00 0 6. Gavitation Gavitationswechselwikung: eine de vie fundaentalen Käfte (die andeen sind elektoagnetische, schwache und stake Wechselwikung) Ein Köpe it asse i Abstand zu eine Köpe it asse übt auf diesen ein Kaft aus von: F F ( F = F ) F = G G: Gavitationskonstante G = 6.67 0 - N /kg Auf asse wikt die gleiche Kaft in ugekehte Richtung. Beispiel: ond ond ( ) g = 78 k = 7.5 0 kg = G.6 s = Die Gavitationsbeschleunigung ist auf de ondobefläche etwa sechsal kleine als auf de Edobefläche. Be.: hiebei wude vewendet, dass das Gavitationsfeld außehalb eine hoogenen Kugel identisch ist zu Feld de i Kugelzentu veeinigten Kugelasse 6 g Beispiel: Ede Ede ( E ) E = 678 k E = 5.98 04 kg F = G E E = G E E = 9.805 = g s Edbeschleunigung g = 9.8 /s gilt nu auf de Edobefläche! (nit quadatisch ab it de Abstand zu Edittelpunkt) Eigenschaften de Gavitation: auschließlich attaktiv (es gibt keine negativen assen) kann dahe nicht abgeschit weden ist die schwächste de 4 Fundaentalwechselwikungen (die Gavitations-WW zwischen Elektonen und Potonen ist 0 40 al schwäche als die Coulob-WW!) ist die stäkste übe kosische Distanzen wikende WW ( wegen de / Abhängigkeit und de fehlenden Abschiung)
6.. Gavitationspotential Wi betachten das Gavitationsfeld eine Punktasse a Uspung (die auf einen Pobeasse p a t ausgeübte Kaft). Die potentielle Enegie i Gavitationsfeld ist Epot = W = F( ') d ' Potential: potentielle Enegie, hie it 0 0 (das Potential i Unendlichen wid auf Null gesetzt) V ( ) F( ') d ' = Bei adiale Integationspfad ( ) : F d ' p ' p ' ' ' ' V ( ) = G d ' = G d ' ' Das Potential hängt also nu vo Betag des Abstands ab: 0 Dait: G V ( ) = p Potential des Gavitationsfelds eine Punktasse Es gilt wie ie: F = V ( ) V() Be.: ähnlich wie das elektostatische Potential auf die Ladung wid anchal das Gavitationspotential auf die asse des Pobeköpes noiet. G Vg ( ) = V ( ) = p V() Dann ist die Gavitationsbeschleunigung: g = V ( ) g 0 p V ( ) = G d ' = ' p G
04 05 6. Planetenbewegungen Bewegung de Planeten i Gavitationsfeld de onne (Bescheibung gilt allgeein fü die Bewegung von Köpen in eine Zentalkaftfeld) Es gelten die Keple schen Gesetze (69): 0 < e < p p + e e Ellipse b a p p a = ; b = e e. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen-Bahnen. Die onne befindet sich in eine de Bennpunke de Ellipse. Die Vebindungslinie onne-planet übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die Quadate de Ulaufzeiten vehalten sich wie die Kuben de goßen Halbachsen de Ellipsen e = p / Paabel Zu : an kann zeigen, dass die Bahnen von Köpen in eine /-Potential ie Kegelschnitte sind, die sich in Polakoodinaten bescheiben lassen duch p = + ecosϕ p und e sind Paaete, die die Fo de Kuve bestien ϕ e > p / ( + e) b / Hypebel a / p p a = ; b = e e alle geschlossene Bahnen sind Keise ode Ellipsen Fälle: e = 0 = p (Keisbahn) Zu : Es gilt Dehipulsehaltung l = p = konst.
06 07 onne v α Planet Fläche da Die in de Zeit dt übestichene Fläche ist da = v dt sinα v = v dt = dt = ldt Da de Dehipuls (und die asse) konstant sind, ist auch da/dt konstant! in beiden Fällen (falls ) : it Also: P Pω = G ω = G >> Die Ulauffequenz ist unabhängig von P! ω = π wid dies zu: τ 4π τ = G P π = G τ Zu : Betachten Planet auf Keisbahn (einfachste Fall) F g p v = ω Es gilt: Zentipetalkaft = Gavitationskaft (uhende Beobachte) Zentifugalkaft = -Gavitationskaft (itbewegte Beobachte) Zahlenwete: Bahnadien und Ulaufzeiten onnenasse: =.99 0 0 kg Ede = 49.6 0 9 τ = 65d eku = 57.9 0 9 τ = 88d Jupite = 778 0 9 τ =.6a Pluto = 590 0 9 τ = 49a
6. chwepunktsyste Bisheige Behandlung gilt nu näheungsweise (fü die Bewegung eine asse u eine seh viel gößee asse); tatsächlich keisen zwei sich gegenseitig anziehende Köpe u ihen geeinsaen chwepunkt. s s chwepunkt: + = + Relativkoodinaten i chwepunktsyste: s = s s Hiefü gilt: + = 0 Dait lauten die Käftegleichgewichte: ω = G + s = (de chwepunkt i chwepunktsyste liegt i Uspung) 08 Veeinfachung des Pobles: s s = Definiee Koodinate Dann ist: s = + = = ( ) s s s Dait wid das Käftegleichgewicht: ω = G + (Abstand de Köpe) Hat die Fo eines Ein-Köpe-Pobles a = F wenn an die effektive asse einfüht: Hieit ehält an: µ ω = G µ = + 09 ω = G + Dait ist das Zwei-Köpe-Poble (zwei assen keisen ueinande) auf ein Ein-Köpe-Poble (eine asse keist in eine Zentalkaftfeld) zuückgefüht woden!
Die Keisfequenz de Bewegung de beiden Köpe ueinande ist also 0 Keisfequenz: ω + E = G + ω = G G µ = ω = τ = 6.67*0 /s, 7 d Die zuvo angegebene Foel fü die Keisfequenz gilt nu fü seh ungleiche assen; bei ähnlichen assen ist sie göße! 6.4 Gezeiten Köpe in eine inhoogenen Gavitationsfeld efahen Gezeitenkäfte. Wi betachten das yste Ede-ond (Uspung i Edittelpkt.) Ede assen: chwepunkt: ond 4 E = 5.98*0 kg Edadius: 0 = 678 k Abstand Ede-ond: E 0 + = = + + = 466 k E E = 84000 k = 7.5*0 kg Auf de Ede wiken die Gavitationskaft des onds sowie Tägheitskäfte. Annahe: das Gavitationsfeld des onds sei hoogen, d.h. es gelte übeall g = G Die Beschleunigung auf de Edobefläche ist dann (i otieenden yste: ages = g + G ω ( ) Gavitation Ede Gavitation ond ( ω ) Zentifugalbeschleunigung Wegen de Wahl des Koodinatensystes gilt:: ω ω ( ω ) = ω Fü te auf de Edobefläche in eine Ebene senkecht zu Dehachse gilt ebenfalls: ω ω ( ω ) = ω
Dait wid die Beschleunigung: it a = g + G + ω ω ges ω + = G = G E E + ages = g +ω wid dies: I Falle eines hoogenen Gavitationsfelds des onds wäe die Beschleunigung auf de Edobefläche in de Ebene senkecht zu Dehachse übeall gleich goß und adial ausgeichtet! Andes ausgedückt: die otsabhängige Zentifugalbeschl. und das hoogene Gavitationsfeld addieen sich (in diese Ebene) zu eine otationssyetischen Feld. Abe: das Gavitationsfeld des onds ist nicht hoogen! Die Abweichung vo ittleen Feld füht zu eine tsabhängigkeit de Beschleunigung auf de befläche. Abweichung: g = G ( ) G Hängt von de Richtung von ab! Ede Zwei einfache Fälle:. g = G G Zeigt zu Edittelpunkt!. = ± a Zf + g azf + g = ± ( + fü ondabgewandte eite)
4 5 Dait: also ± g = G ( ± ) = G ( ) ± ± ± g G G = G ( - fü ond- abgewandte eite) Füht auf de Ede zu Wassebegen und tälen: Ede Zwei Wassebege! ond Die Ede otiet schnelle als das yste Ede-ond die Wassebege wanden, Ebbe und Flut wechseln i Abstand von 6 h Resultat: G g G Gesatunteschied: 7 G.7*0 g