakugsitervalls uabhägig vom Zufallsversuch "Stichprobe". II. 33
..1. Schwakugsitervall Beispiel: = 5% = 0.05 1- / = 0.975 Nach Tafel z = z 1 - / = 1.96 d = z1 / = 196. 1000 / 10 = 196 Schwakugsitervall (4804; 5196] Iterpretatio? Stimmt äherugsweise auch bei Abweiche vo Normalverteilug. (Wa? Warum??) II. 34
... Kofidezitervall, Kofideziveau Jetzt umgekehrte Fragestellug: Schätzuge B^ 0 B-d B B+d (wahr, fest) B (wahr, fest) Schwakugsitervall Kofidezitervalle Uterschied zwische Kofidez- ud Schwakugsitervall II. 35
... Kofidezitervall, Kofideziveau Greze des Kofidezitervalls (Vertrauesgreze) häge vo Zufallsstichprobe ab, sie sid Zufallsvariable Iterpretatio: Mit Wahrscheilichkeit 1- überdeckt ei Itervall [ Π ˆ d, Πˆ + d) de wahre Parameter π II. 36
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes (=Durchschitt i der Grudgesamtheit) - Irrtumswahrscheilichkeit 1- - statistische Sicherheit oder Kofideziveau a) bei bekater Variaz X ~ N(µ; ²), µ ubekat (aber fest) Irrtumswahrscheilichkeit vorgegebe Gesucht: Kofidezitervall für µ = E(X) II. 37
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Lösug: 1. Zufallsstichprobe vom Umfag ziehe: X 1,..., X. Puktschätzug für Erwartugswert?? (Wdh.) 3. Kofidezitervall P( X d µ < X + d) = 1 II. 38
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Gesucht d; d = z x x =?? P X-z µ < X + z = 1 Stadardisierug: X µ P -z < + z = 1 II. 39
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes also 1 : P z = z X-µ < z 1 (s. 1.3.3) = 1 Quatil aus Tafel ablese ud obe eisetze II. 40
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Verfahre kurz: -> z (1-/-Quatil der Stadard-Normalv.) 1 -> d = z 1 / x -> Itervall [ X d; X + d) ( X aus Stichprobe) Gilt bei große äherugsweise auch für icht ormalverteilte Variable. Warum?? Bei kleie Grudgesamtheite ud ohe Zurücklege Korrekturfaktor für d:?? (s..1.) II. 41
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Beispiel: X: Höhe vo Überweisugsaufträge, = 400, Gesucht: Kofidezitervall für ubekates µ = 0.01 (festgelegt) Zufallsstichprobe (i ) : 000, 700, 500, 100, 000, 1500, 1600, 1400, 1500, 1700, 1800, 1100, 100, 1100, 100, 1100 II. 4
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes och Beispiel: Iterpretatio? x = 1600 1 = 0,995 z 1-/ = z 0,995 =... (99,5%-Quatil) d = z =,58 400/ 4 0,995 = 58 Kofidezitervall: [134; 1858) II. 43
44..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes b) bei ubekater Variaz (realistischer) Wir hatte: ist äquivalet zu: µ = < 1 P 1 1 z X z X 1 / P 1 µ = z X II.
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Jetzt Schätzug vo durch Stichprobevariaz S : P X-t S Umforme zu: P X µ S S µ < X + t = 1 < t = 1 t ubekat X ud S Zufallsvariable II. 45
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Neue Zufallsvariable, ist icht ormalverteilt. T = ( X µ ) S hat t-verteilug, vo W.S. Gosset 1905, Pseudoym Studet Eigeschafte: - Symmetrisch, E(T) = 0 - Flacher als Stadardormalverteilug II. 46
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes - Parameter: :, F ud Freiheitsgrade FG = -1 - Für große durch Stadardormalverteilug approximierbar - II. 47
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Vorgehe: 1. Vorgabe vo. Bereche vo 1 1 3. Ablese des Quatils aus der t-tafel t 1 II. 48
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes 4. Ziehe der Zufallsstichprobe 5. Puktschätzuge X für µ ud S für aus Stichprobe 6. Bereche vo 1 d = t1 7. Kofidezitervall [ -d, + d) x x s Bei kleie Grudgesamtheite ud ohe Zurücklege Korrekturfaktor für d:?? II. 49
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Beispiel: X wie vorher, = 1 % Gleiche Stichproberealisatioe = 16; x = 1600 ; Bereche: s = ( xi ( x)² 1) = 495 1 - / =... t 15 0.995 =.947 (99,5%-Quatil) II. 50
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes (och Beispiel) d =.947 495 /4 = 364.7 Kofidezitervall [135,3;...) Warum größer als vorher? Stichprobevariaz zufällig größer als ; Quatil t gesetzmäßig größer als z. Warum?? II. 51
..3. Itervallschätzug des Erwartugswertes Stichprobeumfag bei Itervallschätzuge Bekat: Streuug Verlagt: Fehler kleier als d Irrtumswahrscheilichkeit höchstes Gesucht: aus z ² 1... 1- / d = z folgt : = - II. 5
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite Bisher: Puktschätzug H p ˆ = (ML-Schätzer für Parameter p der Zweipukt- ud Biomialverteilug) H ist biomialverteilt, exakte Itervallschätzug mit Biomialverteilug möglich. Hier eifacher: (Wdh.) X ˆ i p = X i {0,1} II. 53
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite d.h. Stichprobedurchschitt, assymptotisch ormalverteilt. Warum? Wdh: Für p(1-p)>?? a Verteilug vo pˆ durch Normalverteilug ageähert werde Scho bewiese: E( pˆ) =... Var( pˆ) = ² p ˆ = p(1- p) Eisetze i Kofidezitervall für Durchschitt: II. 54
55..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite ) ) Var( ( 1 ) P ( 1 1 x - z X µ X-z x x x = = = + < ) (1 ˆ) Var( ( 1- ) ˆ ˆ P ( ˆ ˆ 1 ˆ 1 -p) p p z p p p-z p p p = = = + < = + < 1... ˆ... ˆ 1 1 p z p p p z p P II. Wir hatte: Das wird jetzt:
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite Bestimmug des (1- / )-Quatils der Stadardormalverteilug mit P pˆ p < z p(1 p) 1 / = 1 Fehler : p( 1 = z1 d / p) Problem? Sicher gilt: p( 1 p)... Warum? II. 56
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite Praktische Näherug d z1 / p( ˆ 1 p) ˆ Vorgehe kurz: 1. Festlege vo. Bereche vo 1 3. Ablese vo z 1-/ aus Stadardormalverteilug (we pˆ (1 pˆ) > 9) 4. Ziehe der Zufallstichprobe 5. Puktschätzug p ˆ = H für p II. 57
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite 6. Abschätze vo d = z 1 p(1 p) 7. Bereche des Kofidezitervalls mit P( pˆ d p < pˆ + d) = 1 [ p ˆ d, pˆ + d) II. 58
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite Beispiel (Marktforschug): Das eue Album vo Mariae ist da! Wie viel Prozet der Hausfraue kee sie? 95% Sicherheit gewüscht Zufallsstichprobe vo = 00 ergibt h = 40. Puktschätzug: = 40/ 00 pˆ II. 59
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite och Beispiel: = 0,05 1 = 0,975; z0,975 =... d 0,8 1,96 0, = 1,96 0,08 = 0,055 00 Itervallschätzug: [0.145,...) d.h.? II. 60
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite Notwediger Stichprobeumfag Forderug: Fehler geriger als d. Sicherheitswahrscheilichkeit midestes 1 - Wir hatte d z = 1 p(1 p) Also jetzt z1 / p = p(1...² ) II. 61
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite Problem: p ud pˆ ubekat -sicher: p(1-p) 0,5 - oder Abschätzuge, z.b. p < 0,1 oder p > 0,9 => p(1-p) < 0,09 II. 6
..4. Itervallschätzug vo Ateile oder Wahrscheilichkeite Beispiel: Wählerbefragug zum Ateil der Grüe. Abschätzug: Sicher uter 10%. =5%, d = ± 1 Prozetpukt gefordert. = 1,96 0,09 = 3457,44 0,0001 Iterpretatio ud Awedug? II. 63