Institut für Theoretische Physik Prof. R. Schmi Dr. J. Weißbarth Thermodynamik und Statistische Physik WS / 6. Übung 7.Woche:..-... Betrachtet werde ein Neutronenstrahl wechselwirkungsfreie Spin-/-Teilchen. Bestimmen Sie den Dichteoperator sowie die Dichtematrix in der Basis der Eigenzustände χ ± zu ˆσ z ˆσ x, ˆσ y, ˆσ z - Pauli- Matrizen für die Fälle: a Alle Spins seien in +x-richtung polarisiert. b Die Spins seien je zur Hälfte in ±x-richtung polarisiert. Diskutieren Sie das Ergebnis! c Alle Spins sind in der Raumrichtung e sin ϑ cos φ e x + sin ϑ sin φ e y + cos ϑ e z polarisiert. d Die Spins seien über alle Raumrichtungen gleich verteilt polarisiert. e Nun seien % der Spins in +x-richtung, 3% in +y-richtung polarisiert und die restlichen Spins seien vollkommen unpolarisiert. Berechnen Sie in diesem Makrozustand Erwartungswerte und Schwankungen für Messungen der Spinobservablen Ŝx, Ŝy, Ŝz. Hinweis: Ergebnisse aus Quantentheorie und von 5.Übung/Aufgabe 6. nutzen.. Bestimmen Sie die Entropie des Spin-/-Gemisches, das durch den Dichteoperator ˆϱ { } + n ˆ σ siehe 5.Übung/6.Aufg. beschrieben sei. Diskutieren Sie die Abhängigkeit von n; betrachten Sie insbesondere reine und vollkommen unpolarisierte Zustände. Hinweis: Bei Entropieberechnung Eigenzustände von ˆϱ aus 5.Übung/Aufgabe 6.b benutzen. 3. Zeigen Sie, dass unter der Zeitentwicklung des Dichteoperators ˆϱ gemäß von-neumann-gleichung a die Spur sowie die Eigenwerte von ˆϱ zeitunabhängig sind; b die Entropie S k Spˆϱ ln ˆϱ eine Erhaltungsgröße ist.. Die Liouville-Gleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte ϱt im Phasenraum lautet: ϱ + V ϱ R bzw. ϱ {H, ϱ}, mit: Zustandsvektor im Phasenraum Rt q t,..., q f t; p t,..., p f t, Geschwindigkeitsvektor im Phasenraum V t q,..., p f, Nablaoperator im Phasenraum R q,..., Poisson-Klammern {H, ϱ} f i H q i p f ϱ p i H p i ϱ q i. Leiten Sie diese Gleichung her, indem Sie für die Wahrscheinlichkeit P t d ϱt, das System in einem beliebigen endlichen festen zeitunabhängigen Phasenraumvolumen zu finden, eine Bilanzgleichung aufstellen. Hinweis: Man beachte die Analogie zur Ladungs- bzw. Massenerhaltung im 3-dimensionalen Raum; die dabei verwendeten Argumentationen lassen sich problemlos auf den f-dimensionalen Phasenraum übertragen. Zeigen Sie, dass R V gilt und dass daraus die Invarianz des materiellen Phasenraumvolumens t im Zeitablauf folgt vgl. inkompressible Flüssigkeit; d.h., dass sich die Größe eines Volumens, dessen Punkte sich gemäß der Hamilton schen Gleichungen bewegen, im Zeitablauf nicht ändert Liouville scher Satz.,
Institut für Theoretische Physik Prof. R. Schmi Dr. J. Weißbarth Thermodynamik und Statistische Physik WS / Lösung zur 6. Übung. Vorbemerkung s.a. 5.Ü/6. Pauli sche Spinmatrizen: ˆσ i Ŝi, mit den Spinoperatoren Ŝi i,, 3 bzw. x, y, z; da sie Eigenwerte ± haben und wegen Drehimpulsvertauschungsrelationen gilt ˆσ j j, [Ŝj, Ŝk] i ε jkl Ŝ l [ˆσ j, ˆσ k ] i ε jklˆσ l Daraus folgen die Eigenschaften s. Quantentheorie : [ˆσ i, ˆσ j ] + ˆσ iˆσ j + ˆσ j ˆσ i δ ij, ˆσ iˆσ j δ ij + i ε ijkˆσ k, ˆσ xˆσ y ˆσ z i, Sp ˆσ i i ˆσ z -Darstellung der ˆσ i lautet s. Quantentheorie : ˆσ z, ˆσ x, ˆσ y i i 3 zugehörigen Eigenzustände in ˆσ z -Darstellung sind: ˆσ z χ m m χ m m ±, χ + χ ˆσ x χ x m m χ x m m ±, χ x ± χ + ± χ ± ˆσ y χ y m m χ y m m ±, χ y ± χ + ± i χ ±i 5 6 In dieser Aufgabe werden wechselwirkungsfreie Neutronen betrachtet; die Messungen der Observablen Spinkomponente erfolgt somit an identisch präparierten unabhängigen einzelnen Teilchen des Ensembles Neutonenstrahl ; der Zustand der einzelnen Teilchen soll durch einen Dichteoperator beschrieben werden. Aus 5.Ü/6. ist Darstellung des Dichteoperators eines Spin-Systems durch Polarisationsvektor n und Polarisation Π n bekannt: ˆϱ { } 3 + n ˆ σ ϱ mn χ m ˆϱ χ n + nz n x in y 7 n x + in y n z a reiner Zustand ˆϱ χ x + χx + 5 χ + χ + + χ χ + χ + χ + χ χ + Dichtematrix in ˆσ z -Darstellung: ϱ mn χ m χ x + χx + χ n, mit m, n ±; 5 ϱ ϱ ϱ ± ± χ ± χ x + χx + χ ± ϱ ± χ ± χ x + χx + χ ϱ mn Vergleich von 8 mit 7 n e x, Π n vollständige Polarisation, reiner Zustand. Es gilt auch ˆϱ ˆϱ, wie es für reinen Zustand sein muss. 8
b gemischter Zustand: ˆϱ χx + χx + + χx χx 5 { } χ + χ + + χ χ 9 Dichtematrix in ˆσ z -Darstellung: ϱ mn χ m ˆϱ χ n, mit m, n ±; 5 ϱ mn 7 n, Π Zustand vollständig unpolarisiert; wie es sein muss gilt: ˆϱ ˆϱ Dichteoperator 9 auch so interpretierbar, als ob je die Hälfte der Spins in ±z-richtung polarisiert sei Dichteoperator legt Mikrozustände nicht eindeutig fest, wohl aber eindeutig den Makrozustand, dieser ist für beide Polarisationsbeschreibungen äquivalent. c reiner Zustand Zur Angabe von ˆϱ in ˆσ z -Darstellung wird Eigenzustand χ e +, d.h. Eigenzustand zu e ˆσ in ˆσ z- Darstellung benötigt: Eigenwertproblem zu e ˆσ: e ˆσ χ e m m χ e cos ϑ e iφ sin ϑ m mit e ˆσ 3 e iφ sin ϑ cos ϑ und cos ϑ m e iφ sin ϑ a e iφ m ±, b sin ϑ cos ϑ m b ± Normierung a ± + b ± cos ϑ a ± sin a ± cos ϑ/ ± sin ϑ/ ϑ sin ϑ/ cos ϑ/ χ e m a b ± cos ϑ sin ϑ a + cos ϑ/, a sin ϑ/ mit willkürlich wählbarem Phasenfaktor folgt: a + e iφ/ cos ϑ/, a e iφ/ sin ϑ/ χ e +e iφ/ cos ϑ/ +, χ e χ e + e iφ/ cos +e +iφ/ sin ϑ/ ϑ χ + + e +iφ/ sin Dichteoperator in ˆσ z -Darstellung: +e iφ/ sin ϑ/ e +iφ/ cos ϑ/ e iφ a ± ϑ χ ˆϱϑ, φ χ e + χ e + cos ϑ χ + χ + +sin ϑ χ χ + } {e sin ϑ iφ χ + χ +e +iφ χ χ + 3 Dichtematrix: ϱ mn ϑ, φ e iφ sin ϑ cos ϑ eiφ sin ϑ sin ϑ + cos ϑ e iφ sin ϑ e iφ sin ϑ cos ϑ ˆϱϑ, φ { + eϑ, φ ˆ σ } n e, Π vollständige Polarisation ˆϱ χ e + χe + χe + χe + χe + χe + ˆϱ reiner Zustand
d Gleichverteilung der Spins über alle Richtungen Mittelung von 3 bzw. über gesamten Raumwinkel ˆϱ π dφ dϑ sin ϑ ˆϱϑ, φ Dazu werden folgende Integrale benötigt: π π π π ˆϱ π dϑ sin ϑ cos ϑ dϑ sin ϑ sin ϑ dφ e ±iφ χ + χ + + χ χ dϑ sin ϑ ϑ cos3 dϑ cos ϑ ϑ sin3 ϱ mn dζ ζ 3 dζ ζ 3 Subst.: ζ cos ϑ Subst.: ζ sin ϑ n, Π 5 Dichteoperator 5 für Gleichverteilung aller Spins identisch mit Dichteoperator 9 für gleichverteilte Polarisation in ±x-richtung, was - wie in b diskutiert - identisch ist mit gleichverteilter Polarisation in ±z-richtung. Dichteoperator beschreibt nicht die Mikrozustände, sondern nur den Makrozustand eindeutig; alle drei diskutierten Makrozustände sind identisch - beschrieben durch denselben Dichteoperator e gemischter Zustand mit ˆϱ χx + χx + + 3 χy + χy + + C C ermitteln aus! Spˆϱ + 3 + C C ˆϱ χx + χx + + 3 χy + χy + + 8,6 ϱ mn 3i + 3i n e x + 3 3 e y Π.36 teilweise Polarisation Erwartungswerte aus: Â SpˆϱÂ ; { 3i + 3i ˆσ z Sp ˆϱˆσ z Sp ˆσ z Sp ˆϱˆσ z Spˆϱ Ŝz ˆσ x Sp ˆϱˆσ { 3i x Sp + 3i ˆσ x Sp ˆϱˆσ x Spˆϱ Ŝx ˆσ y Sp ˆϱˆσ { 3i y Sp + 3i ˆσ y Sp ˆϱˆσ y Spˆϱ Ŝy mit 6 und 3, wird: } Ŝz i i S z } 5 S x 6 5 } 6 S y Ŝx 9 Ŝy 3 6 3
. Dichteoperator: ˆϱ { + n ˆ σ } ; zugehörige Entropie gemäß: S k Sp ˆϱ ln ˆϱ k k φ k ˆϱ ln ˆϱ φ k Berechnung mittels Eigenzuständen von ˆϱ ˆϱ durch Eigenwerte s. 5.Ü/6b λ / ± n / ersetzen; wegen Positivität des Dichteoperators gilt n. S k { } + n ln + n + n ln n S n diskutieren für n : ds d n k n ln + n ; d S d n k n.8.7.6 S n Sx Maximum bei n bei verschwindender Polarisation Π geringste Information über Spinorientierung, da alle Orientierungen gleichwahrscheinlich; Maximum hat den Wert: S n k ln k ln Ω mit Ω..5..3.....6.8 n Mit wachsendem n nimmt Entropie monoton ab bis S n Einmünden der Entropie mit senkrechter Tangente; hier ist Polarisation Π vollständige Polarisation des Gemisches - reiner Zustand, keinerlei Unsicherheit über Spinrichtung. 3. Zeitentwicklung des Dichteoperators ˆϱ r P r ψ r ψ r mit P r zeitunabhängig wenn System zu t in ψ r ist, bleibt es für alle t in ψ r ; Zeitabhängigkeit von ˆϱ durch Zeitentwicklung der Zustände ψ r entsprechend Systemdynamik, d.h. gemäß Schrödinger-Gleichung i ψ r Ĥ ψ r bzw. i ψ r ψ r Ĥ 7 von-neumann-gleichung s. Vorlesung/Skript: ˆϱ i [Ĥ, ˆϱ] oˆϱ dˆϱ da für Observable allg. gilt: o  i  [Ĥ, Â] + 8 a Spurbildung mit beliebigem VON φ n könnte auch zeitabhängig sein: d Sp ˆϱ d φ n ˆϱ φ n n { ˆϱ } φ n ˆϱ φ n + φ n ˆϱ φ n + φ n φ n mit 7 und 8 folgt: n φ n [ˆϱ, i Ĥ] + [Ĥ, ˆϱ] φn i Sp [ˆϱ, Ĥ] + [Ĥ, ˆϱ] n d Sp ˆϱ q.e.d. Bem.: In vorletzter Zeile verschwindet auch jeder Summand einzeln! - s. 5.Ü/3.d Einfacher ist Beweis sofort mit zeitunabhängigem VON erbracht; möglich, da Spur unabhängig vom verwendeten VON - s. 5.Ü/3.a; Außerdem zu lösen über Zeitableitung eines Erwartungswertes, s.u.
Eigenwertproblem des Dichteoperators: ˆϱ ϕ m ϱ m ϕ m 9 ϱ m ϕ m ˆϱ ϕ m dϱ m dϱ m d ϕ m ˆϱ ϕ m 8 dˆϱ ϕ m ϕ m mit Operator der zeitlichen Änderung der Observablen ˆϱ : ϕ m [Ĥ, ˆϱ] + i i [ˆϱ, Ĥ] ϕm o ˆϱ dˆϱ ˆϱ + i [ˆϱ, Ĥ] q.e.d. b Schwierigkeiten mit Logarithmus eines Operators umgehen Spurbildung mit Eigenzuständen von ˆϱ aus 9 möglich, wegen 5.Ü/3.a; beachten: Funktion eines Operators hat dieselben Eigenzustände wie Operator und ihre Eigenwerte sind gleich der Funktion der Eigenwerte des Operators Beweis durch Reihenentwicklung. k ds Diskussion: d Sp ˆϱ ln ˆϱ d ϕ m ˆϱ ln ˆϱ ϕ m d ϕ m ϱ m ln ϱ m ϕ m d m m ϱ m ln ϱ m ds q.e.d. Ergebnis anschaulich klar: Entropie nur durch Wahrscheinlichkeiten im Dichteoperator bestimmt; von-neumann-gleichung beschreibt Zeitentwicklung des Dichteoperators infolge Zeitentwicklung der Zustände durch Systemdynamik bei konstanten Wahrscheinlichkeiten Entropie sollte daher konstant sein. Bemerkung zur direkten Differenziation: Betrachte zunächst:  ln  + ln  ln ln  ln  Beachten: jeder Vektor φ des Hilbert-Raums ist Eigenvektor des Einsoperators zum Eigenwert ist: φ φ ln φ ln φ φ ln Logarithmus des Einsoperators verschwindet. d ln  ln Ât + t ln Ât lim t t [ ln Ât + t  t dâ lim t lim t ln Ât + ln t lim t Nun betrachten: [ ln Ât + t dâ ] + t  t dâ t ln Ât ln Ât t m ] ln Ât mit ln + x x ±..., falls x < d ln   t dâ übliche Verhalten wie bei c-zahl-funktionen; aber Operatorreihenfolge beachten. Spurbildung mit zeitunabhängigem VON ds k d Spˆϱ ln ˆϱ Sp d dˆϱ ˆϱ ln ˆϱ Sp ln ˆϱ + ˆϱ d [ ] dˆϱ 8 ln ˆϱ Sp + ln ˆϱ natürlich dasselbe Ergebnis wie oben. 5
. Gesamtwahrscheinlichkeit - Erhaltungsgröße Normierung! keine Erzeugung und Vernichtung von Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeit P innerhalb des festen Phasenraumvolumens kann sich nur dadurch ändern, dass Wahrscheinlichkeit aus Oberfläche von herausfließt: P d ρ d S ρ V d S ρ V, wobei im letzten Integral über Oberfläche von zu integrieren ist; Größe hinter Integralzeichen ist die pro Zeiteinheit durch ds ausfließende Wahrscheinlichkeit. Gauss scher Satz unabhängig von Dimensionszahl gültig liefert: d ρ d R ρ V ρ + R ρ V 3 Kontinuitätsgleichung drückt Erhaltung der Gesamtwahrscheinlichkeit in lokaler Form aus. Beachten: Divergenz von V verschwindet wegen Gültigkeit der Hamilton schen Gleichungen: ṗ i H q i ; q i H p i R V i q i + p i q i p i i H H q i p i p i q i Produktregel im zweiten Summanden von 3 erste Form der Liouville-Gleichung: ρ + V ρ R Umformung des zweiten Summanden mit Hamilton-Gleichungen und Poisson-Klammern: V ρ R ρ ρ q i + p i q i p i i i zweite Form der Liouville-Gleichung bewiesen. H ρ H ρ {H, ρ} ρ {H, ρ} p i q i q i p i Aus verschwindender Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes R V folgt zeitliche Konstanz jedes materiellen mitbewegten Phasenraumvolumens; denn die Änderung eines solchen geschieht durch Bewegung seiner Oberflächenelemente gemäß: d d S V ds V d R V Liouvillesche Satz der klassischen Mechanik 6